第5章曲線與曲面3知識分享

6.2常用參數(shù)曲線6.2.2B樣條曲線Bézier曲線是一段n次多項式曲線，它具有許多優(yōu)點，如凸包性、保凸性等，但也存在缺點：Bézier曲線不能作局部修改，修改某一個控制頂點將影響整條曲線；Bézier曲線的階次完全由其控制多邊形的頂點個個數(shù)決定；當(dāng)表示復(fù)雜形狀時，無論采用高次曲線還是多段低次曲線拼接起來的曲線，都相當(dāng)復(fù)雜。要克服Bézier曲線的缺點，需要對它進(jìn)行推廣。Bézier曲線的缺點，0≤t≤1

1972年，德布爾（deBoor）與考克斯（Cox）分別給出了B樣條的標(biāo)準(zhǔn)計算方法。1974年，美國通用汽車公司的戈登（Gorder）和里森費爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線和曲面，B樣條曲線使得控制多邊形的頂點數(shù)與曲線的階次無關(guān)，并可進(jìn)行局部調(diào)整，而且曲線更逼近于控制多邊形。6.2.2.1B樣條基函數(shù)的定義和性質(zhì)給定參數(shù)t軸上的一個分割(ti≤ti+1，i=0，±1，±2…)。由下列遞推關(guān)系所定義的Bi,k(t)稱為T的k階(或k-1次）B樣條基函數(shù)。并約定0/0＝0。

此處稱為節(jié)點向量，稱為節(jié)點。當(dāng)滿足

時，則稱上式中除和以外的每一節(jié)點為T的

重節(jié)點若ti+1-ti=常數(shù)，則稱Bi,k(t)為k階均勻B樣條基函數(shù)；反之，則稱Bi,k(t)為k階非均勻B樣條基函數(shù)。B樣條基函數(shù)的推導(dǎo)：

1B樣條基函數(shù)示意圖Bi,2(t)Bi+1,2(t)Bi,3(t)Bi+1,3(t)Bi,4(t)titi+1ti+2ti+3ti+4titi+1ti+2ti+3ti+4titi+1ti+2ti+3ti+41Bi,1(t)Bi+1,1(t)titi+1ti+2ti+3ti+4即只在區(qū)間中為正，在其它地方的值均為零(k>1)。

(1)局部性B樣條基函數(shù)的性質(zhì)tj-ktj+1-ktjtj+qtj+q-1當(dāng)k>1時，當(dāng)時，顯然成立.假設(shè)時成立,現(xiàn)證明時也成立。因為：上式右端第項的第二項和第項的第一項合并得由的局部性知，如果取，，則根據(jù)≥0及上式,可把看作是計算平均值的權(quán).

(2)權(quán)性證用歸納法。B樣條基函數(shù)的性質(zhì)(3)分段多項式在其值不為零的區(qū)間上是次數(shù)不高于次的多項式，在值為零的區(qū)間上是零次多項式，從而它在整個參數(shù)軸上是次數(shù)不高于次的分段多項式。(4)連續(xù)性節(jié)點的重數(shù)每增加一次，的連續(xù)階就減少一次,因此,在重節(jié)點處的連續(xù)階不低于階。(5)求導(dǎo)公式B樣條基函數(shù)的性質(zhì)K+1階（K次）B樣條基函數(shù)在規(guī)范化參數(shù)區(qū)間（0≤t≤1)有以下的等價表示形式：Bi,k+1(t)=(1/k!)∑

k-i(-1)jCj

(t+k-i-j)k,0≤t≤1,i=0,1,…k說明：我們在下邊的關(guān)于B樣條曲線的定義中，使用該表示形式，該形式對于研究B樣條函數(shù)的性質(zhì)非常方便。

B樣條基函數(shù)的性質(zhì)(6)等價表示j=0k+16.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)P2P0P1PnB樣條曲線及其控制多邊形在空間給定m+n+1個控制點，用向量Pi表示（i=0,1,…,m+n），稱n次(n+1階）參數(shù)曲線：nltPtPnllini...,1,010)(0tBn+1l)(,,=￡￡=?=+，，為n次B樣條的第i段曲線(i=0,1,…,m)。其中：Bl,n+1(t)為B樣條基函數(shù)，即：Bl,n+1(t)=0,1,…n

依次用直線段連接相鄰的兩個控制點Pi+l與Pi+l+1（l=0,1,…,n–1），將得到的折線稱為第i段的B控制多邊形。由第i段的B控制多邊形決定的B樣條曲線稱為第i段B樣條曲線。由于任意一段的B樣條曲線具有相同的幾何性質(zhì)，因此取i=0，即第0段的B樣條曲線進(jìn)行研究，第0段的B樣條曲線定義式為：在實際應(yīng)用中，最常用的是二次和三次B樣條曲線。下面它們的表示形式和性質(zhì)6.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)Bl,n+1(t)，由得：P(t)=P0B0,3(t)+P1B1,3(t)+P2B2,3(t)=[(t+2)2-3(t+1)2+3t2]P0+[(t+1)2-3t2]P1+t2P2

=(t2-2t+1)P0+(-2t2+2t+1)P1+t2P2

=[t2t1]6.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)二次B樣條曲線表示和性質(zhì)幾何表示Bl,3(t)2121212121212-21-220110P0P1P2120≤t≤1

位置矢量：分別令t=0,t=1得：

P(0)=[0201]=(P0+P1)P(1)=[1211]=(P1+P2)6.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)二次B樣條曲線表示和性質(zhì)端點性質(zhì)-21-220110P0P1P21212-21-220110P0P1P21212表明：二次B樣條曲線的起點在向量P0P1的中點上，終點在向量P1P2的中點上

切矢量：分別將t=0,t=1代入

P’(t)=（t-1)P0+(-2t+1)P1+tP2得：

P’(0)=P1-P0、P’(1)=P2-P16.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)二次B樣條曲線表示和性質(zhì)端點性質(zhì)表明：二次B樣條曲線的起點切矢量為向量P0P1，而終點切矢量為向量P1P2連續(xù)性從上面的討論知，第0段二次B樣條的起點位置矢量及切矢量僅與控制點P0、P1有關(guān)，終點位置矢量及切矢量僅與控制點P1、P2有關(guān)；且起點位置矢量及切矢量的表達(dá)式與終點位置矢量及切矢量具有完相同的形式，從而可知，兩段相鄰的二次B樣條曲線在終點（起點）處是自然連接的，具有C1階連續(xù)性。連續(xù)性6.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)二次B樣條曲線表示和性質(zhì)推而廣之：兩段相鄰的n次B樣條曲線在（前一段）終點和（后一段的）起點處是自然連接的，并且具有Cn-1階連續(xù)。凸包性第i段二次B樣條曲線必落在第i段的B控制多邊形構(gòu)成的凸包之內(nèi)。這性質(zhì)也可以推廣到n次的B樣條曲線。局部性每一段二次B樣條曲線由3個控制點的位置矢量決定；同時，在二次B樣條曲線中改變一個控制點的位置矢量，最多影響三個曲線段。6.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)二次B樣條曲線表示和性質(zhì)擴展性如果增加一個控制點，就相應(yīng)地增加了一段B樣條曲線，此時，原有的B樣條曲線不受影響，而且新增的曲線段與原曲線段自動保持連續(xù)性，不需附加任何條件。局部性推而廣之：任意一段n次B樣條曲線由n+1個控制點的位置矢量決定；同是，在n次B樣條曲線中改變一個控制點的位置矢量最多影響n+1段曲線。工程上的意義：利用上面的擴展性和連續(xù)性可以對原有的B樣條曲線進(jìn)行擴展，從而減少重新設(shè)計或修改的工作量。特別是，可以由多個控制點方便生成一個低次的B樣條曲線，從而降低高次計算所帶來的復(fù)雜性。

由得：P(t)=P0B0,4(t)+P1B1,4(t)+P2B2,4(t)＋P3B3,4(t)=(-t3+3t2-3t+1)P0+(3t3-6t2+4)P1

+(-3t3+3t2+3t+1)P2+t3P3

=[t3t2t1]6.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)三次B樣條曲線表示和性質(zhì)幾何表示Bl,4(t)3-13-31-630-30301410P0P1P2P316161616160≤t≤16.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)三次B樣條曲線表示和性質(zhì)幾何表示一般地，n次第0段B樣條曲線可表示為：P(t)=T.MB.GB=[tntn-1

…t1].M(n+1)×(n+1)P0P1Pn-1Pn其中MB為n次B樣條曲線的系數(shù)矩陣，它的第l列為Bl,n+1(t)

按t降冪排列的系數(shù)；GB=[P0P1…Pn-1Pn]T為n次B樣條曲線的n+1個控制點的位置矢量。

位置矢量：分別令t=0,t=1得：

P(0)=＋P1P(1)=＋P26.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)三次B樣條曲線表示和性質(zhì)端點性質(zhì)表明：三次B樣條曲線的起點在三角形P0P1P2的中線P1Q1上且離P1點1/3處；終點在三角形P1P2P3的中線P2Q2上且離P2點1/3處，(P0+P2)2132313(P1+P3)223而在終點外的切矢量P’(1)平行于三角形P1P2P3的底邊P1P3且長度為其一半。

切矢量：分別將t=0,t=1代入P’(t)得：

P’(0)=(P2-P0)、P’(1)=(P3-P1)6.2.2.2B樣條曲線的定義和性質(zhì)三次B樣條曲線表示和性質(zhì)端點性質(zhì)表明：三次B樣條曲線在起點處的切矢量P’(0)平行于三角形P0P1P2的底邊P0P2且長度為其一半；1212

二階導(dǎo)數(shù)：分別將t=0,t=1代入P”(t)得：

P”(0)=(P0-2P1+P2)=2

P1Q1

P”(1)=(P1-2P2+P3)=2

P2Q2

表明：三次B樣條曲線在起點處的曲率P”(0)為三角形P0P1P2底邊P0P2中線的2