高中數(shù)學(xué) 1-3-1-1 柱體、錐體、臺體的表面積能力強化提升 新人教A版必修2

【成才之路】高中數(shù)學(xué)1-3-1-1柱體、錐體、臺體的表面積能力強化提升新人教A版必修2一、選擇題1．軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A．4倍 B．3倍C.eq\r(2)倍 D．2倍[答案]D[解析]由已知得l＝2r，eq\f(S側(cè),S底)＝eq\f(πrl,πr2)＝eq\f(l,r)＝2，故選D.2．長方體的高為1，底面積為2，垂直于底的對角面的面積是eq\r(5)，則長方體的側(cè)面積等于()A．2eq\r(7) B．4eq\r(3)C．6 D．3[答案]C[解析]設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則c＝1，ab＝2，eq\r(a2＋b2)·c＝eq\r(5)，∴a＝2，b＝1，故S側(cè)＝2(ac＋bc)＝6.3．已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是()A.eq\f(1＋2π,2π) B.eq\f(1＋4π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)[答案]A[解析]設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)又S側(cè)＝h2＝4π2r2，∴eq\f(S全,S側(cè))＝eq\f(1＋2π,2π).[點評]圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，矩形兩邊長分別為圓柱底面周長和高；圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，半徑為圓錐的母線，弧長為圓錐底面周長；圓臺側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)，其兩段弧長為圓臺兩底周長，扇形兩半徑的差為圓臺的母線長，對于柱、錐、臺的有關(guān)問題，有時要通過側(cè)面展開圖來求解．4．將一個棱長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則表面積增加了()A．6a2 B．12C．18a2 D．24[答案]B[解析]原來正方體表面積為S1＝6a2，切割成27個全等的小正方體后，每個小正方體的棱長為eq\f(1,3)a，其表面積為6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))2＝eq\f(2,3)a2，總表面積S2＝27×eq\f(2,3)a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.5．如圖所示，圓臺的上、下底半徑和高的比為144，母線長為10，則圓臺的側(cè)面積為()A．81π B．100πC．14π D．169π[答案]B[解析]圓臺的軸截面如圖，設(shè)上底半徑為r，則下底半徑為4r，高為4r.因為母線長為10，所以在軸截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.解得r＝2.所以S圓臺側(cè)＝π(r＋4r)·10＝100π，故選B.6．如圖，一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的全面積為()A.eq\f(3π,2) B．2πC．π D．4π[答案]A[解析]由三視圖可知，該幾何體是底半徑為eq\f(1,2)，高為1的圓柱，故其全面積S＝2π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2π×eq\f(1,2)×1＝eq\f(3π,2).7．(－·安徽合肥一模)如圖是一個幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖都是一個兩底長分別為2和4，腰長為4的等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積是()A．6π B．12πC．18π D．24π[答案]B[解析]該幾何體是兩底面半徑分別為1、2，母線長為4的圓臺，則其側(cè)面積是π(1＋2)×4＝12π.8．(·海南、寧夏高考)一個棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的全面積(單位：cm2)為()A．48＋12eq\r(2) B．48＋24eq\r(2)C．36＋12eq\r(2) D．36＋24eq\r(2)[答案]A[解析]由三視圖可得：底面為等腰直角三角形，腰長為6，面積為18；垂直于底面的面為等腰三角形，面積為eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＝12eq\r(2)；其余兩個面為全等的三角形，每個三角形的面積都為eq\f(1,2)×6×5＝15.所以全面積為48＋12eq\r(2).二、填空題9．已知圓柱OO′的母線l＝4cm，全面積為42πcm2，則圓柱OO′的底面半徑r＝________cm.[答案]3[解析]圓柱OO′的側(cè)面積為2πrl＝8πr(cm2)，兩底面積為2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圓柱的底面半徑為3cm.10．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正三角形，則該幾何體的表面積為________．[答案]24＋2eq\r(3)[解析]該幾何體是三棱柱，且兩個底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面是全等的矩形，且矩形的長是4，寬是2，所以該幾何體的表面積為2×(eq\f(1,2)×2×eq\r(3))＋3×(4×2)＝24＋2eq\r(3).11．如圖所示，一圓柱內(nèi)挖去一個圓錐，圓錐的頂點是圓柱底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的另一個底面．圓柱的母線長為6，底面半徑為2，則該組合體的表面積等于________．[答案](4eq\r(10)＋28)π[解析]挖去的圓錐的母線長為eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)，則圓錐的側(cè)面積等于4eq\r(10)π.圓柱的側(cè)面積為2π×2×6＝24π，圓柱的一個底面面積為π×22＝4π，所以組合體的表面積為4eq\r(10)π＋24π＋4π＝(4eq\r(10)＋28)π.12．下圖中，有兩個相同的直三棱柱，高為eq\f(2,a)，底面三角形的三邊長分別為3a、4a、5a(a>0)．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中表面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是________．[答案]0<a<eq\f(\r(15),3)[解析]底面積為6a2S1＝2×6a2＋2(10＋8＋6)＝12aS2＝24a2＋2(10＋8)＝24aS3＝24a2＋2(10＋6)＝24a拼成四棱柱時只有一種情況：表面積為(8＋6)×2＋4×6a2＝24a由題意得24a2＋28<12a2＋48，解得0<a<eq\f(\r(15),3).三、解答題13．已知各棱長為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形的四棱錐S－ABCD，如圖所示，求它的表面積．[分析]eq\x(求各側(cè)面的面積)→eq\x(求側(cè)面積)→eq\x(求底面積)→eq\x(求表面積)[解析]∵四棱錐S－ABCD的各棱長均為5，各側(cè)面都是全等的正三角形，設(shè)E為AB的中點，則SE⊥AB，∴S側(cè)＝4S△SAB＝4×eq\f(1,2)×5×eq\f(5\r(3),2)＝25eq\r(3)，S底＝52＝25，∴S表面積＝S側(cè)＋S底＝25eq\r(3)＋25＝25(eq\r(3)＋1)．14．正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(a<b)．(1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺的側(cè)面積；(2)若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高．[解析](1)如圖，設(shè)O1、O分別為上、下底面的中心，過C1作C1E⊥AC于E，過E作EF⊥BC，連接C1F，則C1由題意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝eq\f(\r(2),2)(b－a)，在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝eq\f(\r(2),2)(b－a)，又EF＝CE·sin45°＝eq\f(1,2)(b－a)，∴C1F＝eq\r(C1E2＋EF2)＝eq\r([\f(\r(2),2)b－a]2＋[\f(1,2)b－a]2)＝eq\f(\r(3),2)(b－a)．∴S側(cè)＝eq\f(1,2)(4a＋4b)×eq\f(\r(3),2)(b－a)＝eq\r(3)(b2－a2)．(2)由S側(cè)＝a2＋b2，∴eq\f(1,2)(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2，∴h斜＝eq\f(a2＋b2,2a＋b).又EF＝eq\f(b－a,2)，∴h＝eq\r(h\o\al(2,斜)－EF2)＝eq\f(ab,a＋b).15．(－·嘉興高一檢測)如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S.則R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).如圖所示易知△AEB∽△AOC，∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，∴r＝1S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝2eq\r(3)π.∴S＝S底＋S側(cè)＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2