黑龍江省七臺(tái)河市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期4月線上考試試題含解析

PAGE18-黑龍江省七臺(tái)河市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期4月線上考試試題（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分．1.若，則下列不等式不能成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，有，A正確；因?yàn)椋?，B正確；，C正確；當(dāng)時(shí)，，，不成立，D錯(cuò)誤．故選D.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則的值為（）A.- B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知,,求出,再由即可求解.【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,，所以，即,因?yàn)?所以，∴.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;屬于基礎(chǔ)題.3.（2024新課標(biāo)全國I理科）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為A.1 B.2C.4 D.8【答案】C【解析】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.點(diǎn)睛:求解等差數(shù)列基本量問題時(shí)，要多多運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.4.已知向量,是單位向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可知；由是單位向量，知.可知，從而可求出，進(jìn)而可求.【詳解】解：因?yàn)椋?，由，可知，又是單位向量，則，所以，解得，又，則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的計(jì)算，考查了向量的數(shù)量積的定義式，考查了向量夾角的計(jì)算.本題的關(guān)鍵是由得關(guān)于向量夾角的方程.求向量的夾角時(shí)，一般結(jié)合數(shù)量積來求解.5.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，則此數(shù)列中肯定值最小的項(xiàng)為A.第5項(xiàng) B.第6項(xiàng) C.第7項(xiàng) D.第8項(xiàng)【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，，則，又，則，說明數(shù)列為遞減數(shù)列，前6項(xiàng)為正，第7項(xiàng)及后面的項(xiàng)為負(fù)，又，則，則在數(shù)列中肯定值最小的項(xiàng)為，選C.6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且對(duì)于隨意，，滿意，則的值為（）A.90 B.91 C.100 D.101【答案】B【解析】【分析】由可推出，當(dāng)，時(shí)，，結(jié)合，可知從起先為等差數(shù)列，結(jié)合數(shù)列前項(xiàng)和的定義以及等差數(shù)列求和公式，可求出的值.【詳解】解：因?yàn)?，則當(dāng)，時(shí)，，即，因?yàn)椋瑒t從起先為等差數(shù)列，則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和，考查了等差數(shù)列的定義，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視，這一條件，誤認(rèn)為從起先成立，即錯(cuò)把當(dāng)?shù)炔顢?shù)列.7.已知是的重心，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由重心可知，，即，從而可推出，進(jìn)而可求出，即可得的值.【詳解】解：設(shè)邊上的中點(diǎn)為，邊上的中點(diǎn)為,延長(zhǎng)至，使得.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，由向量的加法法則可知，.作的中點(diǎn)為，連接，則為的中位線，即，因?yàn)椋?，又，所以，即，所以，即，則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的加法運(yùn)算及減法運(yùn)算，考查了三角形重心的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是用表達(dá).本題的難點(diǎn)是重心這一條件的應(yīng)用.8.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用解除，對(duì)B，，，解除B，對(duì)C，，解除C．對(duì)D，，解除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了推斷．9.已知數(shù)列滿意，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由累加法，可得，然后借助函數(shù)的單調(diào)性，即可確定的最小值.【詳解】由題，得，所以，，因?yàn)殡p勾函數(shù)在遞減，在遞增，且，所以的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用累加法求通項(xiàng)公式以及借助函數(shù)的單調(diào)性確定數(shù)列的最小項(xiàng)，考查學(xué)生的分析問題與解決問題的實(shí)力.10.平面內(nèi)及一點(diǎn)滿意，則點(diǎn)是的（）A.重心 B.內(nèi)心 C.外心 D.垂心【答案】B【解析】【分析】由可得，，從而可知，是角平分線，即可得點(diǎn)的性質(zhì).【詳解】解：由知，，即，即，則是的角平分線，同理，即，則是的角平分線，則點(diǎn)是的內(nèi)心.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量的夾角，考查了三角形的“三心”.本題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算得到，.在三角形中，中線的交點(diǎn)為重心，角平分線的交點(diǎn)為內(nèi)心，高的交點(diǎn)為垂心，三邊垂直平分線的交點(diǎn)為外心.11.在中，邊上的高，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以所在邊為軸，所在邊為軸，建立直角坐標(biāo)系，將坐標(biāo)化，利用配方法求范圍即可.【詳解】以所在邊為軸，所在邊為軸，建立直角坐標(biāo)系，（如圖所示），故故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)求范圍，是中檔題.平面對(duì)量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.12.已知數(shù)列與前項(xiàng)和分別為，，且,，對(duì)隨意的恒成立，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，兩式相減整理后可知，則首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而可得，進(jìn)而可以確定，則可求出，進(jìn)而可求出的最小值.【詳解】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，，由知，，從而，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍），則首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則.所以，則，所以.則的最小值是.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的定義，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.一般假如已知了的關(guān)系式，一般地代入進(jìn)行整理運(yùn)算.求數(shù)列的和常見的方法有，公式法、分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分）13.已知，，與的夾角為，則在上的投影為．【答案】【解析】試題分析：因?yàn)?，所以在上的投影?所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：向量的數(shù)量積的幾何意義．14.已知向量與向量的夾角為120°，若向量且，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直入手，利用數(shù)量積，轉(zhuǎn)化與之間的關(guān)系式，求解的值.【詳解】，即再由數(shù)量積公式，得，．所以故答案為【點(diǎn)睛】向量垂直．?dāng)?shù)量積的乘法安排律．?dāng)?shù)量積定義.15.在數(shù)列中，，，記為的前項(xiàng)和,則________．【答案】.【解析】【分析】由可知，，，從而，，利用分組求和法即可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，即則，，則，，所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系，考查了分組求和，考查了推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力.本題的關(guān)鍵是由遞推公式得，.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】【解析】【分析】由可得,兩邊同除可得,即是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,可求得,進(jìn)而由求解即可,留意檢驗(yàn)時(shí)的狀況.【詳解】由題,因?yàn)?所以,兩邊同除可得,因?yàn)?所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,檢驗(yàn),不符合,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造法求通項(xiàng)公式,考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答過程拍照上傳）17.已知.(1)求與的夾角；(2)求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得到，又代入夾角公式，求出的值；（2）利用公式進(jìn)行模求值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，因?yàn)椋?（2）.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的運(yùn)算及其變形運(yùn)用，特殊留意之間關(guān)系的運(yùn)用與轉(zhuǎn)化，考查基本運(yùn)算實(shí)力.18.已知等差數(shù)列滿意：，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.【答案】(1)通項(xiàng)公式為或;(2)當(dāng)時(shí)，不存在滿意題意正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，存在滿意題意的正整數(shù)，其最小值為.【解析】【詳解】（1）依題意，成等比數(shù)列，故有，∴，解得或.∴或.（2）當(dāng)時(shí)，不存在滿意題意的正整數(shù)；當(dāng)，∴.令，即，解得或（舍去），∴最小正整數(shù).19.已知中，角所對(duì)的邊分別是，向量，，.（1）求的大?。唬?）若向量與共線，且,求的值.【答案】（1）；（2）,【解析】【分析】（1）將整理為，從而解方程得到；（2）利用與共線得到，利用進(jìn)行整理，可求得；再利用正弦定理求解.【詳解】（1）（2）與共線又由正弦定理可得：；【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量與三角函數(shù)、解三角形的綜合問題，包括：向量數(shù)量積、向量共線定理、三角函數(shù)化簡(jiǎn)、兩角和差公式應(yīng)用、正余弦定理解三角形的學(xué)問；綜合的學(xué)問點(diǎn)較多，但都屬于基礎(chǔ)學(xué)問點(diǎn)，難度適中.20.已知數(shù)列前項(xiàng)和,滿意，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減整理得，結(jié)合累乘法可求出通項(xiàng)公式.（2）由（1）可知，進(jìn)而可求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)增大時(shí)，也增大，進(jìn)而可求的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，整理得，，即，所以，各式相乘得.當(dāng)時(shí)，，解得，則，當(dāng)時(shí)，，則.（2）因?yàn)椋?，則對(duì)于在單調(diào)遞增，則當(dāng)增大時(shí)，也增大，則當(dāng)時(shí)，取最小值為；當(dāng)時(shí)，，則，則.【點(diǎn)睛】本題考查了累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了最值的求解.求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，常用的方法有公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造新數(shù)列法；求數(shù)列的和時(shí)，常用的方法有公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記,若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）由可知，當(dāng)時(shí)，，通過驗(yàn)證可知，；（2）由（1）知，，結(jié)合是遞增數(shù)列可知，，即，分成為奇數(shù)和偶數(shù)，分別求的最小值，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則整理得，.當(dāng)時(shí)，，所以.（2）由題意知，，則，則，則，設(shè)，則，則在單調(diào)遞增.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取最小值為，即，解得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取最小值為，則，解得.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，考查了數(shù)列的增減性，考查了最值的求解.已知求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，代入求解即可.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視了成立的條件是.22.已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，證明：，【答案】（1）;（2）見解析.【解析】【分析】（1）由，可知，即，通過累乘法可求