2021年江蘇省常州市數(shù)學(xué)(初三學(xué)業(yè)水平考試)中考真題含詳解

江蘇省常州市2021年數(shù)學(xué)中考真題

一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

正確的）

工的倒數(shù)是（）

11

A.2B.-2C.—D.--

22

2.計(jì)算（加2了的結(jié)果是（）

A.m5B.m6C.ms0./

3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

OO

O

A.正方體B.圓錐C.圓柱D.球

4.觀察所示臉譜圖案，下列說(shuō)法正確的是（）

A.它是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形B.它是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形

C.它既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形D.它既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形

5.如圖，是。的直徑，AB是。的弦..若NAOC=60°,則NQ鉆的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

6.以下轉(zhuǎn)盤(pán)分別被分成2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)面積相等的扇形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這4個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各1次.已知某轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)

時(shí)，指針落在陰影區(qū)域的概率是g,則對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)盤(pán)是（）

7.已知二次函數(shù)y=（a—1）/,當(dāng)尤>0時(shí)，y隨x增大而增大，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a>0B.a>lc.awlD.a<l

8.為規(guī)范市場(chǎng)秩序、保障民生工程，監(jiān)管部門(mén)對(duì)某一商品的價(jià)格持續(xù)監(jiān)控.該商品的價(jià)格%（元/件）隨時(shí)間/（天）

的變化如圖所示，設(shè)為（元/件）表示從第1天到第f天該商品的平均價(jià)格，則為隨/變化的圖像大致是（）

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答

題卡相應(yīng)位置上）

9.計(jì)算：舊=—.

10.計(jì)算：2/—（/+2）=

11.分解因式：x2-4y2=.

12.近年來(lái)，5G在全球發(fā)展迅猛，中國(guó)成為這一領(lǐng)域基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、技術(shù)與應(yīng)用落地的一大推動(dòng)者.截至2021年

3月底，中國(guó)已建成約819000座5G基站，占全球70%以上.數(shù)據(jù)819000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

13.數(shù)軸上的點(diǎn)A、8分別表示-3、2,則點(diǎn)—一離原點(diǎn)的距離較近（填"A”或"B”）.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X?！抵?，四邊形。鉆C是平行四邊形，其中點(diǎn)A在x軸正半軸上.若6。=3,則點(diǎn)

A的坐標(biāo)是.

15.如圖，在，ABC中，點(diǎn)。、￡分別在BC、AC上，/8=40。,/。=60。.若。則NAEO=

16.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，給出了證明三角形面積公式的出入相補(bǔ)法.如圖所示，在ABC中,

分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E,連接OE,過(guò)點(diǎn)A作AF1DE,垂足為￡將，ABC分割后拼接成矩形BCHG.若

DE=3,AF=2,貝ijABC的面積是.

17.如圖，在ABC中，AC=3,BC=4,點(diǎn)。、E分別在C4、CB上，點(diǎn)尸在A6c內(nèi).若四邊形CDEE是

邊長(zhǎng)為1正方形，貝hin/FBA=

18.如圖，在火力ABC中，ZACB=90°,ZCBA=30°,AC=1,。是A5上一點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)4不重合）.若在

RtABC直角邊上存在4個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、。成為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則A。長(zhǎng)的取值范圍是

B

三、解答題（本大題共10小題，共84分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，如無(wú)特殊說(shuō)明，解答應(yīng)寫(xiě)出

文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）

19.計(jì)算:74-(-1)2-(^--1)°+2^.

20.解方程組和不等式組：

x+y=0

(1)

2x—y=3

3%+6>0

⑵\

x—2<-X

21.為降低處理成本，減少土地資源消耗，我國(guó)正在積極推進(jìn)垃圾分類(lèi)政策，引導(dǎo)居民根據(jù)“廚余垃圾”、“有害

垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”這四類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類(lèi)處理調(diào)查小組就某小區(qū)居民對(duì)垃圾分類(lèi)知識(shí)的了解程

度進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖.

人數(shù)

(1)本次調(diào)查的樣本容量是;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)已知該小區(qū)有居民2000人，請(qǐng)估計(jì)該小區(qū)對(duì)垃圾分類(lèi)知識(shí)“完全了解”的居民人數(shù).

22.在3張相同的小紙條上，分別寫(xiě)上條件：①四邊形ABCD是菱形；②四邊形ABCD有一個(gè)內(nèi)角是直角；③四

邊形A3CD的對(duì)角線相等.將這3張小紙條做成3支簽，放在一個(gè)不透明的盒子中.

(1)攪勻后從中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率是；

(2)攪勻后先從中任意抽出1支簽(不放回)，再?gòu)挠嘞?支簽中任意抽出1支簽.四邊形ABCD同時(shí)滿足抽到

的2張小紙條上的條件，求四邊形ABCD一定是正方形的概率.

23.如圖，B、F、C、E是直線/上的四點(diǎn)，AB//DE,AB=DE,BF=CE.

(1)求證：AABC烏ADEF；

(2)將▲ABC沿直線I翻折得到一ABC.

①用直尺和圓規(guī)在圖中作出(保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)；

②連接A。,則直線與I的位置關(guān)系是.

24.為落實(shí)節(jié)約用水的政策，某旅游景點(diǎn)進(jìn)行設(shè)施改造，將手?jǐn)Q水龍頭全部更換成感應(yīng)水龍頭.已知該景點(diǎn)在設(shè)施

改造后，平均每天用水量是原來(lái)的一半，20噸水可以比原來(lái)多用5天，該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水多少噸？

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=+圖像分別與X軸、y軸交于點(diǎn)A、5與反比例函數(shù)

y=：(x>0)的圖像交于點(diǎn)C,連接OC.已知點(diǎn)A(T,0),AB=2BC

(1)求b、左的值；

(2)求△AOC的面積.

26.通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對(duì)線段長(zhǎng)度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)

形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用.

【理解】

⑴如圖1,4。，3。,00，M，垂足分別為。、。石是45的中點(diǎn),連接?！?已知AD=a,BD=b(O<a<b).

①分別求線段CE、CD的長(zhǎng)(用含。、b的代數(shù)式表示)；

②比較大?。篊ECD(填“<”、"=”或“>”)，并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系.

【應(yīng)用】

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)M、N在反比例函數(shù)y=^(x>0)的圖像上，橫坐標(biāo)分別為根、及.設(shè)

11、，1

p=m+n,q=——F—,記I=—pq.

mn4

①當(dāng)機(jī)=1,"=2時(shí)，1=;當(dāng)機(jī)=3,"=3時(shí)，1=；

②通過(guò)歸納猜想，可得/的最小值是.請(qǐng)利用圖2構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說(shuō)明你的猜想成立.

27.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于A、A'兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)「使得NA74'=90°,且7A=7A',則稱4、

A'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，把其中一個(gè)點(diǎn)叫做另一個(gè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知點(diǎn)M(—2,0)、N(—1,0),點(diǎn)在一次函數(shù)

y=—2x+l的圖像上.

(1)①如圖,在點(diǎn)8(2,0)、C(0,-l),0(—2,—2)中，點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是(填"歹、”C或刃”)；

②若在線段上存在點(diǎn)尸(1,1)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)P,則點(diǎn)P'的坐標(biāo)是；

(2)若在線段MV上存在點(diǎn)。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)Q',求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)分別以點(diǎn)E(4,2)、。為圓心，1為半徑作E、Q.若對(duì)正上的任意一點(diǎn)G,在。上總存在點(diǎn)G',

使得G、G'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，正比例函數(shù)丁=履(左wO)和二次函數(shù)y=-；苫2+區(qū)+3的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A(4,3)和點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)A作OA的垂線交x軸于點(diǎn)CD是線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)A、0、B不重合),E是射線AC

(1)填空：k=,b=；

(2)設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是(>0),連接EF.若/FGE=/DFE,求才的值；

⑶過(guò)點(diǎn)好垂線交線段小于點(diǎn)尸?若求。。的長(zhǎng).

江蘇省常州市2021年數(shù)學(xué)中考真題

一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

正確的）

1.』的倒數(shù)是（）

2

11

A.2B.-2C.—D.——

22

【答案】A

【分析】直接利用倒數(shù)的定義即可得出答案.

【詳解】解：g倒數(shù)是2,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了倒數(shù)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

2.計(jì)算（加2了的結(jié)果是（）

A.m5B.m6C.msD./

【答案】B

【分析】根據(jù)鬲的乘方公式，即可求解.

【詳解】解：（m2）3=m6,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查鬲的乘方公式，掌握募的乘方公式，是解題的關(guān)鍵.

3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A.正方體B.圓錐C.圓柱D.球

【答案】D

【分析】首先根據(jù)俯視圖將正方體淘汰掉，然后根據(jù)主視圖和左視圖將圓錐和圓柱淘汰，即可求解.

【詳解】解：?俯視圖是圓，

.,.排除A,

???主視圖與左視圖均是圓，

，排除B、C,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，用到的知識(shí)點(diǎn)為：三視圖分為主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從

物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.

4.觀察所示臉譜圖案，下列說(shuō)法正確的是（）

A.它是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形B.它是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形

C.它既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形D.它既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，逐一判斷選項(xiàng)，即可.

【詳解】解：臉譜圖案是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的定義，是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，8C是。的直徑，是。的弦.若NAOC=60°,則NQ鉆的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】先根據(jù)平角的定義求出/A08,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解，即可.

【詳解】解：VZAOC=60°,

AZAOB=180°-60°=120°,

'：OA=OBt

：.ZOAB^ZOBA^(180°-120°)4-2=30°,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓基本性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的半徑相等，是解題的關(guān)鍵.

6.以下轉(zhuǎn)盤(pán)分別被分成2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)面積相等的扇形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這4個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各1次.已知某轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)

時(shí)，指針落在陰影區(qū)域的概率是工，則對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)盤(pán)是()

3

【答案】D

【分析】根據(jù)概率公式求出每個(gè)選項(xiàng)的概率，即可得到答案.

【詳解】解：A.指針落在陰影區(qū)域的概率是十'

B.指針落在陰影區(qū)域的概率是工，

4

2

C.指針落在陰影區(qū)域的概率是（，

D.指針落在陰影區(qū)域的概率是工，

3

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率，熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵.

7,已知二次函數(shù)y=（a—l）/,當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

Aa>0B.a>lC.awlD.a<l

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知二次函數(shù)的開(kāi)口向上，進(jìn)而即可求解.

【詳解】?.?二次函數(shù)y=（a—1）必的對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大，

...二次函數(shù)y=（a—1）好的圖像開(kāi)口向上，

/.<7-1>0,即：a>1,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開(kāi)口方向與二次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

8.為規(guī)范市場(chǎng)秩序、保障民生工程，監(jiān)管部門(mén)對(duì)某一商品的價(jià)格持續(xù)監(jiān)控.該商品的價(jià)格為（元/件）隨時(shí)間f（天）

的變化如圖所示，設(shè)為（元/件）表示從第1天到第r天該商品的平均價(jià)格，則為隨「變化的圖像大致是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像先求出力關(guān)于/的函數(shù)解析式，進(jìn)而求出為關(guān)于l的解析式，再判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可.

【詳解】解：?.?由題意得:當(dāng)1W/W6時(shí)，%=2/+3,

當(dāng)6<fW25時(shí)，％=15,

當(dāng)25<fW30時(shí),%=-2r+65,

（5+2t+3）t

...當(dāng)1WK6時(shí)，y=---------------—=/+4,

2一2

當(dāng)6<fW25時(shí)，」（5+；）x6+i5（”6%=15—j

H（5+；）x6+i5x（25.6）+口3+（—2，+7]X"25）

當(dāng)25<W30時(shí)，

630”

=—t--------1-64

.?.當(dāng)t=30時(shí)，%=13,符合條件的選項(xiàng)只有A.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像和函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法以及函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)意義，是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答

題卡相應(yīng)位置上）

9.計(jì)算：場(chǎng)=_

【答案】3

【詳解】試卷分析：根據(jù)立方根的定義，求數(shù)a的立方根，也就是求一個(gè)數(shù)x,使得x3

=a,則x就是a的一個(gè)立方根：

33=27,二啰=3.

10.計(jì)算：2a2_(4+2)=.

【答案】"2

【分析】先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，即可求解.

【詳解】解：原式=21—2

=?2-2,

故答案是：/_2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算，掌握去括號(hào)法則以及合并同類(lèi)項(xiàng)法則，是解題的關(guān)鍵.

11.分解因式：x2-4y2=.

【答案】(x-2y)(x+2y)

【分析】根據(jù)平方差公式分解因式，即可.

【詳解】解：—4>2=(x—2y)(x+2y),

故答案是：(x—2y)(x+2y).

【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

12.近年來(lái)，5G在全球發(fā)展迅猛，中國(guó)成為這一領(lǐng)域基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、技術(shù)與應(yīng)用落地的一大推動(dòng)者.截至2021年

3月底，中國(guó)已建成約819000座5G基站，占全球70%以上.數(shù)據(jù)819000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】8.19X105

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10?的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a

時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，"的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，”是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)

值<1時(shí)，"是負(fù)數(shù).

【詳解】解：819000=8.19X105,

故答案是：8.19X105.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃

為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

13.數(shù)軸上的點(diǎn)A、B分別表示-3、2,則點(diǎn)離原點(diǎn)的距離較近（填"A”或"B”）.

【答案】B

【分析】先求出A、8點(diǎn)所對(duì)應(yīng)數(shù)的絕對(duì)值，進(jìn)而即可得到答案.

【詳解】解:?數(shù)軸上的點(diǎn)A、B分別表示-3、2,

|—3|=3,|2|=2,且3>2,

.,.點(diǎn)8離原點(diǎn)的距離較近，

故答案是：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，掌握絕對(duì)值的意義，是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形Q46C是平行四邊形，其中點(diǎn)A在無(wú)軸正半軸上.若BC=3,則點(diǎn)

A的坐標(biāo)是.

【答案】（3,0）

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知：OA=BC=3,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：：四邊形QWC是平行四邊形，

：.OA=BC=3,

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,0）,

故答案是：（3,0）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握平行四邊形的對(duì)邊相等，是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在，ABC中，點(diǎn)。、￡分別在BC、AC上，/8=40。,/。=60。.若QE〃/則NA￡D=

【答案】100

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/A=80°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出NAED,即可.

【詳解】解：???/§=40。,NC=60。，

/.ZA=180°-40°-60°=80°,

?；DE//AB,

ZAED=180°-80°=100°.

故答案是100.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵.

16.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，給出了證明三角形面積公式的出入相補(bǔ)法.如圖所示，在ABC中，

分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E,連接OE,過(guò)點(diǎn)A作AF1DE,垂足為F,將「ABC分割后拼接成矩形3cHG.若

DE=3,AF=2,貝ijABC的面積是.

【答案】12

【分析】先證明ADF^￡BDG,一AEF會(huì)CEH,把三角形的面積化為矩形的面積，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：???。是的中點(diǎn)，四邊形BCWG是矩形，

：.AD=BD,ZG=ZAFD=90°

又：/ADF=/BDG,

：..ADF—BDG,

：.DF=DG,AF=BG=2,

同理：_AER"_CEH,

：.EF=EH,

：.GH=2(DF+EF)=2DE=2X3=6,

ABC的面積=矩形3CWG的面積=2X6=12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，通過(guò)全等三角形的判定，把三角形的面積化為矩形

的面積，是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在A6c中，AC=3,BC=4,點(diǎn)。、E分別在C4、CB±,點(diǎn)尸在A6c內(nèi).若四邊形CDEE是

邊長(zhǎng)為1的正方形，貝iJsinNEBA=

［答案】叵

10

【分析】連接AF,CF,過(guò)點(diǎn)F作FMLAB,由S入比=§公/+SBCF+S,可得口0=1,再根據(jù)銳角三角函數(shù)

的定義，即可求解.

【詳解】解：連接AtCF,過(guò)點(diǎn)F作尸MLA3,

B

M

???四邊形CDWE是邊長(zhǎng)為1的正方形,

A^C=90°,

?M732+42=5,

?SABC=SACF+SBCF+SABF，

—x3x4=—x3xl+—x4xl+—x5xFM,

2222

???FM=1,

BF=j（4-1）2+12=M,

sinNFBA=—^=

V10~10~

故答案是：叵.

10

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法“是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在火中，NAC8=90°,NCfiA=30°,AC=l,。是A5上一點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合）若在火LA6C

的直角邊上存在4個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、。成為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則A。長(zhǎng)的取值范圍是.

4

【答案】一〈AD<2

3

【分析】以為直徑，作。與BC相切于點(diǎn)連接OM,求出此時(shí)AD的長(zhǎng)；以A。為直徑，作;。，當(dāng)點(diǎn)。

與點(diǎn)B重合時(shí)，求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)入即可得到答案.

【詳解】解：以為直徑，作。與8C相切于點(diǎn)M連接0M則OMLBC,此時(shí)，在HjABC的直角邊上存

在3個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、。成為直角三角形，如圖，

B

???在R"ABC中,ZACB=90°,Z.CBA=30°,AC=1,

：.AB=2,

'：OM.LBC,

OM

sin30°=

~OB2

igOM=x,貝IjAOr,

xi?

一,解得?x=—,

2-x23

■24

??AD—1X—二一

33

以A。為直徑，作O,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，如圖，此時(shí)AO=AB=2,

...在ABC的直角邊上存在4個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、。成為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則A。長(zhǎng)的取值范圍是：

4

-<AD<2.

3

4

故答案是：一<AO<2.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合問(wèn)題，熟練掌握?qǐng)A周角定理的推論，解直角三角形，畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論，是解題

的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共10小題，共84

分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，如無(wú)特殊說(shuō)明，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）

19.計(jì)算：〃—（―1）2—（萬(wàn)―1）°+2-1.

【答案】I

【分析】先算算術(shù)平方根，零指數(shù)鬲，負(fù)整數(shù)指數(shù)鬲以及平方運(yùn)算，再算加減法，即可求解.

【詳解】解：原式=2-1-1+工

2

"2'

【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握算術(shù)平方根，零指數(shù)騫，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞以及平方運(yùn)算法則，是解的關(guān)

鍵.

20.解方程組和不等式組：

x+y=0

⑴

2x-y=3

3x+6>0

%—2<—x

Ix=1

【答案】(1)\-⑵-2<x<l

|y=-i

【分析】（1）利用加減消元法，即可求解；

（2）分別求出各個(gè)不等式的解，再取公共部分，即可求解.

x+y=0①

【詳解】解:⑴

2x—y=3②

①+②，得3x=3,解得：x=l,

把x=l代入①得：。=-1,

X=1

?,?方程組的解為：\I

U=T

j3x+6〉0①

⑵[x-2<-x②'

由①得：x>-2,

由②得：尤<1,

...不等式組的解為：-2<x<l

【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元一次方程組以及解一元一次不等式組，掌握加減消元法以及解不等組的基本步驟，是

解題的關(guān)鍵.

21.為降低處理成本，減少土地資源消耗，我國(guó)正在積極推進(jìn)垃圾分類(lèi)政策，引導(dǎo)居民根據(jù)“廚余垃圾”、“有害

垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”這四類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類(lèi)處理調(diào)查小組就某小區(qū)居民對(duì)垃圾分類(lèi)知識(shí)的了解程

度進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖.

人數(shù)

(1)本次調(diào)查的樣本容量是；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)已知該小區(qū)有居民2000人，請(qǐng)估計(jì)該小區(qū)對(duì)垃圾分類(lèi)知識(shí)“完全了解”的居民人數(shù).

【答案】(1)100；(2)補(bǔ)全圖形見(jiàn)詳解；(3)600

【分析】(1)用較多了解的人數(shù)+對(duì)應(yīng)百分比，即可求解；

(2)先算出完全了解人數(shù)，較少了解人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖，即可；

(3)用2000X“完全了解”的百分比,即可求解.

【詳解】解:⑴554-55%=100(人),

故答案是：100；

(2)完全了解人數(shù)：100X30%=30(人)，

較少了解人數(shù)：100-30-55-5=10(人),

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

人數(shù)

（3）2000x30%=600（人），

答：估計(jì)該小區(qū)對(duì)垃圾分類(lèi)知識(shí)“完全了解”的居民人數(shù)有600人.

【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖，準(zhǔn)確找出相關(guān)數(shù)據(jù)，是解題的關(guān)鍵.

22.在3張相同的小紙條上，分別寫(xiě)上條件：①四邊形ABCD是菱形；②四邊形A3CD有一個(gè)內(nèi)角是直角；③四

邊形A3CD的對(duì)角線相等.將這3張小紙條做成3支簽，放在一個(gè)不透明的盒子中.

（1）攪勻后從中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率是；

（2）攪勻后先從中任意抽出1支簽（不放回），再?gòu)挠嘞碌?支簽中任意抽出1支簽.四邊形A3CD同時(shí)滿足抽到

的2張小紙條上的條件，求四邊形ABCD一定是正方形的概率.

【答案】（1）4；（2）4

33

【分析】（1）根據(jù)等可能事件的概率公式，直接求解，即可；

（2）先畫(huà)出樹(shù)狀圖，再根據(jù)概率公式，即可求解.

【詳解】解：（1）3支簽中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率=1+3=!，

3

故答案是：—；

3

（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖：

正方博正方形正方彩正方彩

?.?一共有6種等可能的結(jié)果，四邊形ABCD一定是正方形的可能有4種，

2

四邊形ABCD一定是正方形的概率=4+6=—.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查等可能事件的概率，熟練畫(huà)出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，B、F、C、E是直線/上的四點(diǎn)，ABHDE,AB=DE,BF=CE.

（1）求證：AABCmADEF；

（2）將八ABC沿直線/翻折得到..ABC.

①用直尺和圓規(guī)在圖中作出_A'BC（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；

②連接AD,則直線AO與/的位置關(guān)系是.

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①見(jiàn)詳解；②平行

【分析】（1）根據(jù)“SAS”即可證明人鉆。四△￡）跖；

（2）①以點(diǎn)B為圓心，A4為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫(huà)畫(huà)弧，兩個(gè)弧交于4,連接AB,4C,即

可；

②過(guò)點(diǎn)A'作AM，/,過(guò)點(diǎn)。作。NJJ,則AM〃￡W,且4M=￡W,證明四邊形4MVD是平行四邊形，即可得

到結(jié)論.

【詳解】（1）證明,:BF=CE,

：.BC=EF,

?：AB//DE,

，ZABC=ZDEF,

又：AB=DE.

:.AABC/ADEF；

(2)①如圖所示，即為所求；

②A￡>〃/,理由如下：

?：AABC^ADEF,_A'BC與ABC關(guān)于直線/對(duì)稱，

/.AA'BC學(xué)ADEF.

過(guò)點(diǎn)A作4過(guò)點(diǎn)。作。N，/,則AM〃DN,且4M=OV,

四邊形A'MV。是平行四邊形，

：.AD//l，

故答案是：平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解題

的關(guān)鍵.

24.為落實(shí)節(jié)約用水的政策，某旅游景點(diǎn)進(jìn)行設(shè)施改造，將手?jǐn)Q水龍頭全部更換成感應(yīng)水龍頭.已知該景點(diǎn)在設(shè)施

改造后，平均每天用水量是原來(lái)的一半，20噸水可以比原來(lái)多用5天，該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水多少噸？

【答案】該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水2噸.

【分析】設(shè)該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水x噸，則原來(lái)平均每天用水2x噸，列出分式方程，即可求解.

【詳解】解：設(shè)該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水X噸，則原來(lái)平均每天用水2x噸，

2020

由題意得：-------=5,解得：x=2,

x2x

經(jīng)檢驗(yàn)：x=2是方程的解，且符合題意，

答：該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水2噸.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=gx+6的圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,與反比例函數(shù)

y=：(x>0)的圖像交于點(diǎn)C,連接OC.已知點(diǎn)A(T,0),AB=2BC.

(1)求6、未的值；

(2)求△AOC的面積.

【答案】⑴b=2,k=6；⑵6

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)。作88軸，貝IJ。3〃8,把A(TO)代入y=gx+6得：b=2,由△AOfisAAfJC,得

-=—=進(jìn)而即可求解；

DACD3

(2)根據(jù)三角形的面積公式，直接求解即可.

【詳解】解：⑴過(guò)點(diǎn)C作軸，貝1JO8〃C2

才巴A(—4,0)代入y=gx+Z?得：O=gx(—4)+Z?,解得：6=2,

y——x+2,

2

令x=0代入y=；x+2,得y=2,即8(0,2),

：.OB=2,

'：AB=IBC,OB//CD,

/.AAOB^AADC.

OAOB2an422

99DACD3'DACD3

：.DA=6,CD=3

O￡)=6-4=2,

???O(2,3),

k

3=—,解得：k=6；

2

(2)△AOC的面積=,。4?。。=’義4><3=6.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法以及函數(shù)圖像點(diǎn)的

特征，是解題關(guān)鍵.

26.通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對(duì)線段長(zhǎng)度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)

形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用.

【理解】

⑴如圖1,4。，3。,00，皿，垂足分別為。、。片是43的中點(diǎn),連接。石.已知AD=a,BD=b(0<a<b).

①分別求線段CE、CD的長(zhǎng)(用含。、b的代數(shù)式表示)；

②比較大小：CECD(填“<”、"=”或“>”)，并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系.

圖2

【應(yīng)用】

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)M、N在反比例函數(shù)y=^(x>0)的圖像上，橫坐標(biāo)分別為機(jī)、w.設(shè)

p=m+n,q=~+-,記l=^pq.

mn4

①當(dāng)機(jī)=1,"=2時(shí)，I=;當(dāng)機(jī)=3,"=3時(shí)，I=

②通過(guò)歸納猜想，可得/的最小值是.請(qǐng)利用圖2構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說(shuō)明你的猜想成立.

【答案】(1)①=CE=!(a+"；②>，-(a+b)>4ab；(2)①？，1；②/的最小值是1,理由見(jiàn)

228

詳解

【分析】(1)①先證明從而得進(jìn)而得CQ的值，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直接得

CE的值；②根據(jù)點(diǎn)到線之間，垂線段最短，即可得到結(jié)論；

(2)①把見(jiàn)”的值直接代入/=!網(wǎng)=!(祖+〃)['+，]進(jìn)行計(jì)算，即可；②過(guò)點(diǎn)M作.％y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)

44\mn)

N作x,y軸的平行線，如圖所示，則&〃，-),B(m,-),畫(huà)出圖形，用矩形的面積表示

mn

—Imx—+mx—+nx—+nx—]進(jìn)而即可得到結(jié)論.

41mnnm)

【詳解】解：⑴?VAC±BC,CD±AB,

：.ZACD+ZA=ZACD+ZBCD=9Q°,即：ZA=ZBCD,

又：/4。。=/。。8=90°,

:.AADCS&CDB,

.ADCDnn.aCD

?---------,即-----=----,

CDBDCDb

CD2-ab,即：CD-y[ab(負(fù)值舍去)，

是AB的中點(diǎn)，

CE=~AB=—(^ci+

②CD_LAB,0<a<b,

CE>CD,即：—(tz+Z?)>-Jab

故答案是：〉；

,11/：x(l+2)x9

(2)①當(dāng)m=l,n=2時(shí)l=~PQ=^Vn+

8

當(dāng)加=3,"=3時(shí)，/=/=/+〃匕+與?。?+3乂3+§卜1，

9

故答案是：一，1；

8

②/的最小值是：1,理由如下：

由題意得：M犯—）,N（%-）,過(guò)點(diǎn)M作羽y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)N作羽y軸的平行線，如圖所示，則A（2—）,

mnm

1

B（m,—）,

n

11//IO1<111

I——pq=—（m+n\\——F—=—mx——Fmx—+nx—+nx一

44\mn）4（mnnm）

=-［（①的面積+②的面積）+②的面積+（②的面積+④的面積）+（①的面積+②的面積+③的面積+④的面積）］

4

=-［（①的面積+②的面積）+（②的面積+④的面積）+（①的面積+②的面積）+（②的面積+④的面積）+③的面

4

積］

=—（1+1+1+1+③的面積）21,

4

的最小值是1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似

三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是解題的關(guān)鍵.

27.在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，對(duì)于A、4兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)T,使得NA74'=90°,且7A=7A',則稱A、

4兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，把其中一個(gè)點(diǎn)叫做另一個(gè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知點(diǎn)/（—2,0）、N（—1,0）,點(diǎn)在一次函數(shù)

y=-2x+l的圖像上.

（1）①如圖，在點(diǎn)8（2,0）、C（0,-l）,0（—2,—2）中，點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是（填“歹、或“D”）；

②若在線段上存在點(diǎn)尸（1,1）的關(guān)聯(lián)點(diǎn)P,則點(diǎn)P'的坐標(biāo)是；

（2）若在線段上存在點(diǎn)Q的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。'，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）分別以點(diǎn)石（4,2）、。為圓心，1為半徑作E、Q.若對(duì)一石上的任意一點(diǎn)G,在。上總存在點(diǎn)G',

使得G、G'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

（備用圖）

【答案】（1）①8；②（一2,0）；（2）§〈祖父或—1金7區(qū)0；（3）。卜或。（3,-5）.

【分析】由材料可知關(guān)聯(lián)點(diǎn)的實(shí)質(zhì)就是將點(diǎn)A繞y軸上點(diǎn)7順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的得到點(diǎn)4.故先找到旋轉(zhuǎn)

90。坐標(biāo)變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解答即可，

（1）①根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律列方程求解點(diǎn)T坐標(biāo)，有解則是關(guān)聯(lián)點(diǎn)；無(wú)解則不是；②關(guān)聯(lián)點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0,

根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律列方程求解即可；

（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律得出關(guān)聯(lián)點(diǎn)Q',列不等式求解即可；

（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的變化規(guī)律可知圓心是互相關(guān)聯(lián)點(diǎn)，由點(diǎn)E坐標(biāo)求出點(diǎn)。坐標(biāo)即可.

【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（x,y），點(diǎn)T（0,a）,關(guān)聯(lián)點(diǎn)A（x',/）,

將點(diǎn)A、點(diǎn)4、點(diǎn)T向下平移。個(gè)單位,點(diǎn)T對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合,此時(shí)點(diǎn)A、點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)4(羽丁一。)、4(義,丁'一。)，

:繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的坐標(biāo)變化規(guī)律為：點(diǎn)(x,y)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為8?)；逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為

(-y,x),

.1.4(羽y-a)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為耳(y-a,-力或4(a-y,x),

x'=y-a[x'=y-a，/、

即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，1“解得,，即關(guān)聯(lián)點(diǎn)A(y—a,a—尤)，

y-a=-x[y=a-x

x'=a-y[x'=a-y,、

或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，，，解得：，，即關(guān)聯(lián)點(diǎn)Az(a—y,x+a),

y-a=x[y=x+a

即：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A(羽y),點(diǎn)T(0,a),關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為A(y—a,a—x)或A(a—y,x+a),

(1)①由關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律可知，點(diǎn)M(—2,0)關(guān)于在y軸上點(diǎn)T(0,a)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為：A(—a,a+2)或

A(a,—2+a),

—CL—2a—2

若點(diǎn)6(2,0)是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，貝卜或《—2+a—0'解得：。二12,即>軸上點(diǎn)T(°，2)或T(0,—2),故點(diǎn)6(2,0)

2+〃=0

是關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

—a—0〃二0

若點(diǎn)。(0,—1)是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，貝卜2+-1或,無(wú)解，故點(diǎn)。(0,-1)不是關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

—2+〃=—1

—a——2〃=-2

若點(diǎn)D(—2—2)是關(guān)聯(lián)點(diǎn),則《2+a=-2或,無(wú)解，故點(diǎn)。(—2,—2)不是關(guān)聯(lián)點(diǎn);

—2+〃=-2

故答案為：B；

②由關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律可知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)T(0,a)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為P'(l—a,a—1)或P(a—1M+1),

若a—1=0,解得：a=l,此時(shí)即點(diǎn)P'(0,0),不在線段肱V上；

若a+l=0,解得：a=-1,此時(shí)即點(diǎn)P'(-2,0),在線段跖V上；

綜上所述：若在線段上存在點(diǎn)P(l,l)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)P,則點(diǎn)P'(—2,0)

故答案為：（一2,0）；

（2）設(shè)點(diǎn)Q（m川與點(diǎn)。是關(guān)于點(diǎn)T（0,a）關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)。坐標(biāo)為Q'（〃一或Q'（a—〃,a+〃z）,

又因?yàn)辄c(diǎn)。在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上，即：〃=—2/72+1,

點(diǎn)Q'在線段MV上，點(diǎn)"（—2,0）、N（-1,0）,

a—m=Q

當(dāng)=-2m+1,

—2<n—a<—l

—2<—2m+l-m<—1,

2.

3

a-^-m=0

或｛〃=—2m+1,

—2<a—n<—l

—2<2m—,

當(dāng)一14根?0；

2

綜上所述：當(dāng)或—14根<0時(shí)，在線段MN上存在點(diǎn)。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)Q'.

（3）對(duì)右上的任意一點(diǎn)G,在。上總存在點(diǎn)G',使得G、G'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，

故點(diǎn)E與點(diǎn)。也是關(guān)于同一點(diǎn)關(guān)聯(lián)，設(shè)該點(diǎn)T（0,a）,則

設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)E是關(guān)于點(diǎn)T（0,a）關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)E坐標(biāo)為E（〃一。,。一間或￡（。一八,。+間,

又因?yàn)?。（辦”）在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上，即：〃=