浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)暑期測(cè)試卷2

2026屆高二數(shù)學(xué)暑期測(cè)試卷2考試范圍：暑期所學(xué)所有內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘：滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第I卷（選擇題）一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.向量，，若，則（）A.， B.，C.， D.【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，故.故選：B2.直線和直線，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由題意先求出的充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題設(shè)，解得或.故，.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.3.若點(diǎn)在圓：外，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合點(diǎn)在圓外的代數(shù)關(guān)系式與圓的一般方程的定義即可.【詳解】由于點(diǎn)在圓：外，有，解得，即的取值范圍是.故選：B.4.已知，C是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，，點(diǎn)C到x軸的距離為d，則的最小值為（）A.10 B. C.11 D.【答案】B【解析】【分析】由焦半徑公式得到，從而得到，數(shù)形結(jié)合得到最小值.【詳解】因?yàn)镸的準(zhǔn)線方程為，所以由拋物線焦半徑公式得，故，所以,當(dāng)且僅當(dāng)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線且C線段DF上時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：B5.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.12 B.10 C.5 D.【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】因?yàn)閍n是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，即，則記，則，兩式相加得，所以，即.故選：B.6.已知拋物線C：和圓，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，圓上的兩點(diǎn)滿足，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則到直線的最大距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件化簡(jiǎn)可知點(diǎn)在圓N:上，所以是圓與圓的公共弦，再求出的方程，數(shù)形結(jié)合可求到直線的最大距離.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，圓，其圓心，半徑．設(shè)點(diǎn)是滿足的任意一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，結(jié)合，所以是圓與圓的公共弦，將圓與圓的方程相減得，直線的方程為，取線段的中點(diǎn)，連接，則，則，故選：A．7.圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記，，…，的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為an，則（）A. B.1 C.10 D.100【答案】C【解析】【分析】首先由題意得到遞推關(guān)系式，再求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】，即,因?yàn)?，，…，的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為，則則數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)，所以，即，所以.故選：C8.如圖，三棱柱滿足棱長(zhǎng)都相等且平面，D是棱的中點(diǎn)，E是棱上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（）A先增大再減小 B.減小 C.增大 D.先減小再增大【答案】D【解析】【分析】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)所有棱長(zhǎng)均為2，則，通過(guò)空間向量來(lái)求二面角的，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.即可得出結(jié)果.【詳解】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)所有棱長(zhǎng)均為2，則，,，，設(shè)平面BDE法向量,則，令有，故.又平面ABC的法向量，故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角的余弦值，又，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了用空間向量求二面角的余弦值，考查了解決問(wèn)題能力和計(jì)算能力，屬于中檔題目.二?多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知圓，過(guò)點(diǎn)向圓引斜率為的切線，切點(diǎn)為，記的軌跡為曲線，則（）A.的漸近線為B.點(diǎn)在上C.在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為D.當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】先由相切性質(zhì)得點(diǎn)滿足關(guān)系式，與已知圓聯(lián)立消參得軌跡方程，A項(xiàng)由方程形式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性作出大致圖形即可得漸近線；B項(xiàng)坐標(biāo)代入可知；C項(xiàng)由形可得；D項(xiàng)由不等式性質(zhì)與放縮法可得.【詳解】圓，圓心，半徑，且，且.，則點(diǎn)在圓外.如圖，連接，由題意知，設(shè)，則①，又點(diǎn)在圓上，則②，①②得，，解得③，由且，解得，或.將③代入②消得，，即為曲線的方程.A項(xiàng)，設(shè)，則，令解得，或，或（舍）.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增且，當(dāng)時(shí)，.且當(dāng)時(shí)，函數(shù)與單調(diào)性相同；且，當(dāng)時(shí)，.故的大致圖象如下圖，又由方程可知曲線關(guān)于軸對(duì)稱，且.故曲線的大致圖象為如下圖，故的漸近線為，A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，令曲線方程中，得，，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由形可知，曲線在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，即在的極值點(diǎn)，故C正確；D項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，則由，或.得，又，，則，所以成立，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常見(jiàn)方法有：（1）直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡(jiǎn)即可；（2）代入法：所求點(diǎn)Px,y與某已知曲線上一點(diǎn)存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程；（3）定義法：從條件中能夠判斷出點(diǎn)的軌跡為學(xué)過(guò)的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過(guò)確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程.（4）參數(shù)法：從條件中無(wú)法直接找到的聯(lián)系，但可通過(guò)一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程.（5）交軌法：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示兩動(dòng)曲線的方程，將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程。10.已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A.圓臺(tái)的體積為B.圓臺(tái)的側(cè)面積為C.圓臺(tái)母線與底面所成角為D.在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為4【答案】AC【解析】【分析】求出圓臺(tái)的高，根據(jù)圓臺(tái)體積公式可判斷A；根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積公式可判斷B；作出圓臺(tái)母線與底面所成角，解直角三角形可判斷C；將圓臺(tái)展開(kāi)，將圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑轉(zhuǎn)化為展開(kāi)圖中的線段長(zhǎng)，可判斷D.【詳解】對(duì)于A：圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積，A正確；對(duì)于B：根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式，可得側(cè)面積為．故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：過(guò)A作交底面于F，而底面，故底面，∴即為母線與底面所成角．在等腰梯形中，，∴，∵為銳角，∴．故C正確；對(duì)于D：設(shè)圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖上底面圓周對(duì)應(yīng)的扇形半徑為，下底面圓周對(duì)應(yīng)的扇形半徑為，設(shè)扇形圓心角為，則，則，由于，則，即圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，如圖示，在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE，由題意可得：．由為中點(diǎn)，∴，∴．故D錯(cuò)誤．故選：11.已知直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓的左、右頂點(diǎn)，在橢圓上與關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則（）A.若，則橢圓的離心率為B.若，則橢圓的離心率為C.D.若直線平行于x軸，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，則，故，則利用與離心率公式即可得解；對(duì)于B，設(shè)Ax0,y0，，接著利用和結(jié)合離心率公式直接計(jì)算即可求解；對(duì)于C，根據(jù)三角形中位線即可得解；對(duì)于D，設(shè)，則，根據(jù)已知條件求出和中點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的理論列式求出即可得解.【詳解】如圖，直線l與交于G，對(duì)于A，若，則，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)Ax0,y0，則，且所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可知是中位線，故，故C正確；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，則直線，因?yàn)橹本€平行于x軸，所以點(diǎn)的中點(diǎn)，所以由點(diǎn)G在直線l上且得，解得，即，因此，故D正確.故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的計(jì)算求解步驟：（1）設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)，（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)坐標(biāo)，（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)在直線上和兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直則斜率乘積為這兩個(gè)條件建立關(guān)于所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，利用該方程組即可求解.（4）遇特殊直線如或一般直接得解.第Ⅱ卷（非選擇題）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交雙曲線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與軸交于點(diǎn)，則的值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】由條件先求的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件列方程求即可.【詳解】由已知直線的解析式為，因?yàn)?，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)都在雙曲線上，所以，，所以，，所以，故答案為：.13.已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且首項(xiàng)為1，，則______________．【答案】210【解析】【分析】對(duì)原方程化簡(jiǎn)得，然后利用累乘法求解即可.【詳解】由已知，得，∵，∴，得，由累乘法得，∴,故答案為：210.14.已知正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用空間向量線性運(yùn)算得到軌跡，再把目標(biāo)式表示為函數(shù)，利用三角函數(shù)有界性求解即可.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，所以，即點(diǎn)在以為球心，以為半徑的球面上.因?yàn)?，所?因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為4，所以，在三角形中，，.取的中點(diǎn)為，，所以在上的投影向量的模為，所以.設(shè)，夾角為，所以.因?yàn)?，所以，即的最大值?故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量，列方程，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，裂項(xiàng)相消法求和，即可證明不等式.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列an的公差為，∴，∴，，．由已知得，解得或（舍），∴數(shù)列an的通項(xiàng)公式為．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，∴，∴．16.在等腰梯形ABCD中，，，，，M為AB中點(diǎn)，將，沿MD，MC翻折，使A，B重合于點(diǎn)E，得到三棱錐．（1）求ME與平面CDE所成角的大??；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）做輔助線，分析可證平面CDE，可知即為所求線面角，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面MEQ、平面CDE的法向量，利用空間向量求二面角.【小問(wèn)1詳解】在三棱錐中，取CD中點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)M作直線EQ的垂線交直線EQ于點(diǎn)H，因?yàn)锳BCD為等腰梯形，且M為AB中點(diǎn)，則，，可知，，且EQ，平面MEQ，，則平面MEQ，且平面MEQ，可得，可知，，，CD，平面CDE，則平面CDE，可知即為所求線面角，在等腰梯形ABCD中，已知，，，可求出，，，可得，且，則，所以直線ME與平面CDE所成角為.【小問(wèn)2詳解】以H為原點(diǎn)，，，為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，可得，，設(shè)平面MEQ的法向量為，則，取，則，可得，且平面CDE的法向量為，可得，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．17.已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，，滿足直線與的斜率之積為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)；（1）求曲線的軌跡方程；（2）若直線和的斜率之積為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（3）若直線與直線分別交于，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件建立等式，化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，消得到，由韋達(dá)定理得，利用條件，即可得到或，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)條件得出和的中點(diǎn)重合，即可證明結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由題有，化簡(jiǎn)得到，所以曲線的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€和的斜率之積為，所以直線的斜率存在，設(shè)，，，由，消得到，則，，，化簡(jiǎn)整理得到，得到或，當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)與重合，不合題意，當(dāng)，，直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】由（2）知，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又易知直線直線是雙曲線的漸近線，設(shè)，由，消得到，所以，，得到的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，設(shè)中點(diǎn)為，則，從而有.18.已知橢圓的離心率為的上頂點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且滿足的最大值為4.（1）求橢圓的方程；（2）已知.過(guò)點(diǎn)的直線（斜率存在且不為1）與橢圓交于兩點(diǎn).證明：平分.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得，再根據(jù)條件得，再結(jié)合條件，即可求出，即可求解；（2）設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，利用直線的傾斜角為，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求證，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題知，又，得到，解得，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，又，?duì)稱軸為，又，所以，又，所以，整理得到，解得，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線，，聯(lián)立和，消得到，由韋達(dá)定理得到，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，又因?yàn)?，所以直線的傾斜角為，則有，，得到，所以要證平分，即證，也即證明，即證，又，將代入得，所以平分.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)