四川省蓉城名校高中2015級(jí)高三4月份聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

蓉城名校聯(lián)盟高中2015級(jí)高三4月聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A．B．C．D．2.下列有關(guān)命題的說(shuō)法一定正確的是（）A．命題“，”的否定是“，”B．若向量，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得C．若函數(shù)在上可導(dǎo)，則是為函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件D．若“”為真命題，則“”也為真命題3.某學(xué)校在高一新生入學(xué)后的一次體檢后為了解學(xué)生的體質(zhì)情況，決定從該校的名高一新生中采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)分析，已知樣本中第一個(gè)號(hào)為號(hào)，則抽取的第個(gè)學(xué)生為（）A．B．C．D．4.已知，是兩條直線，，是兩個(gè)平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則5.從名男生和名女生中隨機(jī)選取名學(xué)生去參加一項(xiàng)活動(dòng)，則至少有一名女生的抽法共有多少種（）A．B．C．D．6.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差均不為，且滿足，，成等比數(shù)列，則的值為（）A．B．C．D．7.已知，求的值是（）A．B．C．D．8.某程序框圖如圖所示，則輸出的結(jié)果為（）A．B．C．D．9.已知函數(shù)為定義上的奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，從區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)，則使不等式成立的概率為（）A．B．C．D．10.已知圓：，：，動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）A．B．C．D．11.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積為，則（）A．B．C．D．12.若存在，使得關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)將答案填在答題卡上）13.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則．14.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則在方向上的投影的最大值是．15.已知雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別為，，若是該雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，則離心率的取值范圍是．16.已知，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.若函數(shù)圖象上最高點(diǎn)與該最高點(diǎn)相鄰的圖象的對(duì)稱中心的距離為.（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）把圖象上所有的點(diǎn)先橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，的面積為，，，成等差數(shù)列，求的周長(zhǎng).18.某超市為調(diào)查會(huì)員某年度上半年的消費(fèi)情況制作了有獎(jiǎng)?wù){(diào)查問(wèn)卷發(fā)放給所有會(huì)員，并從參與調(diào)查的會(huì)員中隨機(jī)抽取名了解情況并給予物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì).調(diào)查發(fā)現(xiàn)抽取的名會(huì)員消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）都在區(qū)間內(nèi)，調(diào)查結(jié)果按消費(fèi)金額分成組，制作成如下的頻率分布直方圖.（1）求該名會(huì)員上半年消費(fèi)金額的平均值與中位數(shù)；（以各區(qū)間的中點(diǎn)值代表該區(qū)間的均值）（2）若再?gòu)倪@名會(huì)員中選出一名會(huì)員參加幸運(yùn)大抽獎(jiǎng)，幸運(yùn)大抽獎(jiǎng)方案如下：會(huì)員最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率均為，第一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)結(jié)束.若中獎(jiǎng)，則通過(guò)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng).規(guī)定：拋出的硬幣，若反面朝上，則會(huì)員獲得元獎(jiǎng)金，不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；若正面朝上，會(huì)員需進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，且在第二次抽獎(jiǎng)中，如果中獎(jiǎng)，則獲得獎(jiǎng)金元，如果未中獎(jiǎng)，則所獲得的獎(jiǎng)金為元.若參加幸運(yùn)大抽獎(jiǎng)的會(huì)員所獲獎(jiǎng)金（單位：元）用表示，求的分布列與期望值.19.如圖，在一個(gè)由等邊三角形和一個(gè)平行四邊形組成的平面圖形中，，，將沿邊折起，使得，在四棱錐中.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)是棱上的點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，求二面角的余弦值.20.已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，是其長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，是橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，若動(dòng)點(diǎn)在直線上，直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn).請(qǐng)問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍；（3）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果，且，證明：.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，當(dāng)直線被曲線截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，求的值.23.選修45：不等式選講已知函數(shù)，若，成立，且.（1）求的值；（2）若，且，，，求的最小值.

蓉城名校聯(lián)盟高中2015級(jí)高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案（理科）一、選擇題15:CCDBA610:ACBBA11、12：CB二、填空題13.14.15.16.三、解答題17.（1）由題意知，根據(jù)可得.根據(jù)，所以，則，根據(jù)解得，.綜上：最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由題意可知，根據(jù)，可得.由，則.由，則.由，，成等差數(shù)列，則，由，則，則，，所以周長(zhǎng).18.解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，所求平均數(shù)約為（萬(wàn)元），設(shè)所求中位數(shù)為萬(wàn)元，由，解得，所以該名會(huì)員上半年的消費(fèi)金額的平均數(shù)，中位數(shù)分別為萬(wàn)元，萬(wàn)元.（2）由題意可知，可能取值為，，.則，，.的分布列為：（元）.19.（1）證明：取中點(diǎn)為，連接，，根據(jù)是等邊三角形可得且，由，則，根據(jù)可得，由，∴平面，∴平面平面.（2）連接交于，連接，因平面，∴，又為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，得.由圖可知，平面的一個(gè)法向量，∴，∴二面角的余弦值為.20.解：（1）由題意知?jiǎng)t，設(shè)，，，則，由，則，則，則，由此可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則直線的方程為；則直線的方程為聯(lián)立得消去得：，則，即代入直線的方程得，故.聯(lián)立得消去得：，則，即代入直線的方程得，故.當(dāng)，即，則與軸交點(diǎn)為，當(dāng)，即時(shí)，下證直線過(guò)點(diǎn)，由，故直線過(guò)定點(diǎn).21.（1）根據(jù)，令，解得，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：遞減遞增∴函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；函數(shù)在處取的極小值，無(wú)極大值.（2）由，則，當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在和上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減.又，所以函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在和上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減.又，所以函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由，，令，解得，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：遞增遞減由，不妨設(shè)，根據(jù)結(jié)合圖象可知，，令，，則，∵，，∴，則，∴在單調(diào)遞增，