角平分線的判定課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊

新知一覽全等三角形角平分線的性質(zhì)全等三角形三角形全等的判定“邊邊邊”“斜邊、直角邊”“角邊角”“角角邊”“邊角邊”角平分線的判定角平分線的性質(zhì)第2課時角平分線的判定3角的平分線的性質(zhì)標(biāo)題標(biāo)題第十二章全等三角形新課導(dǎo)入

如圖，要在

S

區(qū)建一個風(fēng)箏主題公園，使它到公路和鐵路的距離相等，這個風(fēng)箏主題公園應(yīng)建于何處？S垂線段的長

實際問題幾何問題AOB

在∠AOB內(nèi)是否存在點

P

，過點

P作

OA、OB

的垂線并交

OA、OB

于點

D、E，使得

DP=EP？AOB角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.猜想：探究新知知識點1：角平分線的判定

P

DE這個點是否就在角的平分線上呢？

DP=EP證一證

已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是

D、E，PD=PE.求證：點

P在∠AOB的平分線上.證明：作射線

OP.∴點

P在∠AOB

的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，OP=OP(公共邊)，PD=PE(已知)，BADOPE∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).∴∠AOP=∠BOP(全等三角形的對應(yīng)角相等).定義總結(jié)

判定定理：

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點

P在∠AOB的平分線上.位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系回顧導(dǎo)入

如圖，要在

S

區(qū)建一個風(fēng)箏主題公園，使它到公路和鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路交叉處距離為

500

m，這個風(fēng)箏主題公園應(yīng)建在何處？DCS解：作夾角的角平分線

OC，在射線OC上截取

OD=500m，則點

D即為所求.O總結(jié)定理的作用：

判斷點是否在角的平分線上.變式1：如圖，

S

區(qū)內(nèi)有兩條公路和一條鐵路，它們兩兩相交，交點分別為點

A，B，C，如果要在△ABC

區(qū)域內(nèi)建一個風(fēng)箏主題公園，使它到三條路的距離相等，這個風(fēng)箏主題公園應(yīng)建在何處？AB

C

分析：由上題可知到

AB，AC距離相等的點在∠BAC

的角平分線上，則到

BA，BC距離相等的點在∠ABC

的角平分線上

，它們交于一點

P.P

那么這一點

P是否到三邊的距離都想相等呢？證一證已知：如圖，△ABC的角平分線

BM，CN相交于點

P.求證：點

P到三邊

AB，BC，CA

的距離相等.證明：過點

P作

PD，PE，PF分別垂直于

AB，BC，CA，垂足分別為

D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC

的角平分線，

點

P

在

BM

上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.即點

P到三邊

AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

想一想：點

P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點

P在∠A的平分線上.總結(jié)三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等D

F

A

B

C

P

N

M

變式2：如圖，

S

區(qū)內(nèi)有兩條公路和一條鐵路，它們兩兩相交，交點分別為點

A，B，C，如果要在△ABC

區(qū)域內(nèi)建一個風(fēng)箏主題公園，使它到三條路的距離相等，這個風(fēng)箏主題公園應(yīng)建在何處？AB

C

P

△ABC

的三條內(nèi)角平分線交點處.

若將題目條件換成△ABC

區(qū)域外，那么風(fēng)箏主題公園應(yīng)建在何處？變式3：如果要在△ABC

區(qū)域外建一個風(fēng)箏主題公園，使它到三條路的距離相等，這個風(fēng)箏主題公園應(yīng)建在何處？(畫出所有點)AB

C

P1

P2

P3

歸納總結(jié)AB

C

P4

P2

P3

P1

到△ABC

三邊所在的直線距離相等的點有____個.4典例精析例1如圖，∠ABC

的平分線與∠ACB

的外角平分線相交于點

D，連接

AD.

求證：AD

是∠BAC

的外角平分線.BACD分析：求證：AD

是∠BAC

的外角平分線.求證：D

到

BA，AC

的距離相等.則根據(jù)題目條件，可過點

D

作

BA，AC，BC

邊上的輔助線.證明：作

DE⊥BA

交

BA

的延長線于點

E，DF⊥AC于點

F，DG⊥BC交

BC

的延長線于點

G，∵DB平分∠ABC，DC

平分∠ACH，∴DE=DG，DF=DG.∴DE=DF.又∵DE⊥BA，DF⊥AC，∴AD是∠BAC

的外角平分線.BACDEFG練一練1.

(西安階段)如圖，O

是△ABC

內(nèi)一點，且點

O

到三邊

AB，AC，BC

的距離相等，即

OF

=

OE

=

OD，若∠BAC

=

100°，則∠BOC

的度數(shù)是

(

)A.140°

B.130°C.120°

D.110°A圖形已知條件結(jié)論PCPCOP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)練一練當(dāng)堂小結(jié)角平分線的判定定理內(nèi)容角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的_______上作用判斷一個點是否在角的平分線上相關(guān)結(jié)論三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點，該點到三角形三邊的距離_____

平分線相等1.(西安期中)如圖，若∠ABC

的平分線與△ABC

的外角∠ACD

的平分線相交于點

P，若∠BAC

=

62°，∠PAC

等于_______°.當(dāng)堂練習(xí)59BACDP2.(泰州校考)如圖，電信部門要在

S

區(qū)修建一座發(fā)射塔

P.按照設(shè)計要求，發(fā)射塔

P

到兩個城鎮(zhèn)

A、B

的距離必須相等，到兩條高速公路

m

和

n

的距離也必須相等，發(fā)射塔

P

應(yīng)建在什么位置?

在圖上標(biāo)出它的位置.(尺規(guī)作圖：只保留作圖痕跡，不寫作圖過程).BAOSP解：如右圖所示.3.(河源?？?如圖，AD

=

BD，∠CAD

+

∠CBD

=

180°，求證：CD

平分∠ACB.證明：∵

過點

D

作

DE⊥CA

交

CA的延長線于點

E，作DF⊥CB于點

F，如圖所示：∴∠AED

=

∠BFD

=90°.∵∠CAD

+∠CBD

=

180°，∠CAD

+∠EAD

=

180°，∴∠CBD

=∠EA