河南省洛陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

河南省洛陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將集合化簡(jiǎn)，陰影部分表示，然后求解即可.【詳解】因?yàn)?，得，，圖中陰影部分表示,所以得故選：C2.已知，則“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】充分性推斷：利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合和差角正弦公式求；必要性推斷：應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)并推斷奇偶性，最終由充分、必要性定義確定題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，則恒成立，即，；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；綜上，“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知，，若p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是的必要條件，列不等式組，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】由是的必要條件，可得，解得故選：D.4.已知集合則角α的終邊落在陰影處(包括邊界)的區(qū)域是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】令，由此推斷出正確選項(xiàng).【詳解】令，則，故B選項(xiàng)符合.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查用圖像表示角的范圍，考查終邊相同的角的概念，屬于基礎(chǔ)題.5.在流行病學(xué)中，每名感染者平均可傳染的人數(shù)叫做基本傳染數(shù)，當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染1個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染者人數(shù)急劇增長(zhǎng)．當(dāng)基本傳染數(shù)低于1時(shí)，疫情才可能漸漸消散．而廣泛接種疫苗是降低基本傳染數(shù)的有效途徑，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，1個(gè)感染者平均會(huì)接觸到N個(gè)新人（），這N人中有V個(gè)人接種過(guò)疫苗（為接種率），那么1個(gè)感染者可傳染的平均新感染人數(shù)．已知某病毒在某地的基本傳染數(shù)，為了使1個(gè)感染者可傳染的平均新感染人數(shù)不超過(guò)1，則該地疫苗的接種率至少為（）A.90% B.80% C.70% D.60%【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由題意，解得，故選：D．6.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿意不等式，且，，，則M、N、P的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)特征易知，，畫出的圖象，由的相對(duì)位置可比較大小，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)椋?，，畫出的圖象，如圖，則，由圖可知，故.故選：A7.若，記，則的大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，即，綜上，，故選：C8.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)且時(shí).已知，若對(duì)恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性分析條件可得在上單調(diào)遞增，所以，進(jìn)而得，結(jié)合角的范圍解不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)且時(shí)，依據(jù)的隨意性，即的隨意性可推斷在上單調(diào)遞增，所以，若對(duì)恒成立，則，整理得，所以，由，可得，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題解題的關(guān)鍵是利用，結(jié)合變量的隨意性，可推斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列既是存在量詞命題又是真命題的是（）A.，B.至少有個(gè)，使能同時(shí)被和整除C.，D.每個(gè)平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形【答案】AB【解析】【分析】AB選項(xiàng)，可舉出實(shí)例；C選項(xiàng)，依據(jù)全部實(shí)數(shù)的平方非負(fù)，得到C為假命題；D選項(xiàng)為全稱量詞命題，不合要求.【詳解】中，當(dāng)時(shí)，滿意，所以A是真命題B中，能同時(shí)被和整除，所以B是真命題C中，因?yàn)槿繉?shí)數(shù)的平方非負(fù)，即，所以C是假命題D是全稱量詞命題，所以不符合題意.故選：AB．10.水車在古代是進(jìn)行澆灌的工具，是人類的一項(xiàng)古老的獨(dú)創(chuàng)，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖，一個(gè)半徑為6米的水車逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，水輪圓心距離水面3米，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，假如當(dāng)水輪上一點(diǎn)P從水中出現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn))起先計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)t秒后，水車旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面3米以上的持續(xù)時(shí)間為30秒B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P距水面的最大距離為6米C.當(dāng)秒時(shí)，D.若其次次到達(dá)最高點(diǎn)大約須要時(shí)間為80秒【答案】ACD【解析】【分析】由題意可知，再設(shè)角是以為始邊，為終邊的角，可求得高度與時(shí)間的關(guān)系，進(jìn)而依據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)進(jìn)行推斷.【詳解】由題意可知，設(shè)角是以為始邊，為終邊的角，由條件得高度，當(dāng)時(shí)，，代入得，故，令，解得，故在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面3米以上的持續(xù)時(shí)間為30秒，即A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，點(diǎn)P距水面的最大距離為米，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，水車旋轉(zhuǎn)，即，故，C選項(xiàng)正確；，當(dāng)，即，故其次次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD11.已知正數(shù)a，b滿意，則下列說(shuō)法肯定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式推斷AD，取推斷BC.詳解】由題意可知，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故A正確；取，則，故BC錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故D正確；故選：AD12.已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿意，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】令則，可得：，，進(jìn)而結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算與換底公式推斷各選項(xiàng)即可得答案.；【詳解】解：令，則，可得：，，，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，故，所以，即；，即，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C：，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，即，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，，因?yàn)椋驗(yàn)樗缘忍?hào)不成立，所以，即，所以，依據(jù)“或”命題的性質(zhì)可知選項(xiàng)D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則的值為_(kāi)_______【答案】－3【解析】【分析】由分段函數(shù)的定義計(jì)算，留意自變量的取值范圍．【詳解】，，∴．故答案為：．14.如圖1是某小區(qū)的圓形公園，它外圍有一圓形跑道，并有4個(gè)出口A、B、C、D（視為點(diǎn)），并四等分圓?。ㄈ鐖D2）.小明從A點(diǎn)動(dòng)身，在圓形跑道上按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周跑動(dòng)，假設(shè)他每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)圓心角為弧度（），3分鐘第一次到達(dá)劣弧CD之間（不包括C、D點(diǎn)），15分鐘時(shí)回到動(dòng)身點(diǎn)A，則的值為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】首先求出的大致范圍，再依據(jù)15分鐘時(shí)回到動(dòng)身點(diǎn)A，得到，即可得解；【詳解】解：依題意A點(diǎn)3分鐘轉(zhuǎn)過(guò)，且，所以，又15分鐘時(shí)回到動(dòng)身點(diǎn)A，所以，所以，因?yàn)?，所以故答案?5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．【答案】##【解析】【詳解】，設(shè)，對(duì)稱軸，，遞減，在上遞增，依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性推斷：函數(shù)的調(diào)減區(qū)間為，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的推斷可以綜合考查兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，因此也是命題的熱點(diǎn)，推斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性要留意把握兩點(diǎn)：一是要同時(shí)考慮兩個(gè)函數(shù)的的定義域；二是同時(shí)考慮兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，正確理解“同增異減”的含義（增增增，減減增，增減減，減增減）.16.定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的全部零點(diǎn)之和為_(kāi)__________________．【答案】【解析】【詳解】由圖知，共五個(gè)零點(diǎn)，從左到右交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，滿意，因此全部零點(diǎn)之和為四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）是的必要條件，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出集合、，利用交集的定義可求得集合；（2）分析可知，對(duì)、的大小關(guān)系進(jìn)行分類探討，依據(jù)檢驗(yàn)或得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：由可得，解得，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.【小問(wèn)2詳解】解：由題意可知，且，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，不滿意，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，由，得，解得.綜上，．18.計(jì)算下列各式：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）、利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）、利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】19.命題：“，”，命題：“，”.（1）寫出命題的否定命題，并求當(dāng)命題為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若和中有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)全稱命題的否定形式寫出，當(dāng)命題為真時(shí)，可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）可得為真命題時(shí)的取值范圍，再求解為真命題時(shí)的取值范圍，分真和假，假和真兩種狀況探討，求解即可【小問(wèn)1詳解】由題意，命題：“，”，依據(jù)全稱命題的否定形式，：“，”當(dāng)命題為真時(shí)，，當(dāng)二次函數(shù)為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即故實(shí)數(shù)的取值范圍是【小問(wèn)2詳解】由（1）若為真命題，若為假命題若命題：“，”為真命題則，解得故若為假命題由題意，和中有且只有一個(gè)是真命題，當(dāng)真和假時(shí)，且，故；當(dāng)假和真時(shí)，且，故；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是或20.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)隨意a，R，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立.（1）證明函數(shù)是奇函數(shù)；（2）證明函數(shù)是R上的減函數(shù)；（3）若，求x的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）或【解析】【分析】（1）利用特別值求出，從而證明即可；（2）證明出，再利用當(dāng)時(shí)，恒成馬上可得解；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性進(jìn)行證明即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函數(shù)的定義域?yàn)镽，故函數(shù)是奇函數(shù)．【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，且，，則，而，又當(dāng)時(shí)，恒成立，即，，函數(shù)是R上的減函數(shù)；【小問(wèn)3詳解】(方法一）由，得，又是奇函數(shù)，即，又在R上是減函數(shù)，解得或故x的取值范圍是或.方法二由且，得，又在R上減函數(shù)，，解得或故x的取值范圍是

或.21.如圖，一個(gè)半圓和長(zhǎng)方形組成的木塊，長(zhǎng)方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此木塊鋸出一個(gè)等腰三角形，其底邊，點(diǎn)在半圓上.（1）設(shè)，求三角形木塊面積；（2）設(shè)，試用表示三角形木塊的面積，并求的最大值.【答案】（1）；（2）,的面積最大值為【解析】【分析】（1）構(gòu)造垂線，將、的長(zhǎng)度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，的長(zhǎng)度即為的值，的長(zhǎng)度即為的值，從而求解出；（2）依據(jù)第（1）問(wèn)的轉(zhuǎn)化方法，同理可以得出的表達(dá)式，然后將看成整體進(jìn)行換元，進(jìn)而將面積函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟識(shí)的二次函數(shù)，從而求解出最值.【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，所以,，所以；（2）因?yàn)榘雸A和長(zhǎng)方形組成的鐵皮具有對(duì)稱性，所以可只分析時(shí)的狀況，，，所以，令，，故，，，，，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的值域問(wèn)題，三角函數(shù)中與的聯(lián)系等等，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用實(shí)力.22.已知點(diǎn)，是函數(shù)圖象上的隨意兩點(diǎn)，且角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若時(shí)，的最小值為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的對(duì)稱中心及在上的減區(qū)間；（3）若方程在內(nèi)有兩個(gè)不相同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）對(duì)稱中心；減區(qū)間：，；（3）或