模型22 勾股定理-矩形翻折模型-解析版

勾股定理模型（二十二）——矩形翻折模型一、折在外◎結(jié)論1：如圖，矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重疊部分的面積為多少？結(jié)論：，【證明】矩形，沿折疊，，，∴，，，，∴，∴，，設(shè)，則，在中，，即，∴，即，∴，，∴．【結(jié)論2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形ABCD沿AC折疊，使點(diǎn)D落到點(diǎn)D’處，交AB于點(diǎn)F，則AF的長為多少？結(jié)論：AF＝FC【證明】由折疊可知AD＝＝4，∠DCA＝∵四邊形ABCD是矩形，∴CDAB，∴∠DCA＝∠CAF，∴∠CAF＝∠FCA，∴AF＝FC，設(shè)AF＝x，則FC＝x，F(xiàn)B＝8﹣x，在中，由勾股定理得，，即，解得x＝5，即AF＝5，二、折在里【結(jié)論3】如圖，矩形ABCD，將△AFD沿AF折疊，使點(diǎn)D的落點(diǎn)（E）在對角線AC上，則CE=AC－AD，CF=CD－EF【證明】∵△AFD沿AF折疊得△AFE，∴△AFD≌△AFE∴AE＝AD，EF＝DF，∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF1．（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，長方形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，若將矩形沿直線AD折疊，則頂點(diǎn)C恰好落在邊OB上的E處，那么圖中陰影部分的面積為(

)A．30 B．32 C．34 D．36【答案】A【分析】根據(jù)A、D的縱坐標(biāo)即可求得CD的長，根據(jù)勾股定理即可求得BE的長，然后在直角△OAE中，利用勾股定理即可得到方程求得AC的長，則根據(jù)即可求解．【詳解】解：設(shè)AC=x，則AC=AE=OB=x，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），∴OA=BC=8，∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，∴CD=DE=BC-BD=8-3=5，在直角△BDE中，BE==4，則OE=x-4，在直角△AOE中，，即，解得：x=10，則=AC?CD=×10×5=25，=10×8=80，則=80-25-25=30．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，勾股定理，正確求得AC的長是關(guān)鍵．2．（2022·廣西桂林·八年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH，若，則線段CH的長是（

）A．3 B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，設(shè)，則，根據(jù)，可得，在中，根據(jù)勾股定理，列出方程，解出即可得出CH的長．【詳解】解：設(shè)，則，∵，，∴，在中，∵，∴，解得：，即．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及翻折變換，折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對稱變換．解題時，常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．3．（2022·云南保山·八年級期末）如圖，在矩形紙片中，，，將其折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的長為（

）A．4 B．5 C． D．3.5【答案】A【分析】由矩形的性質(zhì)可得∠A=90°，首先折疊的性質(zhì)可得、、=90°,設(shè)=，則BF=9-x，在Rt△中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，由翻折的性質(zhì)可知，、、=90°設(shè)=，則BF=9-x，∵在Rt△中，∴解得，∴CF=4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．4．（2022·重慶永川·八年級期末）已知，如圖所示，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，如果AB=16，AD=20，則EC的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】首先根據(jù)折疊的性質(zhì)求得：AD=AF=20，DE=EF，在Rt△ABF中利用勾股定理計(jì)算出BF的長，進(jìn)一步求得FC的長，再設(shè)EC=x,則DE=EF=（16-x），在Rt△EFC中利用勾股定理可得（16-x）2=82+x2，再解方程即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=16，AD=BC=20，由折疊可知：AD=AF=20，DE=EF，在Rt△ABF中：，∴∴FC=20-12=8，設(shè)EC=x,則DE=EF=16-x,在Rt△EFC中：EF2=FC2+EC2，（16-x）2=82+x2，解得：x=6．所以EC=6．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的翻折變換和勾股定理，解題關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)和利用勾股定理解直角三角形．1．（2022·河南商丘·八年級期末）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AB邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），沿直線PE將△PBE折疊后點(diǎn)B落在了點(diǎn)B'處，連接B'D、DE，當(dāng)∠DB'E＝90°時，PB的長等于（）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】設(shè)，利用HL證明，得到的長度，再利用勾股定理表示出的三邊關(guān)系，列出關(guān)于x的方程，求解即可．【詳解】設(shè)，根據(jù)題意，得：，，，∵，∠DB'E＝90°，∴在與中，，∴，∴，∵，∴在中，，即∴，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是用含x的式子表示出的三邊，再利用勾股定理．2．（2022·浙江杭州·八年級期末）如圖，點(diǎn)在矩形的邊上，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．若，，則長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得AD=BC=10，AB=CD=6，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理計(jì)算出BF=8，則CF=BC-BF=2，設(shè)CE=x，則DE=EF=6-x，然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理得到，解方程即可得到DE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=6，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，BF=，∴CF=BC-BF=10-8=2，設(shè)CE=x，則DE=EF=6-x，在Rt△ECF中，，∴，解得x=，∴DE=6-x=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用．解題時，常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．3．（2022·福建·廈門市第五中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，一張矩形紙片ABCD，其中，，先沿對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置，交AD于點(diǎn)G，則的長______．【答案】【分析】由矩形及翻折的性質(zhì)，可證≌，設(shè)，則，，在中，運(yùn)用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程即可．【詳解】解：∵矩形ABCD，∴，，∵矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置，∴，，∴，，在與中，∵，∴≌，∴，．設(shè)，∵，，∴．∵，，∴在中，，即，解得，，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用翻折的性質(zhì)以及勾股定理求相關(guān)線段長度，其中運(yùn)用幾何性質(zhì)及勾股定理建立相應(yīng)的方程是解題的關(guān)鍵．1．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，將一張長方形紙片沿折疊，使兩點(diǎn)重合．點(diǎn)落在點(diǎn)處．已知，．（1）求證：是等腰三角形；（2）求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得,則,因?yàn)檎郫B，，即可得證；（2）設(shè)用含的代數(shù)式表示，由折疊，，再用勾股定理求解即可【詳解】（1）四邊形是矩形因?yàn)檎郫B，則是等腰三角形（2）四邊形是矩形,設(shè)，則因?yàn)檎郫B，則，,在中即解得：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理，圖像的折疊，勾股定理，熟悉以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．（1）_________，寫出圖中兩個等腰三角形：_________（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為_________；（3）連接正方形對角線BD，若圖2中的的邊AP、AQ分別交對角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N．如圖3，則________；剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．（4）求證：．【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）見解析【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知：，，根據(jù)正方形的性質(zhì)：,，則，為等腰三角形；（2）如圖：將順時針旋轉(zhuǎn)，證明全等，即可得出結(jié)論；（3）證明即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)半角模型，將順時針旋轉(zhuǎn)，連接，可得，通過得出，為直角三角形，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）由翻折的性質(zhì)可