天津市紅橋區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題含解析

PAGE16-天津市紅橋區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合目要求，本卷共9題，每小題5分，共45分.1.設(shè)集合（為實(shí)數(shù)集），，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和在遞增，而在遞減.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見簡(jiǎn)潔函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬基礎(chǔ)題.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)與中間值0，1的大小關(guān)系，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性以及與中間值的大小關(guān)系，來(lái)比較大小，屬基礎(chǔ)題.4.設(shè)，則““是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件【答案】B【解析】【分析】解出兩個(gè)不等式的解集，依據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，因?yàn)榧?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的推斷，其中涉及到肯定值不等式和一元二次不等式的解法.5.某地區(qū)教化主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成果，并依據(jù)這2000名學(xué)生的成果畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成果在，內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（）A.800 B.1000 C.1200 D.1600【答案】B【解析】【分析】由圖可列方程算得a，然后求出成果在內(nèi)的頻率，最終依據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成果在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1，得，解得，所以成果在內(nèi)的頻率，所以成果在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)，的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的一條對(duì)稱軸是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題，得，由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數(shù)的解析式，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性.7.設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.【答案】A【解析】【分析】精確畫圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點(diǎn)在圓上，，即．，故選A．【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)留意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避開代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，精確率大大降低，雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問(wèn)題時(shí)事半功倍，信手拈來(lái)．8.已知數(shù)列滿意，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，故選D．考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式．9.已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，依據(jù)草圖可得．【詳解】當(dāng)時(shí)，，得；最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，，在，上遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)．不合題意；當(dāng)，即時(shí)，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；依據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在，上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：且，解得，，．故選．【點(diǎn)睛】遇到此類問(wèn)題，不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及兩個(gè)參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類探討，這一過(guò)程中有可能分類不全面、不徹底.二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.10.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是__．【答案】2【解析】【分析】由題，得，然后依據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，又復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.11.在的綻開式中，的系數(shù)等于__．【答案】7【解析】【分析】由題，得，令，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，令，得x的系數(shù).故答案為：7【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.12.一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從中隨意摸取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性相等，則取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率是__．【答案】【解析】【分析】由題，得滿意題目要求的狀況有，①有一個(gè)數(shù)字4，另外兩個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選和②有兩個(gè)數(shù)字4，另外一個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選，由此即可得到本題答案.【詳解】滿意題目要求的狀況可以分成2大類：①有一個(gè)數(shù)字4，另外兩個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選，一共有種狀況；②有兩個(gè)數(shù)字4，另外一個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選，一共有種狀況，又從中隨意摸取3個(gè)小球，有種狀況，所以取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__．【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到切線斜率，然后依據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，即可寫出切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，從而切線的斜率，所以切線方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.14.已知，，，則的最小值是__．【答案】．【解析】【分析】因?yàn)?，綻開后利用基本不等式，即可得到本題答案.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力.15.已知向量，滿意，，且已知向量，的夾角為，，則的最小值是__．【答案】【解析】【分析】求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點(diǎn)O的最小距離，由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示，設(shè)，由題，得，又，所以，則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，取AB的中點(diǎn)為M，則，設(shè)以AB為直徑圓與線段OM的交點(diǎn)為E，則的最小值是，因?yàn)?，又，所以的最小值?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到圓的相關(guān)學(xué)問(wèn)與余弦定理，考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共75分，解答寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)正弦定理先求得邊c，然后由余弦定理可求得邊b；（Ⅱ）結(jié)合二倍角公式及和差公式，即可求得本題答案.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，又，所以，所以依?jù)余弦定理得，，解得，；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，屬基礎(chǔ)題.17.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，記，證明：．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）由，且成等差數(shù)列，可求得q，從而可得本題答案；（Ⅱ）化簡(jiǎn)求得，然后求得，再用裂項(xiàng)相消法求，即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，可設(shè)公比為q，，又成等差數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），則，；（Ⅱ）證明：，，，則，因?yàn)椋约?【點(diǎn)睛】本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及用裂項(xiàng)相消法求和并證明不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力和推理證明實(shí)力.18.已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】【分析】（Ⅰ）由題，得，，解方程組，即可得到本題答案；（Ⅱ）設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，由此即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）由題可得，即，，將點(diǎn)代入方程得，即，解得，所以橢圓的方程為：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，整理得，所以，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與橢圓的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力.19.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿意．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析【解析】【分析】（1）由，分和兩種狀況，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由題，得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）解：由題，得當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，整理，得．?dāng)?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，故．故得證．【點(diǎn)睛】本題主要考查依據(jù)的關(guān)系式求通項(xiàng)公式以及利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和并證明不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力和推理證明實(shí)力.20.已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)，且．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．【答案】（Ⅰ）極大值0，沒(méi)有微小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無(wú)微小值；（Ⅱ）由，分，和三種狀況，考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，沒(méi)有微小值；函數(shù)的增區(qū)間為