2021-2022學(xué)年福建省廈門科技中學(xué)高二上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年福建省廈門科技中學(xué)高二上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．過點(diǎn)且平行于的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線平行求出斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以所求直線的斜率也為，由點(diǎn)斜式可得所求直線方程為，即.故選：D2．若橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義，直接求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，由橢圓方程可知，，則，所以.故選：D3．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線中a，b，c的關(guān)系先求出b，進(jìn)而可求焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題意，，又，解得.所以雙曲線的一條漸近線方程為，即.故選：B.4．已知平面的一個(gè)法向量為，且，則點(diǎn)A到平面的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出．【詳解】∵，∴，又平面的一個(gè)法向量為，∴點(diǎn)A到平面的距離為故選：B5．已知圓，圓，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含【答案】C【分析】求得兩個(gè)圓的圓心和半徑，求得圓心距，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑為，可化為，圓的圓心為，半徑為，圓心距,，所以兩個(gè)圓的位置關(guān)系是相交.故選：C6．已知橢圓的方程為，斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由點(diǎn)差法化簡可得，再由橢圓離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)，則，兩式作差得，又，線段的中點(diǎn)為，所以，所以即，所以該橢圓的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)差法的適用條件及應(yīng)用.7．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上在第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且線段互相垂直平分，則的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由垂直平分得，由此列出的方程組，解得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程得關(guān)于的方程，整理后可求得離心率．【詳解】因?yàn)榫€段互相垂直平分，所以，故，而，解得，故的中點(diǎn)坐標(biāo)為，從而，代入中，，故，即，故選：B.8．已知直線與橢圓切于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最大值為A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，，利用四點(diǎn)，，，共圓，求得以為直徑的圓，與已知圓的方程相減得出直線的方程，直線與過點(diǎn)的橢圓的切線重合，兩個(gè)方程相等，可得,，再由橢圓的參數(shù)方程和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模，結(jié)合三角形的面積公式和三角恒等變換以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)求出所求的最大值．【詳解】設(shè)，，，由，，可得四點(diǎn)，，，共圓，可得以為直徑的圓，方程為，聯(lián)立圓，相減可得的方程為，又與橢圓相切，可得過的切線方程為，即為，由兩直線重合的條件可得，，由于在橢圓上，可設(shè)，，，即有，，可得，且，，即有，，當(dāng)即或或或時(shí)，的面積取得最大值．故選．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和圓的方程的應(yīng)用，考查直線和橢圓、直線與圓相切的條件，以及運(yùn)用參數(shù)方程和三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力與分析問題的能力，屬于難題．二、多選題9．已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的一個(gè)方向向量為 B．在軸上的截距等于C．與直線垂直 D．與直線平行【答案】ACD【分析】求出直線方程，由直線方程直接判斷D，由直線方程得一法向量，由法向量與方向向量的關(guān)系判斷A，直線方程中令，解出為橫截距，判斷B，由兩直線垂直的關(guān)系判斷C．【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線平行，D正確；直線的一個(gè)法向量是，而，因此是直線的一個(gè)方向向量，A正確；在直線方程中令得，B錯(cuò)誤；由于，C正確．故選：ACD．10．若圓：與圓：的交點(diǎn)為，，則（

）A．公共弦所在直線方程為B．線段中垂線方程為C．公共弦的長為D．在過，兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓【答案】AD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，分析可得公共弦所在直線方程，可判斷，對于，有兩個(gè)圓的方程求出兩圓的圓心坐標(biāo)，分析可得直線的方程，即可得線段中垂線方程，可判斷，對于，分析圓的圓心和半徑，分析可得圓心在公共弦上，即可得公共弦的長為圓的直徑，可判斷，對于，由于圓心在公共弦上，在過，兩點(diǎn)的所有圓中，即可判斷．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于，圓與圓，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得，即公共弦所在直線方程為，正確，對于，圓，其圓心為，，圓，其圓心為，直線的方程為，即線段中垂線方程，錯(cuò)誤，對于，圓，即，其圓心為，，半徑，圓心，在公共弦上，則公共弦的長為，錯(cuò)誤，對于，圓心，在公共弦上，在過，兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓，正確，故選：．11．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（

）A．過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為8B．橢圓上存在點(diǎn)，使得C．橢圓的離心率為D．為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為3【答案】ABD【分析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項(xiàng)的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)正確，故選：ABD．12．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，圓的面積為，則（

）A．的取值范圍是 B．直線與軸垂直C．若，則 D．的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角判斷A；利用雙曲線定義及切線長性質(zhì)判斷B；根據(jù)平面幾何知識(shí)確定后，根據(jù)直角三角形相似，求出判斷C；求出的關(guān)系，及的范圍，利用對勾函數(shù)判斷出D.【詳解】設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為,如圖，易知，橫坐標(biāo)相等，根據(jù)題意得由雙曲線定義知，即，可得,設(shè)，則，解得，同理可得的橫坐標(biāo)也為，所以軸，故B正確；雙曲線的漸近線方程為，其傾斜角分別為，因?yàn)檫^且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，所以的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；連接,由切線的性質(zhì)可知,所以,,即，若，解得，軸，，,,故C正確；對于D，，，,，又，，的取值范圍是，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圓的切線的性質(zhì)及雙曲線的定義，推導(dǎo)出圓與圓相切于x軸上同一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)利用平面幾何的性質(zhì)推導(dǎo)出是解題的難點(diǎn)，屬于難題.三、填空題13．過直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程是_______．【答案】【分析】先求交點(diǎn)，再根據(jù)垂直關(guān)系得直線方程.【詳解】直線與的交點(diǎn)為,垂直于直線的直線方程可設(shè)為,所以,即.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直與交點(diǎn)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的取值范圍是_____【答案】【分析】設(shè)，數(shù)形結(jié)合以及點(diǎn)到直線的距離即可求解.【詳解】，圓心為，，設(shè)，，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線的斜率公式、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15．已知、是橢圓上的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積為_____【答案】【解析】設(shè)，，根據(jù)橢圓的定義和勾股定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由得，，所以，，所以，設(shè)，，所以，所以，因?yàn)椋运?，所以，所以的面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)橢圓的定義和勾股定理求解是解題關(guān)鍵.16．設(shè)直線:與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸相交于左焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率_________【答案】【解析】設(shè)，聯(lián)立方程組可得、，由可得，進(jìn)而可得，再由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，即可得解.【詳解】設(shè)，將直線:代入橢圓方程，消去x化簡得，所以，又，所以，所以，，所以，化簡得，又直線:過橢圓的左焦點(diǎn)，所以，所以，所以或（舍去），所以，橢圓離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合韋達(dá)定理即可得解.四、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，求：(1)邊中線所在的直線方程(2)的外接圓的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)得直線斜率，由點(diǎn)斜式得直線方程并化簡；（2）設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)求解．【詳解】(1)設(shè)的中點(diǎn)為，則所在直線的斜率為，則邊所在直線的方程為，即．(2)設(shè)的外接圓的方程為，由，解之可得故的外接圓的方程為．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，且，記點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）若直線：與相交于，兩點(diǎn)，求．【答案】（1），（）；（2）.【分析】（1）先設(shè)點(diǎn)，再建立方程，最后得到的方程：，（）；（2）先聯(lián)立方程得到，再得到，最后求即可.【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)，則，，因?yàn)椋瑒t，整理得：，斜率存在，所以，所以的方程：，（）（2）設(shè)，，由，消去得到，則，所以，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)的軌跡方程、利用弦長公式求弦長，是中檔題.19．已知雙曲線：：(，)與有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)?，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)共漸近線設(shè)雙曲線的方程，然后代入點(diǎn)計(jì)算；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關(guān)于的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，然后表示出的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程計(jì)算.【詳解】（1）由題意，設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，，所以雙曲線的方程為：（2）由得設(shè)，則，，所以則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓得，所以.20．如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且滿足．(1)求二面角的正弦值；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角；（2）設(shè)（），求出，用向量法求線面角，從而得參數(shù)值，得出結(jié)論．【詳解】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面法向量，則，即，令，，即，又平面的法向量，，故二面角的正弦值為．(2)設(shè)（），，點(diǎn)，∴，由（1）得平面法向量，且直線與平面所成角的正弦值為∴，解得，即，又，故．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過兩點(diǎn)和，直線的方程為.(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)作圓C切線，求切線方程；(3)當(dāng)時(shí)，Q為直線上的點(diǎn)，若圓C上存在唯一的點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將兩點(diǎn)代入即可求解；（2）直線斜率不存在時(shí)滿足，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線點(diǎn)斜式，利用點(diǎn)到直線距離公式求解；（3）設(shè)，，利用化簡得，故圓與圓C相切，結(jié)合圓心距和半徑關(guān)系即可求解.【詳解】(1)設(shè)圓的方程為，將M，N坐標(biāo)代入，得：，解得，所以圓的方程為；(2)當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，由圓心到直線的距離，解得，故切線方程為，綜上，切線方程為或；(3)設(shè)，，則，化簡得，此圓與圓C相切，所以有，解得，所以或.22．已知橢圓上一點(diǎn)與它的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長軸端點(diǎn)），的延長線與橢圓交于B點(diǎn)，的延長線與橢圓交于C點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程．【答案】（1）；（2）最大值為．直線的方程為.【解析】（1）易得雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為，再根據(jù)求解.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，利用弦長公式求得點(diǎn)到直線的距離，然后由求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為，即．由題意，得．解得于是，．故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，．由消去并整