高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專(zhuān)題4第2講空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系(學(xué)生版+解析)

第2講空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的判定判斷空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線(xiàn)面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問(wèn)題．(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀(guān)察線(xiàn)、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)已知直線(xiàn)a，b，平面α，β，γ，下列命題正確的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，則a⊥γB．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，則a∥b∥cC．若α∩β＝a，b∥a，則b∥αD．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，則b∥a(2)(2019·全國(guó)Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)B．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)C．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)D．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)【拓展訓(xùn)練】1(1)若m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥nB．若m∥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥nC．若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m∥n(2)(多選)如圖，在四面體A－BCD中，M，N，P，Q，E分別為AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是()A．M，N，P，Q四點(diǎn)共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四邊形MNPQ為梯形【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化【熱點(diǎn)突破】考向1平行、垂直關(guān)系的證明【典例】2(2020·山西省長(zhǎng)治第二中學(xué)月考)如圖，四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE.考向2翻折問(wèn)題【典例】3(2020·莆田第一聯(lián)盟體聯(lián)考)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，以AC為折痕把△ACD折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PA＝PB.(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M是PC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(PN,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))(0<λ<1)，且三棱錐A－BMN的體積為eq\f(8,9)，求λ的值．【拓展訓(xùn)練】2(2019·全國(guó)Ⅲ)圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②.(1)證明：圖②中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖②中的四邊形ACGD的面積．專(zhuān)題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線(xiàn)是()A．直線(xiàn)AC B．直線(xiàn)ABC．直線(xiàn)CD D．直線(xiàn)BC2．設(shè)直線(xiàn)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC4．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是三棱錐P－ABC的棱AP，BC的中點(diǎn)，AB＝6，PC＝8，EF＝5，則異面直線(xiàn)AB與PC所成的角為()A．90°B．45°C．30°D．60°5.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過(guò)直線(xiàn)BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為()A.eq\r(2) B.eq\f(9,8)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(6),2)6．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為16eq\r(2)，點(diǎn)P在正方形A1B1C1D1上且A1，C到P的距離分別為2，2eq\r(3)，則直線(xiàn)CP與平面BDD1B1所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)二、多項(xiàng)選擇題7．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD.下列結(jié)論正確的是()A．BD⊥ACB．△BAC是等邊三角形C．三棱錐D－ABC是正三棱錐D．平面ADC⊥平面ABC8.如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對(duì)角線(xiàn)BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是()A．三棱錐A－D1PC的體積不變B．A1P∥平面ACD1C．DP⊥BC1D．平面PDB1⊥平面ACD1三、填空題9.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1C與平面A1DC1的位置關(guān)系是________．10．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱和六個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)共有24條，其中與體對(duì)角線(xiàn)AC1垂直的有________條．11．(2020·全國(guó)Ⅱ改編)設(shè)有下列四個(gè)命題：①兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)必在同一平面內(nèi)；②過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；③若空間兩條直線(xiàn)不相交，則這兩條直線(xiàn)平行；④若直線(xiàn)l?平面α，直線(xiàn)m⊥平面α，則m⊥l.則上述命題中所有真命題的序號(hào)是________．12.如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線(xiàn)段AB，AD，AA1的中點(diǎn)，又P，Q分別在線(xiàn)段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．設(shè)平面MEF∩平面MPQ＝l，現(xiàn)有下列結(jié)論：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直線(xiàn)l與平面BCC1B1不垂直；④當(dāng)x變化時(shí)，l不是定直線(xiàn)．其中成立的結(jié)論是________．(寫(xiě)出所有成立結(jié)論的序號(hào))四、解答題13.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC，E，F(xiàn)分別為棱BC和A1C1的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面ABB1A1；(2)求證：平面AEF⊥平面BCC1B1.14.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠D＝60°，點(diǎn)H為DC的中點(diǎn)，現(xiàn)以線(xiàn)段AH為折痕將△DAH折起使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面PHA⊥平面ABCH，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AP的中點(diǎn)．(1)求證：平面PBC∥平面EFH；(2)若三棱錐P－EFH的體積等于eq\f(\r(3),12)，求a的值．第2講空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的判定判斷空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線(xiàn)面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問(wèn)題．(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀(guān)察線(xiàn)、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)已知直線(xiàn)a，b，平面α，β，γ，下列命題正確的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，則a⊥γB．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，則a∥b∥cC．若α∩β＝a，b∥a，則b∥αD．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，則b∥a【答案】A【解析】A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，則a⊥γ，該說(shuō)法正確；B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，在三棱錐P－ABC中，令平面α，β，γ分別為平面PAB，平面PAC，平面PBC，交線(xiàn)a，b，c為PA，PB，PC，不滿(mǎn)足a∥b∥c，該說(shuō)法錯(cuò)誤；C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b?α，不滿(mǎn)足b∥α，該說(shuō)法錯(cuò)誤；D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，正方體ABCD－A1B1C1D1中，令平面α，β分別為平面ABCD，平面ADD1A1，交線(xiàn)a為AD，當(dāng)直線(xiàn)b為A1C1時(shí)，滿(mǎn)足b∥α，不滿(mǎn)足b∥a，該說(shuō)法錯(cuò)誤．(2)(2019·全國(guó)Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)B．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)C．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)D．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)【答案】B【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接ON，EO，因?yàn)椤鱁CD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過(guò)M作CD的垂線(xiàn)，垂足為P，連接BP，則MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.連接BD，BE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以N為BD的中點(diǎn)，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)．易錯(cuò)提醒(1)定理中的條件理解不全面．(2)直接將平面幾何中的結(jié)論引入到立體幾何中．【拓展訓(xùn)練】1(1)若m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥nB．若m∥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥nC．若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m∥n【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由n∥β，α∥β可得n∥α或n?α，又m⊥α，所以可得m⊥n，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由條件可得m⊥n或m∥n，或m與n既不垂直也不平行，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由條件可得m∥n或m，n相交或m，n異面，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由題意得m⊥n，故D不正確．(2)(多選)如圖，在四面體A－BCD中，M，N，P，Q，E分別為AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是()A．M，N，P，Q四點(diǎn)共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四邊形MNPQ為梯形【答案】ABC【解析】由三角形的中位線(xiàn)定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.對(duì)于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面，故A說(shuō)法正確；對(duì)于B，根據(jù)等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B說(shuō)法正確；對(duì)于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說(shuō)法正確；對(duì)于D，由三角形的中位線(xiàn)定理，知MQ∥BD，MQ＝eq\f(1,2)BD，NP∥BD，NP＝eq\f(1,2)BD，所以MQ＝NP，MQ∥NP，所以四邊形MNPQ是平行四邊形，故D說(shuō)法不正確．【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化【熱點(diǎn)突破】考向1平行、垂直關(guān)系的證明【典例】2(2020·山西省長(zhǎng)治第二中學(xué)月考)如圖，四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE.證明(1)如圖，AC∩BD＝O，連接OE，在△PAC中，O是AC的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，∴OE∥AP，又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE.∴PA∥平面BDE.(2)∵PO⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，而B(niǎo)D?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.考向2翻折問(wèn)題【典例】3(2020·莆田第一聯(lián)盟體聯(lián)考)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，以AC為折痕把△ACD折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PA＝PB.(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M是PC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(PN,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))(0<λ<1)，且三棱錐A－BMN的體積為eq\f(8,9)，求λ的值．(1)證明如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接PO，BO.因?yàn)镻C＝PA，所以PO⊥AC.在△POB中，PO＝OB＝eq\f(1,2)AC＝2，PB＝PA＝2eq\r(2)，則PB2＝PO2＋OB2，所以PO⊥OB，又AC∩OB＝O，且AC，OB?平面ABC，所以PO⊥平面ABC，又PO?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)解因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，且BO⊥AC，所以O(shè)B⊥平面PAC，所以VA－BMN＝VB－AMN＝eq\f(1,3)S△AMN·BO.又因?yàn)镺B＝2，VA－BMN＝eq\f(8,9)，所以S△AMN＝eq\f(4,3).因?yàn)閑q\o(PN,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，所以S△AMN＝(1－λ)S△APM＝eq\f(1－λ,2)S△PAC.又S△PAC＝eq\f(1,2)PA·PC＝4，所以eq\f(1－λ,2)×4＝eq\f(4,3)，得λ＝eq\f(1,3).易錯(cuò)提醒(1)證明線(xiàn)面平行時(shí)，忽略“直線(xiàn)在平面外”“直線(xiàn)在平面內(nèi)”的條件．(2)證明面面平行時(shí)，忽略“兩直線(xiàn)相交”“兩直線(xiàn)在平面內(nèi)”的條件．(3)證明線(xiàn)面垂直時(shí)，容易忽略“平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)”這一條件．【拓展訓(xùn)練】2(2019·全國(guó)Ⅲ)圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②.(1)證明：圖②中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖②中的四邊形ACGD的面積．(1)證明由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，又BE∩BC＝B，且BE，BC?平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解如圖，取CG的中點(diǎn)M，連接EM，DM.因?yàn)锳B∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，DE∩EM＝E，DE，EM?平面DEM，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝eq\r(3)，故DM＝2.所以四邊形ACGD的面積為S＝CG·DM＝2×2＝4.專(zhuān)題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線(xiàn)是()A．直線(xiàn)AC B．直線(xiàn)ABC．直線(xiàn)CD D．直線(xiàn)BC【答案】C【解析】由題意知，D∈l，l?β，∴D∈β.又D∈AB，∴D∈平面ABC，∴點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線(xiàn)上．又C∈平面ABC，C∈β，∴點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線(xiàn)上，∴平面ABC∩平面β＝直線(xiàn)CD.2．設(shè)直線(xiàn)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β【答案】D【解析】對(duì)于A，m∥α，n∥β，m⊥n，則α與β可能平行，也可能相交，所以A不正確；對(duì)于B，n⊥β，m∥n，則m⊥β，又m∥α，則α⊥β，所以B不正確；對(duì)于C，m⊥α，n∥β，m⊥n，則α與β可能平行也可能相交，所以C不正確；對(duì)于D，m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，所以D正確．故選D.3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC【答案】C【解析】在正方體中連接A1D，AD1，B1C，由正方體的性質(zhì)知AD1⊥A1D，CD⊥AD1，又∵A1D∩CD＝D，且A1D，CD?平面A1B1CD，∴AD1⊥平面A1B1CD，又∵BC1∥AD1，∴BC1⊥平面A1B1CD，∵A1E?平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.4．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是三棱錐P－ABC的棱AP，BC的中點(diǎn)，AB＝6，PC＝8，EF＝5，則異面直線(xiàn)AB與PC所成的角為()A．90°B．45°C．30°D．60°【答案】A【解析】如圖，取PB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG＝eq\f(1,2)AB，GF＝eq\f(1,2)PC，EG∥AB，GF∥PC，則∠EGF(或其補(bǔ)角)即為AB與PC所成的角，在△EFG中，EG＝eq\f(1,2)AB＝3，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)PC＝4，EF＝5，EG2＋FG2＝EF2，所以∠EGF＝90°.5.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過(guò)直線(xiàn)BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為()A.eq\r(2) B.eq\f(9,8)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(6),2)【答案】B【解析】如圖，分別取C1D1，B1C1的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，所以四邊形ANPD為平行四邊形，所以AN∥DP.又BD和DP為平面DBQP內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，AN，MN為平面AMN內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，所以平面DBQP∥平面AMN，四邊形DBQP的面積即所求．因?yàn)镻Q∥DB，所以四邊形DBQP為梯形，PQ＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)，梯形的高h(yuǎn)＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(3\r(2),4)，所以四邊形DBQP的面積為eq\f(1,2)(PQ＋BD)h＝eq\f(9,8).6．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為16eq\r(2)，點(diǎn)P在正方形A1B1C1D1上且A1，C到P的距離分別為2，2eq\r(3)，則直線(xiàn)CP與平面BDD1B1所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)【答案】A【解析】易知AB＝2eq\r(2)，連接C1P，在Rt△CC1P中，可計(jì)算C1P＝eq\r(CP2－CC\o\al(2,1))＝2，又A1P＝2，A1C1＝4，所以P是A1C1的中點(diǎn)，連接AC與BD交于點(diǎn)O，易證AC⊥平面BDD1B1，直線(xiàn)CP在平面BDD1B1內(nèi)的射影是OP，所以∠CPO就是直線(xiàn)CP與平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，tan∠CPO＝eq\f(CO,PO)＝eq\f(\r(2),2).二、多項(xiàng)選擇題7．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD.下列結(jié)論正確的是()A．BD⊥ACB．△BAC是等邊三角形C．三棱錐D－ABC是正三棱錐D．平面ADC⊥平面ABC【答案】ABC【解析】由題意易知，BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，故BD⊥AC，A中結(jié)論正確；設(shè)等腰直角三角形ABC的腰為a，則BC＝eq\r(2)a，由A知BD⊥平面ADC，CD?平面ADC，∴BD⊥CD，又BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)a，∴由勾股定理得BC＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)a＝a，∴AB＝AC＝BC，則△BAC是等邊三角形，B中結(jié)論正確；易知DA＝DB＝DC，又由B可知C中結(jié)論正確，D中結(jié)論錯(cuò)誤．8.如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對(duì)角線(xiàn)BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是()A．三棱錐A－D1PC的體積不變B．A1P∥平面ACD1C．DP⊥BC1D．平面PDB1⊥平面ACD1【答案】ABD【解析】對(duì)于A，連接AD1，CD1，AC，D1P，如圖，由題意知AD1∥BC1，AD1?平面AD1C，BC1?平面AD1C，從而B(niǎo)C1∥平面AD1C，故BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面AD1C為底面的三棱錐A－D1PC的體積不變，故A正確；對(duì)于B，連接A1B，A1C1，A1P，則A1C1∥AC，易知A1C1∥平面AD1C，由A知，BC1∥平面AD1C，又A1C1∩BC1＝C1，所以平面BA1C1∥平面ACD1，又A1P?平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故B正確；對(duì)于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，則BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，則P為中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接DB1，PD，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥平面ACD1，從而由面面垂直的判定定理知平面PDB1⊥平面ACD1，故D正確．三、填空題9.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1C與平面A1DC1的位置關(guān)系是________．【答案】平行【解析】易證A1C1，A1D都與平面AB1C平行，且A1D∩A1C1＝A1，所以平面AB1C∥平面A1DC1.10．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱和六個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)共有24條，其中與體對(duì)角線(xiàn)AC1垂直的有________條．【答案】6【解析】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥AC.∵C1C⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴C1C⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，又∵AC1?平面ACC1，∴AC1⊥BD.同理A1B，A1D，B1D1，CD1，B1C都與AC1垂直．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱中沒(méi)有與AC1垂直的棱，故與體對(duì)角線(xiàn)AC1垂直的有6條．11．(2020·全國(guó)Ⅱ改編)設(shè)有下列四個(gè)命題：①兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)必在同一平面內(nèi)；②過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；③若空間兩條直線(xiàn)不相交，則這兩條直線(xiàn)平行；④若直線(xiàn)l?平面α，直線(xiàn)m⊥平面α，則m⊥l.則上述命題中所有真命題的序號(hào)是________．【答案】①④【解析】①是真命題，兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)必定有三個(gè)交點(diǎn)，且這三個(gè)交點(diǎn)不在同一條直線(xiàn)上，由平面的基本性質(zhì)“經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面”，可知①為真命題；②是假命題，因?yàn)榭臻g三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面過(guò)這三個(gè)點(diǎn)；③是假命題，因?yàn)榭臻g兩條直線(xiàn)不相交時(shí)，它們可能平行，也可能異面；④是真命題，因?yàn)橐粭l直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么它垂直于平面內(nèi)的所有直線(xiàn)．從而①④為真命題．12.如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線(xiàn)段AB，AD，AA1的中點(diǎn)，又P，Q分別在線(xiàn)段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．設(shè)平面MEF∩平面MPQ＝l，現(xiàn)有下列結(jié)論：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直線(xiàn)l與平面BCC1B1不垂直；④當(dāng)x變化時(shí)，l不是定直線(xiàn)．其中成立的結(jié)論是________．(寫(xiě)出所有成立結(jié)論的序號(hào))【答案】①②③【解析】連接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易證PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l(xiāng)∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l(xiāng)⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，∴易知直線(xiàn)l與平面BCC1B1不垂直，故③成立；當(dāng)x變化時(shí)，l是過(guò)點(diǎn)M且與直線(xiàn)EF平行的定直線(xiàn)，故④不成立．四、解答題1