《-線性代數(shù)-》期末考試卷及答案3套

PAGE1PAGE3《線性代數(shù)《線性代數(shù)》期末考試卷及答案3套一、填空題（每小題4分，共24分）1．設(shè)四階方陣，其中均為四維列向量，且，則2．n階方陣A滿足，則3．向量組，，和的一個極大無關(guān)組是。4．已知四元線性方程組的三個解為，且，，，則方程組的通解是。5．設(shè)，則A=。6．設(shè)二次型，則其對應(yīng)的矩陣A的正特征值有個。二、單項選擇題（每小題4分，共24分）1．若行列式，則x=()。A．1； B．–1; C．; D．2．設(shè)矩陣，其中，則為（）A.1； B．2； C．n； D．無法確定。3．向量組線性無關(guān)，則線性無關(guān)的是（）。A．；B．；C．；D．。4.設(shè)A是n階方陣，且方程組有無窮多組解，則方程組（）。A．有無窮多組解； B．僅有零解；C．有有限組解； D．無解。5．設(shè)A是n階方陣，B是A經(jīng)過若干次矩陣的初等變換后所得到的矩陣，則有（）。A．； B．；C．若，則一定有； D．若，則一定有。6．設(shè)，則與B（）A．合同且相似； B．合同但不相似；C．不合同但相似； D．不合同且不相似。三、計算題（每小題10分，共40分）已知矩陣，其中，，求矩陣A，A2，A100。設(shè)四元線性方程組（I）：，又已知齊次方程組（II）的通解為，（1）求方程組（I）的基礎(chǔ)解系；（2）問（I）與（II）是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解。若沒有，則說明理由。3．設(shè)矩陣，矩陣B滿足，求矩陣B。4．設(shè)二次型，其中二次型矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為。（1）求a,b的值；（2）利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣。四、證明題（每小題6分，共12分）1.二維向量在基下的坐標為，求，并證明在基，下的坐標與其在下的坐標相同。2.已知A、B均為n階矩陣，且，證明：?！毒€代參考答案》課程試卷主考教師：線性代數(shù)教學(xué)組試卷類型：（A卷）==================================================================一、填空題1．54； 2.; 3.;4.； 5．； 6.2.二、單項選擇題：1．C; 2.A; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A三、計算題：1．解：，。.。2．解：（1）求（I）的基礎(chǔ)解系（I）的系數(shù)矩陣為故（I）的基礎(chǔ)解系為：.（2）求（I）與（II）的非零公共解。方法1由（I），（II）的通解表達式相等，得。即因，故上述方程組的解為，于是（I），（II）的所有非零公共解為為任意常數(shù)。方法2把（II）的通解代入方程組（I），則有，得解，于是向量是方程組（I）、（II）的公共解，令，則上述方程組的所有非零公共解為，其中為任意非零常數(shù)。3．解：由于，所以A為可逆矩陣。又.把等式兩邊同時左乘A，右乘，得，即（2A+E）B＝9E。由于，所以存在，故。由得，故。解：（1）二次型f的矩陣為，設(shè)的特征值為，由題設(shè)，有解得。（2）由矩陣A的特征多項式得A的特征值對于，由,即，得基礎(chǔ)解系對于，由，即得基礎(chǔ)解系.由于已是正交向量組，所以只需單位化，由此得.令矩陣，則P為正交矩陣。在正交變換下，二次型f的標準形為。四、證明題1．證：（1）。（2）設(shè)在基下的坐標為，所以于是在基下的坐標與其在基下的坐標相同。2．證：由題設(shè)A2-AB=E，即A(A-B)=E于是A與A-B互為逆矩陣故有(A-B)A=E即A2-BA=E于是AB=BA所以R(AB-BA+A)=n一、選擇題（每小題5分，共20分）設(shè)為階方陣且，則（）矩陣必有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例。矩陣中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合。矩陣中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合。矩陣中至少有一行（列）的元素全為零。設(shè)是矩陣，是階可逆矩陣，矩陣的秩為，矩陣的秩為，則（）（A）。（B）。（C）。（D）的關(guān)系依而定。3．設(shè)是非齊次線性方程組的兩個不同解，則也是方程組的解是（）。（A）。（B）。（C）。（D）。4．若三階矩陣A的特征值為2,3,4,則該矩陣的伴隨矩陣A*的特征值為（）（A）12,8,4（B）12,8,6（C）8,6,3（D）6,3,2。二、填空題：（每小題5分，共20分）設(shè)，且線性方程組的基礎(chǔ)解系含有兩個線性無關(guān)的解向量，則參數(shù)等于。設(shè)1=(1，2，1)T，2=(2，3，4)T，3=(3，4，3)T是R3的一組基，R3的向量=(1,1,1)T關(guān)于這組基的坐標為。3．將寫成初等矩陣的乘積是。4.若二次型是正定的，則a的取值范圍是。三、計算證明題：（共60分）（8分）假設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式，求矩陣。其中2．（10分）已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量，試求常數(shù)的值。3.（12）求齊次線性方程組的解空間的一組標準正交基。4．（10分）設(shè)為二階方陣，有二個不同的特征值，對應(yīng)特征向量依次為，令,證明：線性無關(guān)。5．（15分）求正交變換，把二次型化為標準形。6．（5分）齊次線性方程組，其中且證明：矩陣第一行元素的代數(shù)余子式相等。選擇題（每小題5分，共20分）1.(C)矩陣中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合。2.（A）3．(D)。4．(B)12,8,6二、填空題：（每小題5分，共20分）1．……,則參數(shù)等于1.2．……,關(guān)于這組基的坐標為3．……,初等矩陣的乘積是或或……4．……,則a的取值范圍是三、計算證明題：（共60分）1.（8分）解由于知2由于422．（10分）解設(shè)是矩陣對應(yīng)于特征向量的特征向量，則A-1=兩邊同時左乘矩陣，得=A2即由此得線性方程組解得或因此當時，向量是的特征向量。83.（12）解對該方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換于是化為同解的階梯形方程組為即因，故解空間的維數(shù)為5-3=2，即基礎(chǔ)解系含2個線性無關(guān)的向量，由上式易得齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系6將正交化，取故4即為所求得一個標準正交基。24．（10分）證明因為則3設(shè)存在兩個參數(shù)，使得1即又對應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān)，故線性無關(guān)，于是2由于行列式，3故k1=k2=0因此線性無關(guān)。-15．（15分）解二次型對應(yīng)的對稱矩陣。1.A的特征方程為故的特征值為6（i）的屬于特征值為的特征向量1=(1,1,1)T,單位化1=2（ii）的屬于特征值為的特征向量2=(-1,1,0)T,單位化2=2（iii）的屬于特征值為的特征向量3=(1,1,-2)T,單位化3=2故正交變換矩陣為。令x=py,則f(x)=3y12+y22–3y3226．（5分）證明因為故|A|=0。當R(A)<n-1時，A*=0，結(jié)論顯然成立；當R(A)=n-1時,AA*=|A|E=0,A*的列向量是的解向量，而=(1,1,…,1)T是的解向量,且是基礎(chǔ)解系,故存在常數(shù)，使得(A11,A12,…,A1n)=k=k(1,1,…,1)T，故的第一列的代數(shù)余子式全相等。一．（填空題（每小題4分，共20分）1．令則，。2．若三元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，是它的三個解向量，且則該線性方程組的通解是3.設(shè)的行向量線性相關(guān)，則實數(shù)t滿足的條件是4．令是三階矩陣A的元素的代數(shù)余子式（i=1，2，3），若A的特征值為3，4，5，則___47_______.5．若是正定矩陣，則c的取值范圍為___________.選擇題（每小題3分，共15分）設(shè)A、B均為n階正交矩陣，則_____（3）_______.（1）A+B為正交矩陣（2）A-B為正交矩陣BAB為正交矩陣（4）kAB為正交矩陣(k>0為實數(shù))2．設(shè)A為m階可逆矩陣，B為n階可逆矩陣，則可逆分塊矩陣的逆矩陣是____（2）________.（1）（2）（4）3．設(shè)與是線性無關(guān)的單位向量，則與的內(nèi)積必_____（4）_______.>0（2）<0（3）>1（4）<14.設(shè)A為階可逆矩陣，分別是A的轉(zhuǎn)置矩陣，逆矩陣和伴隨矩陣，若是A的特征向量，則下列命題中的不正確的是___（1）_____.（1）是的特征向量（2）2是的特征向量（3）3是的特征向量4是的特征向量（k為常數(shù)）5.設(shè)，則____(2)____.（1）與是相似的且是合同的（2）與是相似的但不是合同的（3）與不是相似的但是合同的（4）與不是相似的也不是合同的三．（15分）試求五元齊次線性方程組的解空間V(作為的子空間)的一組規(guī)范（標準）正交基。解依題意知，故，并且原方程組的一個基礎(chǔ)解系為：接下來將正交化.令最后將單位化可得向量組即為所求。四．（12分）求矩陣的特征值和特征向量，并計算的特征值。解因為故A的特征值值為-3，3（2重）.當時，解線性方程組。由于故A的屬于特征值-3的全部特征向量為又故A的屬于特征值3的全部特征向量為根據(jù)特征值的性質(zhì)的特征值為，五．（16分）令,,問k為何值時向量不能由向量組線性表示；向量能由向量組線性表示，且表示法唯一；向量能由向量組線性表示，且表示法不唯一，并求其一般表達式.解因，如果此時，故向量不能由向量組線性表示；如果此時，向量能由向量組線性表示，且表示法唯一；如果此時，向量能由向量組線性表示，且表示法不唯一，此時方程組的通解為因此。六.(12分)設(shè)三元二次型試求一個可逆線性變換的將此二次型化為規(guī)范型.解依題意知，所給的二次型的矩陣為因，令則故是可逆的線性變換，且f的規(guī)范型為七.(10分)令A(yù)為n階正定矩陣，證明：（1）存在n階實可逆矩陣P,使得為（2）對任意n階實可逆矩陣，存在n階可逆矩陣使得與均為對角矩陣.證明（1）因A為n階正定矩陣，故A是實對稱矩陣，且其特征值全部為整數(shù)。依相關(guān)定理知，存在n階正交矩陣，使得其中是A的特征值.令則P是n階實可逆矩陣，且從而命題（1）得證。（2）因A為n階正定矩陣，故根據(jù)命題（1）知存在n階實可逆矩陣P使得而對任意n階實可逆矩陣B,是n階實對稱矩陣，故有n階正交矩陣C,使得為對角矩陣。同時因此即為所求.一．（填空題（每小題4分，共20分）1．令則_______，______________.2．若三元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，是它的三個解向量，且則該線性方程組的通解是__________.3.設(shè)的行向量線性相關(guān)，則實數(shù)t滿足的條件是_________.4．令是三階矩陣A的元素的代數(shù)余子式（i=1，2，3），若A的特征值為3，4，5，則__________.5．若是正定矩陣，則c的取值范圍為___________.選擇題（每小題3分，共15分）設(shè)A、B均為n階正交矩陣，則____________.（1）A+B為正交矩陣（2）A-B為正交矩陣BAB為正交