高斯定理講解培訓(xùn)教材

§1.3高斯定理

高斯(Gauss,Karlfriedrich,1777-1855)德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家。高斯被認為是最重要的數(shù)學(xué)家，有數(shù)學(xué)王子的美譽，并被譽為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，11電場線的定義：一、 電場線（E線）為定量的描述電場而人為的引入的一些曲線，目的是使電場形象化、直觀化。(1)方向:電場線上各點的切線方向表示電場中該點場強的方向。電場線越密集,場強越大(2)大小:穿過垂直于該點場強方向的單位面積上的電場線的條數(shù)（電場線的面密度）等于該點場強的大小。E2+-+++-幾種電荷分布的電場線圖2.電場線示例32.電通量的計算（1）勻強電場，垂直平面時.（2）勻強電場，與平面夾角.5（3）非勻強電場，曲面S.6說明（1）小面元上的電通量的正與負★電通量是標(biāo)量，可正、可負7(2)、通過任一閉合曲面S的電通量：規(guī)定：閉合曲面S的外法線方向為正方向；，為正。，為負。8（3）電場強度是點函數(shù)，電通量是描述某一區(qū)域上的物理性質(zhì)的量，與區(qū)域上的場強、區(qū)域的大小、取向等都有關(guān)。

S非閉合曲面時，法線的取法根據(jù)情況事先規(guī)定。ds9

例1三棱柱體放置在如圖所示的勻強電場中.求通過此三棱柱體的電場強度通量.解S1S210S1S2結(jié)論：在均勻電場中通過任意閉合曲面的電場強度通量等于零111、求通過圖中曲面的電通量。RO思考(A)pR2E．(B)pR2E/2(C)2pR2E．(D)0．2、一電場強度為的均勻電場，的方向與沿x軸正向，如圖所示．則通過圖中一半徑為R的半球面的電場強度通量為12分立電荷時，有電荷連續(xù)分布情況

其中S與V對應(yīng)。高斯定理的表述：通過任一閉合曲面S的電通量ΦE等于該閉合曲面所圍所有電荷電量的代數(shù)和除以ε0，與閉合曲面外的電荷無關(guān)。三、高斯定理13+q1當(dāng)點電荷在球心時證明q14+q在閉合曲面上任取一面積元dS，通過面元的電場強度通量rS2包圍點電荷的任一閉合曲面S的通量r’15S+2任一閉合曲面S包圍該電荷是dS在垂直于電場方向的投影。dS對電荷所在點的立體角為16q1q2q3S+2任一閉合曲面S包圍該電荷若S面內(nèi)包圍多個點電荷則173閉合曲面S不包圍點電荷+閉合曲面可分成兩部分S1、S2，它們對點電荷張的立體角絕對值相等而符號相反。184閉合曲面S包圍多個電荷q1-qk，同時面外也有多個電荷qk+1-qn由電場疊加原理19閉合曲面S包圍多個電荷q1-qk，同時面外也有多個電荷qk+1-qn通過包圍點電荷q的任意閉合曲面的電通量均為;小結(jié)：單個點電荷情況ESr閉合曲面外的點電荷對閉合曲面電通量的貢獻等于零。20高斯定理是靜電場基本定理之一，反映了靜電場是有源場。5、高斯定理的幾點說明(2)閉合面外的電荷雖然對通量沒有貢獻，但并不意味著不影響閉合面上的電場，高斯面上的場強是空間所有帶電體所產(chǎn)生的。只要S內(nèi)凈電荷不為零，則通量不為零——有源正電荷——噴泉形成的流速場——源負電荷——有洞水池中的流速場——匯21練習(xí)：高斯定理的理解1、一點電荷q放在球形高斯面的中心處，試問在下列情況下，穿過這高斯面的電通量是否改變?（1）、如果第二個點電荷放在高斯球面外附近；（2）、如果第二個點電荷放在高斯球面內(nèi)；（3）、若將原來的點電荷移離高斯球面的球心，但仍在高斯球面內(nèi)。不變變不變(4)高斯定理給出了場與場源q間接的一種聯(lián)系。22(1)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點場強一定為零．(2)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和不為零時，閉合面上各點場強一定處處不為零．(3)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點場強不一定處處為零．(4)閉合面上各點場強均為零時，閉合面內(nèi)一定處處無電荷．2、根據(jù)高斯定理的數(shù)學(xué)表達式判斷下述各種說法的對錯。23四、高斯定理的應(yīng)用（重點內(nèi)容）

(1)使用條件:一般地，不能用高斯定理求得每個場點的場強，僅當(dāng)電荷分布乃至場分布具有某種對稱性時，才能僅用此求得場。但求不出時切不可誤認為該定理不成立。(2)解題步驟②選取合適的高斯面；使該曲面上的場強大小處處相等③計算；④計算；⑤應(yīng)用定理求的大小，結(jié)合方向得出。注意：這樣求得的場強是高斯面處的場強！

①分析場的對稱性，場源的對稱性決定著場強分布的對稱性，

明確的方向；24rR++++++++++++++++q例1.均勻帶電球面的電場，球面半徑為R,帶電為q。電場分布也應(yīng)有球?qū)ΨQ性，方向沿徑向。作同心且半徑為r的高斯面.r

R時，高斯面無電荷，解：25r0ER+R+++++++++++++++rqr

R時，高斯面包圍電荷q，E

r關(guān)系曲線均勻帶電球面的電場分布26Rr例2均勻帶電球體的電場。球半徑為R，體電荷密度為。電場分布也應(yīng)有球?qū)ΨQ性，方向沿徑向。作同心且半徑為r的高斯面a.rR時，高斯面內(nèi)電荷b.r

R時，高斯面內(nèi)電荷解：27EOrRR均勻帶電球體的電場分布Er關(guān)系曲線28[拓寬知識]

一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布為=Ar(r≤R)，=0(r＞R)A為一常量．試求球體內(nèi)外的場強分布。略解29例3無限長均勻帶電圓柱面的電場。圓柱半徑為R，沿軸線方向單位長度帶電量為。rl作與帶電圓柱同軸的圓柱形高斯面,電場分布也應(yīng)有柱對稱性，方向沿徑向。高為l,半徑為r（1）當(dāng)r<R時，由高斯定理知解：30lr（2）當(dāng)r>R時，均勻帶電圓柱面的電場分布r0EREr關(guān)系曲線31（2）半徑為R的均勻帶電體密度為ρ的長圓柱體。（1）半徑為R的均勻帶電面密度為σ的長圓柱面。[拓寬知識]

RλrEEE32電場分布也應(yīng)有面對稱性，方向沿法向。解：例4均勻帶電無限大平面的電場.電荷密度為。EσE33作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為S，兩底面到帶電平面距離相同。σESE圓柱形高斯面內(nèi)電荷由高斯定理得34場強方向指離平面;場強方向指向平面。[拓展]1求兩個平行無限大均勻帶電平面的場強分布。設(shè)面電荷密度分別為和解：該系統(tǒng)不再具有簡單的對稱性，不能直接應(yīng)用高斯定律。然而每一個帶電平面的場強先可用高斯定律求出，然后再用疊加原理求兩個帶電平面產(chǎn)生的總場強需注意方向。35ABC36由圖可知，在A區(qū)和B區(qū)場強均為零。C區(qū)場強的方向從帶正電的平板指向帶負電的平板。場強大小為一個帶電平板產(chǎn)生的場強