2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1導(dǎo)數(shù)6.1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義課時素養(yǎng)檢測含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE十四導(dǎo)數(shù)及其幾何意義(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.某物體的運(yùn)動路程s(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t3-2表示,則此物體在t=1s時的瞬時速度(單位:m/s)為 ()A.1 B.3 C.-1 【解析】選B.Δs=(1+Δt)3-2-1=1+3Δt+3(Δt)2+(Δt)3-2-1=3Δt+3(Δt)2+(Δt)3,QUOTE=3+3Δt+(Δt)2,QUOTE=3.所以t=1s時的瞬時速度為3m/s.2.若y=f(x)=x3,f′(x0)=3,則x0的值是 ()A.1 B.-1 C.±1 D.3QUOTE【解析】選C.因?yàn)棣=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-QUOTE=3QUOTEΔx+3x0(Δx)2+(Δx)3,所以QUOTE=3QUOTE+3x0Δx+(Δx)2,所以f′(x0)=QUOTE[3QUOTE+3x0Δx+(Δx)2]=3QUOTE,由f′(x0)=3,得3QUOTE=3,所以x0=±1.3.設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a的值為 ()A.1 B.QUOTE C.-QUOTE D.-1【解析】選A.因?yàn)閥′=QUOTE=QUOTE(2a+aΔx)=2a.所以2a=2,a=1.4.已知函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,則函數(shù)y=f′(x)的圖像可能是 ()【解析】選B.由y=f(x)的圖像及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,當(dāng)x<0時,f′(x)>0,當(dāng)x=0時,f′(x)=0,當(dāng)x>0時,f′(x)<0,故B符合.二、填空題(每小題5分,共10分)5.曲線y=f(x)=x2-3x的一條切線的斜率為1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),f′(x0)=QUOTE=QUOTE=2x0-3=1,故x0=2,y0=QUOTE-3x0=4-6=-2,故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).答案:(2,-2)6.若拋物線y=x2-x+c上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是-2,拋物線在點(diǎn)P的切線恰好過坐標(biāo)原點(diǎn),則c的值為________.

【解析】設(shè)在P點(diǎn)處切線斜率為k,k=y′|x=-2=QUOTE=-5,所以切線方程為y=-5x,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y=-5×(-2)=10,將P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共20分)7.若拋物線y=4x2上的點(diǎn)P到直線y=4x-5的距離最短,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】由點(diǎn)P到直線y=4x-5的距離最短知,點(diǎn)P處的切線方程與直線y=4x-5平行,設(shè)P(x0,y0),則y′=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE(8x+4Δx)=8x,由QUOTE得QUOTE故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為QUOTE.8.已知直線l1為曲線y=x2+x-2在(1,0)處的切線,l2為該曲線的另一條切線,且l1⊥l2.(1)求直線l2的方程.(2)求由直線l1,l2和x軸圍成的三角形的面積.【解析】(1)y′==QUOTE=QUOTE(2x+Δx+1)=2x+1.y′|x=1=2×1+1=3,所以直線l1的方程為y=3(x-1),即y=3x-3.設(shè)直線l2過曲線y=x2+x-2上的點(diǎn)B(b,b2+b-2),則l2的方程為y=(2b+1)x-b2-2.因?yàn)閘1⊥l2,則有2b+1=-QUOTE,b=-QUOTE.所以直線l2的方程為y=-QUOTEx-QUOTE.(2)解方程組QUOTE得QUOTE所以直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE.l1,l2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),QUOTE.所以所求三角形的面積S=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.函數(shù)f(x)=x-x3-1的圖像在點(diǎn)(1,-1)處的切線與直線4x+ay+3=0垂直,則a= ()A.8 B.-8 C.2 【解析】選B.由導(dǎo)函數(shù)的定義可得函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1-3x2,所以f′(1)=-2,所以在點(diǎn)(1,-1)處的切線的斜率為-2,所以直線4x+ay+3=0的斜率為QUOTE,所以-QUOTE=QUOTE,所以a=-8.2.設(shè)P0為曲線f(x)=x3+x-2上的點(diǎn),且曲線在P0處的切線平行于直線y=4x-1,則P0點(diǎn)的坐標(biāo)為 ()A.(1,0) B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4)【解析】選C.f′(x)==QUOTE=3x2+1.由于曲線f(x)=x3+x-2在P0處的切線平行于直線y=4x-1,所以f(x)在P0處的導(dǎo)數(shù)值等于4.設(shè)P0(x0,y0),則有f′(x0)=3QUOTE+1=4,解得x0=±1,P0的坐標(biāo)為(1,0)或(-1,-4).3.已知函數(shù)f(x)=x2+2bx的圖像在點(diǎn)A(0,f(0))處的切線l與直線x+y+3=0垂直,若數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為Sn,則S2017的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解題指南】由條件利用函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得b的值,依據(jù)f(n)的解析式,用裂項(xiàng)法求得數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和Sn的值,可得S2017的值.【解析】選B.由題意可得A(0,0),函數(shù)f(x)=x2+2bx的圖像在點(diǎn)A(0,0)處的切線l的斜率k=QUOTE=2b,再依據(jù)l與直線x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所以b=QUOTE.因?yàn)閒(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以QUOTE=QUOTE-QUOTE,故數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為Sn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1-QUOTE,所以S2017=1-QUOTE=QUOTE.4.(多選題)下面說法錯誤的是 ()A.若f′(x0)不存在,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處沒有切線B.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處有切線,則f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率不存在D.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處沒有切線,則f′(x0)有可能存在【解析】選ABD.f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率,當(dāng)切線垂直于x軸時,切線的斜率不存在,但存在切線.二、填空題(每小題5分,共20分)5.函數(shù)f(x)=QUOTE在x=1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)=________.

【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義知,函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)=QUOTE,而QUOTE=QUOTE=QUOTE,又QUOTE=QUOTE,所以f′(1)=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′(x),f′(0)>0,對于隨意實(shí)數(shù)x,有f(x)≥0,則QUOTE的最小值為________.

【解題指南】由導(dǎo)數(shù)的定義,先求出f′(0)的值,從而求出QUOTE的表達(dá)式,再利用“對于隨意實(shí)數(shù)x,有f(x)≥0”這一條件,借助不等式的學(xué)問即可求解.【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義,得f′(0)=QUOTE=QUOTE=QUOTE[a·(Δx)+b]=b.又因?yàn)閷τ陔S意實(shí)數(shù)x,有f(x)≥0,則QUOTE所以ac≥QUOTE,所以c>0.所以QUOTE=QUOTE≥QUOTE≥QUOTE=2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=QUOTEb時,取等號).答案:26.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,則y=f(x)在A,B兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(a)與f′(b)的大小關(guān)系為:f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”).

【解析】f′(a)與f′(b)分別表示函數(shù)圖像在點(diǎn)A,B處的切線斜率,故f′(a)>f′(b).答案:>7.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)P處的切線方程是y=-2x+9,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4,則f(4)+f′(4)=________.

【解析】由題意,f′(4)=-2,f(4)=-2×4+9=1.因此,f(4)+f′(4)=-2+1=-1.答案:-18.已知曲線y=f(x)=QUOTE上兩點(diǎn)P(2,-1),QQUOTE.則曲線在點(diǎn)P,Q處的切線的斜率分別為________;

曲線在P,Q處的切線方程分別為________.

【解析】將點(diǎn)P(2,-1)代入y=QUOTE,得t=1,所以y=QUOTE.y′=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(1)曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為y′|x=2=QUOTE=1;曲線在點(diǎn)Q處的切線斜率為y′|x=-1=QUOTE.(2)曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y-(-1)=x-2,即:x-y-3=0,曲線在點(diǎn)Q處的切線方程為y-QUOTE=QUOTE[x-(-1)],即:x-4y+3=0.答案:1,QUOTEx-y-3=0,x-4y+3=0三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知曲線y=x2+1,是否存在實(shí)數(shù)a,使得經(jīng)過點(diǎn)(1,a)能夠作出該曲線的兩條切線?若存在,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.【解析】由QUOTE=QUOTE=2x+Δx,得y′=QUOTE=QUOTE(2x+Δx)=2x.設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則切線斜率為k=y′QUOTE=2x0,由點(diǎn)斜式得所求切線方程為y-y0=2x0(x-x0).又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(1,a),且y0=QUOTE+1,所以a-(QUOTE+1)=2x0(1-x0),即QUOTE-2x0+a-1=0.因?yàn)榍芯€有兩條,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在實(shí)數(shù)a,使得經(jīng)過點(diǎn)(1,a)能夠作出該曲線的兩條切線,且a的取值范圍是(-∞,2).10.(1)求曲線f(x)=QUOTE在點(diǎn)(-2,-1)處的切線方程;(2)求經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且與曲線y=QUOTE相切的直線方程.【解析】(1)因?yàn)榍€在點(diǎn)(-2,-1)處的切線的斜率就等于函數(shù)f(x)=QUOTE在點(diǎn)(-2,-1)處的導(dǎo)數(shù)值.而f′(-2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,故曲線在點(diǎn)(-2,-1)處的切線方程為y+1=-QUOTE(x+2),整理得x+2y+4=0.(2)可以驗(yàn)證點(diǎn)(2,0)不在曲線上,設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0).由y′QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,故所求切線方程為y-y0=-QUOTE(x-x0).由點(diǎn)(2,0)在所求的直線上,得QUOTEy0=2-x0,再由P(x0,y0)在曲線y=QUOTE上,得x0y0=1,聯(lián)立可解得x0=1,y0=1,所以直線方程為x+y-2=0.11.已知直線l:y=4x+