高中數(shù)學(xué) 2-3-3 直線與平面垂直的性質(zhì)能力強(qiáng)化提升 新人教A版必修2

【成才之路】高中數(shù)學(xué)2-3-3直線與平面垂直的性質(zhì)能力強(qiáng)化提升新人教A版必修2一、選擇題1．如果直線l與平面α不垂直，那么在平面α內(nèi)()A．不存在與l垂直的直線B．存在一條與l垂直的直線C．存在無(wú)數(shù)條與l垂直的直線D．任意一條都與l垂直[答案]C[解析]若l?α，顯然在α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與l垂直；若l∥α，過l作平面β∩α＝l′，則l∥l′，∵在α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與l′垂直，從而在α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與l垂直；若l與α斜交，設(shè)交點(diǎn)為A，在l上任取一點(diǎn)P，過P作PQ⊥α，垂足為Q，在α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與AQ垂直，從而存在無(wú)數(shù)條直線與直線PA(即l)垂直．2．過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線條數(shù)為()A．1條 B．2條C．無(wú)數(shù)條 D．不能確定[答案]A[解析]已知：平面α和一點(diǎn)P.求證：過點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條．證明：不論點(diǎn)P在平面α外或平面α內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P)．如果過點(diǎn)P還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA、PB確定的平面為β，且α∩β＝a，于是在平面β內(nèi)過點(diǎn)P有兩條直線PA、PB垂直于交線a，這是不可能的．所以過點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條．3．若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面()A．有且只有一個(gè)B．可能存在也可能不存在C．有無(wú)數(shù)多個(gè)D．一定不存在[答案]B[解析]當(dāng)a⊥b時(shí)，有且只有一個(gè)．當(dāng)a與b不垂直時(shí)，不存在．4．已知一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個(gè)平面與這條直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．斜交 D．不能確定[答案]B[解析]設(shè)a，b為異面直線，a∥平面α，b∥α，直線l⊥a，l⊥b.過a作平面β∩α＝a′，則a∥a′，∴l(xiāng)⊥a′.同理過b作平面γ∩α＝b′，則l⊥b′，∵a，b異面，∴a′與b′相交，∴l(xiāng)⊥α.5．(－·杭州高二檢測(cè))如下圖，設(shè)平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別是B、D，如果增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF，這個(gè)條件不可能是下面四個(gè)選項(xiàng)中的()A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上D．AC與α、β所成的角相等[答案]D6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，給定下列四個(gè)命題，其中真命題的是()①若m⊥n，n?α，則m⊥α；②若a⊥α，a?β，則α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，則m∥n；④若m?α，n?β，α∥β，則m∥n.A．①和② B．②和③C．③和④ D．①和④[答案]B[解析]①中，直線m垂直于平面α內(nèi)的一條直線n，則直線m與平面α不一定垂直，所以①不是真命題；②是平面與平面垂直的判定定理，所以②是真命題．③是直線與平面垂直的性質(zhì)定理，所以③是真命題；④中m與n可能是異面直線，所以④不正確．7．如下圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點(diǎn)，則直線A．AC B．BDC．A1D D．A1D1[答案]B[解析]易得BD⊥面ACC1A1，又CE?面ACC1A∴CE⊥BD.8．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)PA．線段B1B．線段BC1C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段D．BC中點(diǎn)與B1C1[答案]A[解析]∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C又∵B1C∩AC＝C∴BD1⊥平面AB1C而AP⊥BD1，∴AP?平面AB1C又P∈平面BB1C1C，∴P點(diǎn)軌跡為平面AB1C與平面BB1二、填空題9．已知直線m?平面α，直線n?平面α，m∩n＝M，直線a⊥m，a⊥n，直線b⊥m，b⊥n，則直線a，b的位置關(guān)系是________．[答案]平行[解析]由于直線a垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線m，n，則a⊥α.同理，b⊥α，則a∥b.10．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如右圖所示，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________.[答案]6[解析]∵AF⊥平面AC，DE⊥平面AC，∴AF∥DE.又∵AF＝DE，∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴EF＝AD＝6.11．如圖，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是________．[答案]6[解析]由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∴EF⊥BE，EF⊥EC.∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均為直角三角形．12．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C到平面α的距離分別為2cm、3cm、4cm，且它們?cè)讦恋耐瑐?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為________．[答案]3cm[解析]如圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連接CG并延長(zhǎng)交AB于中點(diǎn)E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝eq\f(1,2)(A′A＋B′B)＝eq\f(5,2)，CC′＝4，CGGE＝21，在直角梯形EE′C′C中，可求得GG′＝3.三、解答題13．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．求證：平面BCE⊥平面CDE.[分析]由題意易知AF⊥平面CDE，只需在平面BCE中找一直線與AF平行即可．[證明]取CE的中點(diǎn)G，連接FG，BG，AF.∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE，且GF＝eq\f(1,2)DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE.則GF∥AB.又∵AB＝eq\f(1,2)DE，∴GF＝AB.則四邊形GFAB為平行四邊形．于是AF∥BG.∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又∵CD∩DE＝D，CD，DE?平面CDE，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.規(guī)律總結(jié)：此類問題是證明兩個(gè)平面垂直比較難的問題．證明時(shí)要綜合題目中的條件，利用條件和已知定理來(lái)證．或者從結(jié)論出發(fā)逆推分析．14．在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求證：l∥AE.[分析]轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面PCD，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明AE垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線PD和CD.[證明]∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD，∴AE⊥DC.又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.又l⊥平面PCD，∴l(xiāng)∥AE.15．如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1[分析]轉(zhuǎn)化為證明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1[證明]連接AB1，B1C，BD，B1D1∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1，同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝∴BD1⊥平面AB1C∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1規(guī)律總結(jié)：當(dāng)題中垂直條件很多，但又需證兩直線的平行關(guān)系時(shí)，就要考慮直線與平面垂直的性質(zhì)定理，從而完成垂直向平行的轉(zhuǎn)化．16．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求證：MN⊥平面PCD.[證明](1)取CD的中點(diǎn)E，連接EM、EN，則CD⊥EM，且EN∥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，