2025屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專(zhuān)題突破詳解專(zhuān)題24直線(xiàn)方程含解析

PAGEPAGE1專(zhuān)題24直線(xiàn)方程一．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解直線(xiàn)的傾斜角、斜率、截距等概念，駕馭直線(xiàn)的斜率計(jì)算公式.2.駕馭直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式方程，了解直線(xiàn)方程的斜截式和截距式，能依據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式嫻熟地求出直線(xiàn)的方程.3.了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.4.駕馭兩直線(xiàn)平行、垂直、相交的條件，能敏捷運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及兩直線(xiàn)平行、垂直的條件解決有關(guān)問(wèn)題.5.駕馭中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)等問(wèn)題的幾何特征和求解的基本方法.并能利用圖形的對(duì)稱(chēng)性解決有關(guān)問(wèn)題.二．【方法規(guī)律總結(jié)】1.直線(xiàn)的傾斜角、斜率及直線(xiàn)在坐標(biāo)軸上的截距是刻畫(huà)直線(xiàn)位置狀態(tài)的基本量，應(yīng)正確理解.(1)要擅長(zhǎng)結(jié)合圖形進(jìn)行傾斜角與斜率間的相互轉(zhuǎn)化.①由傾斜角α探究斜率k須分α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))和α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩類(lèi)探討.②由斜率k探究?jī)A斜角須分k≥0和k<0兩類(lèi)探討.(2)“截距”與“距離”是兩個(gè)不同的概念.2.因?yàn)榇_立一條直線(xiàn)需兩個(gè)獨(dú)立的條件，所以直線(xiàn)方程也須要兩個(gè)獨(dú)立條件，其方法一般有兩種：(1)干脆法：干脆選用直線(xiàn)方程的四種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式)，寫(xiě)出適當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)方程.(2)待定系數(shù)法：先由直線(xiàn)滿(mǎn)意的一個(gè)條件設(shè)出直線(xiàn)方程，方程中含有一待定系數(shù)，再由題給的另一條件求出待定系數(shù)，最終將求得的系數(shù)代入所設(shè)方程，即得所求直線(xiàn)方程，概括起來(lái)三句話(huà)：設(shè)方程，求系數(shù)，代入.3.由于直線(xiàn)方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在詳細(xì)求直線(xiàn)方程時(shí)，可能產(chǎn)生遺漏狀況，尤其是選擇點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)肯定要留意斜率不存在的狀況.選擇截距式時(shí)，留意截距為零的狀況.4.推斷兩條直線(xiàn)平行或垂直時(shí)，不要遺忘考慮兩條直線(xiàn)中有一條或兩條直線(xiàn)均無(wú)斜率的情形.在兩條直線(xiàn)斜率都存在的條件下，才有l(wèi)1∥l2?k1＝k2且b1≠b2與l1⊥l2?k1k2＝－1.5.在運(yùn)用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))求平行直線(xiàn)間的距離時(shí)，肯定要留意兩直線(xiàn)的x，y項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.6.求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的步驟：(1)設(shè)點(diǎn)——設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，y)；(2)列式——利用中點(diǎn)公式(中心對(duì)稱(chēng)狀況)或垂直、平分的條件(軸對(duì)稱(chēng)情形)來(lái)列關(guān)于x，y的方程組；(3)求解——解所列方程組，求到的解就是所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).7.求對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的步驟：(1)設(shè)點(diǎn)——設(shè)所求曲線(xiàn)上的點(diǎn)為P(x，y)；(2)求點(diǎn)——求出P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(x′，y′)，即用x，y來(lái)表示x′，y′；(3)代入——將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入已知曲線(xiàn)的方程，所得的x，y的關(guān)系式就是所求對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的方程.留意記住幾種特殊的對(duì)稱(chēng)性結(jié)論：①對(duì)稱(chēng)中心是特殊點(diǎn)(如原點(diǎn))；②對(duì)稱(chēng)軸是特殊直線(xiàn)(如x軸，y軸，y＝x＋b，y＝－x＋b等直線(xiàn))，求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)可采納代入法干脆求解.三．高考命題類(lèi)型及解題方法1.直線(xiàn)的傾斜角例題1．直線(xiàn)3x+3y+7=0的傾斜角為A.B.C.D.【答案】D【解析】直線(xiàn)3x+3y+7=0的斜率故選D.練習(xí)1．直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線(xiàn)的傾斜角為（）A.30°B.45°C.120°D.135°【答案】D2．下列說(shuō)法正確的是（）A.截距相等的直線(xiàn)都可以用方程表示B.方程不能表示平行軸的直線(xiàn)C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)方程為D.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線(xiàn)方程為【答案】D【解析】A錯(cuò)誤，比如過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，橫縱截距均為0，這時(shí)就不能有選項(xiàng)中的式子表示；B當(dāng)m=0時(shí)，表示的就是和y軸平行的直線(xiàn)，故選項(xiàng)不對(duì)。C不正確，當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為90度時(shí)，正切值無(wú)意義，因此不能表示。故不正確。D依據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式得到斜率為，再代入一個(gè)點(diǎn)得到方程為：。故答案為：D。3.若直線(xiàn)的傾斜角為，則__________．【答案】2.直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)例2.無(wú)論取何值，直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)__________．【答案】【解析】直線(xiàn)（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0，即（2x+y+3）+λ（x﹣y+6）=0，由求得x=﹣3，y=3，可得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（﹣3，3）．故答案為（﹣3，3）．練習(xí)1.直線(xiàn)，當(dāng)改變時(shí)，全部直線(xiàn)都通過(guò)定點(diǎn)()A.B.C.D.【答案】C【解析】直線(xiàn)方程整理為，當(dāng)，解得，不管如何改變，直線(xiàn)都通過(guò)點(diǎn)，故選C.2.已知直線(xiàn)（1）求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)。（2）求過(guò)(1)的定點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)直線(xiàn)方程.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：⑴將直線(xiàn)化為，解不等式組即可得證；⑵由（1）知定點(diǎn)為，結(jié)合題目條件計(jì)算得直線(xiàn)方程解析：（1）依據(jù)題意將直線(xiàn)化為的。解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)。（2）由（1）知定點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，且直線(xiàn)與垂直，所以，所以直線(xiàn)的方程為。3.兩條直線(xiàn)的平行和垂直問(wèn)題例3.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的值為_(kāi)_________．【答案】或【解析】若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，且，解得：或．練習(xí)1．若直線(xiàn)：與直線(xiàn)：相互垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．【答案】-2【解析】由于兩條直線(xiàn)垂直，故.2.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的值為()A.B.C.1D.【答案】D【解析】由題意可得：，解得故選3．若兩平行線(xiàn)與之間的距離是，則（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】A4．兩條直線(xiàn)，相互垂直，則的值是（）A.3B.-1C.-1或3D.0或3【答案】C【解析】由題意，解得，故選C．5．設(shè)，則“a=1”是“直線(xiàn)：與直線(xiàn)：平行”的（）A.充分必要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：與直線(xiàn)：，兩條直線(xiàn)的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線(xiàn)平行，故前者是后者的充分條件，當(dāng)兩條直線(xiàn)平行時(shí)，得到，解得后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要條件，故選C.4.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例4.若點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，則直線(xiàn)在軸上的截距是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】∵點(diǎn)A（1，1）關(guān)于直線(xiàn)y=kx+b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B（﹣3，3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入y=kx+b得①直線(xiàn)AB得斜率為，則k=2.代入①得，．∴直線(xiàn)y=kx+b為，解得：y=4．∴直線(xiàn)y=kx+b在y軸上的截距是4．故選：D．練習(xí)1．光線(xiàn)由點(diǎn)P（2，3）射到直線(xiàn)上，反射后過(guò)點(diǎn)Q（1，1），則反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程即：故選2．已知點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選D.3．已知點(diǎn)與直線(xiàn)：，則點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)關(guān)于直線(xiàn)：對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則，解得，即關(guān)于直線(xiàn)：對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為.故選C.4.點(diǎn)和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則__________．【答案】5【解析】由題意，點(diǎn)（1，2）和（﹣1，m）關(guān)于kx﹣y+3=0對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)（，）在直線(xiàn)kx﹣y+3=0上，可得：，解得m=4．那么：點(diǎn)（1，2）和（﹣1，4）確定的直線(xiàn)的斜率為﹣1與kx﹣y+3=0垂直，故得：k=1則m+k=4+1=5，故答案為：5．【方法總結(jié)】軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題可分解為兩個(gè)基本問(wèn)題：①中點(diǎn)問(wèn)題：兩點(diǎn)連線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上；②垂直問(wèn)題：兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率與軸所在直線(xiàn)的斜率互為負(fù)倒數(shù).5.設(shè)直線(xiàn)，，．（1）若直線(xiàn)，，交于同一點(diǎn)，求的值；（2）若直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)的方程【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先求，交點(diǎn)，再代入即得的值；（2）直線(xiàn)必過(guò)，交點(diǎn)，再在直線(xiàn)取一點(diǎn)A，求其關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，則B在直線(xiàn)上，最終依據(jù)兩點(diǎn)式求直線(xiàn)的方程試題解析：（1）（2）取A（1,0）其關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B（x,y）5.最值及范圍問(wèn)題例5.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率。（1）求橢圓方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率可得，依據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)可得，求得，后可得橢圓的方程．（2）將直線(xiàn)方程代入橢圓方程后整理可得，由得．由根與系數(shù)的關(guān)系求得弦MN的中點(diǎn)，由此可得直線(xiàn)AG的斜率，依據(jù)可得，由此可得，解得，即為所求范圍．試題解析：（1）橢圓的離心率，，即；①又橢圓過(guò)點(diǎn)，∴，②由①②得，，∴橢圓的方程為．（2）由消去整理得，直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，整理得……（1）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A，則，∴∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴直線(xiàn)AG的斜率為，又直線(xiàn)AG和直線(xiàn)MN垂直，∴，∴，將上式代入（1）式，可得，整理得，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．【方法總結(jié)】：圓錐曲線(xiàn)中求最值（范圍）問(wèn)題的方法依據(jù)條件建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．求解時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．練習(xí)1.已知，，動(dòng)點(diǎn)在軸上，當(dāng)取最小值時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)殛P(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，當(dāng)為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)時(shí)取最小值，因?yàn)椋灾本€(xiàn)的方程為，令可得，所以，故答案為.2．已知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值為_(kāi)_______________.【答案】【解析】∵直線(xiàn)方程可整理為∴點(diǎn)∵點(diǎn)在直線(xiàn)上∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故答案為【方法總結(jié)】：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)意基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.3.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，為橢圓的右焦點(diǎn)，圓上有一動(dòng)點(diǎn)，不同于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意得，．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．∴，又且，∴或，故的取值范圍為．選D．【方法總結(jié)】解決圓錐曲線(xiàn)中的范圍問(wèn)題時(shí)，可依據(jù)題意將所求范圍的量表示為某一個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，然后再依據(jù)所得目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的方法求得最值，其中運(yùn)用基本不等式、利用二次函數(shù)求最值的方法在解題時(shí)常常用到．四，高考真題演練