高考數(shù)學(xué)常用二級(jí)結(jié)論專題分類（教師版）

2 2 4 5 6 6 8 9 已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù),則對(duì)任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特別地,若奇函數(shù)f(x)在D上有最值,則f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,則f(0)=0.例1.(2023·全國·高三對(duì)口高考)函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-A.0B.1C.2D.3設(shè)f(x)在x0∈[-a,a]處取到最大值，則f(x)在-x0∈[-a,a]處取到最小值，可得f(x0)+f(-x0)=0，且F(x)在x0處取到最大值，在-x0處取到最小值，所以F(x0)+F(-x0)=[f(x0)+1[+[f(-x0)+1[=[f(x0)+f(-x0)[+2=2.35A.-4B.-2C.2D.1∴g(x)max+g(x)min=0， ①若f(x+a)=f(x-a)，則函數(shù)的周期T=2a；②若f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)的周期T=2a；④若f(x+a)=-，則函數(shù)的周期T=2a；⑤f(x+a)=f(x+b)=，則函數(shù)的周期T=|a-b|.例1.已知函數(shù)f(x)=ln(x+、1+x2(++4在[-8,8]上的最大值和最小值分別為M、m，則M+m=()A.8B.6C.4D.2可得出答案.-8,8〔，因?yàn)間(-x)=ln(-x+=ln((=-g所以函數(shù)g(x(為奇函數(shù)，所以g(x(max+g(x(min=0，所以M+m=8.1.已知函數(shù)y=f(x+1)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+3)+f(1-x)=2，則()A.f(1(=0B.f(2(=0C.f(3(=1D.f(4(=1所以f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，則f(1-x)=f(x+1)，又f(x+3)+f(1-x)=2，所以f(x+3)+f(x+1)=2，即f(x+2(=-f(x(+2,f(x+4(=-f(x+2(+2=f(x(，函數(shù)f(x)的周期為4，取x=0，則f(2)+f(0)=2f(2(=2?f(2(=f(0(=1，2.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=-f(x)，且當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)=x-1，則f()的值等于()A.B.C.D.-【解答過程】解：根據(jù)題意，定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=-f(x)，則有f(2-x)=-f(-x)，變形可得f(x+2)=-f(x)，則有f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f()=f(-)=-f()，故f()=-，故選：D.①f(a+x(=-f(a-x)；②f(x(=-f(2a-x)③f(-x(=-f(2a+x)①若f(a+x(=f(b-x)，則f(x(關(guān)于x=對(duì)稱；②若f(a+x(=-f(b-x)，則f(x(關(guān)于,0(對(duì)稱；例1.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?-∞,1(∪(1,+∞(，且f(x+1)為奇函數(shù)，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=-x2-4x，則f(x)=的所有根之和等于()A.4B.2C.-12D.-6【詳解】解：當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=-(x2+4x(=-(x+2(2+4，∴對(duì)稱軸為x=-2，∴f(x+1)=-f(-x+1)，∴f(x)=-f(2-x)，設(shè)(x,y(為y=f(x)(x>1(圖像上任意一點(diǎn)，則(2-x,-y(在f(x)=-x2-4x上，∴-y=-(4-x(2+4，即y=(x-4(2-4，由圖像知f(x)=有4個(gè)根，不妨設(shè)x1<x2<x3<x4， ×(-2(=-4，()A.-πB.-πC.π-D.π-因?yàn)閥=f(x)圖像關(guān)于點(diǎn),0(對(duì)稱，所以f(+x)+f(-x)=0，所以f(1+x)+f(-x)=0，又y=f(x)為偶函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x+2)=-f(1+x)=f(x)，所以函數(shù)f(x)最小正周期為2，所以f(π)=f(π-4)=f(4-π)=π-4+=π-.若函數(shù)y=f(x)是定義在非空數(shù)集D上的單調(diào)函數(shù),則存在反函數(shù)y=f-1(x).特別地,y=ax與y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù),兩函數(shù)圖象在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,即(x0,f(x0))與(f(x0),x0)分別在函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上.5例1.已知函數(shù)f(x(=x2-ax(≤x≤e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))與g(x(=ex的圖象上存在關(guān)于直線y=x【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-ax與g(x)以函數(shù)f(x)=x2-ax與h(x)=lnx的圖像有公共點(diǎn)，則x2-ax=lnx有解，即a=x-有解，令F(x(=x-，則F’(x(=<0在,1(成立，F(xiàn)’(x(=>0在(1,e[上成立，即F(x(=x例1.設(shè)函數(shù)=1-e-x.證明:當(dāng)x>-1時(shí),f證明x>-1時(shí),f(x)≥?x>-1,1-e-x≥?1-≥e-x(x>-1)?≥(x>-1)?x+1≤ex(x>-1).當(dāng)x>-1時(shí),ex≥x+1恒成立,所以當(dāng)x>-1時(shí),f1.已知函數(shù),則y=f的圖象大致為()【解析】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)樗耘懦x項(xiàng)D.令g(x)=ln(x+1)x,則由經(jīng)典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排 除A,C,故選B.OP設(shè)平面上三點(diǎn)O,A,B不共線,則平面上任意一點(diǎn)P與A,B共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ與μ,OP=λO+μO,且λ+μ=1.特別地,當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí),O=O+O.∴A-A=λ(A-A)，∵A=A，A=mA+A，∴A=mA+A，∴A=mA+A.A=xA，A=A=xA，A=故AE=AD=故AE=AD=AM+AN公眾號(hào)：慧博高中數(shù)學(xué)最新試題公眾號(hào)：慧博高中數(shù)學(xué)最新試題—→—→mA，A=nA—，則mn+m的最小值為()由已知，可得A—=A+B—=A+B=A+=AB+AC=所以mn+m=+m=+=(+)(+)=++≥+2×=2，2sinA.2sinA.A.|AB+AC—→—→B.AB?AC=2 C.PA+PB+PC=3因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的正三角形，所以|A+A—|=(A+A—(2=A2+2A?A—+A—2=重心的性質(zhì)可得A—=?(A+A—)=(A+A—)，所以3P-3P=P-P+P-P，所以3PG=PA+PB+PC，故C正確；因?yàn)閨A+C|=(A+C2(=A2+C2+2A?C=4+4+2×2×2×=23，故D不正確.A.1B.23C.23所以BC2+AC2=AB2→AC?BC，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，所以A—=A—=(A—+C(，—→—→2.O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心 .B= .的大小.由余弦定理可得cosB=又0<B<π,則B=又D是AB的中點(diǎn)，故答案為重心.an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n?ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).p+q=0.k2k-Sk,S3k-S2k,?構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.有項(xiàng)之和S2m=m,S偶-S奇=md,故選B.2.已知無窮等差數(shù)列{an{的公差d>0，{an{的前n項(xiàng)和為Sn，若a5<0，則下列結(jié)論中正確的是()A.{Sn{是遞增數(shù)列B.{Sn{是遞減數(shù)列C.S2n有最小值D.S2n有最大值則{an{是遞增數(shù)列，但{Sn{應(yīng)是先減后增數(shù)列，A.B.C.D.3,S6-S3,S9-S6,S12-S9已知等比數(shù)列{an{,公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.n=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).1a2a3?am,am+1am+2?a2m,a2m+1a2m+2?a3m,?成等比數(shù)列(m∈N*).nA.2B.3C.4D.6T=(-24(46=84×=>192，T則d===2，∴an=2n+1；nn+1((n∈N?(在函數(shù)y=3x-4的圖像上n=3n+2.T1+52+?+(2n+1)×n2+53+?+(2n+1)×n+1①-②得，Tn=3×1+2×2+3+?+n[-(2n+1n=1+2×-(2n+1n=2n+4n+1【解析】如圖，正四棱錐P-ABCD的底面中心為H.又PH=4，PA=PH2+AH2又AH⊥PH，由射影定理可得PA2=PH×PQ，1.正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，則三棱錐A1-BCD內(nèi)切球的表面積為()A.23+22A.23+22+12【詳解】設(shè)三棱錐A1-BCD內(nèi)切球半徑為r，三棱錐A1-BCD的表面積S表=S△BCD+S△BCA+S△BDA+S△CDA因?yàn)?-BCD=S表r，.(1+22+3(2所以三棱錐A1-BCD內(nèi)切球的表面積為.(1+22+3(2解得r=1.:O到平面ABC的距離為又C到AB的最大距離為，(1)在橢圓+=1(a>b>0)中,F1,F2分F:1-b2=5:所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=1或yA.33B.233F積.的平方關(guān)系和三角形面積公式可得.1.過圓C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.3.已知點(diǎn)M(x0,y0),拋物線C:y2=2px(p≠0)和直線l:y0y=p(x+x0).(1)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C上時(shí),直線l與拋物線C相切,其中M為切點(diǎn),l為切線.(2)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C外時(shí),直線l與拋物線C相交,其中兩交點(diǎn)與點(diǎn)M的連線分別C切.(1)x2=12y；(1)設(shè)直線l1的方程為y=x+再根據(jù)直線和圓相切求出p的值得解；(2)依題意設(shè)M(m,-3(，求出切線l2的方程和B點(diǎn)坐標(biāo)，求出M—=(x1-2m16(，O—=(x1-m13(即可求解:(x+1(2+y2=2的圓心C2(-1,0(，半徑r=、2，由直線l1與圓C2相切，2=12y的準(zhǔn)線為y=-3，設(shè)M(m,-3(，于是切線l2的方程為x1(x-x1(+y1，令x=0，得y=-+y1=-×12y1+y1=-y1，即l2交y軸于點(diǎn)B(0,-y1(，因此M=(x1-m,y1+3(,M=(-m,-y1+3(，M=M+M=(x1-2m,6(，則O=O+M=(x1-m,3(，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y(，從而y=3，所以點(diǎn)N在定直線y=3上.1.過點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB·的方程為()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0故直線AB的方程為y-1=-2(x-1(，即2x+y-3=0，故選A.2.設(shè)橢圓=1,點(diǎn)P(1,則橢圓C在點(diǎn)P(1)如圖①所示,若直線y=kx(k≠0)與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)作橢圓的切線l,l',有l(wèi)∥l',(2)如圖②所示,若直線y=kx與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓上異于A,B的點(diǎn),若直線PA,PB的斜(3)如圖③所示,若直線y=kx+m(k≠0且m≠0)與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),P為弦AB的中點(diǎn),設(shè)直線+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則橢圓E的方程為()A.+=1B.+=1C.+=1即-=kPF?kCF=×=-，即a2=2b2，故選DD.+=1AOB\PF1.過點(diǎn)M(1,1)的直線與橢圓+=1交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M平分弦AB，則直線AB的方程為()A.4x+3y-7=0B.3x+4y-7=0C.3x-4y+1=0D.4x-3y-1=0x+y=1①x+y=1①①-②得+=0，因?yàn)辄c(diǎn)M為AB中點(diǎn)，則x1+x2=2,y1+y2=2，所以+=0，即k==-，所以直線l的方程為y-1=-(x-1(，整理得3x+4y-7=0(1)8、5(2)4x-y-15=0所以直線l的方程為：y-1=x-4，即y=x-3，聯(lián)立y2=8x得x2-14x+9=0，設(shè)A(xA,yA(，B(xB,yB(，所以xA+xB=14，xAxB=9，所以|AB|=(1+k2([(xA+xB(2-4xAxB[=2×(142-4×9(=85所以y=8xA，y=8xB，兩式相減得：y-y=8xA-8xB，得====4，所以直線l的方程為：y-1=4(x-4(，即4x-y-15=0在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中,曲線上的一定點(diǎn)P(非頂點(diǎn))與曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)A,B滿足直線PA與PB的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補(bǔ)),則直線AB的斜率為定值.已知橢圓+=1(a>b>0),定點(diǎn)P(x0,y0)(x0y0≠0)在橢圓上,設(shè)A,B是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0.直線AB的斜率kAB為已知雙曲線-=1(a,b>0),定點(diǎn)P(x0,y0)(x0y0≠0)在雙曲線上,設(shè)A,B是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0.直線AB的斜率kAB為定值-b2x0已知拋物線y2=2px(p>0),定點(diǎn)P(x0,y0)(x0y0≠0)在拋物線上,設(shè)A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0.直線AB的斜率kAB為定值-.x2x25為定值.2-2ty+t2-1=0，因?yàn)閤1x2-2x2=4(t-y1)(t-y2)-4(t-y2)=4[t2-t(y1+y2)+y1y2-t+y2]線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù).證明:直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.同理,設(shè)直線AF的方程為y=-k(x-1)+,所以kEF=則直線lAB過定點(diǎn),0(.同理,當(dāng)以AB為直徑的圓過左頂點(diǎn)(-a,0)時(shí),直線lAB過定點(diǎn) (2)對(duì)于雙曲線-=1(a>0,b>0)上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A,B,以AB為直徑的圓經(jīng)過右頂點(diǎn)0).同理,拋物線x2=2py(p>0)ob=0,則弦AB所在直線過點(diǎn)(2p,⊥ob,則直線AB過定點(diǎn)(0,2p).(3k2+1(x1x2+(3km-3((x1+x2(+3m2+9=0，化簡(jiǎn)得9k2+9km+2m2=0，解得m=-3k或m=-k，若直線MN的斜率不存在，設(shè)MN方程為x=x0(-3<x0<3(，-1=t-y，即直線AB恒過拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)，而|HF|=、(t-0)2+(-1-1)2=、t2+4，即S△HAB=(t2+4)、t2+4=(t2+4>4，AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦(焦點(diǎn)弦),過A,B分別作準(zhǔn)線l:x=-的垂線,垂足分別為A1,B1,E為A1B1的中點(diǎn).(1)如圖①所示,以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切于點(diǎn)E.(2)如圖②所示,以A1B1為直徑的圓與弦AB相切于點(diǎn)F,且EF2=A1A