向量在立體幾何中的應用 測試卷-2022-2023學年高二年級上冊數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

3.4向量在立體幾何中的應用測試卷

一、單選題

1.設］為直線/的一個方向向量，7為平面々的一個法向量，則“ZG=O”是“/ua”的

（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

2.若點A（-1,0,2）,8（1,4,10）在直線/上，則直線/的一個方向向量為（）

A.（1,2,4）B.（1,4,2）C.（0,2-1）D.（0,4,12）

3.如圖，在四棱錐S—4BCD中，底面A6CD是矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P為

棱4。的中點，且SP_LA8,AA?=/IAS（O</1<1）,若點M到平面S8C的距離為坐，

則實數(shù)4的值為（）

4.若平面。的法向量為口，直線/的方向向量為K直線/與平面a的夾角為e,則下

列關系式成立的是（）

A.cos"叁B.cos”.C.sin”與D.sin”典

l/zllvllz/||v|lAllvl

5.已知點P（OJO）,0（-2,0,1）,則直線尸。的一個方向向量可以為（）

A.（-2,-1,-1）B.（1,-2,1）C.（4,2,—2）D.（4,-2,2）

6.在正方體ABCQ—AqGA中，P,Q分別為AB,CO的中點，則（）

A.A81_L平面ABGB.異面直線A片與AG所成的角為30。

C.平面A8Q〃平面BGQD.平面片。。1平面BQP

7.在棱長為2的正方體A8CQ-4乃6。中，M,N兩點在線段AG上運動，且MN=1,

給出下列結論：

①在M,N兩點的運動過程中，BD工平面BMN；

②在平面8RG上存在一點P，使得〃平面BMN；

③三棱錐MNB的體積為定值也；

3

④以點。為球心作半徑為2拉的球面，則球面被正方體表面所截得的所有弧長和為3兀.

其中正確結論的序號是（）

A.①②③B.④C.②④D.②③④

8.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A8cA中，M,N分別是棱4必，AA的中點,

A.平面截正方體所得的截面圖形是五邊形

B.直線用R到平面CMN的距離是冬叵;

17

C.存在點P,使得/與尸。1=90

D.△尸面積的最小值是也.

6

二、多選題

9.在棱長為。的正方體ABC。-ABGR中，則（）

A.AB|_L平面BCR

B.直線4片平面gCR所成角為45。

C.三棱錐A-8cA的體積是正方體ABC。-AqG。體積的g

D.點a到平面AMA的距離為巫a

2

10.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AAGA中，。為面AA88的中心，E、F分別

為BC和2G的中點，則（）

B.平面4cA與平面4上〃相交

C.點。到直線AE的距離為巫D.點0到平面\EF的距離為亞

64

11.給出下列命題，其中正確的命題是()

A.若直線/的方向向量為0=(1,0,3),平面a的法向量為五=12,0弓)，則直線/〃a

B.若對空間中任意一點。，有麗=：函+：礪+J近，則P,ARC四點共面

444

C.兩個非零向量與任何個向量都不能構成空間的個基底，則這兩個向量共線

D.已知向量)=(94T),丐=(122),則￡在坂上的投影向量為(1,2,2)

12.已知空間中三點41,0,0),僅0,1,0),C(3,2,l),則下列結論正確的有()

A.與正共線且同向的單位向量是(d；)

B.AB±AC

C.〃與此夾角的余弦值是當

D.平面A8C的一個法向量是(IJ4)

三、填空題

13.已知2=(3,4,-12)是直線/的一個方向向量，斤是平面a的一個單位法向量，且

/_La,則向量”的坐標為.

14.已知平面。的法向量為3=(1,2,-2),直線/的方向向量為7=(-2,九4),且/_La,

則實數(shù)祖=.

15.在三棱柱ABC-A3G中，底面為棱長為1的正三角形，側棱八4,底面A8C,點

力在棱8片上，且30=1,則4D與平面A4.GC所成的角的正弦值為.

16.在如圖所示的試驗裝置中，四邊形框架43co為正方形，ABEF為矩形，且

BE=3AB=3,且它們所在的平面互相垂直，N為對角線戰(zhàn)上的一個定點，且

2FN=BN,活動彈子”在正方形對角線AC上移動，當亞?麗取最小值時，活動彈

子M到直線BF的距離為.

17.已知7為直線/的方向向量，G為平面。的法向量，且/<za,判斷直線/與平面。的

位置關系是平行還是垂直.

(1)7=(-IJ,1),n=(l,4,-3)；

(2)7=(-1,3,2),n=(2,-6,-4).

18.如圖，在空間直角坐標系中有長方體A8a)-A8'C7)',且AA=1,BC=2fAA=2,

求直線B'C與平面EBDD所成角的正弦值.

19.如圖，在三棱柱P4O-QBC中，側面ABCD為正方形，AB=4,

PA=PD=遙,ABA.AP,DC上DP,點M在線段P3上，尸。//平面MAC.

(1)求證：M為9的中點;

(2)求二面角8-凡)-4的大小;

(3)在線段AC上是否存在點N,使得直線MN與平面8DP所成的隹為3(T，若存在，求

出A普N的值；若不存在，請說明理由.

20.如圖，正方形A8CZ)所在平面外?點P滿足PB_L平面A8CO,且AB=3,PB=4.

⑴求點A到平面PCD的距離；

(2)線段6尸上是否存在點E,使得OE_L平面若存在，求出該點位置，若不存在,

則說明理由.

21.如圖，四棱錐P—A8CO的底面ABC。是邊長為2的菱形，N3AO=60,PO_L底

面ABC。，PD=2,E是PC的中點，F(xiàn)是PB上的點,且BF=2PF.

⑴證明：P。//平面AEF；

(2)求二面角A—8E-C的正弦值;

(3)求三棱錐A—8底產的體積.

22.如圖①所示，長方形ABCQ中，AD=2,/3=3,點”是邊CD靠近點C的三等分

點，將△4W沿AM翻折到△連接PB,PC,得到圖②的四棱錐尸-ABC”.

圖①圖②

⑴求四棱錐戶-ABC例的體積的最大值;

(2)設尸的大小為6,若。,求平面RAM和平面尸8C夾角余弦值的最

小值.

參考答案

1.B

【分析】利用空間向量與立體幾何的關系即可得到二者的邏輯關系，進而可得“Zi=o”是

7ua”的必要非充分條件.

【詳解】2為直線/的一個方向向量，；；為平面。的一個法向量，

則由2G=0,可得/ua或/〃a,則“2G=0”不是“/ua”的充分條件；

由/ua,可得ZG=O,則“ZG=O”是“/ua”的必要條件.

則“ZG=O”是“/ua”的必要非充分條件.

故選：B

2.A

【分析】由方向向量的概念求解.

【詳解】由麗=（2,4,8）,/的方向向量與福平行，只有選項A滿足題意，

故選：A

3.A

【分析】先證明SP_L平面A8C"以點尸為原點，PA，無的方向分別為“，z軸的正方

向，建立的空間直角坐標系，利用點到面的距離可求解.

【詳解】解：由題意得：

因為SA=SO,P為4。中點

所以SPJ.A￡）

又S尸J_A8,人區(qū)與AO交于點A,ABI平面ABC。，4）u平面A5C0

所以SP_L平面ABC。

以點尸為原點，PA，方的方向分別為“，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則尸（0,0,0）,4（1,0,0）,8（1JO）,C（-l,l,0）,S（0,0,75）

故麗=（0,-1,0）,通=（-1,0,6）

所以麗=4衣=（-九0,瘋）（0。工1）

所以麗=麗+麗？=卜4-1,64

又朝=（1,1,一6）,而=（2,0,0）,設平面S3。的法向量而=（x,y,z）,則'2—6片°

m-CB=2x=0

令z=l,則x=o,y=6,所以/=（0,石,1）.點M到平面SBC的距離為

呼甸卜6+&|73

(1=解得4=g或義=|（舍）

|/n|23

故選：A.

【分析】由線面角的向量求法判斷

【詳解】由題意得sin6=>^U,

1411Vl

故選：D

5.C

【分析】利用空間向量中直線的方向向量的坐標運算求解即可.

【詳解】解：由題意得：

而=（-2,T,l）,則直線尸。的方向向量為4畫=（-24-；1,/1）（2。0）

逐項分析即可知只有C符合要求.

故選：C

6.D

【分析】A項反證法可得；

B項由平移法計算異面直線所成角；

C項由面面平行的判斷和性質可得結果；

D項建立空間直角坐標系可得結果.

【詳解】對于選項A,假設A4_1面從田￡,則A4_LAG，這與已知A片與AG不垂直相

矛盾，所以假設不成立.

故選項A錯誤；

對于選項B,連接OG，D4,,

因為4片〃DC,,所以NOGA為異面直線Ag與AG所成的角或補角,

又因為△AGO為等邊三角形，所以NDGA=60。，故選項B錯誤；

對于選項C,

因為4A〃B。，ADJ/BC，由面面平行的判定定理可得平面〃平面8OG，而平面

BQG與平面BOG相交，所以平面4片。與平面8GQ也相交，故選項C錯誤；

對于選項D,以O為坐標原點，DA,DC,所在的直線分別為k,5，z軸，建立空間

直角坐標系，如圖所示,

設正方體的棱長為1,則。(0,0,0),^(1,1,1),C(0,l,0),小則，可得函=(1,1,1),

比=(0』,0),而=,盤0),設平面居co的法向量為E=(x,y,z),

n.-DB.=x+y+z=0—.、

則一—，可取x=l,貝口=0,z=-l,即n,=(l,0,T),

n.DC=y=0

巧■DB[=a+b+c=0

設平面用。夕的法向量為％=(?/>1),貝小一一.1，

〃，-DP=a+—b=0

2

可取。=1,則6=-2,c=l,可得平面BQP的一個法向量為后=(1,-2,1),

由晨胃=1+07=0,所以)_L后，即平面80。J_平面用。尸，故選項D正確.

故選：D.

7.D

【分析】①建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，當點N移動到點C時，由于

麗?%=T#0,故8。與8N不垂直，所以①錯誤；

②證明出線面平行，從而平面CDRG上存在一點P,使得尸C7/平面6MN：

③作出輔助線，利用/.MN8=K.8MY求出體積為定值；

④得到球面被正方體表面所截得的弧為3個半徑為2的!圓弧，求出弧長和.

【詳解】以D為坐標原點，D4所在直線為x軸，。。所在直線為)，釉，?？谒谥本€為z軸,

建立空間直角坐標系，

如圖1,對于①，當點N移動到點C1時，此時5(2,2,0),0(0,0,0),G(0,2,2),

則麗=(2,2,0),星=(0,2,2)-(220)=(-2,0,2),

因為麗?西=(2,2,0)(-2,0,2)=-4工0,

所以8。與3N不垂直，所以①錯誤；

對于②，平面BMN與平面BAG為同一個平面，而CD//B%,

所以當點P在CR上時，總有PC〃平面8AG，從而有PC"平面BMN,所以②正確;

圖2

如圖3,連接3Q,4M，4N,交AG于點0,則8Q_LAG，故片。為三角形與MN的高,

且BQ=；BQi=?,

所以SRWA-=-A//VBO=-X1X>/2=—,

2?I22

又J_平面AMGR,

故k"=VB/MN=gs同“N-BBy=1x^yX2=^y,所以③正確:

圖3

DA=DB=g=2垃,

以點。為球心作半徑為2&的球面，

球面被正方體表面所截得的弧為以A，AC為圓心，3個半徑為2的。圓弧，

4

弧長和為2”2=3兀，所以④正確，

4

故選：D.

8.D

【分析】作出截面圖形判斷A；由己知可推得用0〃平面CMN,先求出ACMN以及△用MN

的面積，利用等積法可判斷B；以A點為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出相關點的坐

標，然后求得利用坐標法可判斷C、D.

【詳解】如圖1,直線MN與Gq、CQ的延長線分別交于必,乂，連接。陷,CM分別交

明于此，M，連接MM”NN2,

B

圖1

則五邊形"MZCMN即為所得的截面圖形，故A正確；

由題可知MN〃4A，MNu平面CMN,平面CMN,

???B,DJ/平面CMN,故點用到平面CMN的距離即為直線BR到平面CMN的距離,

BC

圖2

設點B,到平面CMN的距離為h,由正方體ABCD-ABCR的棱長為2可得,

CM=CN=3?MN=y/2，

則cosNMCN=CM\CN*3?+32一⑸

=8

2cMCN2x3x39

sinZMCN=Vl—cos2Z.MCN=十一J=，

所以SCMN=LcMCNsinNMCN=Lx3x3x^=晅，

△2292

?y=L即xh.歷h

??VR.-CMNS0^CMN〃-7X——XH-〃，

Jo326

因為SaRWN='S“AN=-X-x2x|=-,

則―MY=gs*"CG=gxgx2=g,

:，由V瓦_CMN~匕'-BMN?則h=-f所以力=>

16317

所以直線8Q到平面CMN的距離是智，故B正確；

如圖3,建立空間直角坐標系，則與(2,0,2),"(0,2,2),C(Z2,0),M(l,0,2),

UUli

則MC=(l,2,-2).

圖3

設定=丸閑，0W4W1,

/.PC=AW=l(l,2,-2),又C(220),4(2,0,2),4(0,2,2),

AP(2-2,2-22,22),Pfii=(2,22-2,2-22),PDi=(2-2,22,2-22),

假設存在點P,使得NB/R=9O。，

A-M=2(2-2)+22(22-2)+(2-22)2=0,整理得9分-14/1+4=0,

???4=7+岳＞](舍去)或2=Zz姮，

99

故存在點P,使得N8ER=90。，故C正確；

由上知戶(2—42—2Z22),所以點P(2T,2—2424)在。。的射影為(0,2,22),

???點「（2—42—2%2義）至1」DR的距離為:

d=yJ（2-A）2+（-2A）2=j5A2-4A+4=+y,

,??當4=|'時'"min=

JD

???故△PQR面積的最小值是_Lx2x&E=生叵，故D錯誤.

255

故選：D.

9.AC

【分析】建立空間直角坐標系，借助空間向量解決角度距離問題.

【詳解】正方體ABC。-A8GA中，以A為坐標原點，分別以福，亞麗為》軸，》軸,

軸正方向，建立如圖所示的空叵直角坐標系,

則有A(0,0,0),5(°,0,0),C(a,a,O),D(OM,O),4(0,0,°)，4(〃,0,°)<(。必。),〃(0,。,。).

鬲=(40,a),BC=(0,A,0),可=(-4,0M),福辰=0,福苗=0,

得481_L8C,AB,1CDX,由8CC"u平面8c",BCcCD】=C,工Ag_L平面8cR,A

選項正確；

百耳二(一aaO),鴕=(0,4-4),設平面81cA的一個法向量。=(x,y,z),

則有二J,令x=l,得)，=1,z=l,則無=(1,1,1),

[B}Cn=ay-az=O

卜os<481,磯二J亳，；>工,所以直線AB1平面B]CZ)|所成角不是45。，B

選項錯誤；

=x2

△B[CD]為邊長為、&的等邊三角形，SaBCDi~xyjlaxsin60=ga?

I福?司DC

點A到平面4cA的距離％=LL-I=華=會竺。，

AHx/33

三棱錐A-BC0的體積匕=_ls"s-%=Lx立/x氈〃=1々3,而棱長為a的正方體

八3△所c3233

ABC。-AMGA的體積為/,

所以三棱錐A-Bm的體積是正方體ABCD-A￡CR體積的1,C選項正確；

Ag=(a,O,a),AD)=(O,a,a),設平面ABQ的一個法向量玩=(/,y：z，)，

-m=ax'+az1=0,..

,令x'=l,得y'=l,z'=T,則用=

g?n=ay+az=0

---/、4c[?所0JQ

AG=(〃MM),點G到平面48⑷的距離為生=匚^_1=二=正a,故D選項錯誤.

\m\V33

故選：AC

10.BC

【分析】建系，利用空間向量處理線、面關系以及距離問題.

【詳解】如圖，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，則有：

A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0)WO}P[0,；.1),0(V}A(1,0』"(1』』)，A(0,0,1),

設平面AM的法向量為3=(x,y,z),

n-=-x+^y=0

umr(I\uur(\\

由A尸十I，5,OJ，A￡十y—ij,則.

—.1，

ri-=-—x+y-z=0

令x=2,則y=4,z=3,貝1]〃=(2,4,3),

設平面ACD,的法向量為m=(a,b,c),

rfi-AC=-a+b=0

由從。=(一1,1,0),?！?|=(0,—1,1),則?

m?CD】=-b+c=0

令a=l,貝Ub=c=l,則〃7=(1』,1),

對A:???麗二(1,1,1),則:即函與3不共線,

???旦。不與平面AE尸垂直，A錯誤;

943

對B：???：01工；，則而與G不共線,

???平面AC"與平面A/尸相交，B正確;

uuirumr

uinrf11則cos(罰,器"南蔭=V>Of即(粉，屏)為銳角，

對c：???4。=(0,5，-5

/umrin.nr、//uuriiuirKI

:.sin(40,%E)=^1-cos2(A。同=",

iiiuiri/uuiruuiTvG

故點O到直線\E的距離為卜&sin(AO.=*，C正確:

Iuuirr?

對D：點O到平面AEP的距離為\^=盜-,D錯誤.

\n\>3

故選：BC.

【分析】選項A,因為?>=(),直線/的方向向量。與平面。的法向量方垂直，直線/可能

在平面。內，也可能與平面。平行；選項B,根據(jù)空間向量四點共面條件即可判斷B：選項

C,根據(jù)平面向量基底的定義可判斷C；選項D,根據(jù)投影向量的公式即可判斷D.

【詳解】選項A,由已知直線/的方向向量為0=。,0,3),平面。的法向量為萬=12,0。)，

所以e.〃=—2+2=0，所以e_L〃，所以直線/uc或/〃a,故A錯誤；

選項B,因為加=)詼+；而+；而，：+：]=1,根據(jù)空間向量四點共面條件可知，

4444444

P,A,B,C四點不共面，故B錯誤；

選項C,三個不共面的向量可以成為空間的一個基底，兩個非零向量與任何一個向量都不能

構成空間的一個基底，則這兩個向量共線，故C正確；

選項D,由3=(9,4,-4),辦=(1,2,2),

abb9+8-8(1,2,2)

G在行上的投影向量為國?同一r'=(l，2,2),故D正確.

故選：CD.

12.ABC

uim

UUULOJUuuuAC

【分析】首先求出ARACBC,根據(jù)陶求出與前共線且同向的單位向量；驗證

/UUDUIU\

ABAC=0,可判斷B項正誤：計算cos(ACBC),可判斷C項；求出平面A8C的一個法

向量，即可判斷D項正誤.

UlULKM111111

【詳解】由已知得，AB=(-1,1,0),AC=(2,2,1),=(3,1,1).

HIU

AC

與恁共線且同向的單位向量是陶A項正確;

S-AC=(-l,l,0)(2,2,l)=0,所以而上玄，B項正確;

UUUULU

/UUUUIH\ACBC2x3+2xl+lxl3而

衣與前夾角的余弦值是8s(AC,8。=PR=3xvn1j-,C項正確;

一,、ABn=O-X+j=0

設平面48c的一個法向量是〃=(.%y,z),則＜一,即

[AC-n=O2x+2y4-z=0

取x=l,則;?=(1,1,-4)是平面A8C的一個法向量.

設小=(1,1,4),顯然機=(1,1,4)與"=(1,1,-4)不共線，所以D項錯誤.

故選：ABC.

13.

413亮13413）或（二13產白13聆13

【分析】根據(jù)線面關系確定，與用共線的關系，再根據(jù)單位向量即可求解.

【詳解】根據(jù)2=(3,4,T2)是直線/的一個方向向量，/_La,及是平面。的一個單位法向量,

所以，與無共線，且萬是單位向量，

__2_(34-12),34-12、

所以"甲種WF=(百或

一3(3,4,-12).3412、

回,2+42+(72)2⑶]3」3

一包田衛(wèi)/34一12、—,3412、

故答木為；(TTTTB)或(一百'一3百),

14.-4

【分析】根據(jù)直線與平面垂直可得直線/的方向向量與平面。的法向量平行，利用兩向量平

行的充要條件即可求解.

【詳解】因為平面。的法向量為3=(1,2,-2),直線/的方向向量為2=(-2,孫4),且/_La,

所以〃//〃，則存在實數(shù)4使得〃=,

也即(-2,帆,4)=(42尢-24),解得：4=—2,m=-4,

故答案為：-4.

15.顯

4

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.

【詳解】解：取AC的中點O,連接06,過點O作Oz〃AA，

依題意可得8O/AC,明，底而A8C,所以Oz_L底面A8C,

如圖建立空間直角坐標系，

則A(0,—/,0),，

所以AO=^-,-,1,又平面AAGC的法向量可以為〃=(1,0,0),

Z

設AO與平面AAGC所成的角為6，

所以sine=_b±l=2=^,4。與平面AAGC所成的角的正弦值為它.

研W>/244

故答案為：近

4

16.叵

15

【分析】根據(jù)給定條件建立以直線BA,BE,8C分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系,

利用空間向量即可計算作答.

【詳解】因A8CO為正方形，則而平面A8CD1平面ABEF,平面ABCDc平面

ABEF=AB,

于是得A8/平面ABM,又ABEP為矩形，即8E_LAB,以射線84,BE,8C分別為x,y,

z軸的非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，

則5(0,0,0),41,0,0),以0,0,1),夙0,3,0),/(1,3,0),因點N在M上，且2FN=BN,則

N(|,2,0),

又M在線段AC上移動，則有兩=fC5=(f,0,T)(fw[0,n),于是得點時?,0,1T),

砒=(T,3,f-l),麗=(A，2j-l),

__227557

A?￡A7yv=/(/--)+6+(r-l)2=2/:--r+7=2(z--)2+y,因此，當,=§時，砥.麗取最

21

小值，此時，點

則麗=g,o,g),I麗|=舊y+(；)2=手，而旃=(1,3,0),則有兩.而=g,?阱|=JiU,

因此，點M到直線BF的距離[=?麗(畫竺VH5,

"VI的15

所以活動彈子M到直線BF的距離為叵.

15

故答案為：返

15

17.⑴平行

(2)垂直

【分析】(1)由直線方向向量與平面的法向量垂直，得線面平行;

(2)由直線方向向量與平面的法向量平行，得線面垂直.

(1)

7G=-1+4-3=0，/!；?,又/Qa,所以〃/a.

⑵

n=-2/，BP///n，所以/_La.

,?Vio

1o.--------

10

【分析】求出平面夕友協(xié)的法向量，用空間向量求解線面角的正弦值.

【詳解】9(1,0,2),C(l,2,0),6(1,0,0),0(0,2,0),麻=(0,2,—2),西=(0,0,—2),

.、一\m-B,B=-2z=0

BD=(-l,2,0,設平面2MD的法向量為相=(x,y,z),則_、八，解得：

fn-BD=-x+2y=0

z=0,令y=l得:x=2,則而二(2,1,0),設直線B'C與平面9或)。夾角為0,|,則

I\八^/4+4x^/4+T10

故直線B'C與平面BBDD所成角的正弦值為典

10

19.(1)詳見解析：

(2)60：

口、**AN3TAN7

⑶存在‘就避或就=

8

【分析】(1)設4808=0,根據(jù)線面平行的性質可得PD//OM,進而即得；

(2)取的中點G,根據(jù)線面在直的判定定理可得PG_L平面A8CD,然后利用坐標法利

用面面角的向量求法即得；

(3)設麗=2/，利用線面角的向量求法結合條件即得.

【詳解】(1)設ACc8O=O,連接。W,

因為側面A8CO為正方形，

所以。為5。的中點，

因為尸?！ㄆ矫鍹AC,PDu平面PBD,平面尸8￡>ri平面M4C=0M,

所以如〃OM,又0為8。的中點，

所以M為P8的中點；

(2)因為AB//DC,DCLDP,

所以AB_LOP,又48_1_42,八尸。。尸=2,42<=平面4^>,DPu平面AOP,

所以AB4平面4）尸，

取4力的中點G,則PG_LA￡）,

由AB_￡平面A￡>尸，PGu平面ADP,可得A5/PG,

又4304。=AA3u平面"CD，A￡>u平面A8CO,

所以PG_L平面48c。，

如圖以G為原點建立空間直角坐標系，

則￡>（2,0,0）,A（—2,0,0）,P（0,0,Vi）,C（2,4,0）,B（—2,4,0）,M7,2*,

所以而=（4,-4,0）,麗=（2,0,-&）,

設平面PBD的法向量為in=（X,y,z）,

in-BD=4x-4y=0（r-\

則_:，令x=l,則沅=（1］血,

又平面4OP的法向量可取力=（O,LO）,

所以COS（沅，彷==」一=，,

歷以\網(wǎng)［，￡同1x22，

所以二面角B-PD-A的大小為60。；

（3）假設在線段AC上存在點N,使得直線MN與平面8D尸所成的角為30。,

設麗=4/，因為A（—2,0,0）,C（2,4,0）,林=（4,4,0）,

所以麗=（4444,0）,N（4"2,4/l,0）,又MT2孝｝

所以麗=42-1,42-2-^1又平面的一個法向量為所=（1,1,夜），

所以卜OS(明麗)卜

2（4/t-l）~+（4A-2）~+

整理可得64儲-404+21=0,

37

解得2=：或丸),

OO

ANa7

所以在線段AC上存在點N,使得直線MN與平面如P所成的角為30,罷的值為：或

AC8o

20.⑴弓;

(2)不存在，理由見解析.

【分析】(1)利用等積法，根據(jù)線而垂直，面面垂直的判定及性質結合條件即得：

⑵利用坐標法，設E(O,O")(Oq<4),結合條件可得瓦.定=—9-430,進而即得.

【詳解】(1)由題意,Vp-ACD=^x^x3x3x4=6,

由PB_L平面ABC。，PBu平面尸3C,

可得平面P8C_L平面ABCD,

WDCIBC,且平面尸平面AB8=BC,OCu平面A8CO,

???OCL平面P8C,PCu平面PBC,

可得OCJ_PC,

???CO=3,巾=仔不=5，

??SW=/X3X5=5，

設A到平面PCD的距離為近則=

32

即”=/，

12

???點A到平面PCD的距離為三；

(2)以8為坐標原點，分別以BC、84、8P所在直線為x、y、z軸是立空間直角坐標系,

設E（0,0』）（0K，44）,貝IJ元=（3,0,-4）,DE=（-3,-3,Z）,

若。七，平面以。，則詼?無=-9-射=0，

解得，=-=，不合題意，

4

故線段BP上不存在點E,使得。E_L平面布C.

21.（1）證明見詳解

⑵浮

⑶哈

【分析】（1）建系，利用空間向量證明線面關系；

（2）利用空間向量求二面角；

（3）先根據(jù)空間向量求點尸到平面小的距離，再求三棱錐的體積.

【詳解】（1）連接8。，由題意可知：△ABO為等邊三角形，

取A3的中點M,連接MO,則MO_LAB,

VABIIDC,則MD工DC,

如圖，以。為坐標原點建立空間直角坐標系，則

4（石,-1,0）,8（百,1,0）,（7（0,2,0）,0（0,0,0）/（0,0,2）,￡（0,1,1）,尸惇.罟

ULMULM,_\uim(2出44、

可得DP=(0,0,2),AE=(-6,2,1),4尸=一寸,§,彳

m-AE=-后x+2j+z=0

設平面AE尸的法向量加=（x,y,z）,則?

--TT：2644n

m-AF=-----x+—y+—z=0

333

令x=2,則y=\/5,z=0,即機=（2,途,0）,

utiiai廠M-

VW?DP=2X0+X/3X0+0X2=0>且尸。<Z平面AM,

工產。〃平面AM.

UIUUU/L\UI*/L\UW

（2）由（1）可得:AR（0,2,0）,B石=（后,0,l）,BC=（?,l,O）,PC=（O,2,—2）,

設平面ABE的法向量為）=（4力,c）,則已一r,

%BE=da+c=0

令a=l,則〃=0,z=V5,即〃i=p,0,e），

ii>、（X反=-4+/=0

設平面BEC的法向量為丐=（仃』），則」—，

n2-PC=2j-2k=0

令i=l,貝!]/=A=>/5,即％=（1,石,石），

U111_

/ITIB\〃542y/l

可得8sM動=帽二訪二〒，

設二面角為。，則可得|cosM=乎，

故二面角A—8E-C的正弦值sin6=J-cos?9;叵.

7

muinrlulu,iiRF,

（3）由⑵可得：AB?BE=0,網(wǎng)=2,照=2