二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題帶答案

【基礎(chǔ)知識(shí)鞏固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。二、取值范圍1.

二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.

二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a﹤0時(shí)，沒有意義。三、二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，及絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則00；若，則00；若，則00。四、二次根式（）的性質(zhì)：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.五、二次根式的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。1、化簡(jiǎn)時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù),即；2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn)。六、及的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：及表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但及都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，

，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義，而.七、二次根式的運(yùn)算1、最簡(jiǎn)二次根式必須滿足以下兩個(gè)條件（1）被開方數(shù)不含分母，即被開方的因式必須是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都是1.2、乘法法則：=·（a≥0，b≥0）；積的算術(shù)平方根的性質(zhì)即乘法法則的逆用.3、除法法則：（b≥0，a>0）；商的算術(shù)平方根的性質(zhì)即除法法則的逆用.4、合并同類項(xiàng)的法則：系數(shù)相加減，字母的指數(shù)不變.5、二次根式的加減（1）二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。（2）步驟：如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)的法則去掉括號(hào)；把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式化簡(jiǎn)；合并被開方數(shù)相同的二次根式。6、混合運(yùn)算：及有理數(shù)的運(yùn)算一致，先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面。有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算．二次根式有意義的條件：例1：求下列各式有意義的所有x的取值范圍。 解：（1）要使有意義，必須，由得，當(dāng)時(shí)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。 （2）要使有意義，必須的范圍內(nèi)。當(dāng)時(shí)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。小練習(xí)：1、（1）當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？②（3）當(dāng)x是多少時(shí)，2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當(dāng)時(shí)，有意義。2.使式子有意義的未知數(shù)x有（）個(gè)．A．0B．1C．2D．無數(shù)3．已知5，求的值．4．若+有意義，則．5.若有意義，則的取值范圍是。最簡(jiǎn)二次根式例2：把下列各根式化為最簡(jiǎn)二次根式：解：同類根式：例3：判斷下列各組根式是否是同類根式： 分析：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡(jiǎn)二次根式。 解：分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化： 分析：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因子，如及，均為有理化因式。 解：求值：例5：計(jì)算： 分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必須掌握，要特別注意運(yùn)算順序及有意識(shí)的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。 解：（1）原式化簡(jiǎn)：例6：化簡(jiǎn)： 分析：應(yīng)注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式來進(jìn)行化簡(jiǎn)，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。 解： 例7：化簡(jiǎn)練習(xí)： 解：化簡(jiǎn)求值： 例8：已知： 求：的值。 分析：如果把a(bǔ)，b的值直接代入計(jì)算的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到互為有理化因子可計(jì)算，然后將求值式子化為的形式。 解： 小結(jié)：顯然上面的解法非常簡(jiǎn)捷，在運(yùn)算過程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算能力。類似的解法在許多問題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識(shí)的總結(jié)及積累。例9：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]1、2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】2（x＋）（x－）2、x4－2x2－3．【提示】先將x2看成整體，利用x2＋＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．例10、綜合應(yīng)用：如圖所示的△中，∠90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．問：幾秒后△的面積為35平方厘米？的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）一、選擇題：在以下所給出的四個(gè)選擇支中，只有一個(gè)是正確的。1、成立的條件是： A． B． C． D．2、把化成最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果為： A． B． C． D．3、下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式為： A． B． C． D．4、已知t<1，化簡(jiǎn)得： A． B． C．2 D．05、下列各式中，正確的是： A． B． C． D．6、下列命題中假命題是： A．設(shè) B．設(shè) C．設(shè) D．設(shè)7、及是同類根式的是： A． B． C． D．8、下列各式中正確的是： A． B． C． D．三、1、化簡(jiǎn) 2、已知： 求：【答案】：一、選擇題： 1、B 2、C 3、B 4、D 5、B 6、C 7、D 8、D 9、C 10、B二、計(jì)算：三、二次根式測(cè)試題（一）1．下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．若，則（）A．b>3B．b<3C．b≥3D．b≤33．若有意義，則m能取的最小整數(shù)值是（）A．0B．1C．2D．34．若x<0，則的結(jié)果是（）A．0B．—2C．0或—2D．25．下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A．B．C．D．6．如果，則（）A．x≥0B．x≥6C．0≤x≤6D．x為一切實(shí)數(shù)7．小明的作業(yè)本上有以下四題：①；②；③；④。做錯(cuò)的題是（）A．①B．②C．③D．④8．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．B．C．D．9．若最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)相同，則a的值為（）A．B．C．1D．—110．化簡(jiǎn)得（）A．—2B．C．2D．11．①；②。12．二次根式有意義的條件是。13．若m<0，則=。14．成立的條件是。15．比較大?。骸?6．，。17．計(jì)算=。18．的關(guān)系是。19．若，則的值為。20．化簡(jiǎn)的結(jié)果是。21．求使下列各式有意義的字母的取值范圍：（1）（2）（3）（4）22．化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）（4）23．計(jì)算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）24．若x，y是實(shí)數(shù)，且，求的值。二次根式（一）1．C2．D3．B4．D5．A6．B7．D8．C9．C10．A11．①0.3②12．x≥0且x≠913．—m