高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)提升版第14講函數(shù)零點(diǎn)與方程

第14講函數(shù)零點(diǎn)與方程[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.結(jié)合學(xué)過(guò)的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框圖，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，把使eq\x(\s\up1(01))f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖象與eq\x(\s\up1(02))x軸有公共點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有eq\x(\s\up1(03))零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有eq\x(\s\up1(04))f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\x(\s\up1(05))(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得eq\x(\s\up1(06))f(c)＝0，這個(gè)eq\x(\s\up1(07))c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且eq\x(\s\up1(08))f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．(4)函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)，是方程f(x)＝0的實(shí)根．(5)由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)f(b)<0，如圖所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．1．(人教B必修第一冊(cè)習(xí)題3－2BT5改編)函數(shù)y＝lnx－eq\f(2,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) B．(1，2)C．(2，e) D．(e，＋∞)答案C解析y＝f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，因?yàn)閥＝lnx與y＝－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝lnx－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(1)＝ln1－2＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－eq\f(2,e)＝1－eq\f(2,e)>0，所以f(2)f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零點(diǎn)．故選C.2．若函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的零點(diǎn)是2，則函數(shù)g(x)＝ax2＋bx的零點(diǎn)是()A．2 B．0和2C．0 D．－2和0答案B解析由條件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零點(diǎn)為0和2.故選B.3．(2023·海口第二次聯(lián)考)函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)f(x)＝ex與g(x)＝－x2－2x＋1的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作圖容易判斷，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故原函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．4．(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題4.5T13改編)若函數(shù)y＝ax2－2x＋1只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．答案0或1解析當(dāng)a＝0時(shí)，y＝－2x＋1，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)a≠0時(shí)，由題意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.綜上，實(shí)數(shù)a的值為0或1.5．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,x2－1，x＞0，))則函數(shù)y＝f(x)－1的零點(diǎn)是________．答案0和eq\r(2)解析要求函數(shù)y＝f(x)－1的零點(diǎn)，則令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝eq\r(2)(負(fù)值舍去)．綜上可知，函數(shù)y＝f(x)－1的零點(diǎn)是0和eq\r(2).考向一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷例1(1)(2023·梅州二模)用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析令f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝log4x，y＝－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)>0，所以函數(shù)f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在區(qū)間(1，2)上有唯一零點(diǎn)，所以用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是(1，2)．故選B.(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)答案A解析函數(shù)y＝f(x)是圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，由于a<b<c，則a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)．判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)定義法利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)解方程法當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過(guò)解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上．(3)數(shù)形結(jié)合法畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷．1.已知x0是函數(shù)f(x)＝eq\r(x)＋log2(x＋1)－4的零點(diǎn)，則(x0－1)(x0－2)(x0－3)·(x0－4)的值()A．為正數(shù) B．為負(fù)數(shù)C．等于0 D．無(wú)法確定正負(fù)答案B解析由題意可知f(x)單調(diào)遞增且f(3)＝eq\r(3)＋log24－4<0，f(4)＝2＋log25－4>0，則x0∈(3，4)，所以x0－1>0，x0－2>0，x0－3>0，x0－4<0，所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.故選B.2．已知函數(shù)f(x)＝20×3－x－x的零點(diǎn)x0∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝________．答案2解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝3－x為R上的減函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝20×3－x－x為R上的減函數(shù)，又f(2)＝20×3－2－2＝eq\f(20,9)－2＝eq\f(2,9)>0，f(3)＝20×3－3－3＝eq\f(20,27)－3＝－eq\f(61,27)<0，故f(x)＝20×3－x－x在(2，3)上有唯一零點(diǎn)，結(jié)合題意可知k＝2.考向二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定例2(1)(2024·濰坊模擬)函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6答案A解析求函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為求方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在區(qū)間[－2，2]上的根的個(gè)數(shù)．由(x2－x)ln|2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選A.(2)(2023·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))則函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5答案D解析令t＝f(x)＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)＋1，x>0，,（x＋1）2，x≤0.))①當(dāng)t＞0時(shí)，f(t)＝lnt－eq\f(1,t)，則函數(shù)f(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，由零點(diǎn)存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；②當(dāng)t≤0時(shí)，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函數(shù)t＝f(x)＋1，直線t＝t1，t＝－2，t＝0的圖象如圖所示，由圖象可知，直線t＝t1與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線t＝0與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線t＝－2與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.故選D.判定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法及思路(1)解方程法f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理法利用定理不僅要求函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所滿足的條件．(3)數(shù)形結(jié)合法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．1.函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析由2x|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，作出y＝|log0.5x|和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，如圖所示，則兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1有2個(gè)零點(diǎn)．2．函數(shù)f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定義域?yàn)閇－6，6]．令f(x)＝0，得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x為－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6個(gè)零點(diǎn)．多角度探究突破考向三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用角度利用零點(diǎn)比較大小例3(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝lnx－eq\f(1,x).若f(x1)＝g(x2)＝0，則()A．0<g(x1)<f(x2) B．g(x1)<0<f(x2)C．f(x2)<0<g(x1) D．f(x2)<g(x1)<0答案B解析∵f(x)＝ex－1＋4x－4為增函數(shù)，g(x)＝lnx－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(0)＝eq\f(1,e)－4<0，f(1)＝1>0，g(1)＝－1<0，g(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，又f(x1)＝g(x2)＝0，∴0<x1<1，1<x2<2，∴g(x1)<0<f(x2)．故選B.(2)(多選)(2023·蘇北七市三模)已知函數(shù)y＝x＋ex的零點(diǎn)為x1，y＝x＋lnx的零點(diǎn)為x2，則()A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0C．ex1＋lnx2＝0 D．x1x2－x1＋x2＜1答案BCD解析∵函數(shù)y＝x＋ex的零點(diǎn)為x1，y＝x＋lnx的零點(diǎn)為x2，∴函數(shù)y＝－x與函數(shù)y＝ex圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，函數(shù)y＝－x與函數(shù)y＝lnx圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，作函數(shù)y＝－x，y＝ex，y＝lnx的圖象如圖，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x2，∵函數(shù)y＝ex與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，函數(shù)y＝－x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，又點(diǎn)A，B在直線y＝－x上，∴點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴x1＋x2＝0，故A錯(cuò)誤；易知x1x2＜0，故B正確；∵ex1＝－x1，lnx2＝－x2，x1＋x2＝0，∴ex1＋lnx2＝0，故C正確；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，∴(x1＋1)·(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，故D正確．故選BCD.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)準(zhǔn)確作出已知函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，對(duì)圖象進(jìn)行分析，找出零點(diǎn)的范圍，進(jìn)行大小比較．(2024·河南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知a，b，c均大于1，滿足eq\f(2a－1,a－1)＝2＋log2a，eq\f(3b－2,b－1)＝3＋log3b，eq\f(4c－3,c－1)＝4＋log4c，則下列不等式成立的是()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<b D．c<a<b答案B解析∵eq\f(2a－1,a－1)＝2＋log2a?eq\f(1,a－1)＝log2a，eq\f(3b－2,b－1)＝3＋log3b?eq\f(1,b－1)＝log3b，eq\f(4c－3,c－1)＝4＋log4c?eq\f(1,c－1)＝log4c，∴考慮y＝eq\f(1,x－1)和y＝logmx的圖象相交，根據(jù)圖象可知a<b<c.故選B.角度由函數(shù)零點(diǎn)存在情況或個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例4(1)“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)x>0時(shí)，令f(x)＝0，則lnx＝0，∴x＝1，∴當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)為1，∵函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，∴當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝－2x＋a無(wú)零點(diǎn)，即a>2x或a<2x，∵當(dāng)x≤0時(shí)，2x∈(0，1]，∴a>1或a≤0，∴“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的充分不必要條件．故選A.(2)(多選)(2023·中山模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x<1，,－4x2＋16x－13，x≥1，))函數(shù)g(x)＝f(x)－a，則下列結(jié)論正確的是()A．若g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是[1，2)B．若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0，1)C．若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，則x3＋x4＝4D．若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，則x3x4的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(7,2)))答案BCD解析令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y＝f(x)與y＝a圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由圖可知，若g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是[1，2)∪{0}，故A錯(cuò)誤；若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0，1)，故B正確；若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，此時(shí)x3，x4關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，所以x3＋x4＝4，故C正確；由C項(xiàng)可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－xeq\o\al(2,4)＋4x4，由于g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，a的取值范圍是(0，1)，故0<－4xeq\o\al(2,4)＋16x4－13<1，所以eq\f(13,4)<－xeq\o\al(2,4)＋4x4<eq\f(7,2)，故D正確．故選BCD.已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的常用方法1.(2023·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x≤0，,|lgx|，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－b有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．(0，1] B．[0，1]C．(0，1) D．(1，＋∞)答案A解析依題意，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即f(x)＝b有四個(gè)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝b的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)y＝f(x)可知，當(dāng)x∈(－∞，－1]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，y∈[0，＋∞)；當(dāng)x∈(－1，0]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，y∈(0，1]；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，y∈(0，＋∞)；當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，y∈[0，＋∞)．結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù)b的取值范圍為(0，1]．故選A.2．(2023·鄭州質(zhì)檢)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè)，其中的一個(gè)成果是：設(shè)x∈R，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非負(fù)純小數(shù)，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))解析根據(jù)題意可得函數(shù)y＝{x}在x軸正半軸的部分圖象如圖所示，函數(shù)y＝1－kx的圖象為過(guò)定點(diǎn)P(0，1)的直線，所以要使方程{x}＝1－kx有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則直線y＝1－kx應(yīng)在PA，PB之間或恰好在PA處，所以－eq\f(1,3)≤－k<－eq\f(1,4)，即正實(shí)數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·焦作一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零點(diǎn)為x0，則x0∈()A．(－4，－2) B．(－2，－1)C．(1，2) D．(2，4)答案B解析因?yàn)閥＝2x與y＝eq\f(x,3)在R上均為增函數(shù)，所以f(x)＝2x＋eq\f(x,3)在R上為增函數(shù)，又因?yàn)閒(0)＝1＞0，f(－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)>0，f(－2)＝eq\f(1,4)－eq\f(2,3)＝－eq\f(5,12)<0，因?yàn)閒(－2)f(－1)<0，所以f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零點(diǎn)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)．故選B.2．(2024·鷹潭模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(－x)－1，x≤0，,log3x－2，x>0))的零點(diǎn)是()A．(－1，0)，(9，0) B．－1，9C．(9，0) D．9答案B解析當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝eq\r(－x)－1＝0，解得x＝－1；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝log3x－2＝0，解得x＝9，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為－1，9.故選B.3．(2024·長(zhǎng)郡中學(xué)月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋log2x－m，則“函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零點(diǎn)”是“m∈(1，6)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析函數(shù)f(x)＝x＋log2x－m在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零點(diǎn)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)－m＜0，f(4)＝6－m＞0，解得－eq\f(1,2)＜m＜6，故“函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零點(diǎn)”是“m∈(1，6)”的必要不充分條件．故選B.4．(2024·惠州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的圖象，如圖所示．由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1)C．(－1，0) D．[－1，0)答案D解析當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝3x－1有一個(gè)零點(diǎn)x＝eq\f(1,3).因此當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝ex＋a＝0只有一個(gè)實(shí)根，∴a＝－ex(x≤0)，則－1≤a<0.6．(2023·海南華僑中學(xué)一模)關(guān)于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－a，0≤x<3.5，,b－x，x≥3.5，))其中a，b∈R，給出下列四個(gè)結(jié)論：甲：5是該函數(shù)的零點(diǎn)；乙：4是該函數(shù)的零點(diǎn)；丙：該函數(shù)的所有零點(diǎn)之積為0；?。悍匠蘤(x)＝1有兩個(gè)不等的實(shí)根．若上述四個(gè)結(jié)論中有且只有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，則該錯(cuò)誤的結(jié)論是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案B解析當(dāng)x∈[3.5，＋∞)時(shí)，f(x)＝b－x為減函數(shù)，故5和4只有一個(gè)是函數(shù)的零點(diǎn)，即甲、乙中有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，一個(gè)結(jié)論正確，故丙、丁均正確．由所有零點(diǎn)之積為0，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)知，必有一個(gè)零點(diǎn)為0，則f(0)＝log22－a＝0，可得a＝1.①若甲正確，則f(5)＝b－5＝0，則b＝5，可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－1，0≤x<3.5，,5－x，x≥3.5，))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有兩個(gè)不等的實(shí)根，故丁正確；②若乙正確，則f(4)＝0，即b－4＝0，則b＝4，可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－1，0≤x<3.5，,4－x，x≥3.5，))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，解得x＝2，方程f(x)＝1只有一個(gè)實(shí)根，故丁錯(cuò)誤，不滿足題意．綜上，甲正確，乙錯(cuò)誤．故選B.7．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logeq\s\do7(\f(1,2))x，h(x)＝log2x－eq\r(x)(0<x<10)的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系為()A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1答案D解析由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logeq\s\do7(\f(1,2))x＝0，h(x)＝log2x－eq\r(x)＝0，得2x＝－x，x＝logeq\s\do7(\f(1,2))x，log2x＝eq\r(x)，在平面直角坐標(biāo)系中分別作出y＝2x與y＝－x的圖象，y＝x與y＝logeq\s\do7(\f(1,2))x的圖象，y＝log2x與y＝eq\r(x)的圖象，由圖可知，－1<x1<0，0<x2<1，x3>1.所以x3>x2>x1.8．(2023·天津靜海區(qū)模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝2|x|－1，則函數(shù)F(x)＝f(x)－|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．9 B．10C．11 D．18答案B解析F(x)＝f(x)－|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是y＝f(x)，y＝|lgx|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出y＝f(x)，y＝|lgx|的圖象，如圖所示，由圖可得有10個(gè)交點(diǎn)，故F(x)＝f(x)－|lgx|有10個(gè)零點(diǎn)．故選B.二、多項(xiàng)選擇題9．某同學(xué)求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示：f(2)≈－1.307f(3)≈1.099f(2.5)≈－0.084f(2.75)≈0．512f(2.625)≈0．215f(2.5625)≈0．066則方程lnx＋2x－6＝0的近似解(精確度為0.1)可取為()A．2.52 B．2.56C．2.66 D．2.75答案AB解析由表格可知方程lnx＋2x－6＝0的解在(2.5，2.5625)內(nèi)，又|2.5625－2.5|＝0.0625<0.1，因此選項(xiàng)A中2.52符合，選項(xiàng)B中2.56也符合．故選AB.10．(2024·海南川綿中學(xué)月考)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石．布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾()，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個(gè)點(diǎn)x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是()A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－1，x≤1，,|2－x|，x＞1)) D．f(x)＝eq\f(1,x)－x答案BCD解析根據(jù)定義可知，若f(x)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則f(x)＝x有解．對(duì)于A，令2x＋x＝x，得2x＝0，此時(shí)無(wú)解，故f(x)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；對(duì)于B，令x2－x－3＝x，得x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；對(duì)于C，當(dāng)x≤1時(shí)，令2x2－1＝x，得x＝－eq\f(1,2)或x＝1，所以f(x)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；對(duì)于D，令eq\f(1,x)－x＝x，得x＝±eq\f(\r(2),2)，所以f(x)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．故選BCD.11．(2024·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x<0，,2x－2，x≥0，))若關(guān)于x的方程[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的可能取值是()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．2答案BC解析當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3－3x，則f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，作出f(x)的圖象，如圖所示．[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝[f(x)－a][f(x)－a－1]＝0，即f(x)＝a與f(x)＝a＋1共有6個(gè)不等實(shí)根，由圖可知，若使f(x)＝a與f(x)＝a＋1共有6個(gè)不等實(shí)根，只需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<2，,0<a＋1<2，))即0<a<1.故選BC.三、填空題12．(2023·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,x3，x<1，))若f(x0)＝－1，則x0＝________；若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案－1(0，1)解析解方程f(x0)＝－1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0≥1，,\f(1,x0)＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0<1，,xeq\o\al(3,0)＝－1，))解得x0＝－1.關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于y＝f(x)的圖象與直線y＝k有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖，作出y＝f(x)與y＝k的圖象，觀察圖象可知，當(dāng)0<k<1時(shí)，y＝f(x)的圖象與直線y＝k有兩個(gè)不同交點(diǎn)．即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0，1)．13．(2024·東城區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0≤x≤a，,log3x，x>a，))其中a>0.(1)若a＝3，則f(f(9))＝________；(2)若函數(shù)y＝f(x)－2有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．答案(1)eq\r(2)(2)[4，9)解析(1)當(dāng)a＝3時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0≤x≤3，,log3x，x>3，))則f(9)＝log39＝2，∴f(f(9))＝f(2)＝eq\r(2).(2)分別畫(huà)出y＝f(x)與y＝2的圖象，如圖所示，函數(shù)y＝f(x)－2有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象可得4≤a＜9，故a的取值范圍是[4，9)．14．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,x＋1)－2，x∈[0，1），,1－|x－3|，x∈[1，＋∞），))則函數(shù)F(x)＝f(x)－eq\f(