模型20 軸對稱-婆羅摩笈多模型-原卷版

軸對稱模型（二十）——婆羅摩笈多模型一、垂直中點【結(jié)論1】如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，MN經(jīng)過點B，若MN⊥CE，則①點N是AD的中點，②S＝S，③CE＝2BN.【證明】如圖，（知垂直得中點，一線三垂直）過A作AP⊥MN，垂足為P，過D作DQ⊥MN交MN的延長線于Q，易證：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM∴AP＝DQ易證：△APN≌△DQN∴AN＝DN②如圖，由①知，S＝S，S＝S，S＝S∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S＝S＋S＝S＋S＝S,即S＝S，得證.③如圖，由①得，PN＝QN，∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得證.二、中點垂直【結(jié)論2】如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，點P是CE的中點，PB的延長線交AD于點Q，則①PQ⊥AD，②S＝S,③AD=2BP【證明】如圖，（知中點得垂直，倍長中線）證明：延長BP至點M，使PM＝BP，連結(jié)ME，易證：△PBC≌PME∴BC＝ME，BC∥ME∵AB＝AC∴AB＝EM，∵BC∥ME，∴∠CBE＋∠BEM＝180°，又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠MEB，易證：△ABD≌△MEB，∴∠2＝∠1，∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴∠DQP＝90°②如圖，由①知S＝S＋S＝S＋S＝S＝S,得證.③如圖，由①知AD＝MB＝2BP，得證。婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。這個定理有另一個名稱，叫做“布拉美古塔定理”（又譯“卜拉美古塔定理”）。 拓展1：如圖，△AOB和△COD是等腰直角三角形，MN過點O，⑴若MN⊥AD，則點M是BC的中點，②S＝S，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中點，則①M(fèi)N⊥AD，②S＝S，③AD＝2OM. 拓展2：如圖，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB＋∠COD=180o，MN過點O.N在AD延長線上.⑴若∠ANM＝∠AOB，則M是BC的中點，②S＝S，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中點，則②∠ANM＝∠AOB，②S＝S，③AD＝2OM. 拓展3：如圖，△AOB≌△COD且∠AOB＝∠COD=180o，MN過點O.⑴若M是BC的中點，則①AD＝2OM，②S＝S.⑵若N是AD的中點，則①BC＝2ON，②S＝S.拓展4：如圖，在△AOB、△COD中，，且∠AOB＋∠COD=180o，則S＝S.1．（江西省南昌市第十九中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點M為BC的中點，求證：DE＝2AM.1．（河北省石家莊市石家莊外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）閱讀情境：在綜合實踐課上，同學(xué)們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”如圖1，，其中，，此時，點與點重合，操作探究1:（1）小凡將圖1中的兩個全等的和按圖2方式擺放，點落在上，所在直線交所在直線于點，連結(jié)，求證：．操作探究2:（2）小彬?qū)D1中的繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，然后，分別延長，，它們相交于點．如圖3，在操作中，小彬提出如下問題，請你解答：①時，求證：為等邊三角形；②當(dāng)__________時，．（直接回答即可）操作探究3:（3）小穎將圖1中的繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度，線段和相交于點，在操作中，小穎提出如下問題，請你解答：①如圖4，當(dāng)時，直接寫出線段的長為_________．②如圖5，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點是邊的中點時，直接寫出線段的長為____________．2．（重慶市沙坪壩區(qū)第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）已知，，，點線段中點，連接．為平面內(nèi)一點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，線段與線段交于點，若，，求的面積；(2)如圖2，若點在的內(nèi)部連接、，線段交線段于點，當(dāng)時，求證：；(3)如圖3，過作的平行線，交直線于點．連接．將沿翻折得到，當(dāng)線段最短時，直接寫出此時的值．1．（2021年四川省達(dá)州市開江縣永興中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題）我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B'C'，當(dāng)a+β＝180°時，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”．(1)[特例感知]在圖2，圖3中，△AB'C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形，且BC＝6時，則AD長為．②如圖3，當(dāng)∠BAC＝90°，且BC＝7時，則AD長為．(2)[猜想論證]在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長AD或延長B'A，…）(3)[拓展應(yīng)用]如圖4，在四邊形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD為邊在四邊形ABCD內(nèi)部作等邊△PCD，連接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋補(bǔ)三角形”，請直接寫出△PBC的“旋補(bǔ)中線”長及四邊形ABCD的邊AD長．2．（2020年湖北省隨州市曾都區(qū)九年級升學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）我們定義：如圖1，在中，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”．【特例感知】（1）在圖2，圖3中，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)為等邊三角形，且時，則長為．②如圖3，當(dāng)，且時，則長為．【猜想論證】