江蘇省蘇州大學(xué)附中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期6月階段調(diào)研試題含解析

PAGE1-江蘇省蘇州高校附中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期6月階段調(diào)研試題（含解析）一、單選題（每小題5分，共40分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【詳解】試題分析：，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為2.曲線在點(diǎn)處的切線方程為A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：依據(jù)題意求出在個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由點(diǎn)斜式代入這個(gè)點(diǎn)得到切線方程.詳解：曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為,故切線方程為.故答案為A.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程；步驟一般為：一，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點(diǎn)得到在這一點(diǎn)處的斜率；二，求出這個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；三，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.3.甲、乙同時(shí)炮擊一架敵機(jī)，已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.3，乙擊中敵機(jī)的概率為0.5，敵機(jī)被擊中的概率為（）A.0.8 B.0.65 C.0.15 D.0.5【答案】B【解析】【分析】可利用對(duì)立事務(wù)概率公式求解.【詳解】依據(jù)題意，敵機(jī)沒被擊中的概率為，所以敵機(jī)被擊中的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事務(wù)的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4.已知與之間的一組數(shù)據(jù)：01231357則與的線性回來方程必過A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出x的平均值，y的平均值，回來直線方程肯定過樣本的中心點(diǎn)（，），代入可得答案．【詳解】解：回來直線方程肯定過樣本的中心點(diǎn)（，），，∴樣本中心點(diǎn)是（1.5，4），則y與x的線性回來方程y＝bx+a必過點(diǎn)（1.5，4），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平均值的計(jì)算方法，回來直線的性質(zhì)：回來直線方程肯定過樣本的中心點(diǎn)（，）．5.校內(nèi)內(nèi)移栽4棵桂花樹，已知每棵樹成活的概率為，那么成活棵數(shù)的方差是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)分布的方差干脆計(jì)算.【詳解】由條件可知所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布，方差公式，屬于基礎(chǔ)題型.6.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意找到異面直線與所成的角；設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面邊長為，利用勾股定理求出各邊長，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果．【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，由題意可知平面，連接、、，易知即為異面直線與所成的角；設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面邊長為，則，分別在和中，由勾股定理，可知，，在中，由余弦定理，得；所以異面直線與所成的角的余弦值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線的夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題．7.在滿分為15分的中招信息技術(shù)考試中，初三學(xué)生的分?jǐn)?shù)，若某班共有54名學(xué)生，則這個(gè)班的學(xué)生該科考試中13分以上的人數(shù)大約為（）（附：）A.6 B.7 C.9 D.10【答案】C【解析】【詳解】分析：現(xiàn)利用正態(tài)分布的意義和原則結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，計(jì)算大于的概率，即可求解得到其人數(shù)．詳解：因?yàn)槠渲袛?shù)學(xué)考試成果聽從正態(tài)分布，因?yàn)?，即依?jù)正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性，可得，所以這個(gè)班級(jí)中數(shù)學(xué)考試成果在分以上的人數(shù)大約為人，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的概率分布中正態(tài)分布的意義和應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.某學(xué)校4位同學(xué)參與數(shù)學(xué)學(xué)問競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必需從甲?乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得30分，答錯(cuò)得﹣30分；選乙題答對(duì)得10分，答錯(cuò)得﹣10分.若4位同學(xué)的總分為0，則這4位同學(xué)不同得分狀況的種數(shù)是（）A.24 B.36 C.40 D.44【答案】D【解析】【分析】由題意知這4位同學(xué)不同得分狀況的種數(shù)分五類：①兩人得30分，余下兩人得﹣30分，②一人得30分，余下三人得﹣10分，③一人得﹣30分，余下三人得10分，④一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，⑤兩人得10分，余下兩人得﹣10分，依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.【詳解】由題意知這4位同學(xué)不同得分狀況的種數(shù)分五類：（1）兩人得30分，余下兩人得﹣30分，有C42=6種狀況；（2）一人得30分，余下三人得﹣10分，有4種狀況；（3）一人得﹣30分，余下三人得10分，有4種狀況；(4)一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，有A43=24種狀況；(5)兩人得10分，余下兩人得﹣10分，有C42=6種狀況.依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到共有6+4+4+24+6=44種狀況.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)公式的運(yùn)用，留意組合與排列的不同，本題中，要留意各種狀況間的關(guān)系，避開重復(fù)?遺漏，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題（每題5分，共20分．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分）9.若隨機(jī)變量，，其中，下列等式成立有()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)隨機(jī)變量聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合正態(tài)分布的密度曲線定義，，由此可解決問題．【詳解】隨機(jī)變量聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，，，依據(jù)曲線的對(duì)稱性可得：A.，所以該命題正確；B.，所以錯(cuò)誤；C.，所以該命題正確；D.或，所以該命題錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.10.已知是雙曲線上任一點(diǎn)，是雙曲線上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，若恒成立，且實(shí)數(shù)的最大值為.則下列說法正確的是（）A.雙曲線的方程為B.雙曲線的離心率為2C.函數(shù)的圖象恒過的一個(gè)焦點(diǎn)D.直線與有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)已知可得為定值，結(jié)合基本不等式求出的取值范圍，得到的最大值，從而取出，逐項(xiàng)推斷即可.【詳解】設(shè)，，，，若，直線與漸近線平行或重合，不合題意，所以不等式取不到等號(hào)，而恒成立，，雙曲線方程為，選項(xiàng)A正確；雙曲線的離心率為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；雙曲線的焦點(diǎn)為，函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，所以選項(xiàng)C正確；雙曲線漸近線方程為，而直線的斜率為，所以直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的性質(zhì)，利用圓錐曲線的常用結(jié)論是解題的突破口，留意多歸納總結(jié)常用的二級(jí)結(jié)論，屬于中檔題.11.如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn).為面對(duì)角線上任一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面內(nèi)存在直線與平行B.平面截正方體所得截面面積為C.直線和所成角可能為60°D.直線和所成角可能為30°【答案】BC【解析】【分析】，直線相交，得到與平面位置關(guān)系，即可推斷選項(xiàng)A真假；，而，得到，可得截面為等腰梯形，求出面積即可推斷選項(xiàng)B；建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線和所成角余弦值的范圍，即可推斷選項(xiàng)C，D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，在正方體中，，在平面中，直線相交，所以直線與平面相交，故直線與平面相交，則平面不存在直線與平行，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，連接分別為棱的中點(diǎn)，所以，在正方體中，，所以，連，則梯形為所求的截面，，所以等腰梯形的高為，所以梯形的面積為，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，，，令，，，，而，直線和所成角可能為60°，但不行能為30°，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，涉及到直線與平面的位置關(guān)系、截面面積、異面直線所成的角，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.12.函數(shù)f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列說法正確的是（）A.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在(0，f(0))處的切線方程為2x－y+1=0B.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)存在唯一微小值點(diǎn)x0且－1＜f(x0)＜0C.對(duì)隨意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零點(diǎn)D.存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】逐一驗(yàn)證選項(xiàng)，選項(xiàng)A，通過切點(diǎn)求切線，再通過點(diǎn)斜式寫出切線方程，選項(xiàng)B通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值并推斷極值范圍，選項(xiàng)C、D，通過構(gòu)造函數(shù)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化推斷函數(shù)與直線y＝a的交點(diǎn)問題．【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，所以，故切點(diǎn)為，，所以切線斜率，故直線方程為：，即切線方程為：，選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，，恒成立，所以單調(diào)遞增，又,,所以，即，所以所以存在，使得，即則在上，，在上，，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.所以存在唯一的微小值點(diǎn).,則，，所以B正確.對(duì)于選項(xiàng)C、D，，令，即，所以,則令,,令,得由函數(shù)的圖像性質(zhì)可知:時(shí)，，單調(diào)遞減.時(shí)，，單調(diào)遞增.所以時(shí)，取得微小值，即當(dāng)時(shí)取得微小值，又,即又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以所以時(shí)，取得微小值，即當(dāng)時(shí)取得極大值，又，即所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即時(shí)，f(x)在(－π，+∞)上無零點(diǎn)，所以C不正確.當(dāng)，即時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD

．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的切線、極值、零點(diǎn)問題，含參數(shù)問題的處理，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)的體現(xiàn)，屬于難題題．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.正態(tài)總體的概率密度函數(shù)，的圖象關(guān)于直線________對(duì)稱．【答案】【解析】【分析】由正態(tài)曲線的特征可推斷.【詳解】由正態(tài)曲線的特征可知正態(tài)總體的概率密度函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)曲線的特征，屬于基礎(chǔ)題.14.為了推斷中學(xué)三年級(jí)學(xué)生是否選擇文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知，．依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到的觀測(cè)值，則有_____以上把握認(rèn)為選擇文科與性別有關(guān)系．【答案】95%【解析】【分析】通過觀測(cè)值與臨界值比較得到結(jié)果.【詳解】且有以上的把握認(rèn)為選擇文科與性別有關(guān)系本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.15.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.【答案】.【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，留意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)留意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特殊留意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不肯定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．16.將六名老師安排到甲、乙、丙、丁四所學(xué)校任教，其中甲校至少安排兩名老師，其它三所學(xué)校至少安排一名老師，則不同的安排方案共有_________種．（用數(shù)字作答）【答案】660【解析】【分析】分狀況探討每個(gè)學(xué)校安排人數(shù)即可求解【詳解】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有種，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有則不同的安排方案共有+種故答案為660【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，分類探討思想，對(duì)每個(gè)學(xué)校人數(shù)探討是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由實(shí)部等于0且虛部不為0聯(lián)立不等式組求解；（2）由實(shí)部大于0且虛部大于0聯(lián)立不等式組得答案．【詳解】解：（1）∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，∴，解得，故，（2）∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限∴，解得或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，訓(xùn)練了不等式組的解法，屬于基礎(chǔ)題．18.已知的綻開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求的值；（2）假如第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，試求的值；（3）求綻開項(xiàng)中最大的系數(shù)．【答案】（1）8；（2）1或2；（3）7．【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程求解n；（2）當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，依據(jù)二項(xiàng)式的單調(diào)性和對(duì)稱性可列出等式求解k；（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，由求解r的值，代入綻開式的通項(xiàng)即可得解.【詳解】（1）依據(jù)題意，，，成等差數(shù)列，所以，即，或(舍去).（2）當(dāng)時(shí)，即明顯成立；當(dāng)時(shí)，由二項(xiàng)式的單調(diào)性和對(duì)稱性得：.（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得或，所以綻開項(xiàng)中系數(shù)最大為.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，含參二項(xiàng)式的相關(guān)問題、二項(xiàng)綻開式中系數(shù)最值問題，涉及等差中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于中檔題.19.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的運(yùn)用年限和所支出的修理費(fèi)用（萬元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：234562.23.85.56.57.0若由資料知，對(duì)成線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）.請(qǐng)依據(jù)上表供應(yīng)的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回來方程；（2）.估計(jì)運(yùn)用年限為10年時(shí)，修理費(fèi)用約是多少？（參考公式：，，參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）；（2）12.38【解析】試題分析：先把數(shù)據(jù)列表，由題中所給的數(shù)據(jù)求出，，依據(jù)最小二乘法做出線性回來方程的系數(shù)，再依據(jù)樣本中心點(diǎn)肯定在線性回來方程上，求出的值，從而得到線性回來方程；由取，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的的值，即使估計(jì)運(yùn)用年限為年時(shí)，修理費(fèi)的估計(jì)值解析：(1)先把數(shù)據(jù)列表如下.i12345∑xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x4916253690由表知，＝4，＝5，由公式可得：＝＝＝1.23，＝－＝5－1.23×4＝0.08，∴回來方程為＝1.23x＋0.08.(2)由回來方程＝1.23x＋0.08知，當(dāng)x＝10時(shí)，＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬元)．故估計(jì)運(yùn)用年限為10年時(shí)修理費(fèi)用是12.38萬元．點(diǎn)睛：本題考查了求線性回來方程及其實(shí)際應(yīng)用，依據(jù)已知條件結(jié)合最小二乘法做出線性回來方程的系數(shù)，再依據(jù)樣本中心點(diǎn)肯定在線性回來方程上，求出的值，從而求出結(jié)果，然后再次代入數(shù)據(jù)計(jì)算出修理費(fèi)用，本題較為基礎(chǔ)．20.如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直定義即可證得線線垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得線面角的余弦值.【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結(jié)合?平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，,，據(jù)此可得：，由可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，由于，故直線EF的方向向量為：設(shè)平面的法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，此時(shí)，設(shè)直線EF與平面所成角為，則.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21.已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).【答案】(1).(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）依據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，由橢圓的對(duì)稱性可知C經(jīng)過，兩點(diǎn).另外由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出C的方程；（2）先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設(shè)直線l的方程，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，通過計(jì)算，不滿意題意，再設(shè)l：（），將代入，寫出判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出，依據(jù)列出等式表示出和的關(guān)系，從而推斷出直線恒過定