高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專(zhuān)題1第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題一第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)，它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象的異同．2．冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，主要掌握α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1五種情況．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|≥g(x)時(shí)，h(x)＝|f(x)|；當(dāng)|f(x)|<g(x)時(shí)，h(x)＝－g(x)，則h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，無(wú)最小值C．有最小值－1，無(wú)最大值D．有最大值－1，無(wú)最小值(2)已知函數(shù)f(x)＝ex＋2(x<0)與g(x)＝ln(x＋a)＋2的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) B．(－∞，e)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，e)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e，\f(1,e)))【拓展訓(xùn)練】1(1)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的大致圖象可能是()(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝1－2－x，則不等式f(x)<－eq\f(1,2)的解集是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：(1)利用零點(diǎn)存在性定理判斷法．(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(3)幾何法：對(duì)于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．考向1函數(shù)零點(diǎn)的判斷【典例】2(1)(2020·長(zhǎng)沙調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xex，x≤0，,2－|x－1|，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，則x1＋x2等于()A．2 B．2或2＋eq\f(1,e)C．2或3 D．2或3或2＋eq\f(1,e)(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x－1，則關(guān)于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在區(qū)間(－2,6)上根的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【特點(diǎn)突破】考向2求參數(shù)的值或取值范圍【典例】3(1)已知關(guān)于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x>a，,x2＋6x＋3，x≤a，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________________．【拓展訓(xùn)練】2(1)已知偶函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿(mǎn)足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－\f(1,x)，x<0，))則y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1B．3C．2D．4(2)(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2a，x<0，,x2－ax，x≥0，))若關(guān)于x的方程f(f(x))＝0有8個(gè)不同的實(shí)根，則a的值可能為()A．－6B．8C．9D．12專(zhuān)題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．(2020·全國(guó)Ⅰ)設(shè)alog34＝2，則4－a等于()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)2．函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)3．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝2－ax和g(x)＝loga(x＋2)(a>0且a≠1)的大致圖象可能為()4．(2020·廣東省揭陽(yáng)三中模擬)已知a，b，c滿(mǎn)足4a＝6，b＝，c3＝eq\f(3,5)，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a5．(2020·全國(guó)Ⅲ)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病典例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23t－53)，其中K為最大確診病典例數(shù)．當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln19≈3)()A．60B．63C．66D．696．(2020·泉州模擬)若函數(shù)y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，則a的取值范圍是()A．1<a<2 B．0<a<2，a≠1C．0<a<1 D．a(chǎn)≥27．(2020·太原質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x>0，,－2x2＋4x＋1，x≤0))(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若函數(shù)g(x)＝f(x)＋kx恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k等于()A．－2eB．eC．－eD．2e8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，x＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))|x|＋1，x≠0，))若關(guān)于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五個(gè)不同的解，則a的取值范圍是()A．(1,2) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))二、多項(xiàng)選擇題9．(2020·臨沂模擬)若10a＝4,10b＝25，則()A．a(chǎn)＋b＝2 B．b－a＝1C．a(chǎn)b>8lg22 D．b－a>lg610．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，a>0，a≠1，則()A．函數(shù)f(x)＋g(x)的定義域?yàn)?－1,1)B．函數(shù)f(x)＋g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)f(x)＋g(x)在定義域上有最小值0D．函數(shù)f(x)－g(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)11．(2020·淄博模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－1.給出下列結(jié)論，其中正確的是()A．f(2)＝0B．點(diǎn)(4,0)是函數(shù)y＝f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－6，－2]上單調(diào)遞增D．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－6,6]上有3個(gè)零點(diǎn)12．對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，x∈[0，2]，,\f(1,2)fx－2，x∈2，＋∞，))則下列結(jié)論正確的是()A．任取x1，x2∈[2，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≤1B．函數(shù)y＝f(x)在[4,5]上單調(diào)遞增C．函數(shù)y＝f(x)－ln(x－1)有3個(gè)零點(diǎn)D．若關(guān)于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝eq\f(13,2)三、填空題13．(2019·全國(guó)Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝________.14．已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若f(a)＝f(b)(a≠b)，則函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2\r(2)x＋5，x≤0，,\f(ax2＋2b,x)，x>0))的最小值為_(kāi)_______．15．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2x,x＋1)，x∈[0，1，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞，))則函數(shù)F(x)＝f(x)－eq\f(1,π)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_______．16．對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，則稱(chēng)函數(shù)f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”，現(xiàn)已知函數(shù)f(x)＝ex－2＋x－3與g(x)＝x2－ax－x＋4互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．專(zhuān)題一第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)，它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象的異同．2．冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，主要掌握α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1五種情況．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|≥g(x)時(shí)，h(x)＝|f(x)|；當(dāng)|f(x)|<g(x)時(shí)，h(x)＝－g(x)，則h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，無(wú)最小值C．有最小值－1，無(wú)最大值D．有最大值－1，無(wú)最小值【答案】C【解析】畫(huà)出y＝|f(x)|＝|2x－1|與y＝g(x)＝1－x2的圖象，它們交于A，B兩點(diǎn)．由“規(guī)定”，在A，B兩側(cè)，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之間，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．綜上可知，y＝h(x)的圖象是圖中的實(shí)線部分，因此h(x)有最小值－1，無(wú)最大值．(2)已知函數(shù)f(x)＝ex＋2(x<0)與g(x)＝ln(x＋a)＋2的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) B．(－∞，e)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，e)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e，\f(1,e)))【答案】B【解析】由題意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函數(shù)y＝e－x與y＝ln(x＋a)的圖象在(0，＋∞)上有交點(diǎn)．函數(shù)y＝ln(x＋a)可以看作由y＝lnx左右平移得到，當(dāng)a＝0時(shí)，兩函數(shù)有交點(diǎn)，當(dāng)a<0時(shí)，向右平移，兩函數(shù)總有交點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，向左平移，由圖可知，將函數(shù)y＝lnx的圖象向左平移到過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，兩函數(shù)的圖象在(0，＋∞)上不再有交點(diǎn)，把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝lna，即a＝e，∴a<e.【方法總結(jié)】(1)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí)，要注意分a>1和0<a<1兩種情況討論：當(dāng)a>1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù)．(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化．【拓展訓(xùn)練】1(1)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的大致圖象可能是()【答案】A【解析】當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，故排除D；函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且在R上連續(xù)，故排除B；f(0)＝ln2－e－1，由于ln2>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)，e－1<eq\f(1,2)，所以f(0)＝ln2－e－1>0，故排除C.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝1－2－x，則不等式f(x)<－eq\f(1,2)的解集是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)【答案】A【解析】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝1－2－x>0.又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)<－eq\f(1,2)的解集和f(x)>eq\f(1,2)的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由1－2－x>eq\f(1,2)得2－x<eq\f(1,2)＝2－1，即x>1，則f(x)<－eq\f(1,2)的解集是(－∞，－1)．故選A.【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：(1)利用零點(diǎn)存在性定理判斷法．(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(3)幾何法：對(duì)于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．考向1函數(shù)零點(diǎn)的判斷【典例】2(1)(2020·長(zhǎng)沙調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xex，x≤0，,2－|x－1|，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，則x1＋x2等于()A．2 B．2或2＋eq\f(1,e)C．2或3 D．2或3或2＋eq\f(1,e)【答案】D【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，f′(x)＝(x＋1)ex，當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，當(dāng)－1<x≤0時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(－1,0]上單調(diào)遞增，所以x≤0時(shí)，f(x)的最小值為f(－1)＝－eq\f(1,e).又當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝3－x，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝x＋1.作出f(x)的圖象，如圖所示．因?yàn)間(x)＝f(x)－m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程f(x)＝m有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于直線y＝m與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由圖可知1<m<2或m＝0或m＝－eq\f(1,e).若1<m<2，則x1＋x2＝2；若m＝0，則x1＋x2＝3；若m＝－eq\f(1,e)，則x1＋x2＝－1＋3＋eq\f(1,e)＝2＋eq\f(1,e).(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x－1，則關(guān)于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在區(qū)間(－2,6)上根的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】對(duì)于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且T＝4.又∵當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x－1，且函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(6)＝1，則函數(shù)y＝f(x)與y＝log8(x＋2)在區(qū)間(－2,6)上的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得y＝f(x)與y＝log8(x＋2)在區(qū)間(－2,6)上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即f(x)－log8(x＋2)＝0在區(qū)間(－2,6)上有3個(gè)根．【特點(diǎn)突破】考向2求參數(shù)的值或取值范圍【典例】3(1)已知關(guān)于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】[－3,0)【解析】設(shè)t＝3－|x－2|(0<t≤1)，由題意知a＝t2－4t在(0,1]上有解，又t2－4t＝(t－2)2－4(0<t≤1)，∴－3≤t2－4t<0，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,0)．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x>a，,x2＋6x＋3，x≤a，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________________．【答案】[－3，－1)∪[3，＋∞)【解析】由題意得g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3－2x，x>a，,x2＋6x＋3－2x，x≤a，))即g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x，x>a，,x2＋4x＋3，x≤a，))如圖所示，因?yàn)間(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即g(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．若當(dāng)x≤a時(shí)，g(x)＝x2＋4x＋3有兩個(gè)零點(diǎn)，則令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，則當(dāng)x>a時(shí)，g(x)＝3－x沒(méi)有零點(diǎn)，所以a≥3.若當(dāng)x≤a時(shí)，g(x)＝x2＋4x＋3有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)x>a時(shí)，g(x)＝3－x必有一個(gè)零點(diǎn)，即－3≤a<－1，綜上所述，a∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．【方法總結(jié)】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法【拓展訓(xùn)練】2(1)已知偶函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿(mǎn)足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－\f(1,x)，x<0，))則y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1B．3C．2D．4【答案】B【解析】作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖，由圖象可知兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)有3個(gè)零點(diǎn)．(2)(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2a，x<0，,x2－ax，x≥0，))若關(guān)于x的方程f(f(x))＝0有8個(gè)不同的實(shí)根，則a的值可能為()A．－6B．8C．9D．12【答案】CD【解析】當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)x＝0，故f(f(x))＝0有8個(gè)不同的實(shí)根不可能成立．當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，當(dāng)f(f(x))＝0時(shí)，f1(x)＝－2a，f2(x)＝0，f3(x)＝a.又f(f(x))＝0有8個(gè)不同的實(shí)根，故f1(x)＝－2a有三個(gè)根，f2(x)＝0有三個(gè)根，f3(x)＝a有兩個(gè)根，又x2－ax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－eq\f(a2,4)，所以－2a>－eq\f(a2,4)且a<2a，解得a>8且a>0，綜上可知，a>8.專(zhuān)題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．(2020·全國(guó)Ⅰ)設(shè)alog34＝2，則4－a等于()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)【答案】B【解析】方法一因?yàn)閍log34＝2，所以log34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝eq\f(1,4a)＝eq\f(1,9).方法二因?yàn)閍log34＝2，所以a＝eq\f(2,log34)＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝＝＝9－1＝eq\f(1,9).2．函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)【答案】B【解析】函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在其定義域上連續(xù)且單調(diào)，f(2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3>0，故函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)上．3．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝2－ax和g(x)＝loga(x＋2)(a>0且a≠1)的大致圖象可能為()【答案】A【解析】由題意知，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2－ax為減函數(shù)．若0<a<1，則函數(shù)f(x)＝2－ax的零點(diǎn)x0＝eq\f(2,a)∈(2，＋∞)，且函數(shù)g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上為減函數(shù)；若a>1，則函數(shù)f(x)＝2－ax的零點(diǎn)x0＝eq\f(2,a)∈(0,2)，且函數(shù)g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上為增函數(shù)．故A正確．4．(2020·廣東省揭陽(yáng)三中模擬)已知a，b，c滿(mǎn)足4a＝6，b＝，c3＝eq\f(3,5)，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解析】4a＝6>4，a>1，b＝＝－2，c3＝eq\f(3,5)<1,0<c<1，故a>c>b.5．(2020·全國(guó)Ⅲ)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病典例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23t－53)，其中K為最大確診病典例數(shù)．當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln19≈3)()A．60B．63C．66D．69【答案】C【解析】因?yàn)镮(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23t－53)，所以當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，＝0.95K，即＝0.95，即1＋＝eq\f(1,0.95)，即＝eq\f(1,0.95)－1，∴＝19，∴0.23(t*－53)＝ln19，∴t*＝eq\f(ln19,0.23)＋53≈eq\f(3,0.23)＋53≈66.6．(2020·泉州模擬)若函數(shù)y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，則a的取值范圍是()A．1<a<2 B．0<a<2，a≠1C．0<a<1 D．a(chǎn)≥2【答案】A【解析】令u(x)＝x2－ax＋1，函數(shù)y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min>0，∴Δ＝a2－4<0，∴1<a<2，∴a的取值范圍是1<a<2.7．(2020·太原質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x>0，,－2x2＋4x＋1，x≤0))(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若函數(shù)g(x)＝f(x)＋kx恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k等于()A．－2eB．eC．－eD．2e【答案】C【解析】g(x)＝f(x)＋kx＝0，即f(x)＝－kx，如圖所示，畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)和y＝－kx的圖象，－2x2＋4x＋1＝－kx，即2x2－(4＋k)x－1＝0，設(shè)方程的兩根為x1，x2，則Δ＝(4＋k)2＋8>0，且x1x2＝－eq\f(1,2)，故g(x)在x<0時(shí)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，y＝－kx與y＝f(x)在x>0時(shí)相切．當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，－kx0)，f(x)＝ex，f′(x)＝ex，f′(x0)＝＝－k，＝－kx0，解得x0＝1，k＝－e.8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，x＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))|x|＋1，x≠0，))若關(guān)于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五個(gè)不同的解，則a的取值范圍是()A．(1,2) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))【答案】D【解析】作出f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))|x|＋1，x≠0的圖象如圖所示．設(shè)t＝f(x)，則原方程化為2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，解得t1＝a，t2＝eq\f(3,2).由圖象可知，若關(guān)于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，只有當(dāng)直線y＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)才滿(mǎn)足條件，所以1<a<2.又方程2t2－(2a＋3)t＋3a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝(2a＋3)2－4×2×3a＝(2a－3)2>0，解得a≠eq\f(3,2)，綜上，得1<a<2，且a≠eq\f(3,2).二、多項(xiàng)選擇題9．(2020·臨沂模擬)若10a＝4,10b＝25，則()A．a(chǎn)＋b＝2 B．b－a＝1C．a(chǎn)b>8lg22 D．b－a>lg6【答案】ACD【解析】由10a＝4,10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，則a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正確；b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)>lg6且lgeq\f(25,4)<1，故B錯(cuò)誤，D正確；ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8lg22，故C正確．10．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，a>0，a≠1，則()A．函數(shù)f(x)＋g(x)的定義域?yàn)?－1,1)B．函數(shù)f(x)＋g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)f(x)＋g(x)在定義域上有最小值0D．函數(shù)f(x)－g(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)【答案】AB【解析】∵f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，a>0，a≠1，∴f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，由x＋1>0且1－x>0得－1<x<1，故A對(duì)；由f(－x)＋g(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函數(shù)f(x)＋g(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，B對(duì)；∵－1<x<1，∴f(x)＋g(x)＝loga(1－x2)，∵y＝1－x2在[0,1)上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)＋g(x)在[0,1)上單調(diào)遞增，有最小值f(0)＋g(0)＝loga(1－0)＝0；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)＋g(x)在[0,1)上單調(diào)遞減，無(wú)最小值，故C錯(cuò)；∵f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)＝loga(x＋1)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(x)＝loga(1－x)在(0,1)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)－g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝loga(x＋1)在(0,1)上單調(diào)遞增，g(x)＝loga(1－x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)－g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)．11．(2020·淄博模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－1.給出下列結(jié)論，其中正確的是()A．f(2)＝0B．點(diǎn)(4,0)是函數(shù)y＝f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－6，－2]上單調(diào)遞增D．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－6,6]上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)且對(duì)任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，令x＝－2，則f(2)＝f(－2)＋f(2)＝0，故A正確；對(duì)于B，由A知，f(2)＝0，則f(x＋4)＝f(x)，則4為f(x)的一個(gè)周期，因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)成中心對(duì)稱(chēng)，則(4,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閒(－6)＝0，f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，－6<－5，而f(－6)>f(－5)，所以f(x)在區(qū)間[－6，－2]上不是單調(diào)遞增的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閒(0)＝0，f(2)＝0，所以f(－2)＝0，又4為f(x)的一個(gè)周期，所以f(4)＝0，f(6)＝0，f(－4)＝0，f(－6)＝0，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－6,6]上有7個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．12．對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，x∈[0，2]，,\f(1,2)fx－2，x∈2，＋∞，))則下列結(jié)論正確的是()A．任取x1，x2∈[2，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≤1B．函數(shù)y＝f(x)在[4,5]上單調(diào)遞增C．函數(shù)y＝f(x)－ln(x－1)有3個(gè)零點(diǎn)D．若關(guān)于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝eq\f(13,2)【答案】ACD【解析】f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，x∈[0，2]，,\f(1,2)fx－2，x∈2，＋∞))的圖象如圖所示，當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，f(x)的最大值為eq\f(1,2)，最小值為－eq\f(1,2)，∴任取x1，x2∈[2，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≤1恒成立，故A正確；函數(shù)y＝f(x)在[4,5]上的單調(diào)性和在[0,1]上的單調(diào)性相同，則函數(shù)y＝f(x)在[4,5]上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；作出y＝ln(x－1)的圖象，結(jié)合圖象，易知y＝ln(x－1)的圖象與f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)y＝f(x)－ln(x－1)有3個(gè)零點(diǎn)，故C正確；若關(guān)于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，不妨設(shè)x1<x2<x3，則x1＋x2＝3，x3＝eq\f(7,2)，∴x1＋x2＋x3＝eq\f(13,2)，故D正確．三、填空題13．(2019·全國(guó)Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝________.【答案】－3【解析】當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝eq\b\lc\(\rc\)(\