安徽省六安市舒城中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

舒城中學(xué)2017—2018學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二理數(shù)選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合要求的,請你將符合要求的項(xiàng)的序號填在括號內(nèi))1．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的 （）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．如果將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)非零常數(shù),那么這組數(shù)據(jù)的 （）A.平均數(shù)與方差都不變 B.平均數(shù)不變,方差改變C.平均數(shù)改變,方差不變 D.平均數(shù)和方差都改變3．下列推理過程是演繹推理的是 （）A．由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì)B．某校高二班有人，班有人，由此得高二所有班人數(shù)都超過人C．兩條直線平行，同位角相等，若與是兩條平行直線的同位角，則D．在數(shù)列中，，，由此歸納出的通項(xiàng)公式4.某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是 （）A.56 B.60 C.120 D5．函數(shù)的圖象大致是 （）舒中高二期中理數(shù)第2頁(共4頁)A． B． C. D．舒中高二期中理數(shù)第2頁(共4頁)6.設(shè)函數(shù)，計(jì)算的值為 （）A． B． C． D．7．在一次馬拉松比賽中,35名運(yùn)動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示. （）若將運(yùn)動員按成績由好到差編為1~35號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動員人數(shù)是 （）A.3 B.4 C.5 D.8.已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于 （）A． B． C． D．9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出k的值為8,則判斷框內(nèi)可填入的條件是（）A.s≤? B.s≤?C.s≤? D.s≤?10．設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)分別為，是這兩曲線的交點(diǎn)，則的外接圓半徑為（）A.1 B.2C.11．定義在上的函數(shù)，滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，且，若，且，則有 （）A． B． C． D．不確定12．從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC兩兩成60°角，且分別與球O相切于A，B，C三點(diǎn)，若OP＝eq\r(3)，則球的體積為 （）A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3) C.eq\f(4π,3) D.eq\f(8π,3)填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.某市有高中生3萬人，其中女生4千人．為調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150人的樣本，則樣本中女生的數(shù)量為__________．14．平面幾何中，有邊長為的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值，類比上述命題，棱長為的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為__________．15．一名小學(xué)生的年齡和身高的數(shù)據(jù)如下表.由散點(diǎn)圖可知,身高y(單位:cm)與年齡x(單位:歲)之間的線性回歸方程為=8.8x+QUOTE,預(yù)測該學(xué)生10歲時(shí)的身高約為 __________cm．年齡x6789身高y118126136[學(xué)14416.已知函數(shù).若對，總有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟）17.(本小題滿分10分)“世界睡眠日”定在每年的3月21日,某網(wǎng)站于2017年3月14日到3月20日持續(xù)一周網(wǎng)上調(diào)查公眾日平均睡眠的時(shí)間(單位:小時(shí)),共有2000人參加調(diào)查,現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理分組后如下表所示.序號(i)分組睡眠時(shí)間組中值(mi)頻數(shù)(人數(shù))頻率(fi)1[4,5)4.5802[5,6)5.55200.263[6,7)6.56000.304[7,8)7.55[8,9)8.52000.106[9,10]9.5400.02(1)求出表中空白處的數(shù)據(jù),并將表格補(bǔ)充完整。.(2)為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,采用了計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算.程序框圖如圖所示,求輸出的S值,并說明S的統(tǒng)計(jì)意義.舒中高二期中理數(shù)第4頁(共4頁)舒中高二期中理數(shù)第4頁(共4頁)18．(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,∥，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，（1）若是棱的中點(diǎn),求證:；（2）若二面角的大小為,試求的值．19.(本小題滿分12分)已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（1）求拋物線的方程；（2）拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合），設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.20．(本小題滿分12分)已知橢圓(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)，，其中．（）若在處取得極值，求的值．（）求的單調(diào)區(qū)間．22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)且恒成立.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且

20172018學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二年級 數(shù)學(xué)學(xué)科試卷（理）答案選擇題DCCDBBBCCDAC填空題20,153三、解答題17.(本小題滿分10分)“解:(1)0.04,560,0.28(2)由程序框圖輸出S=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.7,S的統(tǒng)計(jì)意義即指參與調(diào)查者的日平均睡眠時(shí)間.18．(本小題滿分12分)解：證明：（Ⅰ）連接，交于,連接，且，即且，∴四邊形為平行四邊形,故為的中點(diǎn).又∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn),.∵平面，平面，∴．（Ⅱ）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),則．∵平面平面,且平面平面,∴平面,∵平面,∴.∵,為的中點(diǎn),∴四邊形為平行四邊形,∴,又∵,∴,即．以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則,,,，，，.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為，由得，令，得平面的一個(gè)法向量為，又是平面的一法向量，二面角的大小為,∴,解得（舍），∴．19.(本小題滿分12分)（2）∵點(diǎn)在拋物線上，且.∴∴，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，即，代入得，設(shè)，，則，，所以.20．(本小題滿分12分)20．解：(1)e＝eq\f(\r(2),2).(2)直線AB與圓x2＋y2＝2相切．證明如下：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因?yàn)镺A⊥OB，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－eq\f(2y0,x0).當(dāng)x0＝t時(shí)，y0＝－eq\f(t2,2)，代入橢圓C的方程，得t＝±eq\r(2)，故直線AB的方程為x＝±eq\r(2).圓心O到直線AB的距離d＝eq\r(2)，此時(shí)直線AB與圓x2＋y2＝2相切．當(dāng)x0≠t時(shí)，直線AB的方程為y－2＝eq\f(y0－2,x0－t)(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圓心O到直線AB的距離d＝eq\f(|2x0－ty0|,\r(（y0－2）2＋（x0－t）2)).又xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝4，t＝－eq\f(2y0,x0)，故d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(2yeq\o\al(2,0),x0))),\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋\f(4yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0))＋4))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4＋xeq\o\al(2,0),x0))),\r(\f(xeq\o\al(4,0)＋8xeq\o\al(2,0)＋16,2xeq\o\al(2,0))))＝eq\r(2).此時(shí)直線AB與圓x2＋y2＝2相切．21．(本小題滿分12分)解：（），∵在處取得極值，∴，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，∴．（），∵，，∴，①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，∴的單調(diào)增區(qū)間為．②當(dāng)時(shí)，由解得，由，解得，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．22．(本小題滿分12分)解：（1），∵,∴恒成立。令，問題等價(jià)于恒