簡明電工學(xué)完整版教學(xué)課件全書電子講義

模塊1電路的基本概念與基本定律1.1電路的作用與組成1.2電壓源和電流源1.3電壓和電流的參考方向

1.4電源有載工作、開路與短路1.5電位的概念及計算1.6基爾霍夫定律

電路的基本概念與基本定律是分析和計算電路的基礎(chǔ)。本模塊主要討論電壓源、電流源、電壓和電流的參考方向、電源的工作狀態(tài)、電位以及基爾霍夫定律等。在學(xué)習(xí)的過程中會涉及物理學(xué)的很多基礎(chǔ)知識,需要多加思考,充分理解。

能力要素

(1)掌握電路的基本概念。

(2)能夠?qū)﹄娐返碾娢贿M行求解。

(3)能夠?qū)﹄娐吩鸬淖饔眠M行判斷并分析功率情況。

(4)能夠應(yīng)用基爾霍夫定律分析簡單電路。

知識結(jié)構(gòu)

1.1電路的作用與組成

問題1中宿舍供電電力系統(tǒng)如圖1.1.1所示。發(fā)電廠發(fā)電后,交流電升壓并入電網(wǎng),繼而通過高壓輸電線進行電力傳輸,到達地方逐級降壓后供負載(計算機)使用。

發(fā)電廠通過電路給計算機供電,計算機通過電路輸出圖像等信息,因此電路是為了某種需要由電工設(shè)備或電路元器件按一定方式組合而成的電流的通路。圖1.1.1電力系統(tǒng)示意圖

1.電路的作用

由上可知,電路的作用一:提供能量,實現(xiàn)電能的傳輸、分配與轉(zhuǎn)換。

此外,計算機可以在顯示屏上輸出不斷變化的圖像,因此,電路的作用二:提供信號,實現(xiàn)信號的傳遞與處理。

體現(xiàn)電路作用的例子有很多。比如在電動玩具小車中,電池通過電路給控制器和馬達提供電能,控制器通過電路中電流的變化調(diào)整小車的運動速度等。

2.電路的組成

發(fā)電廠的發(fā)電機可以理解為電源,用電設(shè)備可以理解為負載,連接電源與負載所需的變壓器、導(dǎo)線、開關(guān)等,稱為中間環(huán)節(jié),因此電路由電源、負載、中間環(huán)節(jié)組成。需要強調(diào)的是,信號源也屬于電源,其將非電量轉(zhuǎn)換為電信號,比如傳感器的信號采集裝置。中間環(huán)節(jié)未必包含導(dǎo)線,比如無線充電。

將問題2中的計算機等效為一個電阻元件,同時假設(shè)由電源直接提供220V電壓,其電路模型可用圖1.1.2表示。計算機的電磁特性十分復(fù)雜,但問題2只要求粗略估算電流,因此可將其等效為電阻元件,這就是元器件的理想化(模型化);該電源同樣為理想化的電源,稱為理想電壓源。由理想元件組成的電路,稱為電路模型。理想元件主要有電阻、電容、電感和電源,這些元件分別由相應(yīng)的參數(shù)表征。

本書所分析的都是電路模型,簡稱電路。圖1.1.2電路模型

1.2電壓源和電流源

1.電壓源實際電源可用如圖1.2.1所示的電路模型表示,這種用電壓表示的電源模型稱為電壓源。圖1.2.1電壓源模型圖1.2.2外特征曲線圖1.2.3理想電壓源

理想電壓源的特點如下:

(1)輸出電壓U恒等于電動勢E,與理想電壓源并聯(lián)的所有元件端電壓均為E。

(2)理想電壓源的輸出電流受外電路影響。如圖1.2.3所示電路,若RL=2Ω,則

若RL=1Ω,則

任意電壓源都可以理解為理想電壓源與電阻的串聯(lián)。發(fā)電機、電池和信號源等都可以等效為電壓源。

2.電流源

式(1.2.1)兩邊同時除以R0,可得

則

用電路圖表達如圖1.2.4所示。與圖1.2.1相比,負載RL的電壓U和電流I并未發(fā)生變化。這種用電流表示的電源模型稱為電流源。圖1.2.4電流源模型

由式(1.2.2)可得到電流源的外特征曲線,如圖1.2.5所示。當(dāng)電流源開路時,U=R0IS;當(dāng)電流源短路時,I=IS。

若R0=∞或R0?RL(可將R0視為開路),I=IS,稱為理想電流源,又稱為恒流源,其符號和電路如圖1.2.6所示。它的外特征曲線是與縱軸平行的直線,如圖1.2.5所示。圖1.2.5外特征曲線

理想電流源的特點如下:

(1)輸出電流I恒等于電流IS。與理想電流源串聯(lián)的所有元件上的電流均為IS。

(2)理想電流源的輸出電壓受外電路影響。如圖1.2.6所示電路,若RL=2Ω,則

若RL=1Ω,則

任意電流源都可以理解為理想電流源與電阻的并聯(lián)。電流源廣泛應(yīng)用于電子技術(shù)中。圖1.2.6理想電流源

1.3電壓和電流的參考方向

在電路計算中,首要問題是確定電壓和電流的方向,即需要在電路圖上用箭頭或“+”“-”標(biāo)出它們的方向。電流實際方向規(guī)定為正電荷運動的方向;電壓實際方向規(guī)定為高電位(+)指向低電位(-),即電位降低的方向;電源電動勢實際方向規(guī)定為在電源內(nèi)部由低電位(-)指向高電位(+),即電位升高的方向。

電壓和電流的參考方向還可用雙下標(biāo)表示。以電壓為例,如圖1.3.1所示,如a、b兩點間的電壓Uab,其參考方向由a指向b,即a點的參考極性為“+”,b點的參考極性為“-”,顯然Uab=-Uba。圖1.3.1電壓的雙下標(biāo)表示

一般情況下,電壓與電流相伴出現(xiàn),均需要設(shè)定參考方向。為了計算方便,一般選取電壓和電流的參考方向如圖1.3.2所示。

如果圖(b)中負載為電阻R,則電壓和電流的參考方向一致,可得

需要注意的是,電壓和電流本身還有正值和負值之分。圖1.3.2參考方向

1.4電源有載工作、開路與短路

1.電源有載工作如圖1.4.1所示,當(dāng)開關(guān)S1斷開,S2閉合時,電源與負載接通,稱為有載工作?？傻脠D1.4.1電源有載工作、開路與短路

PE指電源產(chǎn)生的功率,ΔP指內(nèi)阻消耗的功率,P指電源輸出的功率。圖中負載為電阻,P也可表述為負載消耗的功率,如果負載為電動機或者被充電的電源,P可表述為負載取用的功率。

在實際生活中,負載幾乎都并聯(lián)運行,因為電源的端電壓(輸出電壓)幾乎不變,所以負載兩端電壓也幾乎不變。當(dāng)并聯(lián)負載增加時,電源的輸出電流和功率都會增加,因此電源輸出電流和功率取決于負載的大小。

一般情況下,各種電氣設(shè)備的電壓、電流和功率都會有一個合適的值,稱為額定值。比如一盞電燈標(biāo)有220V/100W,表示其額定電壓是220V,因此不能接到380V電源上;額定功率是100W,則確定了燈的亮度和消耗的功率。需要注意的是,電壓、電流和功率的實際值不一定等于它們的額定值。

2.電源開路

如圖1.4.1所示,當(dāng)開關(guān)S1、S2斷開時,電源開路,稱為空載狀態(tài)。此時I=0且U=E,即電源端電壓等于電源電動勢。同時功率P=0,即負載沒有消耗功率。

由上可知,電路中的電流為0,并不代表所有元件的電壓均為0

3.電源短路

如圖1.4.1所示,當(dāng)開關(guān)S1閉合時,電源短路,則短路電流

此時U=0,P=0,功率均被內(nèi)阻消耗。一般情況下,內(nèi)阻很小會導(dǎo)致短路電流很大,這種情況一般要避免出現(xiàn)。

由上可知,電路中的電壓為0,并不代表流過所有元件的電流均為0。

1.5電位的概念及計算

電路分析時會涉及電壓大小的比較,用“電位”取代“電壓”進行思考,往往更加便捷。學(xué)習(xí)電位時可以類比水位進行思考。計算電位時,需要選定電路中某一點作為參考點(用接地符號⊥表示),通常設(shè)參考點的電位為零。電路中某點至參考點的電壓,記為“Vx”,稱為該點電位。

如圖1.5.1所示,選取參考點為b點,則圖1.5.1電路舉例

需要注意以下幾點:

(1)電流從高電位流向低電位。

(2)某點電位為正,說明該點電位比參考點高;反之,說明該點電位比參考點低。

(3)電位是相對的,參考點選取的不同,電路中各點的電位也將隨之改變。

(4)電路中兩點間的電壓是固定的,不會因為參考點的不同而變化,即與參考點的選取無關(guān)。

原則上參考點可任意選擇,但為了統(tǒng)一起見,當(dāng)電路中的某處接地時,可選大地為參考點。當(dāng)電路中各處都未接地時,可選取某點為參考點,如選取元件匯集的公共端為參考點,也稱之為“地”。

圖1.5.1可簡化為圖1.5.2所示電路,不畫電源,各端標(biāo)以電位值,二者是等效的。圖1.5.2圖1.5.1的簡化電路

【例1.5.1】電路如圖1.5.3所示,求a、b和c點電位。

解已知參考點是c點,即

則圖1.5.3例1.5.1的電路

【例1.5.2】電路如圖1.5.4所示,計算開關(guān)S斷開和閉合時a點的電位Va。圖1.5.4例1.5.2的電路圖1.5.5等效電路

【專1.1】判別電路中哪些元件是電源(或起電源作用),哪些元件是負載(或圖1專1.1的電路起負載作用)。以電池為例,當(dāng)電池被充電時,電池起負載作用;當(dāng)電池給設(shè)備供電時,電池起電源作用。根據(jù)電壓和電流的實際方向可確定電路元件所起的作用,當(dāng)電流從元件“+”端流出時,元件起電源作用,發(fā)出功率;當(dāng)電流從元件“+”端流入時,元件起負載作用,取用功率。電路如圖1所示,若US>0且IS<0,判別電路中哪些元件發(fā)出功率,哪些元件取用功率?圖1專1.1的電路

【練1.1】某一支路電壓為-3V,電流為-3A,能否判別該支路是取用還是發(fā)出功率?當(dāng)該支路只存在電阻元件時,情況又如何?

【練1.2】電路如圖2所示,計算U和I;判斷哪些元件起電源作用,哪些元件起負載作用,并說明功率情況。

【練1.3】電路如圖3所示,求a點電位。圖2練1.2的電路圖3練1.3的電路

普通手電筒的電路模型如圖1.6.0(a)所示,電流很容易求解。多功能手電筒電路模型如圖1.6.0(b)所示,電流如何求解?顯然這是一個復(fù)雜的多電源多支路電流求解問題,僅靠歐姆定律無法解決,需要聯(lián)立含有多個未知數(shù)的方程求解,還需要尋找電流、電壓的關(guān)系。這種關(guān)系即電路最基本的基爾霍夫定律,包括基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律。圖1.6.0電路模型

1.6基爾霍夫定律圖1.6.1電路舉例

首先明確以下三個基本概念,以圖1.6.1為例。

支路:電路中的每一個分支。一條支路流過一個不變的電流,稱為支路電流。圖中共有三條支路,三個支路電流分別為I1、I2、I3。

結(jié)點:三條或三條以上支路的連接點。圖中共有兩個結(jié)點:a、b。

回路:由支路組成的閉合路徑。回路是從幾何圖形來看的,并非一定是電流的流通路。從電路某一點出發(fā),沿著支路走,最終回到出發(fā)點,不走回頭路,不走重復(fù)路,即是回路。圖中共有三條回路:Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。圖1.6.2例1.6.1的電路

【例1.6.1】求圖1.6.2所示電路中支路、結(jié)點、回路的個數(shù)。

解電路中支路有六條,分別為ad、ab、ac、bd、bc、dc;結(jié)點有四個,分別為a、d、b、c;

回路有七條,分別為adba、acba、dcbd;adcba、abdca、adbca;adca。

1.6.1基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律(KCL)是用來確定結(jié)點上各支路電流關(guān)系的。其定義為:在任一瞬間,流入結(jié)點的電流之和等于流出該結(jié)點的電流之和。

簡述為:針對某一結(jié)點,流入電流等于流出電流,可類比水流理解。

基爾霍夫電流定律可以推廣應(yīng)用于包圍部分電路的任一假設(shè)的閉合面或閉合體。即對于一個“面”或“體”而言,流入電流同樣也等于流出電流。

圖1.6.3中,有Ia+Ib+Ic=0。

圖1.6.4中,I=0。圖1.6.3電路舉例圖1.6.4電路舉例

【例1.6.2】電路如圖1.6.5(a)和(b)所示,試用KCL分析I5分別為多少?圖1.6.5例1.6.2的電路

同理,根據(jù)KCL可解得圖(b)中I5也為0。

給定了參考方向的多功能手電筒電路模型如圖1.6.6所示,如果想計算電路中各支路的電流,由KCL可以列出一部分方程:

方程個數(shù)顯然不夠,那么剩余方程只能去尋找電壓的關(guān)系,即基爾霍夫電壓定律。圖1.6.6給定了參考方向的多功能手電筒電路模型

1.6.2基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律(KVL)是用來確定回路中各電壓關(guān)系的。其定義為:在任一瞬間,從回路中任一點出發(fā),沿回路循環(huán)一周,回到出發(fā)點,則在這個方向上電位升之和等于電位降之和。

簡述為:針對回路,電位升等于電位降,可類比于水位理解。

圖1.6.1中,由回路Ⅰ,選取順時針方向(b→E1→R1→a→R3→b)可得KVL方程為

詳細解釋:順時針方向E1為升(從-到+)。根據(jù)I1、I3的參考方向,R1、R3上的電位沿著順時針方向為降(電流從高電位流向低電位,從+到-)。

針對回路Ⅱ,同理有圖1.6.7例1.6.3的

KVL還可推廣應(yīng)用于回路的部分電路,如圖1.6.8所示。

從圖中看電路是斷開的,實則可以認(rèn)為在斷開處有一個無窮大的電阻,構(gòu)成假想回路。由KVL可得

電路中任意兩點之間均可以設(shè)置電壓,從而由KVL列出虛構(gòu)回路電壓方程。列方程時,首先要在電路圖上標(biāo)出電流、電壓和電動勢的參考方向,因為所列方程中各項前的正、負號是由它們的參考方向決定的。圖1.6.8電路舉例圖1.6.9例1.6.4的電路圖1練1.4的電路圖2練1.5的電路圖3練1.6的電路模塊2含電阻元件的直流電路分析2.1電路立體思維2.2支路電流法2.3疊加原理2.4戴維南定理與諾頓定理

電源的電壓或電流稱為激勵(有時稱為輸入),激勵在電路各部分產(chǎn)生的電壓和電流稱為響應(yīng)(有時稱為輸出),電路分析討論的就是激勵和響應(yīng)之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)完電路的基本概念和基本定律,自然要對包含電阻元件的多電源直流電路進行分析。本模塊主要學(xué)習(xí)支路電流法、疊加原理和等效電源法,這些分析方法也適用于其他電路。

能力要素

(1)掌握電路的電阻等效變換和電源合并方法。

(2)能夠應(yīng)用支路電流法對多電源電路進行電壓和電流求解。

(3)能夠應(yīng)用疊加原理對多電源電路進行電壓和電流求解。

(4)能夠應(yīng)用戴維南定理和諾頓定理對多電源電路進行電壓和電流求解。

知識結(jié)構(gòu)

2.1電路立體思維

2.1.1結(jié)點空間移動在理想化的電路模型中,結(jié)點與導(dǎo)線之間如果沒有其他元器件,則其上所有的點均屬于等電位點,點線可等效為一點,結(jié)點也可在導(dǎo)線上移動。(1)如果結(jié)點空間移動沒有改變原有電路結(jié)構(gòu),則電路完全等效。(2)如果結(jié)點空間移動改變了原有電路結(jié)構(gòu),則“結(jié)點移動部分”不等效,但不影響電路整體等效。

將圖2.1.1(a)所示電路中的結(jié)點進行移動,可等效為圖(b),稱之為完全等效;當(dāng)?shù)刃閳D(c)或圖(d)時,已改變了“結(jié)點移動部分”電路,但不影響整體電路的電阻求解,稱之為整體等效。圖2.1.1結(jié)點空間移動

【例2.1.1】求解圖2.1.2所示電路的等效電阻Rab。圖2.1.2例2.1.1的電路圖2.1.3(a)圖等效電路圖2.1.4(b)圖等效電路

2.1.2元件空間交換

1.串聯(lián)

電路元件串聯(lián)時,位置可互換,互換前后的電路對于外電路而言是等效的。圖2.1.5(a)所示為串聯(lián)電路。R和US2位置互換后變?yōu)?b)圖,進而可等效為(c)圖。圖2.1.5元件串聯(lián)空間互換

2.并聯(lián)

電路元件并聯(lián)時,位置可互換。同樣,互換前后的電路對于外電路而言是等效的。圖2.1.6(a)所示為并聯(lián)電路,IS2和R1位置互換后變?yōu)?b)圖,進而可等效為(c)圖。圖2.1.6元件并聯(lián)空間互換

2.2支路電流法

多功能手電筒的電路模型如圖2.2.1所示,虛線圈中雖然有兩個結(jié)點,但是這兩個結(jié)點相當(dāng)于一個結(jié)點,為降低復(fù)雜程度,兩結(jié)點間的支路不進行電流求解。因此所需求解的電流是五個(I1、I2、I3、I4、I5),獨立方程也需要五個。圖2.2.1多功能手電筒電路模型

待求支路電流個數(shù)用x表示,有效結(jié)點數(shù)用n表示。由上可知:求解的未知數(shù),即待求支路電流個數(shù)x=5;有效結(jié)點數(shù)n=3(總結(jié)點數(shù)是4)。由KCL得到n-1=2個獨立方程,余下的x-(n-1)=3個獨立方程由KVL得到。

因此,支路電流法的解題步驟如下:

(1)在圖中標(biāo)出各支路電流的參考方向,對選定的回路標(biāo)出回路循行方向;

(2)應(yīng)用KCL對結(jié)點列出(n-1)個獨立的結(jié)點電流方程;

(3)應(yīng)用KVL對回路列出x-(n-1)個獨立的回路電壓方程;

(4)聯(lián)立求解x個方程,得到各支路電流。

【例2.2.1】電路如圖2.2.2所示,求解各支路電流。圖2.2.2例2.2.1的電路

2.3疊加原理

支路電流法求解電流個數(shù)較多且過程煩瑣,因此可以將多電源問題化解為若干個單電源問題求解。對于線性電路,任何一條支路的電流,都可以看作由電路中各個電源(電壓源或電流源)分別作用時,在此支路中所產(chǎn)生的電流的代數(shù)和,即稱之為疊加原理。疊加原理不僅能用于多電源電路求解,它還是分析和計算線性電路的普遍原理。

圖2.3.1(a)中I1和I2可認(rèn)為分別由一個理想電壓源和一個理想電流源共同激勵產(chǎn)生,因此可拆分為(b)圖和(c)圖。其中,(b)圖由理想電壓源單獨激勵,(c)圖由理想電流源單獨激勵,則圖2.3.1電路舉例

【例2.3.1】電路如圖2.3.2所示,已知E=10V,IS=1A,R1=10Ω,R2=R3=5Ω,試用疊加原理求解I和US。圖2.3.2例2.3.1的電路圖2.3.3拆分電路

【專2.1】當(dāng)有三個以上電源時,疊加原理如何拆分電路?是否必須要拆分為三個以上電路?

【練2.1】電路如圖1所示,IS=10A,E=30V,R1=5Ω,R2=4Ω,R3=3Ω,R4=6Ω,試用支路電流法和疊加原理求電流I。

【練2.2】電路如圖2所示,已知:US1=4V,US2=10V,US3=8V,R1=R2=4Ω,R3=10Ω,R4=8Ω,R5=20Ω。試用疊加原理求電流I。

【練2.3】電路如圖3所示,已知US1=6V,US2=5V,IS=5A,R1=2Ω,R2=1Ω。試用疊加原理求電流I。圖1練2.1的電路圖2練2.2的電路圖3練2.3的電路

2.4戴維南定理與諾頓定理

2.4.1二端網(wǎng)絡(luò)．二端網(wǎng)絡(luò):具有兩個出線端的部分電路。無源二端網(wǎng)絡(luò):二端網(wǎng)絡(luò)中沒有電源。有源二端網(wǎng)絡(luò):二端網(wǎng)絡(luò)中含有電源。如圖2.4.1所示,虛線框中為無源二端網(wǎng)絡(luò)。顯然,無源二端網(wǎng)絡(luò)可化簡為一個電阻。圖2.4.1無源二端網(wǎng)絡(luò)

如圖2.4.2所示,虛線框中為有源二端網(wǎng)絡(luò)。顯然,R3上的電流為一個確定值,因此有源二端網(wǎng)絡(luò)可以化簡為一個等效電源給R3供電。在等效電源的激勵下,R3上的電壓和電流保持原值。圖2.4.2有源二端網(wǎng)絡(luò)

2.4.2戴維南定理

任何一個有源二端線性網(wǎng)絡(luò)都可以用一個電動勢為E的理想電壓源和內(nèi)阻R0串聯(lián)的電壓源來等效代替,如圖2.4.3所示。圖2.4.3戴維南定理等效電源

戴維南定理解題步驟如下:

(1)在原電路基礎(chǔ)上去除待求支路,形成有源二端網(wǎng)絡(luò);

(2)求解有源二端網(wǎng)絡(luò)開路電壓U0,則E=U0;

(3)有源二端網(wǎng)絡(luò)除源后形成無源二端網(wǎng)絡(luò),求解其等效電阻R0;

(4)將等效電壓源與待求支路合為簡單電路求解。

【例2.4.1】電路如圖2.4.4所示,已知E1=40V,E2=20V,R1=R2=4Ω,R3=13Ω。試用戴維南定理求電流I。圖2.4.4例2.4.1的電路圖2.4.5例2.4.1的求解電路

2.4.3諾頓定理

任何一個有源二端線性網(wǎng)絡(luò)都可以用一個電流為IS的理想電流源和內(nèi)阻R0并聯(lián)的電流源來等效代替,如圖2.4.6所示。圖2.4.6諾頓定理等效電源

諾頓定理解題步驟如下:

(1)在原電路基礎(chǔ)上去除待求支路,形成有源二端網(wǎng)絡(luò);

(2)求解有源二端網(wǎng)絡(luò)“二端”短接后的短路電流IS;

(3)有源二端網(wǎng)絡(luò)除源后形成無源二端網(wǎng)絡(luò),求解等效電阻R0;

(4)將等效電流源與待求支路合為簡單電路求解。圖2.4.7例2.4.2的求解電路

【專2.2】用戴維南定理求解某支路電流時,選取“整條支路”還是“整條支路的部分”作為去除對象較為合適?

【練2.4】試用戴維南定理和諾頓定理分別求解練2.1。如果將R1換為10Ω,對I的數(shù)值有無影響?

【練2.5】試用戴維南定理求解練2.2。

【練2.6】練2.3是否適合應(yīng)用戴維南定理和諾頓定理求解?為什么?模塊3含電阻、電容、電感元件的直流電路分析3.1電阻元件、電容元件與電感元件3.2換路定則3.3初始值和穩(wěn)態(tài)值的求解3.4RC電路的響應(yīng)3.5RL電路的響應(yīng)3.6一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法

電風(fēng)扇扇葉以1000r/min(轉(zhuǎn)/分)的速度在三擋恒速轉(zhuǎn)動,稱為一個穩(wěn)定狀態(tài)(穩(wěn)態(tài))。按下按鍵,轉(zhuǎn)速提升到四擋以1500r/min轉(zhuǎn)動,稱為另一個穩(wěn)態(tài)。三擋到四擋的轉(zhuǎn)速變化過程就是暫態(tài)過程。

研究暫態(tài)過程是有意義的,因為利用電路暫態(tài)過程可以改善波形,也可產(chǎn)生鋸齒波、三角波、尖脈沖等特定波形并應(yīng)用于電子電路。同時,暫態(tài)過程開始的瞬間可能產(chǎn)生過電壓、過電流而使電氣設(shè)備或元件損壞,需要預(yù)防此類現(xiàn)象。

能力要素

(1)掌握換路定則,能夠求解電路的初始值。

(2)能夠求解電路的穩(wěn)態(tài)值。

(3)能夠求解一階電路的時間常數(shù)。

(4)能夠應(yīng)用三要素法對一階線性電路的暫態(tài)過程進行分析。

知識結(jié)構(gòu)

3.1電阻元件、電容元件與電感元件

3.1.1電阻元件

電阻元件是消耗電能的元件。如圖3.1.1所示,用u、i表示電壓和電流均是隨時間變化的瞬時值。根據(jù)歐姆定律可得圖3.1.1電阻元件

(1)電阻元件為耗能元件,其將電能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量,比如平常講的“發(fā)光發(fā)熱”。電阻元件還能夠?qū)﹄娐返碾妷汉碗娏鬟M行調(diào)整。

(2)電阻單位為歐姆(Ω)。常用的電阻單位有千歐(kΩ)、兆歐(MΩ)等,換算關(guān)系為

1kΩ=1000Ω,1MΩ=1000kΩ

(3)電阻器類型眾多,主要參數(shù)除了電阻外,還有額定功率等。

3.1.2電容元件

電容元件是儲存電場能的元件。如圖3.1.2所示,u和i的定義同上,則電容的表達式為圖3.1.2電容元件

由式(3.1.3)可得電容元件存儲的電場能為

(1)電容元件為儲能元件,本身不消耗能量。除了存儲電荷,電容元件還可用于電路的旁路、去耦、濾波等。

(2)電容元件串聯(lián)和并聯(lián)的公式與電阻元件相反。

(3)電容單位為法拉(F)。常用的電容單位有毫法(mF)、微法(μF)、納法(nF)和皮法(pF)等,換算關(guān)系是

1F=1000mF,1mF=1000μF,1μF=1000nF,1nF=1000pF

(4)電容器類型眾多,主要參數(shù)除了電容外,還有額定電壓等。常用的電阻器、電容器的標(biāo)稱值應(yīng)符合表3.1.1所列數(shù)值,或再乘以10n倍(n為正整數(shù)或負整數(shù))。

3.1.3電感元件

電感元件是存儲磁場能的元件。如圖3.1.3所示。u和i的定義同上,電感的表達式為

其中N指線圈匝數(shù),Φ指磁通。而電感元件產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為圖3.1.3電感元件

當(dāng)電流增大時,磁場能增大,電感元件從電源取用電能;當(dāng)電流減小時,磁場能減小,電感元件向電源放還能量。

(1)電感元件也是儲能元件,本身不消耗能量。電感元件在電路中還起到濾波、振蕩、延遲、陷波等作用。

(2)電感元件串聯(lián)和并聯(lián)的公式與電阻元件類似。

(3)電感單位為亨利(H)。常用的電感單位有毫亨(mH)、微亨(μH)等。

(4)電感器類型眾多,主要參數(shù)除了電感外,還有額定電流等。

3.2換路定則

換路指電路狀態(tài)的改變,如電路接通、切斷、短路、電壓改變或參數(shù)改變等。當(dāng)電路換路時,電路中的能量發(fā)生變化,因為

而功率不可能達到無窮大,所以能量不能突變?？梢姇簯B(tài)過程是電路發(fā)生換路后,儲能元件的能量不能突變而導(dǎo)致的。

設(shè)t=0表示換路瞬間,定為計時起點;t=0—表示換路前的終了瞬間;t=0+表示換路后的初始瞬間,對應(yīng)初始值;t=∞表示換路后達到穩(wěn)定狀態(tài)的時刻,對應(yīng)穩(wěn)態(tài)值。

由式(3.1.4)和式(3.1.8)可知,電容元件存儲的能量與電壓有關(guān),電感元件存儲的能量與電流有關(guān),且電容電壓uC和電感電流iL不能突變。

t=0-到t=0+瞬間電容元件上的電壓和電感元件上的電流不能突變,這就是換路定則。如式(3.2.1)所示。

3.3初始值和穩(wěn)態(tài)值的求解

3.3.1初始值的求解

初始值指電路中各u、i在t=0+時的數(shù)值。

1.uC(0+)、iL(0+)的求法

若t=0—的電路(即換路前的電路)儲能元件沒有儲能,則uC(0-)=0、iL(0-)=0。若換路前的電路已處于穩(wěn)態(tài),則將電容元件視為開路,電感元件視為短路,求出uC(0-)、iL(0-)。根據(jù)換路定則,可得uC(0+)和iL(0+)。

2.其他初始值的求法

若uC(0+)=0、iL(0+)=0,則在換路后t=0+的電路中,將電容元件視為短路,電感元件視為開路,進而計算其他初始值。

若uC(0+)≠0、iL(0+)≠0,則在換路后t=0+的電路中,電容元件用理想電壓源代替,其輸出電壓為uC(0+);電感元件用理想電流源代替,其輸出電流為iL(0+)。然后按照模塊2的電路分析方法求解其他初始值。

換路后uC和iL之外的其他量是可以突變的,因此不適用換路定則。

3.3.2穩(wěn)態(tài)值的求解

穩(wěn)態(tài)值指電路中各u、i在t=∞時的數(shù)值。在t=0+的電路(即換路后的電路)基礎(chǔ)上,將電容元件視為開路,電感元件視為短路,進而應(yīng)用模塊2的電路分析方法求解電壓和電流的穩(wěn)態(tài)值。

【例3.3.1】電路如圖3.3.1所示,開關(guān)S閉合前電容元件和電感元件均未儲能。試求電路中標(biāo)注的電壓、電流的初始值和穩(wěn)態(tài)值。圖3.3.1例3.3.1的電路圖3.3.2t=0+的電路圖3.3.3t=∞的電路

【例3.3.2】電路如圖3.3.4所示,換路前已處于穩(wěn)態(tài)。U=8V,R=2Ω,R1=R2=R3=4Ω,試求電路中已標(biāo)注的電壓、電流的初始值和穩(wěn)態(tài)值。圖3.3.4例3.3.2的電路

解(1)換路前電路已處于穩(wěn)態(tài),電容元件視為開路,電感元件視為短路,t=0—時電路如圖3.3.5所示。圖3.3.5t=0-的電路

(2)t=0+時電路如圖3.3.6所示。圖3.3.6t=0+的電路

(3)t=∞時電路如圖3.3.7所示。圖3.3.7t=∞的電路

【專3.1】電路如圖1所示,換路后電容元件的初始值uC(0+)=0,穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=5V。嘗試分析暫態(tài)過程,即uC

(t)變化過程。圖1專3.1的電路

【練3.1】電路如圖2所示,換路前已處于穩(wěn)態(tài),求換路后電流i的初始值。

【練3.2】電路如圖2所示,求換路后電流i的穩(wěn)態(tài)值。圖2練3.1和練3.2的電路

【練3.3】電路如圖3所示,在達到穩(wěn)定狀態(tài)后移動R1上的滑動觸點將產(chǎn)生暫態(tài)過程。試分析原因。圖3練3.3的電路

3.4RC電路的響應(yīng)

3.4.1RC電路的零輸入響應(yīng)所謂零輸入,指換路后的輸入為零。即無電源激勵,僅由電容元件的初始儲能所產(chǎn)生的電路響應(yīng),稱為RC電路的零輸入響應(yīng)。它實際上研究RC電路的放電過程。

如圖3.4.1所示,換路前電路處于穩(wěn)態(tài),uC(0-)=U。根據(jù)換路定則,換路后(開關(guān)由1到2)uC(0+)=U,電容元件經(jīng)電阻元件開始放電。達到穩(wěn)態(tài)后,即放電完畢,uC(∞)=0。因此討論的是uC(t)從U衰減到0的變化規(guī)律。圖3.4.1RC電路的零輸入響應(yīng)

式(3.4.2)中

稱為時間常數(shù),具有時間的量綱,單位為秒(s),決定電路暫態(tài)過程的快慢。τ越大,則達到穩(wěn)定狀態(tài)的時間就越長,改變R或C的數(shù)值均可改變暫態(tài)過程的時間。

理論上講,指數(shù)衰減曲線只會無限逼近零。結(jié)合指數(shù)衰減的規(guī)律,經(jīng)過分析一般認(rèn)為3τ~5τ的時間,電路達到穩(wěn)定狀態(tài)。

放電電流

其隨時間變化的曲線同樣繪制于圖3.4.2中。負號表示其放電實際方向和圖3.4.1參考方向相反。圖3.4.2uC、iC變化曲線

3.4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

所謂零狀態(tài),指換路后的初始狀態(tài)為零。即電容元件的初始能量為零,僅由電源激勵所產(chǎn)生的電路的響應(yīng),稱為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。它實際上研究RC電路的充電過程。

如圖3.4.3所示,電路換路前電容元件未儲能,uC(0-)=0。根據(jù)換路定則,換路后(合上開關(guān))uC(0+)=0,電源對電容元件開始充電。達到穩(wěn)態(tài)后,即充電完畢,uC(∞)=U,因此討論的是uC(t)從0增長到U的變化規(guī)律。

圖3.4.3中僅包含一個電容元件,參照3.4.1節(jié)所講,容易想到RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)方程同樣為一階微分方程,其充電過程也會呈現(xiàn)指數(shù)變化規(guī)律,因此uC隨時間變化的曲線如圖3.4.4所示。圖3.4.3RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖3.4.4uC變化曲線

對比圖3.4.2的放電曲線和圖3.4.4的充電曲線,容易看出:放電曲線沿著橫軸對稱,再沿著縱軸向上移動“U”可得到充電曲線,所以

時間常數(shù)τ=RC。同樣需要3τ~5τ的時間,電路達到穩(wěn)定狀態(tài),即充電完畢。

3.4.3RC電路的全響應(yīng)

RC電路的全響應(yīng)指電源激勵、電容元件的初始能量均不為零時電路的響應(yīng)。全響應(yīng)分析可以應(yīng)用疊加原理。

如圖3.4.3所示,假設(shè)換路前電容元件存儲能量且uC=U0。在t=0時,合上開關(guān)。

電容元件初始能量U0單獨作用時,電路如圖3.4.5所示,顯然為RC電路的零輸入響應(yīng)。即圖3.4.5電容元件初始能量單獨作用

電源U單獨作用時,電路如圖3.4.6所示,顯然為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。即

根據(jù)疊加原理,全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加,則

式(3.4.5)中,U為穩(wěn)態(tài)分量,其余部分為暫態(tài)分量。暫態(tài)分量會隨著時間變化衰減為0,而穩(wěn)態(tài)分量會一直保持不變。全響應(yīng)描述的是電容電壓從U0到U的變化過程,其中U0為初始值,而U為穩(wěn)態(tài)值。圖3.4.6電源單獨作用

3.5RL電路的響應(yīng)

3.5.1RL電路的零輸入響應(yīng)

圖3.5.1RL電路的零輸入響應(yīng)圖3.5.2iL變化曲線

線圈的電路模型常用RL串聯(lián)電路表示。在圖3.5.1中,若開關(guān)S從1斷開未迅速合到2,在這一瞬間,電流變化率很大,會導(dǎo)致自感電動勢很大,進而可能導(dǎo)致開關(guān)兩觸點之間的空氣被擊穿而形成電弧延緩電流中斷,有可能使開關(guān)燒毀,因此往往將線圈從電源斷開的同時使線圈短路,以便電流逐步減小。

3.5.2RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖3.5.3RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖3.5.4iL變化曲線

3.5.3RL電路的全響應(yīng)

3.6一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法

僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路,可由一階微分方程描述,稱為一階線性電路。3.4節(jié)和3.5節(jié)中的RC和RL電路均屬于一階線性電路。

【例3.6.1】電路如圖3.6.1所示,t=0時合上開關(guān)S,換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。IS=8mA,R1=R2=2kΩ,C=2μF,試求電容電壓uC(t)。圖3.6.1例3.6.1的電路圖3.6.2t=0—的電路圖3.6.3t=∞的電路圖3.6.4求解R0的電路

【例3.6.2】電路如圖3.6.5所示,已知S在t=0時閉合,換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。IS=3A,R1=R2=2Ω,R3=1Ω,L=1H,求電感電流iL(t)和電壓uL(t)。圖3.6.5例3.6.2的電路圖3.6.6t=0-的電路圖3.6.7t=0+的電路圖3.6.8t=∞的電路圖3.6.9求解R0的電路

(4)根據(jù)三要素法,有

uL也可以采用式(3.1.7)求解。需要強調(diào)的是,一次換路后的電路如果不再進行二次換路,則計算電路所有電壓和電流時,時間常數(shù)不變且保持一致。

【專3.2】矩形脈沖(如圖1所示)激勵下的RC電路,若選取不同的電路結(jié)構(gòu)和時間常數(shù)可構(gòu)成輸出電壓波形與輸入電壓波形之間的特定關(guān)系。試從充放電的角度簡單分析(1)和(2)兩種條件下的電路會輸出什么樣的波形,其中tp稱為脈沖寬度。圖1專3.2的矩形脈沖

(1)如圖2所示,τ=RC?tp,輸出電壓從電阻R端輸出。圖2專3.2(1)的電路

(2)如圖3所示,τ=RC?tp,輸出電壓從電容C端輸出。圖3專3.2(2)的電路

【練3.4】圖4所示電路原已穩(wěn)定,E=12V,R1=R2=6Ω,R3=5Ω,C=0.2μF,t=0時開關(guān)S閉合,試用三要素法求t≥0時的uC(t)。圖4練3.4的電路

【練3.5】圖5所示電路原已穩(wěn)定,E1=12V,E2=10V,R1=R2=R3=2Ω,L=1H,試用三要素法求t≥0時的i(t)和iL(t)。圖5練3.5的電路

【練3.6】圖6所示電路原已穩(wěn)定,R1=6Ω,R2=3Ω,C=0.25F,IS=1A,t=0時開關(guān)S閉合,試用三要素法求t≥0時的i(t)。圖6練3.6的電路

當(dāng)開關(guān)斷開后,某人工智能核心控制系統(tǒng)中的發(fā)熱元件需要延時加熱200ms,初步設(shè)計電路如圖7所示,已知U=50V,發(fā)熱元件可等效為200Ω的電阻器,額定功率為8W。根據(jù)已有條件:

(1)確定R和C的數(shù)值;

(2)對R和C選型。圖7項目應(yīng)用的電路模塊4含電阻、電容、電感元件的交流電路分析4.1正弦交流電4.2正弦量的相量表示法4.3單一參數(shù)元件的交流電路4.4電阻、電容與電感元件串聯(lián)的交流電路4.5阻抗串聯(lián)交流電路4.6并聯(lián)交流電路4.7功率因數(shù)的提高

正弦交流電簡稱交流電,是目前供電和用電的主要形式。比如交流發(fā)電機所產(chǎn)生的電動勢和正弦信號發(fā)生器輸出的信號電壓,都是隨時間按照正弦規(guī)律變化的。而正弦交流電之所以應(yīng)用廣泛,是因為:正弦交流電容易產(chǎn)生;通過變壓器可以簡單又經(jīng)濟地將正弦電壓升高或降低;正弦交流電用復(fù)數(shù)表示后便于運算;正弦量變化平滑,一般不會引起過電壓而破壞電氣設(shè)備等。本模塊主要對含有電阻、電容、電感元件的正弦交流電路進行分析。

能力要素

(1)掌握相量表示法,能夠應(yīng)用相量對正弦交流電進行計算。

(2)掌握單一參數(shù)交流電路的相關(guān)概念,能夠?qū)﹄娮?、電容和電感元件的串?lián)電路進行分析。

(3)能夠?qū)唵蔚淖杩勾?lián)與并聯(lián)交流電路進行分析。

(4)掌握有功功率、無功功率、視在功率等概念,能夠?qū)β室驍?shù)進行調(diào)整。

知識結(jié)構(gòu)

4.1正弦交流電

正弦電壓和電流等物理量統(tǒng)稱為正弦量。正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時值,用小寫字母表示。以電流為例,波形如圖4.1.1所示,其數(shù)學(xué)表達如式(4.1.1)所示。式中,i即為瞬時值,Im稱為幅值,ω稱為角頻率,ψ稱為初相位。幅值、角頻率和初相位可以確定正弦量,因此稱為正弦量的三要素。圖4.1.1正弦交流電

1.幅值

幅值,又稱為最大值,其決定正弦量的大小。在實際使用中,經(jīng)常用有效值表示正弦交流量的大小。有效值用大寫字母表示,和表示直流的字母一致,其關(guān)系如下:

電壓、電動勢的最大值和有效值同樣是2的關(guān)系。一般所說的交流電壓和電流的大小,都是指有效值。我國民用電壓一般為220V,其最大值約為310V。而美國部分地區(qū)民用電壓為110V,其最大值約為156V。

一般交流電壓表、電流表測量的電壓、電流均為有效值,交流設(shè)備銘牌標(biāo)注的電壓、電流也均為有效值。

2.角頻率

周期指正弦交流電變化一周所需的時間,用T表示。頻率指正弦交流電每秒變化的周期數(shù),用f表示,單位為Hz。

正弦量變化的快慢除用周期和頻率表示外,還可以用角頻率ω表示。正弦交流電一個周期內(nèi)經(jīng)歷了2π弧度,因此

交流電頻率有高有低,世界各地不盡相同。我國采用50Hz作為電力標(biāo)準(zhǔn)頻率,稱為工頻,而美國和日本則采用60Hz。各種技術(shù)領(lǐng)域使用各種不同的頻率,無線通信使用的頻率甚至高達300GHz(1GHz=109Hz)。

3.相位

ωt+ψ稱為相位,又稱為相角。而初相位ψ表示正弦量在t=0時的相角,給出了觀察正弦波的起點或參考點,又稱為初相角,則

任意兩個同頻率的正弦量之間的相位關(guān)系可用相位差φ表示,顯然,相位差就是初相位之差。

相位關(guān)系如表4.1.1所示。

4.2正弦量的相量表示法

圖4.1.1的波形圖和式(4.1.1)的瞬時表達式是正弦量的兩種表示方式,但計算都不方便。如求和時,三角函數(shù)運算較為麻煩,而波形圖也難以疊加,因此需要尋找更為簡單的表示和計算方法。

對于正弦交流電路而言,一般情況下正弦激勵和響應(yīng)均為同頻率的正弦量,因此在正弦量的三要素中只需要考慮幅值(或有效值)和初相角即可,而復(fù)數(shù)恰好可由表征長度的模和表征角度的輻角確定,這與正弦量的表示方法相符。正弦量與復(fù)數(shù)的對比如表4.2.1所示。

因此,可以用復(fù)數(shù)表示同頻率的正弦量,稱為相量。由于復(fù)數(shù)計算較為便捷,因此相量表示法是常用的方法。

復(fù)數(shù)A,模為r,輻角為ψ,如圖4.2.1所示。

復(fù)數(shù)的四種表達如表4.2.2所示。圖4.2.1復(fù)數(shù)

表4.2.2復(fù)數(shù)的四種表達

需要注意的是,相量只是用來表示正弦量的,但不等于正弦量。因此正弦量的計算方法為:將同頻率的正弦量用相量表示,使用復(fù)數(shù)運算法則計算完畢后再恢復(fù)為正弦量。

相量計算時,“加減”用代數(shù)式,“除”用指數(shù)式或極坐標(biāo)式。

此處,還需注意兩點:

(1)相量為復(fù)數(shù),可將其繪制在復(fù)平面內(nèi),稱為相量圖。在計算的時候,同頻率的正弦量才可以繪制在同一相量圖上。

(2)任意一個相量乘以±j,相當(dāng)于在相量圖上逆/順時針旋轉(zhuǎn)90°。因為圖4.2.2相量圖

4.3單一參數(shù)元件的交流電路

分析正弦交流電路時,首先需要掌握單一參數(shù)(電阻、電容、電感)元件的電壓和電流關(guān)系與功率求解方法,因為其他電路無非也是單一參數(shù)元件的組合。

4.3.1電阻元件的交流電路

電阻元件交流電路如圖4.3.1所示。因為u和i為正弦量,其方向會變化,所以圖示方向均為參考方向。

可得圖4.3.1電阻元件交流電路

相量表達式體現(xiàn)了兩個關(guān)系:大小關(guān)系和相位關(guān)系。相量圖如圖4.3.2所示。圖4.3.2u與i相量關(guān)系

(3)功率。

為便于分析,設(shè)

如圖4.3.3所示,p=ui≥0,表示外電路從電源取用能量。這與電阻元件是耗能元件的相關(guān)結(jié)論相符。圖4.3.3瞬時功功率

瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值,稱為平均功率,又稱為有功功率,用“P”表示,常用單位為瓦(W)、千瓦(kW)等。在電阻元件電路中,有功功率為

4.3.2電容元件的交流電路

電容元件交流電路如圖4.3.4所示。

由模塊3可知

可得圖4.3.4電容元件交流電路

將式(4.3.10)和式(4.3.2)進行對比,可得如下結(jié)論:

(1)電壓與電流關(guān)系。

①頻率相同。

②相位關(guān)系。

可得

即電流超前電壓90°。

③大小關(guān)系。

可得

XC稱為容抗,體現(xiàn)電容的阻礙作用,單位為歐姆。直流時,f=0,XC趨于無窮大,電容C視為開路,所以電容元件具有“通高頻”“阻低頻”的特性。

(2)相量關(guān)系。

相量圖如圖4.3.5所示,需要注意的是-jXC是復(fù)數(shù),但不是相量。圖4.3.5u與i相量關(guān)系

(3)功率。

為便于分析,設(shè)

如圖4.3.6所示,瞬時功率p是一個正弦量。電容元件只和電源進行能量交換,即重復(fù)進行儲能-放能,并不消耗能量,所以其有功功率為0。這與電容元件是儲能元件,而非耗能元件的相關(guān)結(jié)論是相符的。圖4.3.6瞬時功率

能量交換的規(guī)模用無功功率QC表示,用瞬時功率達到的最大值表征,常用單位為乏(var)、千乏(kvar)等。

4.3.3電感元件的交流電路

電感元件交流電路如圖4.3.7所示。

由模塊3可知

可得圖4.3.7電感元件交流電路

將式(4.3.16)和式(4.3.1)進行對比,可得如下結(jié)論:

(1)電壓與電流關(guān)系。

①頻率相同。

②相位關(guān)系。

可得

即電壓超前電流90°。

③大小關(guān)系。

可得

XL稱為感抗,體現(xiàn)電感的阻礙作用,單位為歐姆(Ω)。直流時,f=0,XL=0,電感L視為短路,所以電感元件具有“通低頻”“阻高頻”的特性。

(2)相量關(guān)系。

相量圖如圖4.3.8所示,同樣,jXL是復(fù)數(shù),但不是相量。圖4.3.8u與i相量關(guān)系

(3)功率。

為便于分析,設(shè)

則瞬時功率

如圖4.3.9所示,瞬時功率p是一個正弦量。電感元件只和電源進行能量交換,即重復(fù)進行儲能-放能,并不消耗能量,所以其有功功率為0。這與電感元件是儲能元件,而非耗能元件的相關(guān)結(jié)論是相符的。圖4.3.9瞬時功率

能量轉(zhuǎn)換的規(guī)模用無功功率QL表示,與QC一樣,用瞬時功率的最大值表征。

需要說明的是,電容元件和電感元件都是儲能元件,它們與電源進行能量交換是工作需要,本身并不消耗能量,但是對于電源來說是一種負擔(dān)。

將單一參數(shù)元件交流電路的相關(guān)分析總結(jié)如表4.3.1所示。

4.4電阻、電容與電感元件串聯(lián)的交流電路

電阻、電容與電感元件串聯(lián)的交流電路如圖4.4.1所示,各元件流過相同的電流,電壓與電流的參考方向已在圖中標(biāo)出。由KVL可得圖4.4.1R、C、L串聯(lián)電路圖4.4.2阻抗三角形

1.電壓圖4.4.3電壓和電流的相量圖

2.功率

式(4.4.7)兩邊同時乘以I可得

由4.3節(jié)可知,RI2表示電阻元件消耗的有功功率,即電路存在的有功功率。XLI2、XCI2表示電感元件和電容元件的無功功率,即電路存在的無功功率。顯然,電源提供的電能一部分被耗能元件消耗,一部分與儲能元件進行能量交換。

由上可知,交流電源(如交流發(fā)電機、變壓器)既需要給電路(負載)提供有功功率,還需要提供無功功率。交流電源輸出的功率不僅與電源端電壓和輸出電流的有效值乘積有關(guān),還與電路的參數(shù)有關(guān)。電路參數(shù)不同,則電壓與電流的相位差φ不同,在同樣電壓U和電流I之下,電路的有功功率和無功功率也會不同。式(4.4.8)中的cosφ稱為功率因數(shù),用來衡量對電源的利用程度。一般情況下,電源要滿足負載的有功功率和無功功率需求,達到功率平衡。

(3)視在功率。用S表示電路中總電壓與總電流有效值的乘積,稱為視在功率,為了與有功功率及無功功率區(qū)分,視在功率單位是伏安(V·A)或千伏安(kV·A)。

交流電氣設(shè)備是按照規(guī)定的額定電壓UN和額定電流IN來設(shè)計和使用的,UN和IN的乘積稱為容量,即其額定視在功率

式(4.4.8)、式(4.4.10)和式(4.4.11)是正弦交流電路進行有功功率、無功功率和視在功率計算的一般公式。

顯然

有功功率、無功功率、視在功率的關(guān)系可用三角形表示,如圖4.4.4所示,稱為功率三角形。阻抗三角形每條邊乘以I2,即可得到功率三角形。需要說明的是圖4.4.2、圖4.4.3(b)、圖4.4.4中的三角形是相似的,φ均指阻抗角。圖4.4.4功率三角形

【例4.4.1】電路如圖4.4.5所示,XL=XC,已知電壓表V1、V2的讀數(shù)分別為150V和120V,求電壓表V的讀數(shù)。圖4.4.5例4.4.1的電路圖4.4.6相量圖

4.5阻抗串聯(lián)交流電路

交流電源和各種阻抗可組合成不同參數(shù)與不同結(jié)構(gòu)的正弦交流電路。本節(jié)主要對最簡單和最常用的阻抗串聯(lián)交流電路進行分析。以圖4.5.1(a)所示阻抗串聯(lián)電路為例進行分析。設(shè)圖4.5.1阻抗的串聯(lián)

3.相量圖

串聯(lián)交流電路中,一般選取電流為參考量。設(shè)

和其他相量繪入同一相量圖,如果角度特殊,則使用相量圖分析更為方便。圖4.5.2相量圖

【專4.2】R、C、L串聯(lián)的正弦交流電路中,是否總電壓一定大于分電壓?R、C和L處于何種關(guān)系時電路電流最大?此時電路是否有無功功率?

【練4.4】電路如圖1所示,求(a)、(b)的電壓U。圖1練4.4的電路

【練4.5】電路如圖2所示,含R、L的線圈與電容C串聯(lián),已知線圈電壓URL=50V,電容電壓UC=30V,總電壓與電流同相,求總電壓U并分析功率情況。

【練4.6】日光燈電源的電壓為220V,頻率為50Hz,燈管相當(dāng)于300Ω的電阻,與燈管串聯(lián)的鎮(zhèn)流器在忽略電阻的情況下相當(dāng)于400Ω感抗的電感,試求燈管兩端的電壓和工作電流,并畫出相量圖圖2練4.5的電路

4.6并聯(lián)交流電路

以圖4.6.1(a)所示阻抗并聯(lián)電路為例進行分析。設(shè)圖4.6.1阻抗的并聯(lián)

說明并聯(lián)電路中如果同時存在電感元件和電容元件時,電路總的無功功率也應(yīng)為二者無功功率之差,差值部分才和電源進行能量交換。

無論是串聯(lián)交流電路還是并聯(lián)交流電路,電路中總的有功功率等于各阻抗的有功功率之和,電路中總的無功功率等于各阻抗的無功功率之和,但是一般情況下,電路總的視在功率不等于各阻抗的視在功率之和。

3.相量圖

并聯(lián)交流電路中,一般選取電壓為參考量。令?U=U∠0°,和其他相量繪入同一相量圖,如果角度特殊,則使用相量圖分析更為方便。圖4.6.2相量圖

例4.5.1中電路總的阻抗角φ為-8°,稱電路呈現(xiàn)容性,負載為容性負載。例4.6.1中電路總的阻抗角φ為45°,稱電路呈現(xiàn)感性,負載為感性負載。φ與電路性質(zhì)和負載性質(zhì)的關(guān)系見表4.6.1。

4.7功率因數(shù)的提高

正如4.4節(jié)所講,cosφ稱為功率因數(shù),而φ指電壓與電流的相位差,即阻抗角,又叫功率因數(shù)角。當(dāng)cosφ<1時,電路中發(fā)生能量互換,出現(xiàn)無功功率。異步電動機在額定負載時的功率因數(shù)約為0.7~0.9,輕載時功率因數(shù)更低。高壓供電的工業(yè)企業(yè)的平均功率因數(shù)要求不低于0.95。供電局一般要求用戶的功率因數(shù)不低于0.9。

1.功率因數(shù)減小的原因

日常生活中很多器件都會使用到電感或者產(chǎn)生電感效應(yīng),如電機、日光燈等,包含這些器件的電路可等效為RL串聯(lián)電路。由式(4.4.4)可知,RL串聯(lián)電路的阻抗角可表達為

電感L增大則感抗XL增大,會導(dǎo)致阻抗角φ增大,進而使得功率因數(shù)cosφ減小。

2.功率因數(shù)減小的影響

1)電源設(shè)備的容量不能充分利用假設(shè)電源設(shè)備的容量為SN,則

如果cosφ=1,則電源可發(fā)出的有功功率為

故無需提供無功功率。

如果cosφ=0.6,則電源可發(fā)出的有功功率為

故需要提供的無功功率為

所以提高cosφ可使發(fā)電設(shè)備的容量得以充分利用。

2)增加線路和發(fā)電機繞組的功率損耗

因為P=UIcosφ,所以

又因為損耗

所以提高cosφ可減小線路和發(fā)電機繞組的電流,進而降低損耗。

由上可知,提高功率因數(shù)有現(xiàn)實意義。

3.功率因數(shù)的提高

從4.6節(jié)中可知,無論是串聯(lián)交流電路還是并聯(lián)交流電路,電容元件和電感元件產(chǎn)生的無功功率可相互補償。因此,要想提高功率因數(shù),只需要在RL電路中串聯(lián)或者并聯(lián)容性負載即可。但是提高功率因數(shù)的同時必須保證原負載的工作狀態(tài)不變,即負載上的電壓和有功功率不變,因此不可以在RL電路串接容性負載。一般情況下,采取的措施為在感性負載兩端并聯(lián)靜電電容器。

設(shè)?U=U∠0°,RL電路的阻抗角為φ1,由圖4.7.1和圖4.7.2可知,未并聯(lián)電容前,?I=?I1,?I滯后?Uφ1,φ1即為電路總的阻抗角。并聯(lián)電容器后產(chǎn)生了?I2,?I2超前?U90°。因為?I=?I1+?I2,由相量圖可知,φ1減小為φ,φ為電路新的阻抗角。如果調(diào)整合適,可將φ調(diào)整為0°。

并聯(lián)電容后電路的總電流I減小,總視在功率S下降,總功率因數(shù)cosφ提高,原感性支路的工作狀態(tài)不變。圖4.7.1感性負載并聯(lián)電容圖4.7.2相量圖

【專4.3】電路如圖1所示,已知A1表的讀數(shù)為4A,A2表的讀數(shù)為6A,A3表的讀數(shù)為3A,求A表的讀數(shù)。圖1專4.3的電路

【練4.7】電路如圖2所示,求(a)、(b)的電流I。圖2練4.7的電路

【練4.8】電路如圖3所示,已知?U=240∠0°V,R1=25Ω,R2=10Ω,XL=20Ω,XC=30Ω,求電路總阻抗Z和電路總電流I,并分析功率情況。圖3練4.8的電路

【練4.9】電路如圖4所示,R=XL=10Ω,欲使電路的功率因數(shù)為1,試求XC。圖4練4.9的電路

某頻率為50Hz的單相交流電源,其額定容量SN=40kV·A,額定電壓UN=220V,供給居民照明電路。負載都是40W的日光燈(可認(rèn)為是RL串聯(lián)),其功率因數(shù)為0.5,試求:

(1)日光燈最多可點多少盞?

(2)用補償電容將功率因數(shù)提高到1,這時電路的總電流是多少?需用多大的補償電容?

(3)功率因數(shù)提高到1以后,除供給以上日光燈外,若保持電源在額定情況下工作,還可增加40W的白熾燈(可以認(rèn)為是R)多少盞?模塊5三相交流電路分析5.1三相電壓5.2負載星形聯(lián)結(jié)的三相電路5.3負載三角形聯(lián)結(jié)的三相電路5.4三相功率

生活中常常使用到交流電,如洗衣機滾筒電動機的單相220V供電。而生產(chǎn)中也會常常使用到交流電,如機床主軸電動機的三相380V供電。在教室會看到如圖5.1.0(a)所示的插座,連接單相交流用電負載。在實驗室或工廠會看到如圖5.1.0(b)所示的三相插座,連接三相交流用電負載。圖5.1.0插座

早期各國在建立電力系統(tǒng)模型時,發(fā)現(xiàn)三相交流電(簡稱三相電)有很多優(yōu)點。如三相電對應(yīng)的三相電動機能夠平穩(wěn)轉(zhuǎn)動;相同尺寸的三相發(fā)電機比單相發(fā)電機的功率大;在傳輸方面,三相系統(tǒng)比單相系統(tǒng)節(jié)省傳輸線;三相變壓器比單相變壓器經(jīng)濟等,因此三相電被廣泛使用。

能力要素

(1)能夠?qū)ω撦d星形和三角形聯(lián)結(jié)的三相電路進行電壓和電流求解。

(2)能夠選擇三相負載的連接方式。

(3)能夠?qū)θ嚯娐饭β蔬M行計算。

知識結(jié)構(gòu)

5.1三相電壓

發(fā)電裝置如圖5.1.1所示,由定子和轉(zhuǎn)子組成。定子上鑲嵌匝數(shù)相同、空間排列互差120°的三相繞組,稱為U、V、W相。每相繞組有首有尾,其中U1、V1、W1為首端,U2、V2、W2為尾端。中間部分為轉(zhuǎn)子,其上纏繞勵磁繞組,勵磁繞組通電后形成磁場。圖5.1.1發(fā)電裝置

通過原動機拖動轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動,形成旋轉(zhuǎn)的磁場,則定子中的三相繞組被磁感線切割,切割后會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。如圖5.1.2所示,假定轉(zhuǎn)子不動,相當(dāng)于定子中的繞組在旋轉(zhuǎn)切割磁感線,切割的線速度可以分解為平行于磁感線和垂直于磁感線兩部分,其中垂直于磁感線部分(正弦分量)產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。圖5.1.2定子繞組切割磁感線簡圖

以U相繞組為例,圖5.1.1所示瞬間切割磁感線速度最快,轉(zhuǎn)到90°,則不再切割,轉(zhuǎn)到180°,反方向切割速度最快。以此類推,轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周,定子繞組上產(chǎn)生的電動勢也會形成一個周期的正弦量,其他兩相類似。因定子繞組空間分布位置不同,切割有順序之分,進而在三相繞組的兩端得到了頻率相同、幅值相等、相位互差120°的三相對稱電壓,以u1為參考量,分別用u1、u2和u3表示,則圖5.1.3相量圖

如圖5.1.4所示,如果在發(fā)電的時候?qū)⒍ㄗ尤嗬@組的尾端(U2、V2、W2)接到一起,這種連接方式稱為三相電源的星形聯(lián)結(jié)(Y聯(lián)結(jié))。圖5.1.4電源的星形聯(lián)結(jié)

接到一起的這個點叫中性點,也稱為零點,引出來的供電線叫中性線,也稱零線,用N來表示,在低壓系統(tǒng)中,中性點通常接地,所以中性線俗稱地線。U1、V1、W1端引出來的供電線叫端線,也叫相線,俗稱火線,三根相線用L1、L2、L3表示。采用上述四根供電線進行供電的方式稱為三相四線制,可以向用電負載提供兩種電壓。

(1)電源相電壓。電源相電壓指發(fā)電裝置定子繞組首端和尾端之間的電壓,即圖5.1.4所示的u1、u2、u3,也是式(5.1.2)中的?U1、?U2、?U3,有效值用U1、U2、U3或一般用UP表示。顯然電源相電壓為相線與中性線之間的電壓。

(2)電源線電壓。電源線電壓指發(fā)電裝置兩定子繞組首端和首端之間的電壓,即圖5.1.4所示的u12、u23、u31,用相量表示為?U12、?U23、?U31,有效值用U12、U23、U31或一般用UL表示。顯然電源線電壓為相線與相線之間的電壓。

下面以?U1、?U2及?U12為例討論線、相電壓間的關(guān)系。由圖5.1.4所示,根據(jù)KVL可得

將上述相量繪制于圖5.1.5。圖5.1.5星形聯(lián)結(jié)時線、相電壓關(guān)系

計算可得

因此電源繞組星形聯(lián)結(jié)時,有

且線電壓超前對應(yīng)的相電壓30°。因為相電壓對稱,則線電壓也是對稱的,大小相等且彼此相位相差120°。以式(5.1.2)表示的相電壓為參考,可得式(5.1.8)所示的線電壓。

【例5.1.1】?UBC=380∠0°V,則?UA、?UB、?UC、?UAB、?UCA分別為多少?

解由?UBC=380∠0°V,?UAB=380∠120°V,?UCA=380∠-120°V。即?UB=220∠-30°V,?UA=220∠90°V,?UC=220∠-150°V。

5.2負載星形聯(lián)結(jié)的三相電路

三相電路中負載的連接方法有兩種,星形聯(lián)結(jié)和三角形聯(lián)結(jié)(△聯(lián)結(jié))。如圖5.2.1所示,供電系統(tǒng)采用三相四線制供電,提供380V線電壓和220V相電壓。居民用電負載的額定電壓為220V,因此需要接到相線和中性線之間。圖5.2.1負載星形聯(lián)結(jié)的三相電路

圖5.2.1的居民用電電路可簡化為圖5.2.2。負載首端和尾端之間的電壓稱為負載相電壓,顯然,電源相電壓即為負載相電壓。兩負載首端之間的電壓稱為負載線電壓。顯然,電源線電壓即為負載線電壓,因此負載線、相電壓之間關(guān)系滿足式(5.1.6)。圖5.2.2居民用電負載星形聯(lián)結(jié)簡化圖

電路中存在兩種電流:線電流和負載相電流。

1.線電流

負載線電流指負載從相線(指干線)取用的電流,即圖5.2.2所示的i1、i2、i3,用相量表示為?I1、?I2、?I3,有效值用I1、I2、I3或一般用IL表示。顯然負載線電流為相線(指支線)上的電流。

電源線電流定義為相線(指干線)提供的電流。一般情況下電源并不只給一個負載供電,因此電源線電流與負載線電流并不相等。

2.負載相電流

負載相電流指流過負載的電流。有效值用IP表示。顯然星形聯(lián)結(jié)時,負載線電流即為負載相電流。

當(dāng)負載對稱時

由式(5.1.2)可得

因此三相電流也是對稱的,大小相等且彼此相位相差120°。中性線電流用?IN表示,則

此時,中性線可去除,僅由三根相線進行供電,這樣的供電方式稱為三相三線制。如圖5.2.1所示,因電動機的三相繞組對稱,故可采用三相三線制供電,繞組相電壓為220V。

【例5.2.1】電路如圖5.2.3所示,三相四線制電源電壓為380/220V。

(1)L1相短路,中性線未斷開;

(2)L1相短路,中性線斷開;

(3)L1相斷開,中性線未斷開;

(4)L1相斷開,中性線斷開,試求各相負載上的電壓。圖5.2.3例5.2.1的電路

解(1)L1相短路,中性線未斷開,如圖5.2.4所示。此時R1被短路,短路電流很大,將L1相熔斷,而L2相和L3相未受影響,則R1上的電壓為0,R2、R3上的電壓均為220V。圖5.2.4L1相短路,中性線未斷開

(2)L1相短路,中性線斷開,如圖5.2.5所示。此時R1被短路,R1上的電壓為0。R2的一端接到了L2,一端接到了L1,因此R2上的電壓為380V。同理,R3上的電壓也為380V。圖5.2.5L1相短路,中性線斷開

(3)L1相斷開,中性線未斷開,如圖5.2.6所示。R1上的電壓為0,R2、R3上的電壓均為220V。圖5.2.6L1相斷開,中性線未斷開

(4)L1相斷開,中性線斷開,如圖5.2.7所示。R1上的電壓為0。R2與R3串聯(lián),電壓為380V,則串聯(lián)電流為

進而可求得R2和R3上的電壓U2和U3為圖5.2.7L1相斷開,中性線斷開

由(1)和(3)可知,中性線未斷開時,R2與R3上的電壓均為220V;由(2)和(4)可知,中性線斷開后,R2與R3的電壓均不等于220V。因此,負載不對稱而又沒有中性線時,負載的相電壓不對稱,而中性線可以保證星形聯(lián)結(jié)的不對稱負載的相電壓對稱。

一般情況下居民用電負載無法保證完全對稱,因此采用三相四線制供電且中性線(指干線)內(nèi)不允許接熔斷器或閘刀開關(guān)。

5.3負載三角形聯(lián)結(jié)的三相電路

如圖5.3.1所示,負載三角形聯(lián)結(jié)指三相負載彼此首尾相連。線、相電壓和電流的定義同5.2節(jié)。三相負載分別為Z12、Z23、Z31,負載線電流為?I1、?I2、?I3,負載相電流為?I12、?I23、?I31。負載只需要三根相線,因此電源給三角形聯(lián)結(jié)的負載供電時,采用三相三線制。圖5.3.1三角形連接

顯然,電源線電壓、負載線電壓和負載相電壓相同。因為電源的線電壓對稱,則無論負載是否對稱,負載相電壓也是對稱的。

當(dāng)負載對稱時

顯然,負載線電流不等于負載相電流。以?I1、?I12、?I31為例討論負載線、相電流之間的關(guān)系,由KCL可得

將上述相量繪于圖5.3.2。圖5.3.2三角形聯(lián)結(jié)時線、相電流關(guān)系

計算可得

因此負載三角形聯(lián)結(jié)時

且線電流滯后對應(yīng)的相電流30°。因為相電流對稱,則線電流也是對稱的,大小相等且彼此相位相差120°。

5.4三相功率

負載是星形或是三角形聯(lián)結(jié)時,其中一相負載的有功功率P1和無功功率Q1可表示為其中φP指該相負載上的阻抗角。

UP和IP指負載相電壓和負載相電流。UL和IL指負載線電壓和負載線電流。負載星形或三角形聯(lián)結(jié)時,電源線電壓和負載線電壓均相等,因此UL也指電源線電壓。當(dāng)電路中僅有一個三相負載時,電源線電流和負載線電流相等,此時UL和IL可認(rèn)為是電源線電壓和電源線電流。

需要說明的是,交流電路中電壓和電流一般指“線電壓”“線電流”的“有效值”。

【例5.4.1】電路如圖5.4.1所示,電源電壓為380V。有兩個三相對稱負載,一個采用星形聯(lián)結(jié),負載均為電阻元件,消耗功率為10kW;另一個采用三角形聯(lián)結(jié),負載阻抗角為45°,消耗功率為30kW。求電源線電流。圖5.4.1例5.4.1的電路

【專5.1】某居民區(qū)包含三個區(qū)域,分別為西區(qū)、東區(qū)、中區(qū)。某一區(qū)域發(fā)生故障,西區(qū)和東區(qū)所有電燈都突然暗下來,而中區(qū)電燈亮度不變,試問這是什么原因?區(qū)域的電燈是如何連接的?同時發(fā)現(xiàn),西區(qū)的電燈比東區(qū)的電燈還暗些,這又是什么原因?

【專5.2】三相四線制供電時,如何選取三相負載的連接方式?

【練5.1】已知三相負載對稱,負載阻抗Z=190+j190Ω,額定電壓為380V,將該三相負載接到線電壓為380V的三相電源上,則三相負載如何連接?三相負載消耗的總功率是多少?

【練5.2】電路如圖1所示,正常工作時電流表的讀數(shù)是26A,電壓表讀數(shù)是380V,電源電壓對稱。

求:(1)正常工作時負載電流;

(2)U、V相負載斷開后,其余相負載電流;

(3)U相斷開后,WV相負載電流和其余相負載電流。圖1練5.2的電路

【練5.3】某大樓為日光燈和白熾燈混合照明,三相四線制電源電壓為380/220V。需裝40W日光燈210盞(cosφ1=0.5),60W白熾燈90盞(cosφ2=1),額定電壓均為220V。分配其負載并指出應(yīng)如何接入電源,同時計算電路的電流與功率。

某高校五號教學(xué)樓共六層,三相四線制電源電壓為380/220V。一到五層每層有2個大教室,每個教室有20盞燈,每盞燈額定功率為60W;有10個小教室,每個教室有10盞燈,每盞燈額定功率為60W。第六層有4個大教室,每個教室有18盞燈,每盞燈額定功率為100W;6個小教室,每個教室有6盞燈,每盞燈額定功率為40W。假設(shè)所有的燈功率因數(shù)均為1,試設(shè)計供電電路,并繪制接線圖(需有簡易開關(guān)),分析功率情況及電流情況。模塊6變壓器6.1磁路與鐵芯線圈電路6.2變壓器工作原理6.3三相變壓器6.4變壓器額定值6.5特殊變壓器

電機是通過電磁感應(yīng)原理實現(xiàn)能量轉(zhuǎn)換或信號傳遞的電氣設(shè)備或機電元件。按其運動方式可將電機分為旋轉(zhuǎn)電機、靜止電機、直線電機。變壓器屬于靜止電機,其作用是將一種電壓、電流的交流電能轉(zhuǎn)換為同頻率且具有另一種電壓、電流的交流電能。

大功率的電能進行遠距離輸送,采用低電壓來傳輸是不現(xiàn)實的。因為一方面大電流在輸電線路上傳送會產(chǎn)生