二元一次方程組知識點(diǎn)與典型例題

二元一次方程組小結(jié)與復(fù)習(xí)一,知識梳理（一）二元一次方程組的有關(guān)概念1．二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫作二元一次方程。2．二元一次方程的一個解：適合一個二元一次方程的一對未知數(shù)的值，叫這個二元一次方程的一個解。任何一個二元一次方程都有多數(shù)個解。3．方程組和方程組的解（1）方程組：由幾個方程組成的一組方程叫作方程組。（2）方程組的解：方程組中各個方程的公共解，叫作這個方程組的解。4．二元一次方程組和二元一次方程組的解（1）二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫作二元一次方程組。（2）二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個方程的公共解，叫作這個二元一次方程組的解。（二）二元一次方程組的解法：1．代入消元法2．加減消元法二,典例剖析題型一1．二元一次方程及方程組的概念。二元一次方程的一般形式：任何一個二元一次方程經(jīng)過整理,化簡后，都可以化成（a,b,c為已知數(shù)，且a≠0，b≠0）的形式，這種形式叫二元一次方程的一般形式。練習(xí)1,下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？練習(xí)2,若方程練習(xí)3,（1）若方程(2m－6)x|n|－1+(n+2)y=1是二元一次方程，則m=_______，n=__________．專題二：二元一次方程組的解法：解二元一次方程組的基本思想是消元轉(zhuǎn)化。（一）,代入消元法：1,直接代入例1解方程組跟蹤訓(xùn)練：解方程組：（1）（2）2,變形代入例2解方程組跟蹤訓(xùn)練：（1）（2）(3)(4)（二）,加減消元法例題,解方程組（1）（2）（3）．跟蹤訓(xùn)練：（1）（2）（3）(4)(5)(6)（三）,選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M（1）（2）（3） （4）題型三：代數(shù)式的變形1,在方程＝5中，用含的代數(shù)式表示為：＝，當(dāng)＝3時，＝。2,在二元一次方程x+2y=11中，用含x的式子表示y得__________題型四：有關(guān)二元一次方程組的解：（1）二元一次方程3a+b=9在正整數(shù)范圍內(nèi)的解的個數(shù)是_________.（2）已知(3x－2y+1)2與|4x－3y－3|互為相反數(shù)，則x=__________，y=________（3）若方程組的解互為相反數(shù)，求m的值。（4）解關(guān)于x，y的方程組，并求當(dāng)解滿意方程4x－3y＝21時的k值．（5）：（6）：若方程組的解是方程ax-by=4的解，你能求出a,b的值嗎？題型五：墨漬題練習(xí)1,已知方程組，甲正確的解得，而乙馬虎，把c看錯了，解得，求a,b,c的值。練習(xí)2,一個被滴上墨水的方程組如下：，小明回憶到：“這個方程組的解為，經(jīng)檢查后發(fā)覺，我的錯誤是由于看錯了第二個方程中x的系數(shù)所致”，請你依據(jù)小明的回憶，把原方程組還原出來。練習(xí)3：小明和小華同時解方程組，小明看錯了m，解得，小華看錯了n，解得，則原方程組正確的解是多少？題型六：方程組的解的狀況例題．已知關(guān)于x，y的方程組，分別求出當(dāng)a為何值時，方程組(1)有唯一一組解；(2)無解；(3)有無窮多組解．變式：（1）當(dāng)為何值時，方程組有唯一的解分析：（2）×2：6x+2y=6(3)(3)-(1):(6-a)x=5當(dāng)a≠6時，方程有唯一的解當(dāng)為何值時，方程組有無窮多解？分析：（1）×2：2x+4y=2(3)(3)-(2):(4-m)y=04-m=0即m=4，有無窮多解題型七：應(yīng)用題（安排調(diào)運(yùn)問題）某校師生到甲,乙兩個工廠參與勞動，假如從甲廠抽9人到乙廠，則兩廠的人數(shù)相同；假如從乙廠抽5人到甲廠，則甲廠的人數(shù)是乙廠的2倍，到兩個工廠的人數(shù)各是多少？解：設(shè)到甲工廠的人數(shù)為x人，到乙工廠的人數(shù)為y人題中的兩個相等關(guān)系：1,抽9人后到甲工廠的人數(shù)=到乙工廠的人數(shù)可列方程為：x-9=2,抽5人后到甲工廠的人數(shù)=可列方程為：（行程問題）甲,乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小時可追上乙；相向而行，1小時相遇。二人的平均速度各是多少？解：設(shè)甲每小時走x千米，乙每小時走y千米題中的兩個相等關(guān)系：1,同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程為：2,相向而行：甲的路程+=可列方程為：（百分?jǐn)?shù)問題）某市現(xiàn)有42萬人口，安排一后城鎮(zhèn)人口增加0.8％，農(nóng)村人口增加1.1％,這樣全市人口將增加1％，求這個市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口？解：這個市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人題中的兩個相等關(guān)系：1,現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口+=現(xiàn)在全市總?cè)丝诳闪蟹匠虨椋?,明增加后的城鎮(zhèn)人口+=明全市總?cè)丝诳闪蟹匠虨椋海?+0.8％）x+=（安排問題）某幼兒園分萍果，若每人3個，則剩2個，若每人4個，則有一個少1個，問幼兒園有幾個小摯友？解：設(shè)幼兒園有x個小摯友，萍果有y個題中的兩個相等關(guān)系：1,萍果總數(shù)=每人分3個+可列方程為：2,萍果總數(shù)=可列方程為：（濃度安排問題）要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？解：設(shè)含鹽10%的鹽水有x千克，含鹽85%的鹽水有y千克。題中的兩個相等關(guān)系：1,含鹽10%的鹽水中鹽的重量+含鹽85%的鹽水中鹽的重量=可列方程為：10%x+=2,含鹽10%的鹽水重量+含鹽85%的鹽水重量=可列方程為：x+y=（金融安排問題）須要用多少每千克售4.2元的糖果才能與每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的雜拌糖200千克？解：設(shè)每千克售4.2元的糖果為x千克，每千克售3.4元的糖果為y千克題中的兩個相等關(guān)系：1,每千克售4.2元的糖果銷售總價+=可列方程為：2,每千克售4.2元的糖果重量+=可列方程為：（幾何安排問題）如圖：用8塊相同的長方形拼成一個寬為48厘米的大長方形，每塊小長方形的長和寬分別是多少？解：設(shè)小長方形的長是x厘米，寬是y厘米題中的兩個相等關(guān)系：1,小長方形的長+=大長方形的寬可列方程為：2,小長方形的長=可列方程為：（材料安排問題）一張桌子由桌面和四條腳組成，1立方米的木材可制成桌面50張或制作桌腳300條，現(xiàn)有5立方米的木材，問應(yīng)如何安排木材，可以使桌面和桌腳配套？解：設(shè)題中的兩個相等關(guān)系：1,制作桌面的木材+=可列方程為：2,全部桌面的總數(shù)：全部桌腳的總數(shù)=可列方程為：（數(shù)字問題）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，假如把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，則得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y。題中的兩個相等關(guān)系：1,個位數(shù)字=-5，可列方程為：2,新兩位數(shù)=可列方程為：（安排調(diào)運(yùn)）一批貨物要運(yùn)往某地，貨主打算租用汽運(yùn)公司的甲,乙兩種貨車，已知過去租用這兩種汽車運(yùn)貨的狀況如左表所示，現(xiàn)租用該公司5輛甲種貨車和6輛乙種貨車，一次剛好運(yùn)完這批貨物，問曱乙兩種貨車的載重量分別是多少噸？解：設(shè)題中的兩個相等關(guān)系：1,第一次：甲貨車運(yùn)的貨物重量+=36可列方程為：2,第二次：甲貨車運(yùn)的貨物重量+=26可列方程為：方案問題.北京和上海都有某種儀器可供外地運(yùn)用，其中北京可供應(yīng)10臺，上?？晒?yīng)4臺。已知重慶須要8臺，武漢須要6臺，從北京上海將儀器運(yùn)往重慶,武漢的費(fèi)用如下表所示,有關(guān)部門安排用8000元運(yùn)輸這些儀器。請你設(shè)計(jì)一種方案，使武漢,重慶能夠得到所需的儀器，而且運(yùn)費(fèi)正好夠用。運(yùn)費(fèi)表：終點(diǎn)起點(diǎn)武漢（元/臺）重慶（元/臺）北京400800上海300500二元一次方程組課后練習(xí)（一）：一,填空題：1,用加減消元法解方程組，由①×2—②得。2,在方程＝5中，用含的代數(shù)式表示為：＝，當(dāng)＝3時，＝。3,在代數(shù)式中，當(dāng)＝－2，＝1時，它的值為1，則＝；當(dāng)＝2，＝－3時代數(shù)式的值是。4,已知方程組與有相同的解，則＝，＝。5,若，則＝，＝。6,有一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和為11，把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，所得的新數(shù)比原數(shù)大63，設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為，十位數(shù)字為，則用代數(shù)式表示原兩位數(shù)為，依據(jù)題意得方程組。7,假如＝3，＝2是方程的解，則＝。8,若是關(guān)于,的方程的一個解，且，則＝。9,已知，則的值是。二,選擇題：10,在方程組,,,,,中，是二元一次方程組的有（）A,2個B,3個C,4個D,5個11,假如是同類項(xiàng)，則,的值是（）A,＝－3，＝2B,＝2，＝－3C,＝－2，＝3D,＝3，＝－212,已知是方程組的解，則,間的關(guān)系是（）A,B,C,D,13,若二元一次方程，，有公共解，則的取值為（）A,3B,－3C,－4D,414,若二元一次方程有正整數(shù)解，則的取值應(yīng)為（）A,正奇數(shù)B,正偶數(shù)C,正奇數(shù)或正偶數(shù)D,015,若方程組的解滿意＞0，則的取值范圍是（）A,＜－1B,＜1C,＞－1D,＞116,方程是二元一次方程，則的取值為（）A,≠0B,≠－1C,≠1D,≠217,解方程組時，一學(xué)生把看錯而得，而正確的解是則,,的值是（）A,不能確定B,＝4，＝5，＝－2C,,不能確定，＝－2D,＝4，＝7，＝218,當(dāng)時，代數(shù)式的值為6，則當(dāng)時這個式子的值為（）A,6B,－4C,5D,119,設(shè)A,B兩鎮(zhèn)相距千米，甲從A鎮(zhèn),乙從B鎮(zhèn)同時動身，相向而行，甲,乙行駛的速度分別為千米／小時,千米／小時，①動身后30分鐘相遇；②甲到B鎮(zhèn)后馬上返回，追上乙時又經(jīng)過了30分鐘；③當(dāng)甲追上乙時他倆離A鎮(zhèn)還有4千米。求,,。依據(jù)題意，由條件③，有四位同學(xué)各得到第3個方程如下，其中錯誤的一個是（）A,B,C,D,三,解方程組：20,21,四,列方程（組）解應(yīng)用題：22,王大伯承包了25畝土地，今春季改種茄子和西紅柿兩種大棚蔬菜，用去了44000元。其中種茄子每畝用了1700元，獲純利2400元；種西紅柿每畝用了1800元，獲純利2600元。問王大伯一共獲純利多少元？23,在社會實(shí)踐活動中，某校甲,乙,丙三位同學(xué)一同調(diào)查了高峰時段北京的二環(huán)路,三環(huán)路,四環(huán)路的車流量（每小時通過觀測點(diǎn)的汽車車輛數(shù)），三位同學(xué)匯報高峰時段的車流量狀況如下：甲同學(xué)說：“二環(huán)路車流量為每小時10000輛”；乙同學(xué)說：“四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時多2000輛”；丙同學(xué)說：“三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路車流量的2倍”；請你依據(jù)他們所供應(yīng)的信息，求出高峰時段三環(huán)路,四環(huán)路的車流量各是多少？五,綜合題：24,已知關(guān)于,的二元一次方程組的解滿意二元一次方程，求的值。25,某同學(xué)在A,B兩家超市發(fā)覺他看中的隨身聽的單價相同，書包單價也相同，隨身聽和書包單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包單價的4倍少8元。（1）求該同學(xué)看中的隨身聽和書包單價各是多少元？（2）某一天該同學(xué)上街，恰好趕上商家促銷，超市A全部商品打八折銷售，超市B全場購物滿100元返購物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢，假如他只在一家超市購買看中的這兩樣物品，你能說明他可以選擇哪一家購買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購買更省錢？三,歷中考試題中二元一次方程組的整理1.某校初三（2）班40名同學(xué)為“盼望工程”捐款，共捐款100元.捐款狀況如下表：捐款（元）1234人數(shù)67表格中捐款2元和3元的人數(shù)不當(dāng)心被墨水污染已經(jīng)看不清晰.若設(shè)捐款2元的出名同學(xué)，捐款3元的出名同學(xué)，依據(jù)題意，可得方程組（）.（A）（B）（C）（D）2.已知二元一次方程組為，則______，_______.3.若方程組的解與相等，則________.4.若是二元一次方程，則值等于__________.5.有一個兩位數(shù)，減去它各位數(shù)字之和的3倍，值為23，除以它各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，則這樣的兩位數(shù)（）A．不存在B．有惟一解C．有兩個D．有多數(shù)解6.4x+1=m(x－2)+n(x－5),則m,n的值是（）A.B.C.D.7.假如方程組無解，則a為（）A.6B.－6C.9D.－98.若方程組的解之和：x+y=－5，求k的值，并解此方程組.9.以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限10.若關(guān)于的方程組的解是，則為（）A．1 B．3 C．5 D．211.若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則k的值為（A）（B）（C）（D）12.已知代數(shù)式與是同類項(xiàng)，則的值分別是（）A．B．C．D．二,應(yīng)用問題的整理13.為了防控甲型H1N1流感，某校主動進(jìn)行校園環(huán)境消毒，購買了甲,乙兩種消毒液共100瓶，其中甲種6元/瓶，乙種9元/瓶．（1）假如購買這兩種消毒液共用780元，求甲,乙兩種消毒液各購買多少瓶？（2）該校打算再次購買這兩種消毒液（不包括已購買的100瓶），使乙種瓶數(shù)是甲種瓶數(shù)的2倍，且所需費(fèi)用不多于1200元（不包括780元），求甲種消毒液最多能再購買多少瓶？14.在直角坐標(biāo)系中有兩條直線：和，它們的交點(diǎn)為P，第一條直線與x軸交于點(diǎn)A，第二條直線與x軸交于點(diǎn)B．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求△PAB的面積．15.一群學(xué)生前往位于青田縣境內(nèi)的灘坑電站建設(shè)工地進(jìn)行社會實(shí)踐活動，男生戴白色平安帽，女生戴紅色平安帽.休息時他們坐在一起，大家發(fā)覺了一個好玩的現(xiàn)象，每位男生看到白色與紅色的平安帽一樣多，而每位女生看到白色的平安帽是紅色的2倍.問題：依據(jù)這些信息，請你推想這群學(xué)生共有多少人？16.在“家電下鄉(xiāng)”活動期間，凡購買指定家用電器的農(nóng)村居民均可得到該商品售價13%的財(cái)政補(bǔ)貼.村民小李購買了一臺A型洗衣機(jī)，小王購買了一臺B型洗衣機(jī)，兩人一共得到財(cái)政補(bǔ)貼351元，又知B型洗衣機(jī)售價比A型洗衣機(jī)售價多500元.求：（1）A型洗衣機(jī)和B型洗衣機(jī)的售價各是多少元？（2）小李和小王購買洗衣機(jī)除財(cái)政補(bǔ)貼外實(shí)際各付款多少元？17.某服裝專賣店老板對第一季度男,女服裝的銷售收入進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了扇形統(tǒng)計(jì)圖（如圖）．由于三月份開展促銷活動，男,女服裝的銷售收入分別比二月份增長了，，已知第一季度男女服裝的銷售總收入為20萬元．（1）一月份銷售