淺談一題多解與一題多變在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

第1頁共4頁淺談一題多解與一題多變在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用海南華僑中學(xué)三亞學(xué)校數(shù)學(xué)組周瑞華【摘要】學(xué)高中數(shù)學(xué)，離不開解題訓(xùn)練，但我們在解題中不能為解題而去“孤立”的解題，要善于拓展思路，用聯(lián)系的眼光看待數(shù)學(xué)問題。要學(xué)會在解題中去尋求一題多解與一題多變，通過利用一切有用條件，進(jìn)行對比、聯(lián)想，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性無疑是一條有效的途徑【關(guān)鍵詞】創(chuàng)新思想思維變通發(fā)散思維對于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)來說，教學(xué)過程的重點(diǎn)不外乎為：講解定義推導(dǎo)公式，例題演練，練習(xí)，及習(xí)題的安排。下面就一題多解與一題多變在教學(xué)中的作用談?wù)勎覀€(gè)人的幾點(diǎn)心得體會。（一）一題多解，拓寬思路，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和富有創(chuàng)造的思維變通能力，教學(xué)中適當(dāng)精選一些一題多解的典型題目，盡可能的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多向思維，把所學(xué)的各方面知識有機(jī)的聯(lián)系起來，既能有效鞏固基礎(chǔ)知識，又能提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。一題多解的題目要具有代表性,能包容大部分所學(xué)知識點(diǎn),不能過于復(fù)雜（難）,但也不能流于簡單。過難挫傷學(xué)生研究學(xué)習(xí)的積極性,過于簡單學(xué)生沒有興趣,這一步對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)研究興趣很重要。

下面僅舉一例進(jìn)行一題多解和一題多變來說明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示例。解法一：（函數(shù)思想）由x+y=1得y=1-x，則x2+y2=x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－EQ\F(1,2)）2+EQ\F(1,2)由于x∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知當(dāng)x=EQ\F(1,2)時(shí)，x2+y2取最小值EQ\F(1,2)；當(dāng)x=0或1時(shí)，x2+y2取最大值1。評注：函數(shù)思想是中學(xué)階段基本的數(shù)學(xué)思想之一，揭示了一種變量之間的聯(lián)系，往往用函數(shù)觀點(diǎn)來探求變量的最值。對于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法。解決函數(shù)的最值問題，我們已經(jīng)有比較深的函數(shù)理論，函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用等都可以求函數(shù)的最值。解法二：（三角換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，EQ\F(π,2)]則x2+y2=cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2cos2θsin2θ=1－EQ\F(1,2)（2sinθcosθ）2=1－EQ\F(1,2)sin22θ=1－EQ\F(1,2)×EQ\F(1－cos4θ,2)=EQ\F(3,4)+EQ\F(1,4)cos4θ于是，當(dāng)cos4θ=－1時(shí)，x2+y2取最小值EQ\F(1,2)；當(dāng)cos4θ=1時(shí)，x2+y2取最小值1。評注：三角換元思想也是高中數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，通過三角換元就將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式變形后來解決，而三角恒等變形卻有著一系列的三角公式，所以運(yùn)用三角換元解決某些問題往往比較方便。解法三：（對稱換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)x=EQ\F(1,2)+t，y=EQ\F(1,2)－t，其中t∈[－EQ\F(1,2)，EQ\F(1,2)]于是，x2+y2=（EQ\F(1,2)+t）2+（EQ\F(1,2)－t）2=EQ\F(1,2)+2t2t2∈[0，EQ\F(1,4)]所以，當(dāng)t2=0時(shí)，x2+y2取最小值EQ\F(1,2)；當(dāng)t2=EQ\F(1,4)時(shí)，x2+y2取最大值1。評注：對稱換元將減元結(jié)果進(jìn)行簡化了，從而更容易求最值。這三種方法，在本質(zhì)上都一樣，都是通過函數(shù)觀點(diǎn)來求最值，只是換元方式的不同而已，也就導(dǎo)致了化簡運(yùn)算量大小不同，教師通過引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生主動思考、運(yùn)用，提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，也增強(qiáng)了學(xué)生思維能力的提高。解法四：（運(yùn)用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1則xy≤EQ\F(（x+y）2,4)=EQ\F(1,4)，從而0≤xy≤EQ\F(1,4)于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy所以，當(dāng)xy=0時(shí)，x2+y2取最大值1；當(dāng)xy=EQ\F(1,4)時(shí)，x2+y2取最小值EQ\F(1,2)。評注：運(yùn)用基本不等式可以解決一些含有兩個(gè)未知量的最值問題，但要注意等號成立的條件是否同時(shí)滿足。yxOAB11C解法四：（解析幾何思想）設(shè)d=EQ\R(,x2+y2)yxOAB11C當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時(shí)，dmax=1，則（x2+y2）max=1當(dāng)OC⊥AB時(shí)dmin=EQ\F(EQ\R(,2),2)，則（x2+y2）min=EQ\F(1,2)評注：用幾何的觀點(diǎn)研究代數(shù)問題，可以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的養(yǎng)成，使學(xué)生在數(shù)和形的理解把握好一個(gè)聯(lián)系的尺度，能夠由數(shù)想到形的意義，由形想到數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到快速解決這類問題的目的。事實(shí)上，有許多解析幾何最值問題和代數(shù)中許多最值問題都可以用類似的方法解決，這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，有著很積極的作用。yxOAB11解法五：（數(shù)形結(jié)合思想）設(shè)x2+yyxOAB11于是，問題轉(zhuǎn)化為⊙F與線段有公共點(diǎn)，求r的變化范圍。當(dāng)⊙F經(jīng)過線段AB端點(diǎn)時(shí)rmax=1；當(dāng)⊙F與線段AB相切時(shí)rmin=EQ\F(EQ\R(,2),2)則EQ\F(1,2)≤x2+y2≤1評注：此解法與解法四并無本質(zhì)區(qū)別，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的形成。至此，解答本題的幾種常見方法介紹完畢，下面展示對本題的變式和推廣。學(xué)生對此車資問題很感興趣,從上例可以看出,同學(xué)們對選題很感興趣,思維活躍,勇于探究,學(xué)習(xí)效果很明顯。例2：在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，且AE=CF，求證：BF//DE證法一：啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從平行四邊形的判定定理：“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”入手，先證四邊形BEDF是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的定義就可得BF//DE。證法二：請學(xué)生思考能否應(yīng)用平行四邊形的判定定理：“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明四邊形BEDF是平行四邊形，讓學(xué)生先口頭判斷，再讓學(xué)生板演。證法三：請問學(xué)生還有其它的證法嗎？學(xué)生討論、交流，教師點(diǎn)撥，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可根據(jù)平行四邊形判定定理：“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證得四邊形BEDF是平行四邊形，從而獲證BF//DE。通過以上三種解法的討論，鞏固了所學(xué)過的平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理，突破了本節(jié)課的重點(diǎn)，不但達(dá)到了認(rèn)知目標(biāo)，而且還有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、變通性、創(chuàng)造性，鍛煉了學(xué)生的發(fā)散思維，這樣也達(dá)到了本節(jié)課的能力目標(biāo)；讓學(xué)生比較哪種方法簡練，并對學(xué)生想出第三種證法給予高度評價(jià)，使學(xué)生擁有成功的喜悅，享受到數(shù)學(xué)思路的創(chuàng)新美，借此調(diào)動學(xué)生深鉆多思的學(xué)習(xí)積極性，在某種意義上達(dá)到該節(jié)課的情感目標(biāo)。（二）一題多變，積極思維，培養(yǎng)思維的靈活性

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，選擇教材中的典型題，恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行一題多變的教學(xué)，可使學(xué)生處在一種愉快的探索知識的過程中，可使學(xué)生所學(xué)知識縱向加深，橫向溝通，從而充分調(diào)動學(xué)生的積極性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。運(yùn)用一題多變方式教學(xué)，可使學(xué)生根據(jù)變化了的情況及時(shí)調(diào)整和改變原來的思維進(jìn)程和方向，不受思維定勢的消極影響，進(jìn)行積極思索，迅速提出解決問題的方法，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，大大提高課堂教學(xué)的容量，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維變通和創(chuàng)新意識能力。

一題多變，可以改變條件，保留結(jié)論；也可以保留條件，改變結(jié)論；又可以同時(shí)改變條件和結(jié)論；還可以將某項(xiàng)條件和結(jié)論互換。請看如下例證：

例：如圖1，AB是一條小河，C、D兩個(gè)村莊想在河AB上修建 一座水塔M，使水塔到這兩個(gè)村莊的距離之和最小。請你在圖中找出水塔M的位置，并說明理由。分析：如何才能把CM、DM放在同一條直線上呢？如圖2，做C點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C’，連接DC’交AB于點(diǎn)M，所以MC=MC’，即點(diǎn)M為所求的點(diǎn)（兩點(diǎn)之間線段最短）。證明：如圖3，假設(shè)M’為所求的點(diǎn)，連接C’M’、DM’、CM’、CM、C’M，因?yàn)锳B是對稱軸，所以CM=C’M，CM’=C’M’。即：DM+CM=DM+C’M，DM’+C’M’=DM’+CM’。因?yàn)镈、M、C’在同一條直線上（由做法可知），根據(jù)在三角形中，兩邊之和大于第三邊，所以DM’+C’M’〉DM+C’M，即：DM’+C’M’〉DM+CM。所以M點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。變式1：(2006,南充)如圖4，經(jīng)過點(diǎn)M（—1，2）、N（1，—2）的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)。求b的值若OC2=OA·OB，試求拋物線的解析式在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。解：(1)將M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得a-b+c=2①a+b+c=-2②②—①，得2b=-4，∴b=-2；（2）由（1）b=-2，a+c=0,∴拋物線解析式可寫為y=ax2-2x-a則C（0，-a）。設(shè)A（x1,0）B(x2,0)，則x1,x2是方程ax2-2x-a=0的兩根，從而x1x2=-1由所給圖形可知OC=a,OA=-x1,OB=x2.∵OC2=OA·OB,∴a2=-x1x2,∴a2=1,∴a=1(a>0)∴拋物線解析式為y=x2-2x-1(3)如圖5，在拋物線對稱軸上存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最小?！逜C為定值，∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最小。誰是那條“河”呢？由題意可知對稱軸x=1是那條“河”?！唿c(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是B，由上述例題可知，連結(jié)BC交x=1于一點(diǎn)，這一點(diǎn)即為P點(diǎn)（PA+PC=PB+PC）。由（2）知B(+1，0)、C(0,-1),經(jīng)過點(diǎn)B(+1，0)、C(0,-1)的直線為y=(-1)x-1.當(dāng)x=1時(shí)，y=-2.即P(1,-2).變式2.已知如圖6，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，2），有兩動點(diǎn)C、D，C在x軸移動，D在y軸上移動。當(dāng)四邊形ABCD周長最短時(shí)，求C、D的坐標(biāo)。分析：連結(jié)AB，∵AB為定值，∴要使四邊形ABCD周長最小，只需BC+CD+DA最小。如何才能把BC、CD、DA放在同一條直線上呢？由例題可知，需要找出對稱軸，只有x軸和y軸才能是對稱軸?！嘧鯝（-1，3）點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A’(1,3)，做B（-4，2）點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B’(-4,-2)，連結(jié)A’B’，交y軸、x軸于兩點(diǎn)D、C，連結(jié)AD，BC。∴此時(shí)四邊形ABCD周長最?。ㄗC明略，輔助線已添加）。設(shè)A’B’的解析式為：y=kx+b,把A’(1,3)、B（-4，-2）代入到解析式中，3=k+b,-2=-4k+b,∴k=1,b=2,∴A’B’的解析式為：y=x+2.令x=0,∴y=2;令y=0,∴x=-2.即C的坐標(biāo)（-2，0），D的坐標(biāo)（0，2）。變式3.（2006，北京）已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸分別交于B(1,0)、C(5,0)兩點(diǎn)。求此拋物線的解析式；若點(diǎn)D為線段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式；若一個(gè)動點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動到點(diǎn)A。求使點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長。解：(1)根據(jù)題意得c=3,把B(1,0)、C(5,0)兩點(diǎn)代入到拋物線y=ax2+bx+c中，得a+b+3=0,25a+5b+3=0,解之得a=,b=∴拋物線的解析式為y=x2—x+3(2)依題意可得OA的三等分點(diǎn)分別為（0，1），（0，2）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，直線CD的解析式為y=-x+1當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，直線CD的解析式為y=-x+2(3)如圖8，由題意，可得M（0，），點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M’（0，-），點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸x=3的對稱點(diǎn)為A’（6，3）。連結(jié)A’M’，由例2可知（根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)間線段最短），A’M’的長就是所求點(diǎn)P運(yùn)動的最短總路徑的長。所以A’M’與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)。可求得直線A’M’的解析式為y=x—;可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），由勾股定理可求出A’M’=。所以點(diǎn)P運(yùn)動的最短總路徑（ME+EF+FA）的長為15/2。

顯而易見，通過對例題和習(xí)題的潛心挖掘，使題目由一道題變成了一類題，大大提高了雙基容量和靈活性，從而鍛煉了學(xué)生思維的廣泛性，提高了舉一反三觸類旁通的能力，而這正是思維靈活性得到培養(yǎng)和發(fā)展的最好體現(xiàn)。

例4：初三年級（下）《證明》這章中的“中位線”其練習(xí)題：求證順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形。變式：如果改為特殊四邊形，如平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形時(shí)，順次連結(jié)它們各邊的中點(diǎn)，將是什么四邊形？如何證明？從推理過程中你發(fā)現(xiàn)原四邊形的對角線的關(guān)系