平面向量的運算專項訓練- 高三數(shù)學一輪復習

高三數(shù)學必修二第六章復習配套訓練平面向量的運算一、單選題1．（2024·四川資陽·二模）已知向量，的夾角為150°，且，，則（

）A．1 B． C． D．2．（2024·江蘇南京·二模）分別是等邊的邊的中點，，點在線段上的移動(含端點)，則一定不可能是（

）A． B．2 C． D．3．（2024·山東青島·二模）已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）在中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知邊上的中線相交于點P,則直線的夾角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（2024·貴州遵義·二模）已知單位向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．（2024·青海西寧·一模）已知平面向量，滿足.若，則向量，的夾角為（

）A．30° B．45° C．60° D．135°7．（2024·山西太原·二模）已知，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．8．（2024·河北衡水·三模）已知是單位向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．9．（2024·江蘇鹽城·一模）已知向量，滿足，，則（

）A．1 B． C．2 D．10．（2024·云南昆明·一模）已知單位向量，滿足|－|＝，則與的夾角為（

）A． B． C． D．11．（2024·山東煙臺·三模）已知向量，滿足，在方向上的投影向量為，且，則的值為（

）A．4 B． C．16 D．4812．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．13．（2024·福建福州·三模）已知線段是圓的一條長為2的弦，則（

）A．1 B．2 C．3 D．414．（2024·福建泉州·一模）已知向量滿足，則（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為15．（2024·江蘇蘇州·三模）已知，且在方向上的投影向量為單位向量，則（

）A．4 B． C． D．616．（2024·廣東佛山·一模）在中，設，那么動點的軌跡必通過的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心17．（2024·安徽蕪湖·三模）已知與直線交于兩點，且被截得兩段圓弧的長度之比為，若為上一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．18．（2024·湖南長沙·三模）在平行四邊形中，，點為該平行四邊形所在平面內(nèi)的任意一點，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．1219．（2024·云南曲靖·二模）已知是的外心，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．20．（2024·湖南長沙·二模）已知向量中，是單位向量，與的夾角為，則（

）A．2 B． C． D．-1二、多選題21．（2024·安徽安慶·三模）已知單位向量，的夾角為，則下列結論正確的有（

）A． B．在方向上的投影向量為C．若，則 D．若，則22．（2024·江蘇鹽城·一模）定義平面斜坐標系，記，，分別為x軸、y軸正方向上的單位向量，若平面上任意一點P的坐標滿足：，則記向量的坐標為，給出下列四個命題，正確的選項是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，以O為圓心、半徑為1的圓的斜坐標方程為23．（2024·遼寧·二模）的重心為點，點O，P是所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足，則（

）A．三點共線 B．C． D．點在的內(nèi)部24．（2024·浙江寧波·二模）若平面向量滿足且，則（

）A．的最小值為2B．的最大值為5C．的最小值為2D．的最大值為25．（2024·遼寧沈陽·二模）如圖，在方格中，向量的始點和終點均為小正方形的頂點，則（

）

A． B． C． D．三、填空題26．（2024·四川涼山·三模）在中，已知，點G為的外心，點O為重心，則．27．（2024·四川樂山·三模）已知，是夾角為的單位向量，若，則實數(shù)的值是．28．（2024·天津河西·二模）在四邊形中，，，，，，分別為線段、的中點，若設，，則可用，表示為；.29．（2024·湖南長沙·三模）平面向量滿足：，，，且，，則.30．（2024·天津和平·三模）已知中，點是中點，點滿足，記，，請用，表示；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值為．參考答案：1．D【分析】借助向量模長與數(shù)量積的關系與數(shù)量積的計算公式計算即可得.【詳解】因為，所以.故選：D2．D【分析】利用平面向量數(shù)量積的幾何意義計算即可.【詳解】由題意，，易知為的中位線，且，所以的邊長為2，結合投影可知，，故.故選:D.3．A【分析】根據(jù)投影向量的公式求解.【詳解】根據(jù)題意，在上的投影向量為：.故選：A4．D【分析】由余弦定理得，即，則進行求解．【詳解】由余弦定理得，，得，得，得，如圖：則，得，則直線的夾角為，故選：D5．B【分析】由求出，再求出與數(shù)量積和模長，由向量的夾角公式可得出答案.【詳解】由平方可得，即，則，則，又，所以，故與的夾角為.故選：B6．D【分析】根據(jù)數(shù)量積公式及運算律計算求出夾角余弦進而求出夾角即可.【詳解】因為，設夾角為所以,所以所以.故選：D.7．C【分析】依題意可得，將兩邊平方，由數(shù)量積的運算求出，再由夾角公式計算可得.【詳解】因為，，，所以，則，即，解得，設與的夾角為，則，又，所以，即與的夾角為.故選：C8．A【分析】先計算向量的模，再計算與的數(shù)量積，進而可得夾角的余弦值，可得答案.【詳解】，故．，設與的夾角為，則，又，故，故選：A．9．D【分析】把給出的兩個等式兩邊平方化簡后，解方程組即可求解.【詳解】解：由，可得，①由，可得，整理得，代入①得，解得故選：D.10．C【分析】將兩邊平方求得,再利用向量夾角公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意得,得,所以,所以.故選：C11．B【分析】根據(jù)題意結合投影向量可得，再根據(jù)垂直關系可得，進而可求模長.【詳解】由題意可知：，即，因為在方向上的投影向量為，可得，又因為，則，可得，則，所以.故選：B.12．B【分析】利用向量的模長關系可得，再由投影向量的定義即可求出結果.【詳解】根據(jù)題意可得，所以，則所以，則在方向上的投影向量為.故選：B13．B【分析】取中點，連接,根據(jù)向量的相關計算性質計算即可.【詳解】取中點，連接，易知，所以.故選：B．14．B【分析】根據(jù)題意，由平面向量的垂直關系，結合平面向量數(shù)量積的運算，然后對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】，即，因為不一定為零，所以與不一定垂直，故A錯誤；由可得，所以，故B正確；由數(shù)量積的定義可得，，所以，，與不一定相等，故C錯誤；在方向上的投影向量為，故D錯誤；故選：B15．B【分析】根據(jù)題意，分別將與平方，然后作差可得，再由條件可得，即可求得，從而得到，即可得到結果.【詳解】由題意可得，所以，即，所以①，因為，所以，即，所以②，①②可得，即又在方向上的投影向量為單位向量，則，即，解得，則，代入②中可得，解得.故選：B16．D【分析】將等式化簡整理得，作出中線，進一步將其化成，可得動點的軌跡為的垂直平分線，即得D項.【詳解】由可得，，即,(*)如圖，取的中點為，連，則，因，故得，,代入(*)得，,即,故垂直且平分線段，即動點的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.故選：D.17．B【分析】根據(jù)題意，得到，所以，設為邊的中點，根據(jù)向量的運算法則，求得，結合圓的性質，即可求解.【詳解】由，可得圓心，半徑，因為直線交圓于兩點，且圓被截得兩段弧的長度比為，所以，可得，設為邊的中點，可得，則，當且僅當與方向相同時，等號成立，因為，所以.所以的最大值為.故選：B.18．C【分析】設與的交點為，由，兩邊平方可表示出，同理可表示，四個式子相加化簡可求得結果.【詳解】設與的交點為，由，得，同理可得，，，所以，當點與點重合時，等號成立.故選：C19．C【分析】依題意可知是的中點，從而得到，，解法一：過點作，垂足為，即可得到，結合投影向量的定義即可得解；解法二：設，根據(jù)向量在向量上的投影向量等于計算可得.【詳解】由，所以是的中點，又是的外心，則，再由，，則為正三角形，，角度一：如圖，過點作，垂足為，則，，所以向量在向量上的投影向量等于.角度二：設，則，所以，所以向量在向量上的投影向量等于.故選：C.20．B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律求解.【詳解】，所以.故選：B21．AB【分析】對于A,只需驗證和的數(shù)量積是否為0即可;對于B,在方向上的投影向量表示為;對于C,先求平方，再利用數(shù)量積即可求夾角;對于D,對式子進行化簡，進而判斷.【詳解】對于A，因為，是單位向量，所以，所以，故A正確；對于B，因為，是單位向量，所以在方向上的投影向量為，故B正確；對于C，因為，所以，又因為，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，故D錯誤；故選：AB．22．AD【分析】根據(jù)題目的新定義，結合向量的線性運算與向量數(shù)量積的坐標運算等對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，，，則，，A正確；對于B，，，則，，顯然，則，B錯誤；對于C，，，由選項A同理得，即，，，C錯誤；對于D，設以O為圓心、半徑為1的圓上任意一點為，由，得，于是，由，得，即，D正確.故選：AD23．AC【分析】根據(jù)三角形重心的性質，向量共線的判定及向量的線性運算即可判斷．【詳解】，因為點為的重心，所以，所以，所以三點共線，故A正確，B錯誤；，因為，所以，即，故C正確；因為，所以點的位置隨著點位置的變化而變化，故點不一定在的內(nèi)部，故D錯誤；故選：AC．24．BD【分析】由向量方向間的關系，判斷的最大值和最小值；由，通過的最值，計算的最值.【詳解】當向量方向相同，與方向相反時，滿足，此時有最小值，A選項錯誤；當向量方向相同時，滿足，此時有最大值，B選項正確；，有，即，則，向量方向相同時，的最小值為0，的最小值為3，C選項錯誤；向量方向相反時，的最大值為2，的最大值為，D選項正確.故選：BD25．BC【分析】結合向量的線性運算法則及數(shù)量積的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】如圖所示，向量與向量方向不同，所以，故A錯誤，將向量平移至向量的起點，可得，且，以向量為鄰邊的平行四邊形為正方形，對角線垂直且相等，所以，故B與C正確，由以上可知，，且向量與向量的夾角相等，所以，故D錯誤.

故選：BC26．【分析】設的中點為，根據(jù)三角形外心性質，得，由重心性質得，再根據(jù)數(shù)量積運算即可求解.【詳解】設的中點為，連接，由點G為的外心，可得，由點O為重心，可得，故.

故答案為：.27．【分析】由平面向量數(shù)量積的運算及其性質進行計算即可.【詳解】由，是夾角為的單位向量，則，由，則，解得，.故答案為：.28．【分析】利用向量的加法可以求出第一個空；通過轉化確定及與，的夾角，代入數(shù)量積的計算公式即可求出第二個空.【詳解】由題意得，,,由分別為線段、的中點，知，，因此，；延長、交一點,