2021-2022學年福建省廈門科技中學高二上學期期中考數(shù)學試題解析版

2021-2022學年福建省廈門科技中學高二上學期期中考數(shù)學試題一、單選題1．過點且平行于的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線平行求出斜率，再根據(jù)點斜式可得結果.【詳解】因為直線的斜率為，所以所求直線的斜率也為，由點斜式可得所求直線方程為，即.故選：D2．若橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離為，則到另一個焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義，直接求解.【詳解】設點到另一個焦點的距離為，由橢圓方程可知，，則，所以.故選：D3．已知雙曲線的一個焦點為，則雙曲線的一條漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線中a，b，c的關系先求出b，進而可求焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題意，，又，解得.所以雙曲線的一條漸近線方程為，即.故選：B.4．已知平面的一個法向量為，且，則點A到平面的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】直接由點面距離的向量公式就可求出．【詳解】∵，∴，又平面的一個法向量為，∴點A到平面的距離為故選：B5．已知圓，圓，則這兩個圓的位置關系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含【答案】C【分析】求得兩個圓的圓心和半徑，求得圓心距，由此確定正確選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為，可化為，圓的圓心為，半徑為，圓心距,，所以兩個圓的位置關系是相交.故選：C6．已知橢圓的方程為，斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，且線段的中點為，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由點差法化簡可得，再由橢圓離心率公式即可得解.【詳解】設，則，兩式作差得，又，線段的中點為，所以，所以即，所以該橢圓的離心率為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是掌握點差法的適用條件及應用.7．設為坐標原點，雙曲線的右焦點為，點是上在第一象限的點，點滿足，且線段互相垂直平分，則的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由垂直平分得，由此列出的方程組，解得，由中點坐標公式求得點坐標，代入雙曲線方程得關于的方程，整理后可求得離心率．【詳解】因為線段互相垂直平分，所以，故，而，解得，故的中點坐標為，從而，代入中，，故，即，故選：B.8．已知直線與橢圓切于點，與圓交于點，圓在點處的切線交于點，為坐標原點，則的面積的最大值為A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】設點，，利用四點，，，共圓，求得以為直徑的圓，與已知圓的方程相減得出直線的方程，直線與過點的橢圓的切線重合，兩個方程相等，可得,，再由橢圓的參數(shù)方程和向量數(shù)量積的坐標表示和向量的模，結合三角形的面積公式和三角恒等變換以及三角函數(shù)的基本性質求出所求的最大值．【詳解】設，，，由，，可得四點，，，共圓，可得以為直徑的圓，方程為，聯(lián)立圓，相減可得的方程為，又與橢圓相切，可得過的切線方程為，即為，由兩直線重合的條件可得，，由于在橢圓上，可設，，，即有，，可得，且，，即有，，當即或或或時，的面積取得最大值．故選．【點睛】本題考查橢圓和圓的方程的應用，考查直線和橢圓、直線與圓相切的條件，以及運用參數(shù)方程和三角恒等變換公式是解題的關鍵，考查運算求解能力與分析問題的能力，屬于難題．二、多選題9．已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過點，則下列結論中正確的是（

）A．的一個方向向量為 B．在軸上的截距等于C．與直線垂直 D．與直線平行【答案】ACD【分析】求出直線方程，由直線方程直接判斷D，由直線方程得一法向量，由法向量與方向向量的關系判斷A，直線方程中令，解出為橫截距，判斷B，由兩直線垂直的關系判斷C．【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線平行，D正確；直線的一個法向量是，而，因此是直線的一個方向向量，A正確；在直線方程中令得，B錯誤；由于，C正確．故選：ACD．10．若圓：與圓：的交點為，，則（

）A．公共弦所在直線方程為B．線段中垂線方程為C．公共弦的長為D．在過，兩點的所有圓中，面積最小的圓是圓【答案】AD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于，聯(lián)立兩個圓的方程，分析可得公共弦所在直線方程，可判斷，對于，有兩個圓的方程求出兩圓的圓心坐標，分析可得直線的方程，即可得線段中垂線方程，可判斷，對于，分析圓的圓心和半徑，分析可得圓心在公共弦上，即可得公共弦的長為圓的直徑，可判斷，對于，由于圓心在公共弦上，在過，兩點的所有圓中，即可判斷．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，圓與圓，聯(lián)立兩個圓的方程可得，即公共弦所在直線方程為，正確，對于，圓，其圓心為，，圓，其圓心為，直線的方程為，即線段中垂線方程，錯誤，對于，圓，即，其圓心為，，半徑，圓心，在公共弦上，則公共弦的長為，錯誤，對于，圓心，在公共弦上，在過，兩點的所有圓中，面積最小的圓是圓，正確，故選：．11．橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標原點，則以下說法正確的是（

）A．過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B．橢圓上存在點，使得C．橢圓的離心率為D．為橢圓上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為3【答案】ABD【分析】結合橢圓定義判斷A選項的正確性，結合向量數(shù)量積的坐標運算判斷B選項的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項的正確性，結合兩點間距離公式判斷D選項的正確性.【詳解】對于選項：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項正確；對于選項：設，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項正確；對于選項：因為，，所以，即，所以離心率，所以選項錯誤；對于選項：設，，則點到圓的圓心的距離為，因為，所以，所以選項正確，故選：ABD．12．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于，兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，圓的面積為，則（

）A．的取值范圍是 B．直線與軸垂直C．若，則 D．的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角判斷A；利用雙曲線定義及切線長性質判斷B；根據(jù)平面幾何知識確定后，根據(jù)直角三角形相似，求出判斷C；求出的關系，及的范圍，利用對勾函數(shù)判斷出D.【詳解】設與圓的切點分別為,如圖，易知，橫坐標相等，根據(jù)題意得由雙曲線定義知，即，可得,設，則，解得，同理可得的橫坐標也為，所以軸，故B正確；雙曲線的漸近線方程為，其傾斜角分別為，因為過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于，兩點，所以的取值范圍是，故A錯誤；連接,由切線的性質可知,所以,,即，若，解得，軸，，,,故C正確；對于D，，，,，又，，的取值范圍是，故D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)圓的切線的性質及雙曲線的定義，推導出圓與圓相切于x軸上同一點是解題的關鍵，同時利用平面幾何的性質推導出是解題的難點，屬于難題.三、填空題13．過直線與的交點，且垂直于直線的直線方程是_______．【答案】【分析】先求交點，再根據(jù)垂直關系得直線方程.【詳解】直線與的交點為,垂直于直線的直線方程可設為,所以,即.【點睛】本題考查兩直線垂直與交點，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14．已知實數(shù)滿足方程，則的取值范圍是_____【答案】【分析】設，數(shù)形結合以及點到直線的距離即可求解.【詳解】，圓心為，，設，，當直線與圓相切時，，，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了直線的斜率公式、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題.15．已知、是橢圓上的兩個焦點，是橢圓上一點，且，則的面積為_____【答案】【解析】設，，根據(jù)橢圓的定義和勾股定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式可求得結果.【詳解】由得，，所以，，所以，設，，所以，所以，因為，所以所以，所以，所以的面積為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)橢圓的定義和勾股定理求解是解題關鍵.16．設直線:與橢圓相交于兩點，與軸相交于左焦點，且，則橢圓的離心率_________【答案】【解析】設，聯(lián)立方程組可得、，由可得，進而可得，再由橢圓的焦點坐標可得，即可得解.【詳解】設，將直線:代入橢圓方程，消去x化簡得，所以，又，所以，所以，，所以，化簡得，又直線:過橢圓的左焦點，所以，所以，所以或（舍去），所以，橢圓離心率.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是轉化為，再結合韋達定理即可得解.四、解答題17．已知的三個頂點分別為，求：(1)邊中線所在的直線方程(2)的外接圓的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）求出中點的坐標，由兩點得直線斜率，由點斜式得直線方程并化簡；（2）設出圓的一般方程，代入三點坐標求解．【詳解】(1)設的中點為，則所在直線的斜率為，則邊所在直線的方程為，即．(2)設的外接圓的方程為，由，解之可得故的外接圓的方程為．18．在平面直角坐標系中，已知點，，設直線，的斜率分別為，，且，記點的軌跡為．（1）求的方程；（2）若直線：與相交于，兩點，求．【答案】（1），（）；（2）.【分析】（1）先設點，再建立方程，最后得到的方程：，（）；（2）先聯(lián)立方程得到，再得到，最后求即可.【詳解】解：（1）設點，則，，因為，則，整理得：，斜率存在，所以，所以的方程：，（）（2）設，，由，消去得到，則，所以，則，所以.【點睛】本題考查求點的軌跡方程、利用弦長公式求弦長，是中檔題.19．已知雙曲線：：(，)與有相同的漸近線，且經(jīng)過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點?，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)共漸近線設雙曲線的方程，然后代入點計算；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關于的一元二次方程，寫出韋達定理，然后表示出的中點坐標，代入圓的方程計算.【詳解】（1）由題意，設雙曲線的方程為，又因為雙曲線過點，，所以雙曲線的方程為：（2）由得設，則，，所以則中點坐標為，代入圓得，所以.20．如圖，在四棱錐中，，，點是棱上一點，且滿足．(1)求二面角的正弦值；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角；（2）設（），求出，用向量法求線面角，從而得參數(shù)值，得出結論．【詳解】(1)如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面法向量，則，即，令，，即，又平面的法向量，，故二面角的正弦值為．(2)設（），，點，∴，由（1）得平面法向量，且直線與平面所成角的正弦值為∴，解得，即，又，故．21．在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過兩點和，直線的方程為.(1)求圓C的方程；(2)過點作圓C切線，求切線方程；(3)當時，Q為直線上的點，若圓C上存在唯一的點P滿足，求點Q的坐標.【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）設出圓的標準方程，將兩點代入即可求解；（2）直線斜率不存在時滿足，斜率存在時，設出直線點斜式，利用點到直線距離公式求解；（3）設，，利用化簡得，故圓與圓C相切，結合圓心距和半徑關系即可求解.【詳解】(1)設圓的方程為，將M，N坐標代入，得：，解得，所以圓的方程為；(2)當切線斜率不存在時，直線與圓相切；當切線斜率存在時，設直線方程為，即，由圓心到直線的距離，解得，故切線方程為，綜上，切線方程為或；(3)設，，則，化簡得，此圓與圓C相切，所以有，解得，所以或.22．已知橢圓上一點與它的左、右兩個焦點，的距離之和為，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點A為橢圓上一動點（非長軸端點），的延長線與橢圓交于B點，的延長線與橢圓交于C點，求面積的最大值，并求此時直線的方程．【答案】（1）；（2）最大值為．直線的方程為.【解析】（1）易得雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為，再根據(jù)求解.（2）設直線的方程為，聯(lián)立，利用弦長公式求得點到直線的距離，然后由求解.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為c因為雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為，即．由題意，得．解得于是，．故橢圓的方程為．（2）設直線的方程為，，．由消去并整