浙江省湖州市長興縣德清縣安吉縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

PAGE23-浙江省湖州市長興縣、德清縣、安吉縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題（含解析）本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間為120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）留意事項：用鋼筆或圓珠筆將題目做在答題卷上，做在試題卷上無效．一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1.若直線經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率的概念，利用直線的斜率公式，求得直線的傾斜角.【詳解】解：直線經(jīng)過O（0，0），兩點，設(shè)直線的傾斜角為α，α∈[0，π），則tanα＝＝，∴α＝，故選：B.【點睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率，直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.2.在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AC與所成的角.【詳解】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為1，則A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，﹣1），設(shè)異面直線AC與B1D所成的角為θ，則cosθ＝＝0，∴θ＝.∴異面直線AC與B1D所成的角為.故選：D.【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，是中檔題.3.設(shè)R，則“＞1”是“＞1”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件考點：充分條件與必要條件4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)中供應(yīng)的三視圖中的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是底面是邊長分別為的等腰三角形，高是２的三棱錐，其底面積，則其體積，應(yīng)選答案B．5.圓被直線截得的弦長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，借助由半徑、半弦長和弦心距構(gòu)成的直角三角形利用勾股定理即可得到弦長.【詳解】解：依題意，圓x2+y2＝4圓心為（0，0），半徑r＝2，所以圓心到直線圓x2+y2＝4的距離d＝＝1，設(shè)弦長為l，則半徑r、半弦長和弦心距d構(gòu)成直角三角形，所以，解得l＝2，故選：D.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了點到直線的距離，考查了圓的弦長的求法，借助半徑、半弦長和弦心距構(gòu)成的直角三角形利用勾股定理是常用方法，本題屬于基礎(chǔ)題.6.已知，是兩個不同平面，，是兩條不同直線，則下列錯誤的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】A【解析】【分析】在A中，與平行或異面；在B中，由線面垂直的性質(zhì)可得；在C中，由面面垂直的判定定理得正確；在D中，由線面垂直的性質(zhì)可得.【詳解】解：由，是兩個不同平面，，是兩條不同直線，知：在A中，∵，，∴m與n平行或異面，故A錯誤；在B中，∵，，∴由線面垂直的性質(zhì)可得，故B正確；在C中，∵，，∴由面面垂直的判定定理可得，故C正確；在D中，∵，，∴由線面垂直的性質(zhì)可得，故D正確.故選：A.【點睛】本題考查命題真假的推斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，是中檔題.7.設(shè)球與圓錐的體積分別為，，若球的表面積與圓錐的側(cè)面積相等，且圓錐的軸截面為正三角形，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)球O的半徑為R，圓錐的底面半徑為r，則圓錐的母線長l＝2r，由球O的表面積與圓錐的側(cè)面積相等，得r＝，由此能求出的值.【詳解】解：設(shè)球O的半徑為R，圓錐SO1的底面半徑為r，則圓錐的母線長l＝2r，由題意得4πR2＝πrl＝2πr2，解得r＝，.故選：C.【點睛】本題考查球和圓錐的體積求法，考查球和圓錐的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，是中檔題.8.若圓與兩條直線和都有公共點，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)有公共交點得到和，相加得到答案.【詳解】圓與兩條直線和都有公共點；；兩式相加得到故選：【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計算實力.9.已知正方體的體積為1，則四棱錐與四棱錐重疊部分的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖所示，畫出重疊部分的圖像如圖2，利用三棱柱的體積減去三棱錐的體積得到答案.【詳解】如圖所示：為和交點，為和的交點，重疊部分如圖2.故選：【點睛】本題考查了立體圖形的體積，畫出重疊部分的圖像是解題的關(guān)鍵.10.已知點是單位圓上的動點，點是直線上的動點，定義，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用圓的參數(shù)方程與直線的方程分別求出與的最小值，比較即可得答案.【詳解】解：過作軸，軸的垂線，垂足及其他交點如圖所示，則，，由于直線的斜率是，當都在第一象限時，①取x1＝x2∈[0，1]時等號成立，則y1＝，y2＝6﹣2x2＝6﹣2x1，則|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝，令x1＝cos（∈[0，]），則|y1﹣y2|＝6﹣2cos﹣sin＝6﹣（+）≥6﹣；②取y1＝y(tǒng)2∈[0，1]時等號成立，則x1＝，x2＝3﹣＝3﹣.則|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x1﹣x2|＝，令y1＝sin（∈[0，]），則|x1﹣x2|＝3﹣﹣cos＝3﹣sin（+）≥3.當中至少有一個點不在第一象限時，明顯的取值會比都在第一象限時大，綜上可得：|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的最小值是3.故選：A.【點睛】本題考查了圓的參數(shù)方程，訓(xùn)練了利用換元法及三角函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題）留意事項：將卷Ⅱ的題目做在答題卷上，做在試題卷上無效．二、填空題11.傾斜角為，在y軸上的截距為1的直線l的方程為________；直線與直線l垂直，則________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)直線傾斜角可得斜率，由斜截式方程可得結(jié)果；依據(jù)垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】直線傾斜角為，直線斜率，直線的方程為：，即.直線與垂直，，解得：.故答案為：；.【點睛】本題考查直線方程的求解、依據(jù)直線垂直關(guān)系求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.12.已知圓的方程為，若圓過點，則______．若圓心在直線上．則______．【答案】(1).1(2).2【解析】【分析】通過點坐標代入圓的方程，得到m值；求出圓的圓心代入直線方程，即可得到m值即可.【詳解】解：圓C的方程為x2+y2﹣2x﹣2my＝0，若圓C過點（0，2），則4﹣4m＝0，解得m＝1；圓的圓心（1，m），圓心C在直線2x﹣y＝0上，可得2﹣m＝0，解得m＝2；故答案為：1；2.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的一般方程的應(yīng)用，是基本學(xué)問的考查.13.若，，是不同直線，是平面，若，，則直線與直線的位置關(guān)系是______；若，，則直線與平面的位置關(guān)系是______．【答案】(1).相交或異面(2).平行或在平面內(nèi)【解析】【分析】由a∥b，b∩c＝A，得直線a與直線c的位置關(guān)系是相交或異面；由，，得直線與平面的位置關(guān)系a∥或a?.【詳解】解：a，b，c是不同直線，是平面，∵a∥b，b∩c＝A，∴直線a與直線c的位置關(guān)系是相交或異面.∵a⊥b，b⊥，則直線a與平面的位置關(guān)系a∥或a?.故答案為：相交或異面；平行或在平面內(nèi).【點睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系的推斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，是中檔題.14.為邊長為的正三角形，則其水平放置《斜二測畫法》的直觀圖的面積為______．其直觀圖的周長為______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】畫出正和水平放置的直觀圖，計算它的面積與周長即可.【詳解】解：如圖所示為邊長為2cm的正三角形，則其水平放置的直觀圖的面積為sin45°＝×2×（×2×sin60°）×sin45°＝；其直觀圖的周長為＝+2+＝（+）+2+（﹣）＝2+.故答案為：，2+.【點睛】本題考查了平面圖形與它的直觀圖的應(yīng)用問題，也考查了三角形面積與周長的計算問題，是基礎(chǔ)題.15.已知直線與圓，，交于，兩點，若的面積的最大值為，求此時______．【答案】【解析】【分析】當?shù)拿娣e最大時，AC⊥BC，由面積的最大值為4，可算得b，從而得到C到直線的距離等于2，建立方程可求得a的值，從而得ab的值.【詳解】解：∵圓C：x2+y2﹣2x﹣8y+b＝0，即（x﹣1）2+（y﹣4）2＝17﹣b；∴圓心C（1，4），半徑r＝；當?shù)拿娣e最大時，AC⊥BC，（S△ABC）max＝＝4；∴r2＝8，即17﹣b＝8，∴b＝9；直角三角形ABC中，AC＝BC＝r，∴C到直線AB：ax+y+a﹣1＝0的距離等于d＝2，∴d＝2＝，∴a＝，∴ab＝.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.16.在三棱錐中，底面是正三角形且，是中點，且，底面邊長，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)空間直線平面的垂直問題，得出棱錐的高，轉(zhuǎn)化頂點，補圖的正方體的外接球求解正三棱錐S?ABC的外接球的半徑即可.【詳解】解：取AC中點D，則SD⊥AC，DB⊥AC，又∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB，∵SB?平面SBD，∴AC⊥SB，又∵AM⊥SB，AM∩AC＝A，∴SB⊥平面SAC，∴SA⊥SB，SC⊥SB，依據(jù)對稱性可知SA⊥SC，從而可知SA，SB，SC兩兩垂直，將其補為立方體，其棱長為2，其外接球即為立方體的外接球，半徑r＝＝，表面積S＝4π×3＝12π.故答案為：12π.【點睛】本題考查了空間空間幾何體的性質(zhì)，學(xué)生的空間思維實力，計算實力，屬于中檔題.17.如圖，直線平面，垂足為，正四面體（全部棱長都相等的三棱錐）的棱長為，是直線上的動點，是平面上的動點，求到點的距離的最大值______．【答案】【解析】【分析】當線段BC確定時，視察出當面OCB和面BCD共面時，到點的距離最大，即求點到線段BC距離的最大值即可.【詳解】解：在線段BC上任取一點M，連接OM，DM，由三角形三邊關(guān)系得，當O，M，D三點共線時取等號，則當面OCB和面BCD共面時，OD最大，當面OCB和面BCD共面時，設(shè)，則，則，則，即到點的距離的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查兩點間距離的最大值的求法，關(guān)鍵時將空間兩點距離問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點距離問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.三：解答題18.設(shè)命題：實數(shù)滿意，其中；命題：實數(shù)滿意．（1）若，，都是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先分別求出命題p，q為真時對應(yīng)的集合，取交集即可求出x的范圍；（2）依據(jù)集合間的基本關(guān)系與充分、必要條件的關(guān)系列出不等式即可求出a的取值范圍.【詳解】（1）當時，由，得.由，所以.因此的取值范圍是；（2）可得，，若是的充分不必要條件所以.當即時，因為不成立；

當即時，，故取值范圍是.【點睛】本題主要考查由命題的真假求參數(shù)的取值范圍以及集合間的基本關(guān)系與充分、必要條件的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2，0)，AB邊所在直線的方程為x－3y－6＝0，點T(－1，1)在AD邊所在直線上．求：(1)AD邊所在直線的方程；(2)DC邊所在直線的方程．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先由AD與AB垂直，求得AD的斜率，再由點斜式求得其直線方程；（2）依據(jù)矩形特點可以設(shè)DC的直線方程為，然后由點到直線的距離得出，就可以求出m的值，即可求出結(jié)果.詳解：(1)由題意：ABCD為矩形，則AB⊥AD，又AB邊所在的直線方程為：x－3y－6＝0，所以AD所在直線的斜率kAD＝－3，而點T(－1，1)在直線AD上．所以AD邊所在直線的方程為：3x＋y＋2＝0.(2)方法一：由ABCD為矩形可得，AB∥DC，所以設(shè)直線CD的方程為x－3y＋m＝0.由矩形性質(zhì)可知點M到AB、CD的距離相等所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)．所以DC邊所在的直線方程為x－3y＋2＝0.方法二：方程x－3y－6＝0與方程3x＋y＋2＝0聯(lián)立得A（0，-2），關(guān)于M的對稱點C（4，2）因AB∥DC，所以DC邊所在直線方程為x－3y＋2＝0.點睛：本題主要考查直線方程的求法，在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當?shù)闹本€方程的形式，并留意各種形式的適用條件．用斜截式及點斜式時，直線的斜率必需存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線．故在解題時，若采納截距式，應(yīng)留意分類探討，推斷截距是否為零；若采納點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的狀況．20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，平面平面，正三角形．（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的正切值．【答案】（1）證明見解析；（2）2.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，由此能證明平面.

（2）過作垂直于，過作垂直于，連結(jié)，則即為所求二面角的平面角，求出的正切值即可.【詳解】（1）因為平面，平面平面于，故，平面，平面故平面；（2）過作垂直于，過作垂直于，連結(jié)則即為所求二面角的平面角.又，，故.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基學(xué)問，考查運算求解實力，是中檔題.21.如圖，已知多面體中，，平面，，，，.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由余弦定理得PB，從而PB⊥AB，由AD⊥平面PAB，得AD⊥PB，再由PB⊥AB，能證明PB⊥平面ABCD．（Ⅱ）由余弦定理求出cos∠PDC，從而sin∠PCD，S△ACD＝2，設(shè)直線PA與平面PCD所成角為θ，點A到平面PCD的距離為h，由VA﹣PDC＝VP﹣ACD，得h，從而sinθ，由此能求出直線PA與平面PCD所成角的正弦值．【詳解】（Ⅰ）在中，，，，所以，，所以，，因為，所以，，，四點共面.又平面，平面，所以.又，，所以平面.（Ⅱ）（方法一）在中，，在中，.在直角梯形中，.在中，，.所以，.設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，即，所以，，故直線與平面所成