2024-2025版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.1等差數(shù)列素養(yǎng)評價檢測含解析新人教A版必修5

PAGE等差數(shù)列(20分鐘35分)1.一個三角形的三個內(nèi)角A,B,C的度數(shù)成等差數(shù)列,則B的度數(shù)為()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.因?yàn)锳,B,C的度數(shù)成等差數(shù)列,所以2B=A+C,又因?yàn)锳+B+C=180°,所以3B=180°,所以B=60°.2.已知等差數(shù)列{an}中各項(xiàng)都不相等,a1=2,且a4+a8=QUOTE,則公差d=()A.0 B.QUOTE C.2 D.0或QUOTE【解析】選B.依據(jù)題意知d≠0,a4+a8=QUOTE?a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,則4+10d=(2+2d)2,解得d=QUOTE或d=0(舍去).【補(bǔ)償訓(xùn)練】在等差數(shù)列{an}中,已知a1=QUOTE,a4+a5=QUOTE,ak=33,則k=()A.50 B.49 C.48 D.47【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍1=QUOTE,a4+a5=QUOTE,所以2a1+7d=QUOTE,解得d=QUOTE,則an=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTE,則ak=QUOTE=33,解得k=50.3.下列說法中正確的個數(shù)是()(1)若a,b,c成等差數(shù)列,則a2,b2,c2肯定成等差數(shù)列;(2)若a,b,c成等差數(shù)列,則2a,2b,2(3)若a,b,c成等差數(shù)列,則ka+2,kb+2,kc+2肯定成等差數(shù)列;(4)若a,b,c成等差數(shù)列,則QUOTE,QUOTE,QUOTE可能成等差數(shù)列.A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【解析】選B.對于(1),取a=1,b=2,c=3?a2=1,b2=4,c2=9,(1)錯.對于(2),取a=b=c?2a=2b=2對于(3),因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b.所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),(3)正確;對于(4),取a=b=c≠0?QUOTE=QUOTE=QUOTE,(4)正確.4.數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為-2,公差為4的等差數(shù)列.若an=bn,則n的值為()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選B.an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6,令an=bn,得3n-1=4n-6,所以n=5.5.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且an=an2+n,則實(shí)數(shù)a=________.

【解析】因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以an+1-an=常數(shù),所以[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常數(shù),所以2a=0,所以a=0.答案:06.已知等差數(shù)列{an}中滿意a1=1,a3=QUOTE-4,(1)求通項(xiàng)公式an;(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍1=1,a3=QUOTE-4,所以1+2d=(1+d)2-4,解得d=±2.所以an=1±2(n-1)=2n-1或3-2n.(2)an=2n-1時,數(shù)列{an}單調(diào)遞增,n=1時,取得最小值為a1=1,無最大值;an=3-2n時,數(shù)列{an}單調(diào)遞減,n=1時,取得最大值為a1=1,無最小值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在等差數(shù)列{an}中,已知a1=112,a2=116,這個數(shù)列在450到600之間共有多少項(xiàng)?【解析】由題意,得d=a2-a1=116-112=4,所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.令450≤an≤600,解得85.5≤n≤123,又因?yàn)閚為正整數(shù),故有38項(xiàng).(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng),x2是a2與-b2的等差中項(xiàng),則a,b的關(guān)系是()A.a=-b B.a=3bC.a=-b或a=3b D.a=b=0【解析】選C.由等差中項(xiàng)的定義知:x=QUOTE,x2=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.2.已知數(shù)列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,則a3等于()A.9 B.5 C.4 D.2【解析】選A.由題意可得,an-an-1=1+2(n-1)=2n-1,a1=1,故a2=4,a3=9.3.若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差數(shù)列,則x的值為()A.7或-3 B.log37 C.log27 【解析】選C.因?yàn)閘og3(2x+11)-log3(2x-1)=log3(2x-1)-log32,所以QUOTE=QUOTE,即22x-4·2x-21=0,解得2x=7或2x=-3(舍去),所以x=log27.4.等差數(shù)列的首項(xiàng)為QUOTE,且從第10項(xiàng)起先為比1大的項(xiàng),則公差d的取值范圍是()A.d>QUOTE B.d<QUOTEC.QUOTE<d<QUOTE D.QUOTE<d≤QUOTE【解析】選D.由題意QUOTE所以QUOTE所以QUOTE<d≤QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知在等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)為20,公差是整數(shù),從第8項(xiàng)起先為負(fù)項(xiàng),則公差為()A.-3B.3C.4D.-4【解析】選A.因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中,首項(xiàng)為20,公差是整數(shù),從第8項(xiàng)起先為負(fù)項(xiàng),所以a1=20,且a7=a1+6d≥0,a8=a1+7d<0,所以20+6d≥0,且20+7d<0,解得-QUOTE≤d<-QUOTE,又d為整數(shù),所以d=-3.5.(2024·隨州高二檢測)有兩個等差數(shù)列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由這兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的依次組成一個新數(shù)列,則這個新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A.15 B.16 C.17 D.18【解析】選B.有兩個等差數(shù)列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由這兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的依次組成一個新數(shù)列,則這個新數(shù)列{cn}為:2,14,26,….首項(xiàng)c1=2,公差d=12.所以cn=2+12(n-1)=12n-10.令12n-10≤190,解得n≤16.所以這個新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為16.二、填空題(每小題5分,共15分)6.等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為x,2x+1,4x+2,則它的第5項(xiàng)為________.

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由x,2x+1,4x+2成等差數(shù)列,得2(2x+1)=x+4x+2,解得x=0,所以a1=0,a2=1,公差d=1,故a5=a1+4d=4.答案:47.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=QUOTE,且QUOTE+QUOTE=QUOTE(n≥2),則an=________.

【解析】因?yàn)镼UOTE+QUOTE=QUOTE,所以數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則公差d=QUOTE-QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE+(n-1)d=1+QUOTE(n-1)=QUOTE.所以an=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】正項(xiàng)數(shù)列{an}滿意:a1=1,a2=2,2QUOTE=QUOTE+QUOTE(n∈N*,n≥2),則a7=________.

【解析】因?yàn)?QUOTE=QUOTE+QUOTE(n∈N*,n≥2),所以數(shù)列{QUOTE}是以QUOTE=1為首項(xiàng),以d=QUOTE-QUOTE=4-1=3為公差的等差數(shù)列,所以QUOTE=1+3(n-1)=3n-2,所以an=QUOTE,n≥1.所以a7=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.若在x,y兩數(shù)之間插入3個數(shù),使這5個數(shù)成等差數(shù)列,其公差為d1(d1≠0),若在x,y兩數(shù)之間插入4個數(shù),使這6個數(shù)也成等差數(shù)列,其公差為d2(d2≠0),那么QUOTE=________.

【解析】在x,y兩數(shù)之間插入3個數(shù),使這5個數(shù)成等差數(shù)列,其公差為d1,則有x+4d1=y①,在x,y兩數(shù)之間插入4個數(shù),使這6個數(shù)也成等差數(shù)列,其公差為d2,則有x+5d2=y②,用①-②可得:4d1=5d2,就有QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.【解析】a1=f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+2=x2-2x-1,a3=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x2-6x+7.因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以2a2=a1+a3,即0=2x2-8x+6,解得x=1或x=3.當(dāng)x=1時,a1=-2,a2=0,a3=2.由此可求出an=2n-4.當(dāng)x=3時,a1=2,a2=0,a3=-2.由此可求出an=4-2n.綜上所述:當(dāng)x=1時,an=2n-4,當(dāng)x=3時,an=4-2n.10.在數(shù)列{an}中,an+1=2an+2n,a1=1,設(shè)bn=QUOTE.(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)將an+1=2an+2n兩邊同除以2n,得QUOTE=QUOTE+1,所以bn+1=bn+1,bn+1-bn=1,所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,公差為1.(2)因?yàn)閧bn}的首項(xiàng)b1=QUOTE=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+n-1=n,所以QUOTE=n,所以an=n·2n-1,n∈N*.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}滿意an+1=QUOTE,且a1=3(n∈N*).(1)證明:數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)由QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE,得QUOTE-QUOTE=QUOTE,n∈N*,故數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列.(2)由(1)知QUOTE=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTE,所以an=QUOTE,n∈N*.1.我國古代聞名的《周髀算經(jīng)》中提到:凡八節(jié)二十四氣,氣損益九寸九分六分分之一;冬至晷(guǐ)長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺六寸.意思是:一年有二十四個節(jié)氣,每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為99QUOTE分;且“冬至”時日影長度最大,為1350分;“夏至”時日影長度最小,為160分.則“立春”時日影長度為()A.953QUOTE分 B.1052QUOTE分C.1151QUOTE分 D.1250QUOTE分【解析】選B.一年有二十四個節(jié)氣,每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為99QUOTE分,且“冬至”時日影長度最大,為1350分;“夏至”時日影長度最小,為160分.從“冬至”到“立春”有:“小寒”和“大寒”,且日影長變短,所以“立春”時日影長度為:1350+QUOTE×3=1052QUOTE(分).2.等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=[an],求b1+b2+…+b10,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0