浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2024年新高一分班考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)軍中學(xué)新高一分班考數(shù)學(xué)卷一、選擇題：本大題有8個小題，每小題3分，共24分.1.下列四個命題：①平分弦的直徑垂直于弦；②在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等；③三角形有且只有一個外接圓；④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧.其中真命題的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理、確定圓的條件、垂徑定理，分別判斷即可.【詳解】①平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故①錯誤；②在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等或互補，故②錯誤；③三角形有且只有一個外接圓，是真命題；④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，是真命題，所以③④是真命題.故選：B.2.如圖，在2014年的體育中考中，某校6名學(xué)生的體育成績統(tǒng)計如圖，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、方差依次是（）A.28，28，1 B.28，27.5，3 C.28，28，3 D.28，27.5，1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖，列出這組數(shù)據(jù)，利用眾數(shù)、中位數(shù)、方差的定義和計算公式即得.【詳解】由統(tǒng)計圖可知，這組數(shù)據(jù)27,27,28,28,2830，顯然眾數(shù)為28，中位數(shù)為，平均數(shù)為：，則方差為：.故選：A.3.已知方程組的解滿足，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用表示出即可列出不等式求解得結(jié)果.【詳解】由方程組，得，即，而，因此，解得，所以a的取值范圍是.故選：A4.如圖，在直角△BAD中，延長斜邊BD到點C，使BD=2DC，連接AC，，則的值是（）A. B. C. D.15【答案】D【解析】【分析】過點作交的延長線于點，由tanB=，即，設(shè)，則，可得，進而求得，則求得的值.【詳解】如圖，過點作交的延長線于點，因為tanB=，即，設(shè)，則，因為，所以，所以，所以，所以.故選：D.5.如圖，在中，，四邊形均為正方形，點在上，點在上，為邊的中點，則的長為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由勾股定理可得，利用三角形相似可求得，，又，可得的方程，求解即可.【詳解】設(shè)，因為中，，所以，因為四邊形均為正方形，所以，所以，所以，因為為邊的中點，所以，所以，又所以，所以，解得.故選：C.6.如圖，正方形OABC的一個頂點O是平面直角坐標系的原點，頂點A，C分別在y軸和x軸上，P為邊OC上的一個動點，且，，當點P從點C運動到點O時，可知點Q始終在某函數(shù)圖象上運動，則其函數(shù)圖象是（）A.線段 B.圓弧 C.拋物線的一部分 D.不同于以上的不規(guī)則曲線【答案】A【解析】【分析】首先設(shè)正方形的邊長是a，則點B的坐標是，設(shè)點Q的坐標是，點P的坐標是;然后根據(jù)，，推得，再根據(jù)，可得，所以其函數(shù)圖象是線段.【詳解】設(shè)正方形的邊長是，則點的坐標是，設(shè)點的坐標是，點的坐標是，，，①，，，②，把①代入②，可得，整理,可得，，，，，，∴點Q在某函數(shù)圖象上運動，則其函數(shù)圖象是線段.故選:A.7.如圖，以點為圓心，為半徑的圓與軸交于A，B兩點，P是☉M上異于A，B的一動點，直線，分別交軸于點，，以為直徑的☉N與軸交于點E，F(xiàn)則EF的長為（）A. B. C.6 D.隨P點位置而變化【答案】C【解析】【分析】通過證明相似三角形的方法，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求得.【詳解】連接，設(shè)圓的半徑為，，則，，依題意，，，對頂角，所以，所以，所以，由垂徑定理得，所以.故選：C8.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為，且過點與，則下列說法中正確的是（）①當時，函數(shù)有最大值2；②當時，函數(shù)有最小值；③P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，則面積的最大值為；④對于非零實數(shù)m，當時，y都隨著x的增大而減小.A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由二次函數(shù)圖象的對稱軸為，且過點，得該圖象還過點，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，由圖象過點，得，解得，因此二次函數(shù)的解析式為，對于①，當時，，取得最大值2，①正確；對于②，當時，，取得最小值，②正確；對于③，設(shè)直線方程為，由，得，即直線：，過點作直線軸交于，設(shè)，取，則，此時面積為，③錯誤；對于④，當時，，當時，y隨著x的增大而增大，④錯誤，因此說法中正確的是①②.故選：A二、填空題：本大題有8個小題，每小題5分，共40分9.已知a是實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值是_______________.【答案】1【解析】【分析】由根式有意義，求出的范圍，結(jié)合等式特點求出的值，代入所求式計算即得.詳解】由有意義，可得，即，故，依題意，須使，即，此時，.故答案為：1.10.已知函數(shù)，下列說法：①方程必有實數(shù)根；②若移動函數(shù)圖象使其經(jīng)過原點，則只能將圖象向右移動1個單位；③當時，拋物線頂點在第三象限；④若，則當時，y隨著x的增大而增大，其中正確的序號是_______________.【答案】①③【解析】【分析】利用二次函數(shù)與軸的交點及二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷各個選項即得.【詳解】二次函數(shù)與軸交于點，對于①，方程化為，解得x=0或，①正確；對于②，將函數(shù)圖象向右移動1個單位或向右、向左平移個單位，所得函數(shù)圖象都過原點，②錯誤；對于③，當時，，拋物線開口向上，對稱軸，又與軸有兩個交點，則拋物線頂點在第三象限，③正確；對于④，取，拋物線的開口向下，對稱軸為，當時，y隨著x的增大而減小，④錯誤，所以正確的序號是①③.故答案為：①③11.如圖，是繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點C恰好落在AB上，且∠AOD的度數(shù)為90°，則∠B的度數(shù)是_______.【答案】60°【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形、直角三角形的知識求得正確答案.【詳解】依題意得，而，所以由于，所以.故答案為：60°12.如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點三角形（頂點都在格點上），則圖中與△ABC相似的最小的三角形與最大的三角形的面積比值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的知識求的正確答案.【詳解】不妨設(shè)小正方形的邊長為，則，則最小的三角形（最短的邊長為）邊長分別為，如下圖所示三角形，最大的三角形（最長的邊長為）的邊長分別為，如下圖所示三角形.最小的三角形與最大的三角形的相似比為，所以面積比為.故答案為：13.如圖，邊長為2的等邊的頂點A、B分別在的兩邊上滑動，當時，點O與點C的最大距離是________.【答案】【解析】【分析】取中點，確定取得最大值的條件，再結(jié)合直角三角形求解即得.【詳解】取中點，連接，由是等邊三角形，得，顯然，當且三點共線時取等號，此時，在上取點，使，連接，則，在等腰中，由，得，則，于是，所以點O與點C的最大距離是.故答案為：14.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點O是對角線AC，BD的交點，點E為邊CD的中點，連接BE，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連結(jié)OF，則OF的長為______.【答案】##【解析】【分析】在BE上截取，連接OG，證明≌，從而推出，繼而求出相關(guān)線段長，在等腰直角三角形OGF中即可求得答案.【詳解】在BE上截取，連接OG，四邊形為邊長為4的正方形，即，在中，，則，在中，，故≌，，故，故，又，故,由射影定理得，即，，又，故，則，在等腰直角三角形OGF中，，故答案為：15.如圖，矩形ABCD為☉O的內(nèi)接矩形，，點E為弧BC上一動點，把弓形沿AE折疊，使點O恰好落在弧AE上，則圖中陰影部分的面積為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意推出為等邊三角形，可得點B為弧AE所在圓的圓心，進而求出的長，結(jié)合扇形面積公式，即可求得答案.【詳解】連接，則交于O點，由，得，，故為等邊三角形，點B為弧AE所在圓的圓心；結(jié)合題意把弓形沿AE折疊，使點O恰好落在弧AE上，可知，，故陰影部分面積為，故答案為：16.已知A是雙曲線在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限，已知點C的位置始終在一函數(shù)圖象上運動，則這函數(shù)解析式是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得正確答案.【詳解】依題意，三角形是等邊三角形，連接，則是線段垂直平分線，，設(shè)，則，，而，所以，過作軸于點，則，設(shè)，則，整理得，在直角三角形中，，即，將代入上式得，整理得，在第四象限，得，則，所以，則，所以這函數(shù)的解析式是.故答案為：三、解答題：本大題有5個小題，共56分.17.如圖，已知∠A，請你僅用尺規(guī)，按下列要求作圖和計算（保留作圖痕跡，不寫畫法）：（1）選取適當?shù)倪呴L，在所給的∠A圖形上畫一個含∠A的直角三角形ABC，并標上字母，其中點C為直角頂點，點B為另一銳角頂點；（2）以AC為一邊作等邊△ACD；（3）若設(shè)∠A=30°，BC邊長為a，則BD的長為__________________.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）或【解析】【分析】（1）在一邊上任取一點C，然后過點C作AC的垂線與另一邊相交于點B，則即為所求作的三角形；（2）分別以A、C為圓心，以AC長為半徑畫弧，相交于點D，連接AD、CD則即為所求作等邊三角形；（3）根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長度，再利用勾股定理求出AC的長度，然后分兩種情況①點D在AC的下方時，作交BC的延長線于點E，求出DE、CE的長度，然后求出BE的長度，再利用勾股定理列式計算即可得解，②點D在AC的上方時，求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)對稱性可得與關(guān)于AB成軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得．【小問1詳解】如圖所示，為所求作的直角三角形（答案不唯一）；小問2詳解】如圖所示，為所求作的等邊三角形，有點在的上方與下方兩種情況；【小問3詳解】、邊長為，，根據(jù)勾股定理，，①點在的下方時，作交的延長線于點，則，，所以，，在中，；②點在的上方時，，，，，與關(guān)于成軸對稱，，，；綜上所述，的長度為或．18.如圖，PB為的切線，B為切點，過B做OP的垂線BA，垂足為C，交于點A，連接PA、AO，并延長AO交于點E，與PB的延長線交于點D.（1）求證：PA是的切線；（2）若，且OC=4，求PA的長和tanD的值.【答案】（1）證明見解析；（2），.【解析】【分析】（1）連接，利用圓的性質(zhì)及全等三角形性質(zhì)證得即可推理得證.（2）由（1）的信息，利用勾股定理及相似三角形性質(zhì)求出；連接，可得，再利用平行線推比例式求出，進而求出.【小問1詳解】連接，由，得是弦的中點，即垂直平分線段，于是，而，則≌，因此，又切于點，則，即，所以PA是的切線.【小問2詳解】由，，得，由（1）知，，又，則∽，因此，所以；由（1）得，，連接，由為的直徑，得，則，于是，即，解得，在中，.19.已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm.點P從點B出發(fā)，方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F(xiàn)；當直線EF停止運動時，點P也停止運動.連接PF，設(shè)運動時間為t（s）（）.解答下列問題：（1）當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（），求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）當時，四邊形APFD是平行四邊形（2）（3）存在，t=4【解析】【分析】（1）當時，四邊形為平行四邊形，用表示出，，列等式計算；（2）作高，利用面積相等求出的長，由圖可知：四邊形的面積四邊形的面積的面積；代入求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）先計算菱形的面積，再將（2）得到的代入到式子中，解出即可．【小問1詳解】四邊形為菱形，，，，，由題意可知：，，則，，，，，，由勾股定理得：，，，當時，四邊形為平行四邊形，則，；所以當時，四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】過作于，則，，，，則；【小問3詳解】存在，，，則，，解得：，（舍去），，符合題意，當時，．20.為控制H7N9病毒傳播，某地關(guān)閉活禽交易，冷凍雞肉銷量上升.某公司在春節(jié)期間采購冷凍雞肉60箱銷往城市和鄉(xiāng)鎮(zhèn).已知冷凍雞肉在城市銷售平均每箱的利潤y1（百元）與銷售數(shù)量x（箱）的關(guān)系為，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)銷售平均每箱的利潤（百元）與銷售數(shù)量t（箱）的關(guān)系為（1）t與x的關(guān)系是：將轉(zhuǎn)化為以x為自變量的函數(shù)，則等于？（2）設(shè)春節(jié)期間售完冷凍雞肉獲得總利潤W（百元）當在城市銷售量x（箱）的范圍是時，求W與x的關(guān)系式；（總利潤=在城市銷售利潤+在鄉(xiāng)鎮(zhèn)銷售利潤）（3）經(jīng)測算，在的范圍內(nèi)，可以獲得最大總利潤，并求出此時x的值.【答案】（1），；（2）；（3），最大382.5【解析】【分析】（1）將代入解析式可得；（2）根據(jù)自變量范圍，選擇相應(yīng)解析式計算最大利潤即可；（3）根據(jù)自變量范圍，選擇相應(yīng)解析式表示出，然后由二次函數(shù)性質(zhì)可得.【小問1詳解】由題知，，則，即.【小問2詳解】當在城市銷售量x（箱）的范圍是時，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)銷售量為，所以.【小問3詳解】當時，，由二次函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)開口向下且對稱軸為，當時，最大值（百元）.21.如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，點B的坐標為（6,6），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段