2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5講空間直線平面的平行題型總結(jié)導(dǎo)學(xué)案解析版

第5講空間直線、平面的平行題型總結(jié)知識點一基本事實4(平行定理)(1)文字語言：平行于同一條直線的兩條直線平行．(2)符號語言：a∥b，b∥c?a∥c.知識點二等角定理(1)文字語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．(2)符號語言：對于∠ABC和∠A′B′C′，AB∥A′B′，BC∥B′C′?∠ABC＝∠A′B′C′或∠ABC＋∠A′B′C′＝180°.拓展：1．求證兩條直線平行，目前有兩種途徑：一是應(yīng)用基本事實4，即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行，這是一種常用方法，要充分利用好平面幾何知識；二是證明在同一平面內(nèi)，這兩條直線無公共點．2．等角定理是立體幾何的基本定理之一．對于空間兩個不相同的角，如果它們的兩組對應(yīng)邊分別平行，則這兩個角相等或互補．當(dāng)角的兩組對應(yīng)邊同時同向或同時反向時，兩角相等；當(dāng)兩組對應(yīng)邊一組同向一組反向時，兩角互補．知識點三：直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定理定義圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b拓展：1．利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．2．直線與平面平行的性質(zhì)定理使用時三個條件缺一不可①直線a和平面α平行，即a∥α.②平面α和平面β相交于直線b，即α∩β＝b.③直線a在平面β內(nèi)，即a?β.知識點四：面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α拓展：1．證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．(3)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．2．平面與平面平行的性質(zhì)定理使用時三個條件缺一不可(1)兩個平面平行，即α∥β.(2)第一個平面與第三個平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二個平面與第三個平面也相交，即β∩γ＝b.3．三種平行關(guān)系可以任意轉(zhuǎn)化，其相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示考點一：空間基本公理例1.三平行平面與一直線交于，，三點，又與另一直線交于，，三點，已知，及求．【解答】解：過點與直線確定一個平面，在這個平面上過做的平行線，交面于，交于，面同時與兩個平面相交，得到交線平行，，同理得到，，．考點二：空間中的平行問題例2．（2020·重慶萬州區(qū)·萬州純陽中學(xué)校高二月考）在以下四個命題中：①直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行；②直線與平面內(nèi)的任意一條直線都不相交，則直線與平面平行；③直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線不相交，則直線與平面平行；④平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與平面不相交.正確的命題是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【詳解】定義：一條直線與一個平面無公共點（不相交），稱為直線與平面平行.可知①②正確；線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.可知④正確；當(dāng)線在面內(nèi)時，直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線不相交（平行時），所以③不正確.故選：D.例3．（2021·六盤山高級中學(xué)高一期末）平面∥平面，，則直線和的位置關(guān)系（）A．平行B．平行或異面C．平行或相交D．平行或相交或異面【答案】B【詳解】∵平面平面，∴平面與平面沒有公共點∵，，∴直線，沒有公共點∴直線，的位置關(guān)系是平行或異面，故選：B.例4．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））如圖，正方體中，、分別為棱、上的點，在平面內(nèi)且與平面平行的直線（）A．有一條 B．有二條C．有無數(shù)條 D．不存在【答案】C【詳解】設(shè)平面，且，又平面，平面，平面，顯然滿足要求的直線l有無數(shù)條.故選：C.【變式訓(xùn)練】1．（2021·全國高一課時練習(xí)）如圖所示，已知正方體中，，分別是它們所在線段的中點，則滿足平面的圖形為（）A．① B．①② C．② D．①②③【答案】C【詳解】①中，平移至，知與面只有一個交點，則與面不平行；②中，在正方體中，，分別是它們所在線段的中點，則易知，而平面，平面，故平面；③中，同①平移至，知與面只有一個交點，則與面不平行；故選：C．2．（2020·全國高一課時練習(xí)）如圖，四棱錐中，，分別為，上的點，且平面，則A． B． C． D．以上均有可能【答案】B【詳解】四棱錐中，，分別為，上的點，且平面，平面，平面平面，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：．故選：．3．（2021·全國高二課時練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是（）A．相交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB1C1C內(nèi)【答案】B【詳解】以點C1為坐標原點，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由于A1M＝AN＝，則又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)為平面BB1C1C的一個法向量．因為，所以，又平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.故選：B4．（多選）（2021·全國高三專題練習(xí)）如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD－A1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法中正確的是（）A．水的部分始終呈棱柱狀；B．水面四邊形EFGH的面積不改變；C．棱A1D1始終與水面EFGH平行；D．當(dāng)E∈AA1時，AE＋BF是定值．【答案】ACD【詳解】由于BC固定，所以傾斜的過程中，始終有ADEHFGBC，且平面AEFB平面DHGC，故水的部分始終呈現(xiàn)棱柱狀（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；當(dāng)水是四棱柱或者五棱柱時，水面面積與上下底面面積相等，當(dāng)水是三棱柱時，則水面四邊形的面積可能變大，也可能變小，水面的面積改變；BC為棱柱的一條側(cè)棱，隨著傾斜度的不同，但水的部分始終呈棱柱狀，且棱平面，棱，∴平面；∵體積是定值，高為定值，則底面積為定值，即為定值，綜上ACD正確．故選：ACD.5．（2020·江蘇連云港市·高三期中）在長方體中，，，，分別為棱，的中點，則下列說法正確的是（）A．平面 B．平面截長方體所得截面的面積為C．直線與所成角為60° D．三棱錐的體積為4【答案】ACD【詳解】對于選項A：由，，所以，平面，平面，即可得平面，故選項A正確；對于選項B：因為平面平面，平面截長方體所得截面為平面，由面面平行的性質(zhì)定理可得：，故四邊形為梯形，又因為，，梯形的高為，所以梯形面積為，故選項B不正確；對于選項C：取的中點，則，則即為異面直線與所成的角，在中，，所以，故選項C正確；對于選項D：，故選項D正確，故選：ACD考點三：平行中的計算問題例6．（2021·江蘇高二）如圖，在長方體中，，E為CD的中點，點P在棱AA1上，且平面，則AP的長為（）A． B． C．1 D．與AB的長有關(guān)【答案】B【詳解】連接與交于點，連接與交于點，連接由平面,且平面平面,平面所以,則由與相似，且E為CD的中點，則所以又由與相似，則所以P為的中點，所以故選：B例7．（2020·四川樂山市·高三月考（文））如圖，長方體中，，，點是線段的中點，點在線段上，，則長方體被平面所截得的截面面積為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】長方體中，，因為，所以，因為點是線段的中點，所以點是線段的中點，因為，平面，平面，所以平面，因為平面與平面有一個公共點，所以它們有一條過點的交線，且該直線與平行，所以與平行，設(shè)此直線分別交直線于點，連接交于點，連接交于點，連接，則五邊形是長方體被平面所截得的截面，因為底面是正方形，則分別為，的中點，所以，所以，所以，，同理，，所以分別是，的三等分點，所以，，，，等腰中，邊上的高，所以的面積為：，梯形為等腰梯形，如圖：梯形的高為，所以梯形的面積為，所以截面面積為.故選：B.【變式訓(xùn)練】1．（2020·全國高三專題練習(xí)（文））如圖，在直三棱柱中，，，的中點為，點在棱上，平面，則的值為________.【答案】【詳解】取中點，連接，故，，又在平面外，平面所以平面，平面，又相交在平面內(nèi)，故平面平面，即平面，故.故答案為：.2．（2020·浙江杭州市·高一期末）如圖，已知點為所在平面外一點，平面，點在上，平面，，，若三棱錐的體積為，則______，點到平面的距離等于______．【答案】3【詳解】連接交于點，連接，則是的中點．因為平面，平面平面，平面，所以，所以是的中點．由等體積法可知．因為，，所以，所以為直角三角形．因為平面，所以，解得．所以．又因為，所以為等邊三角形，所以．設(shè)點到平面的距離為，則由，解得．故點到平面的距離為．故答案為:3;考點四：利用平行四邊形模型證明平行問題例8．（2020·蘇州新草橋中學(xué)高一期中）如圖所示，在三棱柱ABC-中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，，的中點，求證：（1）B，C，H，G四點共面；（2）E∥平面BCHG.【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；【詳解】（1）∵G，H分別是，的中點，∴，而，∴，即B，C，H，G四點共面.（2）∵E，G分別是AB，的中點，∴平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，即，又面，面，∴面，【變式訓(xùn)練】1．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中的棱長為2，O1是A1C1中點.（1）求證：AO1平面DBC1；（2）設(shè)BB1的中點為M，過A?C1?M作一截面，并求出截面面積.【來源】2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)課時同步練（人教A版必修2）【答案】（1）證明見解析；（2）作圖答案見解析，.【分析】（1）若要證線面平行，只要證明AO1平行于平面DBC1內(nèi)一條直線即可，故連接AC，BD，可構(gòu)造四邊形AA1C1C為平行四邊形即可得證；（2）過點作截面問題，則在平面上的交線過點且與平行，在平面上的交線與平行，據(jù)此即可得解.【詳解】（1）證明：如圖，連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，連接OC1，由AA1CC1，AA1=CC1可得四邊形AA1C1C為平行四邊形，則ACA1C1，又C1O1=AO，∴四邊形AOC1O1為平行四邊形，得AO1C1O.而A1O?平面DBC1，C1O?平面DBC1，∴AO1平面DBC1；（2）連接AM，C1M，設(shè)平面AMC1與平面AA1D1D交于AN，由平面AA1D1D平面BB1C1C，且平面AMC1∩平面BB1C1C=C1M，平面AMC1∩平面AA1D1D=AN，∴C1MAN.同理可得AMC1N，得到四邊形AMC1N為平行四邊形，在Rt△ABM與Rt△C1B1N中，求得AM=C1M，即四邊形AMC1N為菱形，得N為DD1的中點.∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，∴MN，.∴截面面積S.【點睛】本題考查了線面平行的證明，以及幾何體的截面問題，要求較高的邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.（1）線面平行問題主要要說明平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線；（2）截面問題關(guān)鍵點是利用兩平行平面與第三個平面相交則交線互相平行來解決問題.2．如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AA1＝AB＝1，點O1，O分別是上、下底面菱形的對角線的交點．（1）求證：A1O∥平面CB1D1；（2）求點O到平面CB1D1的距離．【來源】專題5.1立體幾何有關(guān)的計算-備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)精選考點專項突破題集（新高考地區(qū)）【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）利用線面平行的判定可得證．（2）解法1：運用等體積法可求得點O到平面CB1D1的距離．解法2：直接作垂線法，解三角形可求得點O到平面CB1D1的距離．【詳解】解：（1）因為AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以AC∥A1C1且AC＝A1C1．因為O1，O分別是A1C1，AC的中點，故OC∥A1O1且OC＝A1O1．所以四邊形A1O1CO為平行四邊形，所以A1O∥O1C．又平面CB1D1，平面CB1D1，所以A1O∥平面CB1D1．（2）（解法1等體積法．）設(shè)點O到平面CB1D1的距離為h．因為D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CO．因為AC，BD為菱形ABCD的對角線，所以CO⊥BD．因為D1D∩BD＝D，所以CO⊥平面BB1D1D．在菱形ABCD中，BC＝1，∠BCD＝60°，CO＝．則點O到直線B1D1的距離為DD1＝1，且BD＝B1D1＝1，所以△OB1D1的面積＝·DD1·B1D1＝．所以三棱錐C-OB1D1的體積V＝·CO＝．在中，CB1＝CD1＝，B1D1＝1，則的面積＝．由V＝·h＝··h＝，得h＝．因此，點O到平面CB1D1的距離為．（解法2作垂線．）因為AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．因為A1C1，B1D1為菱形A1B1C1D1的對角線，所以B1D1⊥A1C1．因為AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1C．因為B1D1?平面CB1D1，所以平面CB1D1⊥平面AA1C1C．在平面AA1C1C內(nèi)，作OH⊥CO1，H為垂足，而平面CB1D1∩平面AA1C1C＝CO1，所以O(shè)H⊥平面CB1D1，即線段OH的長為點O到平面CB1D1的距離．在矩形AA1C1C中，∠OCH＝∠CO1C1，sin∠CO1C1＝＝，sin∠OCH＝＝＝，所以＝，故OH＝．因此，點O到平面CB1D1的距離為．【點睛】方法點睛：求點到的距離的方法有：等體積法，直接作面的垂線段法，建立空間直角坐標系，運用空間向量求解方法．3．（2020·重慶市楊家坪中學(xué)高二期中）如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，，，，為邊的中點.

（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】解：（1）如圖所示：取中點，連接、，

是的中點，為的中點，則且，，且，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，因此，平面；（2）是的中點，，取中點，連接、，取的中點，連接.，為的中點，，在梯形中，，，為的中點，，又，則四邊形為矩形，，且，，為等腰直角三角形，且，，，，在中，由余弦定理得，，，，，平面，，，三棱錐的體積為.考點五：利用中位線證明平行例9．（2021·河南高一月考）如圖，在長方體中，，.（1）求證：直線平面；（2）求三棱錐的外接球的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）在長方體中，因為，，所以四邊形是平行四邊形，.又，所以直線平面（2）因為三棱錐的所有頂點所在的球面與長方體的八個頂點所在的球面相同，這個球的直徑，半徑.所以所求球的體積為.【變式訓(xùn)練】1．已知正四面體ABCD，M?N分別在棱AD、AB上，且，，P為棱AC上任意一點(P不與A重合)．（1）求證：直線平面BDP；（2）若正四面體ABCD的各棱長均為60．求三棱錐M﹣BDC的體積．【來源】陜西省西安市八校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由，得出，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）設(shè)G為底面△ABC的重心，由MN∥平面DBC得出三棱錐M﹣BDC的體積與三棱錐N﹣BDC的體積相等，再由等體積法求出三棱錐M﹣BDC的體積．【詳解】解：（1）證明：由，可得點M在AD上，則有又，所以又平面BDP，BD?平面BDP，所以MN∥平面BDP；（2）設(shè)G為底面△ABC的重心，Q為AC的中點，如圖所示則所以由（1）可知MN∥DB，且平面DBC，DB?平面DBC，故MN∥平面DBC所以點M與點N到平面BDC的距離相等所以三棱錐M﹣BDC的體積與三棱錐N﹣BDC的體積相等又三棱錐N﹣BDC的體積與三棱錐D﹣BNC的體積相等所以=所以三棱錐M﹣BDC的體積為．【點睛】關(guān)鍵點睛：解決問題二的關(guān)鍵在于由MN∥平面DBC得出三棱錐M﹣BDC的體積與三棱錐N﹣BDC的體積相等，進而由等體積法求出所求體積.2．如圖所示，在四棱錐中，，，平面，，，設(shè)、分別為、的中點.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的側(cè)面積.【來源】黃金卷15-【贏在高考?黃金20卷】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)（文）全真模擬卷（新課標Ⅱ卷）【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證明面面平行，需根據(jù)判斷定理證明平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，根據(jù)平行關(guān)系，證明平面，平面；（2）根據(jù)邊長和三角形面積公式，分別求三棱錐的三個側(cè)面的面積.【詳解】（1）∵、分別為、的中點，∴，又平面，平面，∴平面，在中，，，∴，又，∴，∵平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，（2）∵平面，平面，平面，由（1）可知，∴、，∵，，，，∴，，，由（1）可知，在中，，∴，又，在中，，∴邊上的高，∴，∴三棱錐的側(cè)面積.【點睛】方法點睛：本題考查了面面平行的判斷定理，以及三棱錐側(cè)面積的求法，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計算求解能力，不管是證明面面平行，還是證明線面平行，都需要證明線線平行，證明線線平行的幾種常見形式，1.利用三角形中位線得到線線平行；2.構(gòu)造平行四邊形；3.構(gòu)造面面平行.3．如圖，已知正四棱柱中，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）過作正四棱柱的截面，使得截面平行于平面，在正四棱柱表面應(yīng)該怎樣畫線？請說明理由，并求出截面的面積.【來源】湖南省長沙市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【答案】（1）證明見解析；（2）理由見解析，截面面積為.【分析】（1）連接交于點，所以是的中位線，可得答案；（2）分別取、、的中點，連接，則四邊形即為所求截面，再利用平行四邊形的對邊平行且相等可證得答案，由所求截面為菱形可得面積.【詳解】（1）連接交于點，所以為的中點，連接，因為為的中點，是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面；（2）分別取、、的中點，連接，則四邊形即為所求截面，證明如下，連接，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，同理，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，即四邊形是平行四邊形，又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，，所以平面平面，而平面，所以四邊形即為所求截面，又因為，，所以，所以四邊形為菱形，所以，因為，，所以截面面積為.【點睛】本題考查了線面平行、面面平行的證明及截面圖形的求法，關(guān)鍵點是根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到截面，考查了學(xué)生的空間想象力和計算能力.考點六：證明動點平行問題例10．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面是中點，是中點，是與的交點，點在線段上.（1）求證：平面（2）若二面角的余弦值是，求點到平面的距離【來源】吉林省吉林市普通中學(xué)2020-2021學(xué)年高三第三次調(diào)研測試理科數(shù)學(xué)試試題【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，先證明面，面，再由面面平行的判定定理，得到面∥面，由面，即可證明平面；（2）以A為原點，所在直線分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，用向量法求解.【詳解】（1）證明:連結(jié)，設(shè)，連結(jié).，又面，面，面.四邊形是平行四邊形，，又面，面，面.面，面，面面.∵由面，∴平面.（2）以A為原點，所在直線分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)所以設(shè)平面的一個法向量則，不妨設(shè)，解得.顯然平面的一個法向量.由二面角的余弦值是，則，又，解得又即點到平面的距離為.【點睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通?？梢越⒖臻g直角坐標系，利用向量法計算．例11．如圖，在直四棱柱（側(cè)棱垂直底面的棱柱稱為直棱柱）中，底面是邊長為2的菱形，且，，點E，F(xiàn)分別為，的中點，點G在上．（1）證明：平面ACE．（2）求三棱錐B-ACE的體積．【來源】安徽省皖西南聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接BF，OE，，由三角形中位線得，則平面ACE，又，得平面ACE．從而證明平面平面ACE即可.（2）利用等體積法，由求解.【詳解】（1）如圖所示：連接BD交AC于點O，則O為BD的中點，連接BF，OE，，則．∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．又∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．∵，∴平面平面ACE，∵平面，∴平面ACE．（2）在中，，，則AC邊上的高為1，，∴．又點E到平面ABC的距離為DE，且，，∵，∴．【點睛】方法點睛：1、判斷或證明線面平行的常用方法：（1）利用線面平行的定義，一般用反證法；（2）利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，（3）利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；（4）利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．考點七：軌跡問題例11．如圖，已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，、分別是，的中點，為上一點，且，為正方形內(nèi)一點（包含邊界）.若平面，則的運動軌跡的長度為（）A． B． C． D．【來源】2021年浙江省高中名校名師原創(chuàng)預(yù)測卷數(shù)學(xué)（第六模擬）【答案】C【分析】分別取、的中點、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)定理可知，當(dāng)點在線段上運動時，平面，可得出點的軌跡為線段，求出即可得解.【詳解】如圖，分別取、的中點、，連接、、、，設(shè)分別交、于點、，連接、、，設(shè)，、分別為、的中點，則，且為的中點，同理可知，且為的中點，，平面，平面，平面，因為四邊形為正方形，，所以，為的中點，所以，，，同理可得，，，所以，，則，平面，平面，平面，，所以，平面平面，所以當(dāng)在線段上運動時，由于平面，始終有平面，即的運動軌跡為線段，易知，故選：C.【點睛】方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).例12．在正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說法正確的是_________(只填序號).①點F的軌跡是一條線段②與BE是異面直線③與不可能平行④三棱錐的體積為定值【來源】北京市和平街第一中學(xué)2020—2021學(xué)年度高二年級12月月考數(shù)學(xué)試題【答案】①②④【分析】對于①，證明點是線段上的動點．所以①正確；對于②，與是異面直線，所以②正確；對于③，與可能平行，所以③錯誤；對于④，到平面的距離是定值，三棱錐的體積為定值，所以④正確.【詳解】對于①，設(shè)平面與直線交于點，連接、，則為的中點分別取、的中點、，連接、、，則，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面內(nèi)的相交直線平面平面，由此結(jié)合平面，可得直線平面，即點是線段上的動點．所以①正確；對于②，平面平面，和平面相交，與是異面直線，所以②正確．對于③，由①知，平面平面，與可能平行，所以③錯誤．對于④，因為，則到平面的距離是定值，三棱錐的體積為定值，所以④正確；故答案為：①②④【點睛】方法點睛：空間幾何體的體積的求解常用的方法有：（1）規(guī)則的公式法；（2）不規(guī)則的割補法；（3）復(fù)雜的轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，在邊長為的菱形中，，沿將三角形向上折起到位置，為中點，若為三角形內(nèi)一點（包括邊界），且平面.（1）求點軌跡的長度；（2）若平面，求證：平面平面，并求三棱錐的體積.【來源】安徽省名校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題【答案】（1）；（2）證明見解析，三棱錐的體積為.【分析】（1）取、中點為、，連接，證明出平面平面，可得出點的軌跡為線段，求出的長，可求得線段的長，即可得解；（2）連接延長交于點，利用面面平行的性質(zhì)定理可得出，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可證得平面平面，可得出三棱錐的高為，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，取、中點為、，連接，則點在線段上，證明如下：連接、，因為為中點，為中點，所以，平面，平面，平面，同理可證平面，又，所以平面平面，平面，所以平面，所以點的軌跡為線段，因為，所以，，所以，即點的軌跡的長度為；（2）