6 應用一元二次方程 數學北師大版九年級上冊

第二章一元二次方程6應用一元二次方程初中數學北師大版九年級上冊第1課時利用一元二次方程解決幾何問題情境導入你還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？如圖，一個長為10

m

的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8

m.如果梯子的頂端下滑1

m，那么梯子的底端滑動多少米？（1）在這個問題中，梯子頂端下滑1米時，梯子底端滑動的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？xx設梯子頂端下滑x米，底端滑動x米(8-x)2+(6+x)2=102x2-2x=0x1=0（舍），x2=2.（2）如果梯子長度是13m，梯子頂端與地面的垂直距離為12m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？設梯子頂端下滑x米，底端滑動x米(12-x)2+(5+x)2=132x2-7x=0x1=0（舍），x2=7.幾何畫板探究新知例1如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭。小島F位于BC中點。一艘軍艦從A出發(fā)，經B到C勻速巡航，一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦。已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結果精確到0.1海里）幾何畫板（1）要求

DE

的長，需要如何設未知數？

（2）怎樣建立含

DE未知數的等量關系？從已知條件中能找到嗎？（3）利用勾股定理建立等量關系，如何構造直角三角形？（4）選定Rt△DEF后，三條邊長都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？解：連接DF.∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC

的中位線.∴DF∥AB，且DF=AB.∵AB⊥BC，DF=100nmile，BF=100nmile.設相遇時補給船航行了xnmile，那么DE=xnmile，AB+BE=2xnmile，EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）nmile.在Rt△DEF

中，根據勾股定理可得方程

x2=1002+(300-2x)2，整理，得3x2-1200x+100000=0.

解這個方程，得

所以，相遇時補給船大約航行了118.4nmile.隨堂練習【選自教材P53隨堂練習】《九章算術》“勾股”章有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙行各幾何?！贝笠馐钦f：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3。乙一直向東走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇。那么相遇時，甲、乙各走了多遠？解：設所行時間為t，則有(3t)2+102=(7t-10)2，解得t1=0（舍去），t2=.∴甲走了×7=（步），乙走了×3=（步）.達標檢測【選自教材P53習題2.9】有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？解:設較多的錢為x．由題意,可得x(20－x)＝96，解得x1＝12，x2＝8(舍去)．所以，賽義德得到的錢數為12.如圖：在Rt△ACB中，∠C=90°，點P、Q

同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C

勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？解:設經過ts，△PCQ

面積為Rt△ACB

面積的一半．

(8－t)(6－t)＝×6×8×，解得t1＝2，t2＝12(舍去)．所以，經過2s，△PCQ

面積為Rt△ACB

面積的一半．【選自教材P53習題2.9】如圖，一條水渠的斷面為梯形，已知斷面的面積為0.78m2，上口比渠底寬0.6，渠深比渠底少0.4m，求渠深.【選自教材P53習題2.9】解:設渠深為xm，則渠底為(x＋0.4)m．S＝·[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]·x

＝0.78，解得x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．所以，渠深0.6m．解:設

ts后P

，Q

兩點相距15cm．由題意有t2＋(21－t)2＝152，解得t1＝9，t2＝12．所以，運動9s或12s時,P,Q

兩點相距15cm．如圖，在Rt△ACB

中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm.動點P從點C出發(fā)，沿CA方向運動；動點Q同時從點B出發(fā)，沿BC方向運動.如果動點P，Q的運動速度均為1cm/s，那么運動幾秒時，它們相距15cm？.【選自教材P54習題2.9】第二章一元二次方程6應用一元二次方程初中數學北師大版九年級上冊第2課時利用一元二次方程解決經濟問題知識回顧請同學們回憶并回答與利潤相關的知識利潤=（）-

進價售價售價=標價×折扣9折要乘以90%或0.9或，那么x

折呢？探究新知例2新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元。市場調研表明：當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺。商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的降價應為多少元？分析基本數量關系售價-進價=利潤每臺利潤×每天的銷售量=每天的總利潤例2新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元。市場調研表明：當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺。商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的降價應為多少元？進價售價銷售量每臺利潤總利潤降價前降價后250029008400400×82500未知未知未知5000設每臺冰箱降價x

元售價每降低50元多售出4臺售價每降低100元多售出4×臺售價每降低x

元多售出4×臺例2新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元。市場調研表明：當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺。商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的降價應為多少元？進價售價銷售量每臺利潤總利潤降價前降價后250029008400400×82500未知未知未知5000設每臺冰箱降價x

元售價每降低50元多售出4臺售價每降低100元多售出4×臺售價每降低x

元多售出4×臺2900-x8+4×400-x例2新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元。市場調研表明：當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺。商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的降價應為多少元？解：設每臺冰箱降價x

元，根據題意，得8+4×(2900-x

-2500)()=5000解這個方程，得x1=x2=150.2900-150=2750所以，每臺冰箱應定價為2750元.某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個。調查發(fā)現：售價在40元至60元范圍內，這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個.為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少？這時應購進臺燈多少個？解：設這種臺燈售價上漲x

元，根據題意，得(40+x-30)(600-10x)=10000解這個方程，得x1=10.

x2=40（舍）.售價為：40+x=40+10=50（元）應購置臺燈：600-10x=600-10×10=500（個）利用方程解決實際問題得關鍵和步驟是什么？關鍵：尋找等量關系步驟：其一是整體地、系統(tǒng)地審清問題；其二是把握問題中的“相等關系”；其三是正確求解方程并檢驗解的合理性。隨堂練習【選自教材P55隨堂練習】某批發(fā)市場禮品柜臺春節(jié)期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張贏利0.3元.為了盡快減少庫存，攤主決定采取適當的降價措施.調查發(fā)現，如果這種賀年卡的售價每降價0.05元，那么平均每天可多售出200張.攤主要想平均每天贏利180元，每張賀年卡應降價多少元？解:設每張賀卡應降價x

元．(0.3－x)(×200＋500)＝180，解得x1＝0.1，x2＝．又∵攤主想盡快減少庫存．∴減得越多,賣得越多．在盈利相同的情況下選擇降價0.1元更合適．達標檢測【選自教材P55習題2.10】某種服裝，平均每天可銷售20件，每件贏利44元.在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多售5件.如果每天要贏利1600元，每件應降價多少元？解:設每件應降價x

元．(5x＋20)(44－x)＝1600，解得:x1＝4，x2＝36(舍去)所以，每件應降價4元．一個農業(yè)合作社以64000元的成本收獲了某種農產品80t，目前可以以1200元/t的價格售出．如果儲藏起來，每星期會損失2t，且每星期需支付各種費用1600元，但同時每星期每噸的價格將上漲200元.那么，儲藏多少個星期出售這批農產品可獲利122000元？【選自教材P55習題2.10】解:設儲藏x個星期出售這批農產