




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
Friday,September27,20241第二節(jié)根軌跡繪制的基本準則Friday,September27,202422、根軌跡的對稱性:一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實數(shù),其根必為實根或共軛復(fù)根。即位于復(fù)平面的實軸上或?qū)ΨQ于實軸。
用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點的關(guān)系,根軌跡的特殊點,漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量,能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。以下的討論是針對參數(shù)的180度根軌跡的性質(zhì)。根軌跡的連續(xù)性和對稱性1、根軌跡的連續(xù)性:閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益的函數(shù)。當從0到無窮變化時,這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的,即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。Friday,September27,202434、根軌跡的起點和終點:
根軌跡方程為:
時為起點,時為終點。根軌跡的支數(shù)和起始點3、根軌跡的支數(shù):
n階特征方程有n個根。當從0到無窮大變化時,n個根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。當時,只有時,上式才能成立。而是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點,所以根軌跡起始于開環(huán)極點。n階系統(tǒng)有n個開環(huán)極點,分別是n支根軌跡的起點。Friday,September27,20245根軌跡的漸近線5.根軌跡的漸近線:若開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n,則當系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時趨向無窮遠處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠的方位可由漸近線決定。由根軌跡方程可得:式中,F(xiàn)riday,September27,20246根軌跡的漸近線當Kg→∞,由于m<n,故s→∞滿足根軌跡方程,上式近似為兩邊開n-m次方利用二項式定理當時,,令,F(xiàn)riday,September27,20247根軌跡的漸近線設(shè)s=x+jy,利用-1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π,并根據(jù)德莫弗(DeMoive)代數(shù)定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq),上式可寫為Friday,September27,20248根軌跡的漸近線這是與實軸交點為-s,斜率為的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為Friday,September27,202495.根軌跡的漸近線:漸近線包括兩個內(nèi)容:漸近線的傾角和漸近線與實軸的交點。
傾角:設(shè)根軌跡在無限遠處有一點,則s平面上所有的開環(huán)有限零點和極點到的相角都相等,即為漸近線的傾角。代入根軌跡的相角條件得:規(guī)定:相角逆時針為正,順時針為負。根軌跡漸近線的傾角Friday,September27,202410
漸近線與實軸的交點假設(shè)根軌跡在無限遠處有一點,則s平面上所有開環(huán)有限零點和極點到的矢量長度都相等。可以認為:對無限遠閉環(huán)極點而言,所有的開環(huán)有限零點、極點都匯集在一起,其位置為,這就是漸近線與實軸的交點。幅值條件:根軌跡漸進線與實軸的交點Friday,September27,202411根軌跡漸進線與實軸的交點Friday,September27,202412[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:,試確定根軌跡支數(shù),起點和終點。若終點在無窮遠處,求漸近線與實軸的交點和傾角。[解]:根軌跡有3支。起點為開環(huán)極點無有限值零點,所以三支根軌跡都趨向無窮遠。漸近線與實軸的交點:漸近線與實軸的傾角:零極點分布和漸近線(紅線)如圖所示。Friday,September27,2024136、實軸上的根軌跡:
實軸上具有根軌跡的區(qū)間是:其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。[證明]:例如在實軸上有兩個開環(huán)極點p1、p2,復(fù)平面上有一對共軛極點p3、
p4和一對共軛零點z1、z2
。先看試驗點s1點:所以s1點滿足根軌跡相角條件,于是[-p2,-p1]為實軸上的根軌跡。實軸上的根軌跡②成對出現(xiàn)的共軛零點z1、
z2對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°;③試探點左邊的極點p2對試探點構(gòu)成的向量的相角為0°;④試探點右邊的極點p1對試探點構(gòu)成的向量的相角為180°;再看s2點:不滿足根軌跡相角條件,所以不是根軌跡上的點。①成對出現(xiàn)的共軛極點p3、
p4對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°;同樣s3點也不是根軌跡上的點。Friday,September27,202414[例4-3]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:試求實軸上的根軌跡。[解]:零極點分布如下:
紅線所示為實軸上根軌跡,為:[-10,-5]和[-2,-1]。注意在原點有兩個極點,雙重極點用“”表示。實軸上的根軌跡例題Friday,September27,2024157、根軌跡的會合點和分離點:
若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開,稱該點為分離點或會合點。實軸上的會合點和分離點如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡,由開環(huán)極點出發(fā)的兩支根軌跡,隨著的增大在實軸上A點相遇再分離進入復(fù)平面。隨著的繼續(xù)增大,又在實軸上B點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。當時,一支根軌跡終止于另一支走向。A、B點稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。Friday,September27,2024167、根軌跡的會合點和分離點:
若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開,稱該點為分離點或會合點。
一般說來,若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡,則這兩相鄰極點之間必有分離點;如果實軸上相鄰開環(huán)零點(其中一個可為無窮遠零點)之間有根軌跡,則這相鄰零點之間必有會合點。如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與開環(huán)極點之間,則它們之間可能既無分離點也無會合點,也可能既有分離點也有會合點。實軸上的會合點和分離點Friday,September27,202417[分離點和會合點的求法]:由重根法,求極值法和作圖法等。①重根法:根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:即[分離角]:在分離點或會合點上,根軌跡的切線和實軸的夾角稱為分離角。與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān):。實軸上的會合點和分離點的求法因閉環(huán)特征方程為:設(shè)時,特征方程有重根,則必同時滿足Friday,September27,202418由此得:即:實軸上的會合點和分離點的求法注意:由上式可求得的點是分離點和會合點必要條件,還需求出這些點對應(yīng)的增益,若增益為大于零的實數(shù),則所求出的點為分離會合點。Friday,September27,202419②極值法:參見教材p118圖4-11。若以Kg為縱坐標,以實軸為橫坐標,在根軌跡的分離點和會合點上,Kg具有極值。實軸上的會合點和分離點的求法即Friday,September27,202420③求分離回合點的另一個公式實軸上的會合點和分離點的求法設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:因閉環(huán)特征方程為:即閉環(huán)特征方程為:重根時還滿足Friday,September27,202421實軸上的會合點和分離點的求法Friday,September27,202422[例4-4]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位置。實軸上根軌跡區(qū)間是:注意:分離點和會合點也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上,由于根軌跡對稱于實軸,所以,復(fù)平面上的分離點和會合點必對稱于實軸。顯然,分離回合點為-0.4725,而-3.5275不是分離回合點。[解]:閉環(huán)特征方程為:Friday,September27,2024238、根軌跡的出射角和入射角:當開環(huán)零、極點處于復(fù)平面上時,根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角;根軌跡趨于復(fù)零點的終止角成為入射角。如圖:圖中有四個開環(huán)極點,一個開環(huán)零點。 為共軛極點,現(xiàn)計算的出射角。設(shè)為。在離開附近的根軌跡上取一點s1,則s1點應(yīng)滿足相角條件:當時,即為離開根軌跡上的出射角,,則:根軌跡的出射角和入射角Friday,September27,202424式中:為除了以外的開環(huán)極點到的矢量的相角;為開環(huán)零點到的矢量的相角。同樣,進入復(fù)零點的根軌跡入射角為:式中:為除了以外的開環(huán)零點到的矢量相角;為各開環(huán)極點到的矢量相角。
的出射角應(yīng)與的出射角關(guān)于實軸對稱。根軌跡的出射角和入射角Friday,September27,202425[例4-5]如圖,試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點的出射角。[解]:根據(jù)對稱性,可知點的出射角為:請根據(jù)相角條件自行計算。
相角要注意符號;逆時針為正,順時針為負;注意矢量的方向。[注意]:Friday,September27,2024269、根軌跡和虛軸的交點:根軌跡和虛軸相交時,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益稱為臨界根軌跡增益。交點和
的求法:
在閉環(huán)特征方程中令
,然后使特征方程的實、虛部為零即可求出
和
。
由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。根軌跡和虛軸的交點Friday,September27,202427方法一:閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:將代入得:[例4-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為:
,試求根軌跡與虛軸的交點和。當時,為根軌跡的起點(開環(huán)極點)當
時,
,即根軌跡與虛軸的交點為
。Friday,September27,202428方法二:用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定的值。勞斯陣列為:
勞斯陣列中某一行全為零時,特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程
的根。1、令,得臨界增益為:2、令,得(開環(huán)極點)。Friday,September27,20242910、閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積:開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:
,即:(1)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點為:
,則(2)閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積Friday,September27,202430比較(1)、(2)式得:
當n-m>=2時,
,即:對于任意的
,閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和,為常數(shù)。表明:當
變化時,部分閉環(huán)極點在復(fù)平面上向右移動(變大),則另一些極點必然向左移動(變小)。
閉環(huán)極點之積為:
根據(jù)上述10個性質(zhì)(或準則),可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準確起見,可以用相角條件試探之。閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積當有為零的開環(huán)極點:Friday,September27,202431根軌跡作圖步驟一、標注開環(huán)極點和零點,縱橫坐標用相同的比例尺;二、實軸上的根軌跡;三、n-m條漸近線;四、根軌跡的出射角、入射角;五、根軌跡與虛軸的交點;六、根軌跡的分離點、會合點;結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點和終點,閉環(huán)極點與閉環(huán)極點之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。Friday,September27,202432⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為:
,畫根軌跡。⒋出射角,⒌求與虛軸的交點,此時特征方程為解:⒈求出開環(huán)零極點,即:⒉實軸上的根軌跡:(-∞,0]將代入得:Friday,September27,202433⒍求分離會合點:由特征方程由圖知這兩點并不在根軌跡上,所以并非分離會合點,這也可將代入得為復(fù)數(shù)。Friday,September27,20
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 二零二五年度工程結(jié)清協(xié)議范本:市政基礎(chǔ)設(shè)施項目款項結(jié)算及驗收協(xié)議
- 二零二五年度電子產(chǎn)品委托收款協(xié)議
- 《物流系統(tǒng)分析》課件 第五章-4 了解物流園區(qū)規(guī)劃的技術(shù)流程
- 2025年西安從業(yè)資格證模擬考試題貨運考題
- 2025年四平貨車叢業(yè)資格證考試題
- 2024年技術(shù)開發(fā)合同
- 《轉(zhuǎn)動的摩天輪》幼兒園小學(xué)少兒美術(shù)教育繪畫課件創(chuàng)意教程教案
- 高中家長會 贏在未來苦在當下課件-高三上學(xué)期家長會
- 高中家長會 攜手共育,靜待花開課件高三家長會
- 班會學(xué)生發(fā)言稿
- 藥劑學(xué)第9版課件:第一章-緒論
- DL-T 572-2021電力變壓器運行規(guī)程-PDF解密
- 浙江省勞動保障監(jiān)察員培訓(xùn)監(jiān)察執(zhí)法程序(林琳)
- 新人教版數(shù)學(xué)四年級下冊全冊表格式教案
- 閩教版(2020版)六年級下冊信息技術(shù)整冊教案
- ad-hoc第二章-ad-hoc網(wǎng)絡(luò)中的MAC協(xié)議
- 心性修煉與教育智慧
- 二手房買賣合同正式版空白
- 食品銷售經(jīng)營者食品安全管理制度(零售)
- 通信電源-概述ppt課件
- 法大民商考博真題匯總
評論
0/150
提交評論