人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教案教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教案教學(xué)設(shè)計(jì)第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入如圖，現(xiàn)在要將一塊矩形綠地?cái)U(kuò)大，長(zhǎng)、寬各增加xm.若擴(kuò)大后的綠地的面積為936m2，求長(zhǎng)、寬各增加的長(zhǎng)度．引導(dǎo)學(xué)生分析：等量關(guān)系為_(kāi)_擴(kuò)大后的長(zhǎng)×寬＝擴(kuò)大后的面積__，則矩形的長(zhǎng)為_(kāi)_(30＋x)__m，寬為_(kāi)_(20＋x)__m．根據(jù)矩形的面積為936m2，得方程__(30＋x)(20＋x)＝936__．整理，得__x2＋50x－336＝0__．【歸納】一元二次方程是只含有__一個(gè)未知數(shù)x的整式__方程，并且都可以化成__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)__的形式．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)圖形的變化讓學(xué)生感知等量關(guān)系，通過(guò)整理所得到的方程的特征歸納出一元二次方程的定義．建議：講解一元二次方程定義要抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是整式方程；二是只含有一個(gè)未知數(shù)；三是未知數(shù)的最高次數(shù)是2.●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(教師)同學(xué)們，至今為止我們學(xué)習(xí)了哪些方程？它們都有什么特點(diǎn)？能舉例說(shuō)明嗎？類似于5x2＋4x－2＝0的方程我們學(xué)習(xí)過(guò)嗎？這類方程有什么特點(diǎn)？屬于什么方程呢？它們存在于我們的實(shí)際生活中嗎？下面我們一起探索新知——一元二次方程！【教學(xué)與建議】教學(xué)：復(fù)習(xí)回顧前面學(xué)過(guò)的一元一次方程，二元一次方程，分式方程，為繼續(xù)探索和學(xué)習(xí)一元二次方程的特點(diǎn)和定義做好鋪墊，同時(shí)對(duì)新方程產(chǎn)生疑問(wèn)，激發(fā)學(xué)生探索新知的興趣．建議：通過(guò)復(fù)習(xí)，讓學(xué)生明確“元”和“次”在方程中的含義．命題角度1根據(jù)定義判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程一元二次方程化簡(jiǎn)后的特征：①是整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【例1】(1)下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是(D)A．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0B．eq\f(1,x2)＋x＝2C．2x＝1D．2＋x2＝10(2)在下列方程中，是一元二次方程的有__①__．(填序號(hào))①3x2＋7＝10；②ax2＋bx＋c＝0；③(x－2)(x＋5)＝x2－1；④3x2－eq\f(5,x)＝0.命題角度2利用一元二次方程的定義求待定字母的值或取值范圍根據(jù)一元二次方程的定義可以求方程中待定字母的值或取值范圍．【例2】(1)若關(guān)于x的方程(a－1)x|a|＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，則(C)A．a(chǎn)≠±1B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝－1D．a(chǎn)＝±1(2)如果方程ax2－7＝x＋2是關(guān)于x的一元二次方程，則a__≠0__．命題角度3利用一元二次方程的根求待定字母或與待定字母相關(guān)的代數(shù)式的值一元二次方程的根就是方程的解，它能使方程左右兩邊相等．【例3】(1)若x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，則(C)A．a(chǎn)＋b＋c＝1B．a(chǎn)－b＋c＝0C．a(chǎn)＋b＋c＝0D．a(chǎn)－b－c＝0(2)關(guān)于x的一元二次方程(p－1)x2－x＋p2－1＝0有一個(gè)根為0，則實(shí)數(shù)p的值是__－1__．(3)若m是方程2x2－3x－1＝0的一個(gè)根，則6m2－9m＋2015的值為_(kāi)_2__018__．命題角度4根據(jù)等量關(guān)系列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題尋找等量關(guān)系，利用一元二次方程來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題(只列方程)．【例4】用一條長(zhǎng)100cm的繩子圍成一個(gè)面積為128cm2的矩形．設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm，則可列方程為(B)A．x(50＋x)＝128B．x(50－x)＝128C．x(100＋x)＝128D．x(100－x)＝128高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能將一元二次方程化成一般式，正確識(shí)別二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．2．會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根．3．經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型．▲重點(diǎn)理解一元二次方程的概念，認(rèn)識(shí)一元二次方程的一般形式．▲難點(diǎn)1．在一元二次方程化成一般形式后，如何確定一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)．2．從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．你能舉例說(shuō)出一元一次方程的概念嗎？解：如2019＋18x＝2020這樣只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程．2．下列是一元一次方程的是：__①④__．(填序號(hào))①x－1＝2x＋1；②x－3；③4x＋3y＝1；④x2－x(x＋1)＝0.◆活動(dòng)2探究新知1．教材P2問(wèn)題1.提出問(wèn)題：(1)本問(wèn)題中的等量關(guān)系是什么？應(yīng)該設(shè)哪個(gè)量為未知數(shù)？(2)若設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則盒底的長(zhǎng)為_(kāi)_(100－2x)__cm，寬為_(kāi)_(50－2x)__cm；(3)請(qǐng)根據(jù)題意列出方程，你能化簡(jiǎn)該方程嗎？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P2問(wèn)題2.提出問(wèn)題：(1)說(shuō)說(shuō)“每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間比賽一場(chǎng)”的含義，甲隊(duì)對(duì)乙隊(duì)和乙隊(duì)對(duì)甲隊(duì)的比賽是同一場(chǎng)比賽嗎？(2)問(wèn)題中比賽總場(chǎng)次是多少？等量關(guān)系是什么？(3)請(qǐng)?jiān)O(shè)出未知數(shù)，列出方程式，并將所列方程化簡(jiǎn)．學(xué)生完成并交流展示．3．小明用30cm的鐵絲圍成一斜邊長(zhǎng)等于13cm的直角三角形，求該直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)．提出問(wèn)題：本題必須設(shè)兩個(gè)未知數(shù)嗎？如果只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，那么方程應(yīng)該怎樣列？◆活動(dòng)3知識(shí)歸納提出問(wèn)題：(1)請(qǐng)談?wù)勆鲜龇匠逃惺裁垂餐攸c(diǎn)；(2)歸納一元二次方程的概念．1．等號(hào)兩邊都是__整式__，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是__2__的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__，其中__ax2__是二次項(xiàng)，__a__是二次項(xiàng)系數(shù)；__bx__是一次項(xiàng)，__b__是一次項(xiàng)系數(shù)；__c__是常數(shù)項(xiàng)．提出問(wèn)題：(1)二次項(xiàng)系數(shù)a為什么不能為0?(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，a，b，c可以是些什么樣的數(shù)？3．方程－x2＋3x＝0中二次項(xiàng)系數(shù)是__－1__，一次項(xiàng)系數(shù)是__3__，常數(shù)項(xiàng)是__0__．4．使一元二次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的__解__，也叫做一元二次方程的__根__．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1判斷下列各方程是不是一元二次方程．①x2－3xy＋4y2＝0；②y2＝3y＋2；③x＋eq\f(1,x2)－3＝0.解：②是，①③不是．例2將方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．解：一般形式為3x2－8x－10＝0.其中二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為－8，常數(shù)項(xiàng)為－10.例3已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代數(shù)式4a2＋2a的值.解：由已知得2a2＋a－2＝0，∴2a2＋a＝2，∴4a2＋2a＝4.練習(xí)1．教材P4練習(xí)第1，2題．2．(教材P4T3變式)下列數(shù)：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有(B)A.1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．若關(guān)于x的方程(m－1)xm2＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，則此一元二次方程為_(kāi)_－2x2－3x＋2＝0__．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些知識(shí)？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你會(huì)解一元二次方程嗎？1．作業(yè)布置(1)教材P4習(xí)題21.1第1，2，3題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思21.2解一元二次方程21．2.1配方法第1課時(shí)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入如圖，將邊長(zhǎng)為x的正方形沿兩邊剪去兩個(gè)寬度相同的矩形(陰影部分)，剩下的部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形，剪去部分的面積為7，求x的值．【分析】設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是xm．由題意列方程，得x2－7＝9.【思考】你會(huì)利用平方根的知識(shí)解這個(gè)方程嗎？【解】設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xm.由題意，得x2＝16.根據(jù)平方根的意義，得x＝±eq\r(16)＝±4，∴原方程的解是x1＝4，x2＝－4.∵邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù)，∴x＝4.即這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是4m.【教學(xué)與建議】教學(xué)：用學(xué)生身邊的實(shí)際問(wèn)題引入新課，激發(fā)學(xué)生的積極性，同時(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并用之于生活．建議：講解解方程的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生用平方根的知識(shí)求解．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)如果x2＝a，那么x叫做a的__平方根__；求一個(gè)數(shù)a的__平方根__的運(yùn)算叫做開(kāi)平方．非負(fù)數(shù)a的平方根為_(kāi)_±eq\r(a)__，非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根為_(kāi)_eq\r(a)__．(2)0.36的平方根是__±0.6__；18的平方根是__±3eq\r(2)__；若x2＝5，則x＝__±eq\r(5)__．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)對(duì)平方根、開(kāi)平方的復(fù)習(xí)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)直接開(kāi)平方法，起到承上啟下的作用．建議：在復(fù)習(xí)中，讓學(xué)生明確平方根、算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系，掌握求平方根的方法．命題角度用直接開(kāi)平方法解一元二次方程形如x2＝p(p≥0)的形式，可得x＝±eq\r(p)；如果方程化成(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得nx＋m＝±eq\r(p).【例1】解下列方程：(1)(x－2)2－13＝108；解：(x－2)2＝121，x－2＝±11.解得x1＝13，x2＝－9；(2)x2＋10x＋25＝2.解：(x＋5)2＝2，x＋5＝±eq\r(2).解得x1＝eq\r(2)－5，x2＝－eq\r(2)－5.【例2】用配方法解x2－4x＝5的過(guò)程中，配方正確的是(D)A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝9【例3】4x2－20x＋m2是一個(gè)完全平方式，則m＝__±5__．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．會(huì)利用開(kāi)平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程．2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法．3．能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性．▲重點(diǎn)運(yùn)用直接開(kāi)平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．▲難點(diǎn)通過(guò)平方根的意義解形如x2＝p(p≥0)的方程，將知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入求下列各數(shù)的平方根：(1)144；(2)eq\f(36,49).解：原式＝±12;解：原式＝±eq\f(6,7).◆活動(dòng)2探究新知1．教材P5問(wèn)題1.提出問(wèn)題：(1)一個(gè)正方體有幾個(gè)面？若一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為xdm，則這個(gè)正方體的表面積是多少？(2)本題中的等量關(guān)系是什么？請(qǐng)概括該等量關(guān)系，列出方程；(3)你能根據(jù)平方根的意義解方程x2＝25嗎？本題中負(fù)值為什么要舍去？學(xué)生完成并交流展示．2.教材P6第1個(gè)探究．提出問(wèn)題：(1)(__±eq\r(5)__)2＝5，據(jù)此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？(2)可考慮令y＝x＋3，則方程變?yōu)閥2＝5，先解出y的值，再求x的值；(3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪兩個(gè)一元一次方程？(4)上述所解方程有什么共同點(diǎn)？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．一般地，對(duì)于方程x2＝p，(1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)__不相等__的實(shí)數(shù)根__x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)__；(2)當(dāng)p＝0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)__相等__的實(shí)數(shù)根__x1＝x2＝0__；(3)當(dāng)p＜0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程__無(wú)__實(shí)數(shù)根．提出問(wèn)題：(1)一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次是如何轉(zhuǎn)化為一次的？(2)請(qǐng)談?wù)勅绾谓荡危?．直接開(kāi)平方，把一元二次方程“降次”化為_(kāi)_兩個(gè)一元一次__方程．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1解方程：(1)x2－36＝0；(2)2y2＝100；(3)16p2－5＝0.解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)y1＝5eq\r(2)，y2＝－5eq\r(2)；(3)p1＝eq\f(\r(5),4)，p2＝－eq\f(\r(5),4).例2解方程：(1)2(2x－1)2－10＝0；(2)y2－4y＋4＝8；(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.解：(1)由2(2x－1)2－10＝0得(2x－1)2＝5，直接開(kāi)平方得2x－1＝±eq\r(5)，∴原方程的根為x1＝eq\f(1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(1－\r(5),2)；(2)原方程可化為(y－2)2＝8，直接開(kāi)平方得y－2＝±2eq\r(2)，∴原方程的根為y1＝2＋2eq\r(2)，y2＝2－2eq\r(2)；(3)原方程可化為4(3x－1)2＝9(3x＋1)2，兩邊開(kāi)平方得2(3x－1)＝±3(3x＋1)，∴2(3x－1)＝3(3x＋1)或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，∴x1＝－eq\f(5,3)，x2＝－eq\f(1,15).例3已知方程(x－3)2＝k2＋5的一個(gè)根是x＝6，求k的值和另一個(gè)根．解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一個(gè)根是x＝6，∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2，∴原方程為(x－3)2＝9，∴另一個(gè)根為x＝0.練習(xí)1．教材P6練習(xí)．2．若x2－2xy＋y2＝4，則x－y的值為(C)A．2B．－2C．±2D．不能確定3．若實(shí)數(shù)a，b滿足(a2＋b2－3)2＝25，則a2＋b2的值為(A)A．8B．8或－2C．－2D．284．若代數(shù)式2x2＋3與2x2－4的值互為相反數(shù)，則x＝__±eq\f(1,2)__．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．本堂課解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，由平方根的定義將其降次為mx＋n＝±eq\r(p)，再解兩個(gè)一次方程即可求得解．2．用直接開(kāi)平方法解一元二次方程的基本思想是降次．1．作業(yè)布置(1)教材P16習(xí)題21.2第1題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思第2課時(shí)用配方法解一元二次方程教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入李老師讓學(xué)生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同學(xué)們都束手無(wú)策，學(xué)習(xí)委員蔡亮考慮了一下，在方程兩邊同時(shí)加上14，再把方程左邊用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出這個(gè)方程的解嗎？從中你能得到什么啟示？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)情境引入對(duì)一個(gè)陌生一元二次方程的求解方法，讓學(xué)生經(jīng)歷用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的過(guò)程，體會(huì)其中的化歸思想．建議：講解時(shí)讓學(xué)生明白方程兩邊同時(shí)加14的目的，體會(huì)等式的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．【歸納】當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，方程兩邊同時(shí)加一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入能用直接開(kāi)平方法求解的一元二次方程有什么特點(diǎn)？試解下列方程：①(x＋3)2＝5；②x2＋6x＋9＝1，說(shuō)一說(shuō)這兩個(gè)方程的求解過(guò)程有何異同？(1)回顧完全平方公式，并完成填空．①x2＋4x＋__4__＝(x＋__2__)2；②x2－10x＋__25__＝(x－__5__)2；③x2＋mx＋__eq\f(m2,4)__＝(x＋eq\f(m,2))2.觀察問(wèn)題：各式中的常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)的系數(shù)有什么關(guān)系？教師點(diǎn)撥：常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．(2)根據(jù)方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生明確能用直接開(kāi)平方法求解的方程的特點(diǎn)和完全平方公式的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)開(kāi)平方解一元二次方程的可行性．建議：整個(gè)復(fù)習(xí)過(guò)程讓學(xué)生充分參與，相互配合．命題角度1配方根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將一個(gè)二次三項(xiàng)式或一元二次方程配成含完全平方式的形式．【例1】(1)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正確的是(C)A．(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(13,4)B．(x－eq\f(3,4))2＝eq\f(1,2)C．(x－eq\f(3,4))2＝eq\f(17,16)D．(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(11,4)(2)如果x2－8x＋m＝0可以通過(guò)配方寫(xiě)成(x－n)2＝6的形式，那么x2＋8x＋m＝0可以配方成(D)A．(x－n＋5)2＝1B．(x＋n)2＝1C．(x－n＋5)2＝11D．(x＋n)2＝6命題角度2用配方法解一元二次方程一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，原方程變形為(x＋m)2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法解方程．【例2】用配方法解下列方程：(1)x2＋2x－4＝0；解：移項(xiàng)，得x2＋2x＝4.配方，得x2＋2x＋12＝4＋12，(x＋1)2＝5.由此可得x＋1＝±eq\r(5)，x1＝－1＋eq\r(5)，x2＝－1－eq\r(5)；(2)2x2－6x－1＝0.解：移項(xiàng)，得2x2－6x＝1.二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2－3x＝eq\f(1,2).配方，得x2－3x＋(eq\f(3,2))2＝eq\f(1,2)＋(eq\f(3,2))2，(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(11,4).由此可得x－eq\f(3,2)＝±eq\f(\r(11),2)，x1＝eq\f(3＋\r(11),2)，x2＝eq\f(3－\r(11),2).命題角度3用配方法求字母或代數(shù)式的值用配方法，將一個(gè)等式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)數(shù)或式的和為0的形式．【例3】(1)若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，則△ABC的形狀是__等邊三角形__．(2)已知5x2＋3y2－20x－6y＋23＝0.求yx的值．解：原式可變形為(5x2－20x＋20)＋(3y2－6y＋3)＝0，配方，得5(x－2)2＋3(y－1)2＝0，則x－2＝0，y－1＝0，解得x＝2，y＝1，故yx＝12＝1.命題角度4用配方法進(jìn)行說(shuō)理理解配方法的關(guān)鍵點(diǎn)是“一個(gè)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)”和“利用完全平方公式配方”．【例4】我們知道：任何有理數(shù)的平方都是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即對(duì)于任何有理數(shù)，都有a2≥0成立，所以當(dāng)a＝0時(shí)，a2有最小值為0.【應(yīng)用】(1)當(dāng)x＝__1__時(shí)，代數(shù)式(x－1)2有最小值；(2)代數(shù)式m2＋3的最小值是__3__；【探究】求代數(shù)式n2＋4n＋9的最小值，小明是這樣做的：n2＋4n＋9＝n2＋4n＋4＋5＝(n＋2)2＋5，∴當(dāng)n＝－2時(shí)，代數(shù)式n2＋4n＋9有最小值，最小值為5.(3)請(qǐng)你參照小明的方法，求代數(shù)式a2－6a－3的最小值，并求此時(shí)a的值．解：a2－6a－3＝a2－6a＋9－9－3＝(a－3)2－12.∵(a－3)2≥0，∴(a－3)2－12≥－12，∴當(dāng)a＝3時(shí)，代數(shù)式a2－6a－3取得最小值，最小值為－12.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．掌握配方法和指導(dǎo)過(guò)程，能使用配方法解一元二次方程．2．通過(guò)降次的思想解方程，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能．▲重點(diǎn)配方法的解題步驟．▲難點(diǎn)用配方法解系數(shù)不為1的一元二次方程．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．填空：(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；(2)x2－5x＋(__eq\f(5,2)__)2＝(x－__eq\f(5,2)__)2；(3)x2＋x＋(__eq\f(1,2)__)2＝(x＋__eq\f(1,2)__)2.2．若x2－mx＋64是一個(gè)完全平方式，則m的值是__±16__．◆活動(dòng)2探究新知1．教材P6第2個(gè)探究．提出問(wèn)題：(1)請(qǐng)把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后與所探究中的方程進(jìn)行比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？(2)如何將方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？(3)把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊之后，為什么要在x2＋6x＝－4的兩邊都加上9？加其他數(shù)行嗎？(4)通過(guò)x2＋6x＋4＝0的解題過(guò)程，你能說(shuō)說(shuō)配方的一般步驟是什么嗎？配方的關(guān)鍵是什么嗎？學(xué)生完成并交流展示．2．解方程3x2－2x－1＝0.提出問(wèn)題：(1)如果一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1，還能用配方法來(lái)解嗎？(2)請(qǐng)將方程3x2－2x－1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，并嘗試解此方程；(3)由此請(qǐng)你再歸納一下用配方法解一元二次方程的一般步驟．學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．通過(guò)配成__完全平方__形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法．2．對(duì)于任意一元二次方程，用配方法解的一般步驟：①先化成__一般形式__；②將常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊；③兩邊除以__二次項(xiàng)系數(shù)__；④方程兩邊都加上__一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方__；⑤將等式左邊化成__完全平方形式__；⑥兩邊開(kāi)方，并求出方程的解．提出問(wèn)題：(1)配方過(guò)程中，在等式兩邊加上的常數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系如何？(2)配方過(guò)程中，若等號(hào)右邊為負(fù)數(shù)，這個(gè)方程有沒(méi)有實(shí)數(shù)根？(3)配方過(guò)程中還需注意哪些問(wèn)題？◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1教材P7例1.例2求證：無(wú)論x為何值，代數(shù)式2x2－4x＋3的值恒大于0.證明：2x2－4x＋3＝2(x2－2x＋eq\f(3,2))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－1）2＋\f(1,2)))＝2(x－1)2＋1.∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋1＞0，∴無(wú)論x為何值，代數(shù)式2x2－4x＋3的值恒大于0.提出問(wèn)題：二次三項(xiàng)式的配方與一元二次方程的配方有什么區(qū)別，請(qǐng)指出具體區(qū)別在什么地方？學(xué)生回答，教師強(qiáng)調(diào)：二次三項(xiàng)式配方時(shí)，不能除以二次項(xiàng)的系數(shù)，只能提取二次項(xiàng)的系數(shù)，并添上括號(hào)，再用配方法構(gòu)造一個(gè)完全平方式；而一元二次方程配方時(shí)，兩邊除以二次項(xiàng)系數(shù)后，再用配方法構(gòu)造一個(gè)完全平方式．練習(xí)1．教材P9練習(xí)第1，2題．2．代數(shù)式x2－8x＋18的值(A)A．恒為正B．恒為負(fù)C．可能為0D．不能確定3．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，則m＝__eq\f(3,2)__，k＝__eq\f(11,4)__．4．式子－x2－4x－5，可配方為－(x＋__2__)2__－1__，該式有最__大__值，是__－1__．5．試證明：無(wú)論a為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程．證明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，∴無(wú)論a為何實(shí)數(shù)，該方程都是一元二次方程．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也可通過(guò)配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負(fù)性，在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到．1．作業(yè)布置(1)教材P17習(xí)題21.2第2，3題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思21.2.2公式法教師備課素材示例●類比導(dǎo)入解下列一元二次方程：(1)x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－7x＋1＝0；(3)5x2－15x＋14＝0；(4)2x2＋6x＋15＝0.然后讓學(xué)生仔細(xì)觀察四個(gè)方程的解答過(guò)程，由此發(fā)現(xiàn)有什么相同之處，有什么不同之處？接著再改變上面每個(gè)方程的其中一個(gè)系數(shù)，得到四個(gè)新的方程：(1)2x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－5x＋1＝0；(3)5x2－15x－40＝0；(4)2x2＋x＋15＝0.問(wèn)題1：新方程與原方程的解答過(guò)程相比，有什么變化？【歸納】用配方法解不同的一元二次方程的過(guò)程中，相同之處是配方的過(guò)程(程序化的操作)，不同之處是方程的根的情況及其方程的根.問(wèn)題2：既然過(guò)程是相同的，為什么根會(huì)不同？方程的根與什么有關(guān)？有怎樣的關(guān)系？如何進(jìn)一步探究？【歸納】因?yàn)橄禂?shù)發(fā)生了變化，所以根會(huì)不同．方程的根與系數(shù)有關(guān)系．【教學(xué)與建議】教學(xué)：①?gòu)?fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下更好的基礎(chǔ)；②讓學(xué)生充分感受用配方法解各種題型；③引導(dǎo)學(xué)生感受、猜測(cè)方程的根與系數(shù)有一定的關(guān)系．建議：在學(xué)生利用配方法解一元二次方程時(shí)，分組解答．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入提問(wèn)：怎樣用配方法解一元二次方程？(1)①移項(xiàng)；②化二次項(xiàng)系數(shù)為1；③方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；④原方程變形為(x＋m)2＝n的形式；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開(kāi)平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無(wú)解．(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).移項(xiàng)，得__ax2＋bx＝－c__．二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得__x2＋eq\f(b,a)x＝－eq\f(c,a)__．配方，得__x2＋eq\f(b,a)x＋(eq\f(b,2a))2＝－eq\f(c,a)＋(eq\f(b,2a))2__，即(x＋eq\f(b,2a))2＝eq\f(b2－4ac,4a2).因?yàn)閍≠0，所以4a2＞0.當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，得__x＋eq\f(b,2a)＝±eq\f(\r(b2－4ac),2a)__，所以__x＝－eq\f(b,2a)±eq\f(\r(b2－4ac),2a)__，即x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a).當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，得x1＝x2＝－eq\f(b,2a).當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【教學(xué)與建議】教學(xué)：讓學(xué)生回顧舊知，加深對(duì)配方法的理解．建議：全班同學(xué)在練習(xí)本上運(yùn)算，請(qǐng)兩名小組代表去黑板上練習(xí)．命題角度1利用b2－4ac判斷一元二次方程根的情況用式子b2－4ac判斷方程根的情況：若b2－4ac＞0，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；若b2－4ac＝0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若b2－4ac＜0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【例1】(1)一元二次方程x2－2x－1＝0根的情況是(D)A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)不解方程，直接判定下列一元二次方程根的情況．①2x2＋3x－4＝0;②3x2＋2＝2eq\r(6)x.解：①Δ＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②方程化為一般式為3x2－2eq\r(6)x＋2＝0，Δ＝(－2eq\r(6))2－4×3×2＝0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．命題角度2利用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程時(shí)，先將方程化為一般形式，再代入公式，判斷b2－4ac與0的大小關(guān)系，最后代入公式求根．【例2】解方程：16x2＋8x＝3.解：方程化為16x2＋8x－3＝0.a＝16，b＝8，c＝－3.Δ＝b2－4ac＝82－4×16×(－3)＝256＞0.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(－8±16,2×16)＝eq\f(－1±2,4)，即x1＝eq\f(1,4)，x2＝－eq\f(3,4).命題角度3根據(jù)方程根的情況求字母系數(shù)的值或取值范圍利用方程根的情況與b2－4ac的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系確定字母系數(shù)的值或取值范圍．【例3】(1)若關(guān)于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為(B)A．m≤eq\f(9,4)B．m＜eq\f(9,4)C．m≤eq\f(4,9)D．m＞eq\f(4,9)(2)若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為_(kāi)_－1__．(3)若關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x＋2＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是__m≤eq\f(17,8)且m≠1__．命題角度4一元二次方程根的判別式的實(shí)際應(yīng)用在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，利用根的判別式判斷一元二次方程解的情況.【例4】小林準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作試驗(yàn)：把一根長(zhǎng)為20dm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個(gè)正方形．小峰對(duì)小林說(shuō)：“這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于12dm2.”他的說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：小峰的說(shuō)法是對(duì)的．理由如下：假設(shè)這兩個(gè)正方形的面積之和可以等于12dm2.設(shè)此時(shí)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xdm，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是(5－x)dm.由題意可得x2＋(5－x)2＝12.化簡(jiǎn)，得2x2－10x＋13＝0.∵b2－4ac＝(－10)2－4×2×13＝－4<0，∴此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴小峰的說(shuō)法是對(duì)的．考古結(jié)果表明，在大約公元前2000年，由于生產(chǎn)的需要，古巴比倫人就能解部分較為特殊的一元二次方程了，公元前300年左右，歐幾里得提出了抽象的圖解法來(lái)解一元二次方程，但缺陷是只能求正根．公元前250年左右，丟番圖在《算術(shù)》中提出一元二次方程問(wèn)題，但是當(dāng)時(shí)的人們未找到它的求根公式．公元7世紀(jì)，印度的婆羅摩笈多首次使用代數(shù)方法解出一元二次方程，且同時(shí)容許有正負(fù)數(shù)的根．公元8世紀(jì)，阿拉伯的花拉子米獨(dú)立地發(fā)展了一套公式來(lái)求方程的正數(shù)解，并首次提出了方程一般解法，薩瓦索達(dá)在Liberembadorum中首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲．我國(guó)是世界最早研究一元二次方程的國(guó)家之一．約公元前480年，中國(guó)人已經(jīng)使用配方法求得了方程的正根．《九章算術(shù)》“勾股”章里就有涉及求方程x2＋34x－71000＝0的正根的問(wèn)題．三國(guó)時(shí)期趙爽巧妙應(yīng)用出入相補(bǔ)原理，從幾何直觀出發(fā)，在《勾股圓方圖注》中列出了關(guān)于直角三角形三邊關(guān)系和引申的有關(guān)二次方程的命題和結(jié)果．公元729年唐朝天文學(xué)家張遂在《大衍歷》中，用文字?jǐn)⑹鼋o出了一元二次方程x2＋px＋q＝0(p＞0，q＜0)的求根公式．宋朝著名數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除捷法》(1275年)一書(shū)中，詳細(xì)記載了一元二次方程的四種解法(含配方法)．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)．2．會(huì)用求根公式解簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．▲重點(diǎn)求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用．▲難點(diǎn)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x－5＝0.解：(1)x1＝－1，x2＝－2；(2)x1＝－1，x2＝eq\f(5,2).任何一個(gè)一元二次方程都可以寫(xiě)成ax2＋bx＋c＝0的形式，我們是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，該怎樣做？◆活動(dòng)2探究新知教材P9探究．提出問(wèn)題：(1)運(yùn)用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？(2)請(qǐng)結(jié)合“步驟”解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，移項(xiàng)得__ax2＋bx＝－c__，二次項(xiàng)系數(shù)化為1得__x2＋eq\f(b,a)x＝－eq\f(c,a)__，兩邊同時(shí)加一次項(xiàng)系數(shù)一半平方得__x2＋eq\f(b,a)x＋eq\f(b2,4a2)＝eq\f(b2,4a2)－eq\f(c,a)__．左邊寫(xiě)成完全平方式，右邊整理得__(x＋eq\f(b,2a))2＝eq\f(b2－4ac,4a2)__；(3)(x＋eq\f(b,2a))2＝eq\f(b2－4ac,4a2)兩邊能直接開(kāi)平方求解嗎？為什么？你覺(jué)得應(yīng)該怎么辦？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，當(dāng)__b2－4ac≥0__時(shí)，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)，這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式__．2．式子__b2－4ac__叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判別式．Δ＞0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根__；Δ＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根__；Δ＜0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__沒(méi)有實(shí)數(shù)根__．提出問(wèn)題：(1)一元二次方程根的情況是由什么決定的？(2)用公式法解一元二次方程的一般步驟是什么？需要注意什么問(wèn)題？◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1教材P11例2.例2不解方程，判斷下列方程的根的情況．(1)x2－2x＋1＝0；(2)3x2＋4x＋5＝0；(3)－x2＋7x＋6＝0.解：(1)b2－4ac＝0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(2)b2－4ac＝－44＜0，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根；(3)b2－4ac＝73＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．例3關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的m的值，并求此時(shí)方程的根．解：(1)依題意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞－eq\f(5,4)；(2)答案不唯一，如：m＝1.此時(shí)方程為x2＋3x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.練習(xí)1．教材P12練習(xí)第1，2題．2．關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則(B)A．k＝－4B．k＝4C．k≥－4D．k≥43．關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情況是(D)A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根4．若關(guān)于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__m＞－4__．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．求根公式的概念及其推導(dǎo)過(guò)程．2．公式法的概念．3．運(yùn)用公式法解一元二次方程的步驟：(1)將所給的方程化成一般形式，注意移項(xiàng)要變號(hào)，盡量讓a＞0；(2)找出系數(shù)a，b，c，注意各項(xiàng)系數(shù)及符號(hào)；(3)計(jì)算b2－4ac的值，若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程無(wú)解；若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式算出結(jié)果．1．作業(yè)布置(1)教材P17習(xí)題21.2第4，5題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思21.2.3因式分解法教師備課素材示例●類比導(dǎo)入在新城區(qū)規(guī)劃建設(shè)過(guò)程中，測(cè)量土地時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一塊正方形土地和一塊矩形土地，矩形土地的寬和正方形土地的邊長(zhǎng)相等，矩形土地的長(zhǎng)為90m，測(cè)量人員說(shuō)：“正方形土地的面積是矩形土地面積的eq\f(1,3).”你能幫助工作人員計(jì)算一下正方形土地的面積嗎？【分析】設(shè)正方形土地的邊長(zhǎng)為xm．根據(jù)題意，得x2＝eq\f(1,3)×90x.這個(gè)方程可以用配方法或公式法來(lái)解決．因?yàn)榉匠蘹2＝eq\f(1,3)×90x沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，有共同的因式x，可以用因式分解法求解．【歸納】用因式分解將方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式．【教學(xué)與建議】教學(xué)：類比已學(xué)過(guò)的一元二次方程的解法，探求更簡(jiǎn)便的解法，引入因式分解法．建議：利用具體問(wèn)題列出了一元二次方程后，可以讓學(xué)生思考怎樣解答．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.根據(jù)要求解下列方程：(1)x2－6x＝0(公式法)；(2)4x(x－2)－5(x－2)＝0(配方法)；(3)9y2－25＝0(直接開(kāi)平方法)．2．對(duì)下列式子進(jìn)行因式分解：(1)x2－x＝__x(x－1)__；(2)4x2－64＝__4(x＋4)(x－4)__；(3)x2＋8x＋16＝__(x＋4)2__；(4)3x2－12x＋12＝__3(x－2)2__；(5)x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；(6)x2－8x－20＝__(x＋2)(x－10)__．3．若a·b＝0，則a＝0或b＝0.根據(jù)這一性質(zhì)，你能快速解出下列方程嗎？(1)x2－6x＝0；解：x(x－6)＝0，x1＝0，x2＝6；(2)4x(x－2)－5(x－2)＝0；解：(x－2)(4x－5)＝0，x1＝2，x2＝eq\f(5,4)；(3)9y2－25＝0.解：(3y＋5)(3y－5)＝0，y1＝－eq\f(5,3)，y2＝eq\f(5,3).【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)復(fù)習(xí)解方程和因式分解的方法，再根據(jù)a·b＝0得到a＝0或b＝0的性質(zhì)嘗試分解因式解方程，講解因式分解法．建議：讓學(xué)生理解用因式分解法解一元二次方程的原理和特點(diǎn)．命題角度利用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程，其原理就是利用因式分解，把一元二次方程降次為兩個(gè)一元一次方程．【例1】解下列一元二次方程．(1)(x＋4)2＝5(x＋4)；(2)y2－16＝0；(3)9m2－(m＋1)2＝0.解：(1)x1＝－4，x2＝1；(2)y1＝4，y2＝－4；(3)m1＝－eq\f(1,4)，m2＝eq\f(1,2).【例2】選擇合適的方法解下列一元二次方程：(1)x2－2x＝99；(2)3x2＋5x－4＝0；(3)x2＋8x－9＝0.解：(1)x1＝－9，x2＝11；(2)x1＝eq\f(－5＋\r(73),6)，x2＝eq\f(－5－\r(73),6)；(3)x1＝1，x2＝－9.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．會(huì)用因式分解法解某些簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．2．進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋攸c(diǎn)用因式分解法解一元二次方程．▲難點(diǎn)讓學(xué)生通過(guò)比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題簡(jiǎn)便.◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．若ab＝0，則__a＝0或b＝0__；若(x－a)(x－b)＝0，則方程的根為_(kāi)_x1＝a，x2＝b__．2．分解因式：(1)2x2－2x＝__2x(x－1)__；(2)9x2＋12x＋4＝__(3x＋2)2__．3．將一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，通常有哪幾種方法呢？(1)提公因式法：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；(2)公式法：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__，a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．◆活動(dòng)2探究新知1．教材P12問(wèn)題2.提出問(wèn)題：(1)物體落回地面是什么含義？(2)結(jié)合物體落回地面的含義，請(qǐng)列出方程；(3)如何解方程10x－4.9x2＝0？(要求同學(xué)們嘗試用配方法或公式法解)(4)方程10x－4.9x2＝0有更簡(jiǎn)便的解法嗎？學(xué)生完成并交流展示．2．解方程：①3x2＋x＝0；②4x2＝－8x.提出問(wèn)題：(1)方程3x2＋x＝0中有常數(shù)項(xiàng)嗎？方程左邊可用何種方法分解因式？如何解該方程？(2)②中方程整理后與①中方程特征相同嗎？請(qǐng)解此方程；(3)如何用因式分解法解一元二次方程？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納提出問(wèn)題：(1)上述方程的解法中運(yùn)用了什么方法？(2)如何利用由“a·b＝0，得a＝0或b＝0”使二次降為一次？(3)由ab＝1，得a＝1或b＝1是否成立？說(shuō)明理由；(4)什么叫因式分解法？利用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是什么？1．對(duì)于一元二次方程，先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的__乘積__等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于__0__，從而實(shí)現(xiàn)__降次__，這種解法叫做因式分解法．2．用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①將方程右邊化為_(kāi)_0__；②將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的__乘積__；③令每個(gè)因式分別為_(kāi)_0__，得兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解．提出問(wèn)題：(1)解一元二次方程都有哪些方法？(2)探究新知第2題中的兩個(gè)方程可以用配方法或公式法來(lái)求解嗎？如果可以，請(qǐng)比較它們與因式分解法的優(yōu)缺點(diǎn)．(3)用因式分解法解一元二次方程需注意哪些細(xì)節(jié)問(wèn)題？配方法要先__配方__，再__降次__，公式法直接利用__求根公式__解方程；因式分解法要先將方程一邊化為_(kāi)_兩個(gè)一次因式相乘__，另一邊為_(kāi)_0__，再分別使各一次因式等于__0__．配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程時(shí)比較簡(jiǎn)便．總之，解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為_(kāi)_一次方程__，即__降次__．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1教材P14例3.例2用因式分解法解下列方程．(1)7x(3－x)＝2(x－3)；(2)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－eq\f(2,7)；(2)x1＝eq\f(22,7)，x2＝34.例3用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?1)2(x＋3)2＝8；(2)4x2－4eq\r(2)x＋1＝0；(3)(3x－4)2＝9x－12；(4)x2－2x－99＝0.解：(1)原方程系數(shù)化為1，可得(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，x1＝－1，x2＝－5；(2)a＝4，b＝－4eq\r(2)，c＝1，Δ＝b2－4ac＝(－4eq\r(2))2－4×4×1＝16＞0，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，x1＝eq\f(－1＋\r(2),2)，x2＝eq\f(1＋\r(2),2)；(3)移項(xiàng)，得(3x－4)2－(9x－12)＝0.因式分解，得(3x－4)(3x－4－3)＝0.于是得3x－4＝0或3x－7＝0，x1＝eq\f(4,3)，x2＝eq\f(7,3)；(4)移項(xiàng)，得x2－2x＝99，配方，得x2－2x＋1＝99＋1，(x－1)2＝100，由此可得x1＝11，x2＝－9.學(xué)生完成展示，教師評(píng)價(jià)強(qiáng)調(diào)：解一元二次方程時(shí)，應(yīng)當(dāng)仔細(xì)觀察方程的形式和系數(shù)特點(diǎn)，選取合適的方法解一元二次方程，有利于減少計(jì)算量，從而提高計(jì)算的正確性．在用公式法求解時(shí)，需先計(jì)算b2－4ac的值，若它小于0，則此方程無(wú)實(shí)根．一般先考慮能否用直接開(kāi)平方法或因式分解法，其次再考慮用公式法或配方法．練習(xí)1．教材P14練習(xí)第1，2題．2．解方程x－eq\r(2)＝(eq\r(2)－x)2最適合的方法是(C)A．配方法B．公式法C．因式分解法D．直接開(kāi)平方法3．直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為方程x2－7x＋12＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則直角三角形的斜邊長(zhǎng)為_(kāi)_5__．4．已知：(x2＋y2)(x2＋y2－1)＝6，求x2＋y2的值．解：x2＋y2＝－2(舍去)或x2＋y2＝3.◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程而達(dá)到目的，我們主要利用了因式分解“降次”．在今天的學(xué)習(xí)中，要逐步領(lǐng)會(huì)、掌握“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想方法.2．因式分解法解一元二次方程的一般步驟是什么？3．歸納解一元二次方程不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)．1．作業(yè)布置(1)教材P17習(xí)題21.2第6，10題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教師備課素材示例●情景導(dǎo)入十一黃金周剛剛過(guò)去，相信同學(xué)們一定去過(guò)許多美麗、難忘的旅游景點(diǎn)，下面，老師帶著大家到法國(guó)觀光旅游好不好？(出示多媒體)讓學(xué)生在聆聽(tīng)理查德·克萊德曼的《致愛(ài)麗絲》中欣賞：法國(guó)文化——埃菲爾鐵塔，時(shí)裝秀，紅酒文化，巴黎圣母院．文化是相通的，科學(xué)更是這樣．在16世紀(jì)的法國(guó)，誕生了一位偉大的數(shù)學(xué)家，讓我們一起走進(jìn)歷史，了解偉人——代數(shù)學(xué)之父韋達(dá).【教學(xué)與建議】教學(xué)：借助情景，閱讀了解歷史中的代數(shù)學(xué)之父——韋達(dá)．建議：從輕松、愉快、高雅的氛圍之中導(dǎo)入新課，自然過(guò)渡．●歸納導(dǎo)入解方程并填寫(xiě)下表．(1)x2＋6x－16＝0；(2)2x2－3x＋1＝0；(3)5x2＋4x－1＝0.方程x1x2x1＋x2x1·x2x2＋6x－16＝0__2____－8____－6____－16__2x2－3x＋1＝0__1____eq\f(1,2)____eq\f(3,2)____eq\f(1,2)__5x2＋4x－1＝0__－1____eq\f(1,5)____－eq\f(4,5)____－eq\f(1,5)__【歸納】方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根x1，x2與a，b，c之間的關(guān)系是x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).【教學(xué)與建議】教學(xué)：求一元二次方程的根，明確一元二次方程根與系數(shù)之間的聯(lián)系．建議：分小組計(jì)算．命題角度1根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求方程的解利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得x1＋x2和x1x2的值，然后再將已知的根代入x1＋x2或x1x2中，求得另一根．【例1】已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2＋3x＋m－2＝0的一個(gè)根，則m的值是__－8__，方程的另一個(gè)根是__－5__．命題角度2已知一元二次方程求含根的代數(shù)式的值先將要求的代數(shù)式變形為含有兩根之和或兩根之積的式子，再利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求值計(jì)算即可．【例2】(1)若x1，x2是一元二次方程5x2＝4－2x的兩根，則x1－x1x2＋x2的值是(D)A．－eq\f(2,5)B．eq\f(6,5)C．－eq\f(6,5)D．eq\f(2,5)(2)若方程x2＋3x－4＝0的兩個(gè)根分別為x1，x2，則eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)的值為_(kāi)_eq\f(3,4)__．命題角度3由兩根關(guān)系式求參數(shù)的值借助根與系數(shù)的關(guān)系求得參數(shù)的值．【例3】(1)設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2－3x＋k＝0的兩個(gè)根，且x1＝2x2，則k＝__2__．(2)若關(guān)于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β，且eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝1，則m＝__3__．(3)已知m，n是方程x2＋x－3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2－n＋2023的值是__2__027__．命題角度4根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用靈活運(yùn)用根的判別式與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決方程中字母的取值等問(wèn)題的關(guān)鍵．此知識(shí)作為考點(diǎn)出現(xiàn)在各地．【例4】已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)是否存在m使得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝0成立？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)由題意，得Δ＝(2m－1)2－4×1×m2≥0，解得m≤eq\f(1,4)；(2)存在．∵xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝0，∴(x1＋x2)(x1－x2)＝0，∴x1＝x2或x1＝－x2.①當(dāng)x1＝x2時(shí)，Δ＝(2m－1)2－4×1×m2＝0，解得m＝eq\f(1,4)；②當(dāng)x1＝－x2時(shí)，x1＋x2＝－(2m－1)＝0，解得m＝eq\f(1,2).與(1)問(wèn)所求m的取值范圍矛盾，舍去．綜上所述，m＝eq\f(1,4).韋達(dá)定理韋達(dá)定理是指一元n次方程中根和系數(shù)之間的關(guān)系，中學(xué)課本里一般特指一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)了代數(shù)方程的根與系數(shù)之間的這種關(guān)系，因此人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理．早在公元前2000年左右，古巴比倫的數(shù)學(xué)家就能解簡(jiǎn)單的一元二次方程了，古埃及的紙草文書(shū)中也有所提及，公元前480年，中國(guó)數(shù)學(xué)家使用配方法求得了二次方程的正根，還在方程的研究中應(yīng)用了內(nèi)插法，可惜的是，并沒(méi)有提出通用的求解方法．公元628年，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多出版了《婆羅摩修正體系》，給出了一元二次方程x2＋px＋q＝0的一個(gè)求根公式．公元820年，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米出版了《代數(shù)學(xué)》，書(shū)中討論到方程的解法，除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出了一元二次方程的一般解法，他把方程的未知數(shù)叫做“根”，承認(rèn)方程有兩個(gè)根，并有無(wú)理根存在．同樣可惜，他未認(rèn)識(shí)到虛根這個(gè)概念．16世紀(jì)，意大利的數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私馊畏匠潭_(kāi)始應(yīng)用復(fù)數(shù)根，與此同時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究二次方程時(shí)注意到，如果一次項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)數(shù)之和的相反數(shù)，而常數(shù)項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)的乘積，則這兩個(gè)數(shù)就是這個(gè)方程的根．雖然，由于時(shí)代的局限性，韋達(dá)當(dāng)時(shí)沒(méi)能從理論上證明，但他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)著作都大大充實(shí)了數(shù)學(xué)寶庫(kù)．歷史是有趣的，雖然韋達(dá)在16世紀(jì)就得出了這個(gè)定理，但是要證明這個(gè)定理卻需要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻在1799年才被高斯第一次實(shí)質(zhì)性地論證.1615年，韋達(dá)發(fā)表了關(guān)于方程論的著作《論方程的整理與修正》，書(shū)中對(duì)一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改進(jìn)，并揭示了方程根與系數(shù)的關(guān)系．韋達(dá)，1540年生于法國(guó)普瓦圖，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”，他致力于數(shù)學(xué)研究，第一次有意識(shí)地、系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，除推出一元方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解外，他還給出了根與系數(shù)的關(guān)系．他最早系統(tǒng)地引入了代數(shù)符號(hào)，推動(dòng)了方程論的發(fā)展．他用“分析”這個(gè)詞來(lái)概括當(dāng)時(shí)代數(shù)的內(nèi)容和方法，系統(tǒng)闡述并改良了三、四次方程的解法，給出了三次方程不可約情形的三角解法．其實(shí)，韋達(dá)從事數(shù)學(xué)研究只是由于愛(ài)好，然而這個(gè)愛(ài)好卻助他取得了代數(shù)和三角學(xué)方面的巨大成就．韋達(dá)定理在建立方程、研究方程根的性質(zhì)、解方程組，以及幾何中涉及到兩個(gè)量的和與積的問(wèn)題等領(lǐng)域都被廣泛應(yīng)用．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能運(yùn)用它由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根及未知系數(shù)．2．在不解一元二次方程的情況下，會(huì)求直接(或變形后)含有兩根與兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會(huì)整體代換的思想．▲重點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．▲難點(diǎn)讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入(1)一元二次方程的一般形式：__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__；(2)一元二次方程的求根公式：__x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(b2－4ac≥0)__；(3)一元二次方程的系數(shù)與根有著密切的關(guān)系，今天讓我們進(jìn)一步研究一元二次方程的根與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系．◆活動(dòng)2探究新知1．解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表中x1＋x2，x1·x2的值，它們與前面的一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？一元二次方程x1x2x1＋x2x1·x2x2＋6x－16＝0－82－6－16x2－2x－5＝0eq\r(6)＋1－eq\r(6)＋12－52x2－3x＋1＝01eq\f(1,2)eq\f(3,2)eq\f(1,2)5x2＋4x－1＝0－1eq\f(1,5)－eq\f(4,5)－eq\f(1,5)2.教材P15第1個(gè)思考．提出問(wèn)題：(1)將方程(x－x1)(x－x2)＝0化成一般形式為_(kāi)_x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0__；(2)將一般形式與x2＋px＋q＝0進(jìn)行比較，由此可得p＝__－(x1＋x2)__，q＝__x1x2__．即x1＋x2＝__－p__，x1x2＝__q__；(3)請(qǐng)歸納方程x2＋px＋q＝0的兩根x1，x2與系數(shù)p，q之間的關(guān)系．學(xué)生完成并交流展示．3．教材P15第2個(gè)思考．提出問(wèn)題：(1)如果一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1，根與系數(shù)之間又有怎樣的關(guān)系呢？你能證明你的猜想嗎？(2)由求根公式可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，兩根分別為x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a).觀察兩式右邊，分母相同，分子是－b＋eq\r(b2－4ac)與－b－eq\r(b2－4ac).兩根之間通過(guò)什么計(jì)算才能得到更簡(jiǎn)潔的關(guān)系？x1＋x2＝__－eq\f(b,a)__，x1x2＝__eq\f(c,a)__．(3)由此你能得出方程的兩個(gè)根x1，x2和系數(shù)a，b，c有怎樣的關(guān)系嗎？把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩邊同時(shí)除以a，能否得出該結(jié)論？為什么？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根，則有x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).即：任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個(gè)根的和等于__一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)__，兩個(gè)根的積等于__常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比__．提出問(wèn)題：(1)方程的根是由什么決定的？(2)在運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決具體問(wèn)題時(shí)，是否需要考慮根的判別式Δ＝b2－4ac≥0呢？為什么？◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1教材P16例4.例2已知a，b為實(shí)數(shù)，且滿足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，求eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)的值．解：當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝2.當(dāng)a≠b時(shí)，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的兩根，則a＋b＝2，ab＝－1，因此eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(（a＋b）2－2ab,ab)＝eq\f(22－2×（－1）,－1)＝－6.因此eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)的值為2或－6.練習(xí)1．教材P16練習(xí)．2．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的兩根為m，n，則m2＋n2＝__eq\f(21,4)__．3．設(shè)一元二次方程x2－7x＋3＝0的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝__7__，x1x2＝__3__，(x1－2)(x2－2)＝__－7__．4．已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)是否存在m使得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝0成立？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝4m2－4m＋1－4m2＝－4m＋1≥0，∴m≤eq\f(1,4)；(2)假使存在實(shí)數(shù)m使得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝0，∴x1＋x2＝0或x1＝x2.當(dāng)x1＋x2＝0時(shí)，－(2m－1)＝0，∴m＝eq\f(1,2)＞eq\f(1,4)(舍)；當(dāng)x1＝x2時(shí)，Δ＝0，∴m＝eq\f(1,4).◆活動(dòng)5課堂小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).1．作業(yè)布置(1)教材P17習(xí)題21.2第7題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程第1課時(shí)傳播問(wèn)題與握手問(wèn)題教師備課素材示例●情景導(dǎo)入一種電腦病毒傳播速度非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染．每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？①第一輪感染了多少臺(tái)電腦？__x臺(tái)__②第一輪后共有多少臺(tái)電腦被感染？__(x＋1)臺(tái)__③第二輪感染了多少臺(tái)電腦？__(x＋1)x臺(tái)__④第二輪后共有多少臺(tái)電腦被感染？__(1＋x)2臺(tái)__⑤列出方程．__(1＋x)2＝81__【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入探討，最終找出題目中的等量關(guān)系．建議：教師可針對(duì)此問(wèn)題一步步引導(dǎo)學(xué)生思考并解決．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.解一元二次方程有哪些方法？怎樣選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?．用含x的代數(shù)式表示兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))________，表示三個(gè)連續(xù)整數(shù)________；個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c的三位數(shù)是________；n個(gè)球隊(duì)參加足球比賽，采用雙循環(huán)制，主辦方一共需要安排_(tái)_______場(chǎng)比賽．3．俗話說(shuō)：“一傳十，十傳百”．疾病的傳染相當(dāng)迅猛，若每人每輪的傳播速度相同，試完善下列表格．開(kāi)始生病的人數(shù)11第一輪傳染的人數(shù)10x第一輪傳染后生病的總?cè)藬?shù)__1＋10____1＋x__第二輪傳染的人數(shù)__(1＋10)×10____(1＋x)x__第二輪傳染后生病的總?cè)藬?shù)(1＋10)＋(1＋10)×10＝__(1＋10)2__(1＋x)＋(1＋x)x＝__(1＋x)2__第三輪傳染的人數(shù)__(1＋10)2×10____(1＋x)2x__第三輪傳染后生病的總?cè)藬?shù)(1＋10)2＋(1＋10)2×10＝__(1＋10)3__(1＋x)2＋(1＋x)2x＝__(1＋x)3__………4.列方程解應(yīng)用題的步驟有哪些？【教學(xué)與建議】教學(xué)：本節(jié)重在建立數(shù)學(xué)模型，列方程解決問(wèn)題，所以只需簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)一下一元二次方程的解法，為本節(jié)構(gòu)造一元二次方程模型的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．建議：類比用一元一次方程(組)解應(yīng)用題的學(xué)習(xí)方法來(lái)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容．命題角度1傳播與裂變問(wèn)題常見(jiàn)類型包括細(xì)胞分裂、信息傳播、疾病傳染等．【例1】(1)某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是(C)A．4B．5C．6D．7(2)若有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有121人患了流感，則每輪傳染中平均每人傳染了__10__個(gè)人．命題角度2握手問(wèn)題注意握手問(wèn)題和“每?jī)蓚€(gè)人互送禮物”的區(qū)別與聯(lián)系．【例2】(1)有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了45場(chǎng)，每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)，則下列方程中符合題意的是(A)A．eq\f(1,2)x(x－1)＝45B．eq\f(1,2)x(x＋1)＝45C．x(x－1)＝45D．x(x＋1)＝45(2)某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了1640張相片．如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為(D)A．eq\f(1,2)x(x－1)＝1640B．x(x＋1)＝1640C．2x(x＋1)＝1640D．x(x－1)＝1640命題角度3數(shù)字問(wèn)題常見(jiàn)類型有整數(shù)的和差倍分，列一元二次方程來(lái)求解．【例3】有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3，個(gè)位上的數(shù)字的平方正好等于這個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)．解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為(x－3).根據(jù)題意，得x2＝x＋10(x－3).解得x1＝5，x2＝6.當(dāng)x＝5時(shí)，x－3＝2.當(dāng)x＝6時(shí)，x－3＝3.答：這個(gè)兩位數(shù)是25或36.方程在海灣戰(zhàn)爭(zhēng)中的應(yīng)用1991年海灣戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)，有一個(gè)問(wèn)題放在美軍計(jì)劃人員面前，如果伊拉克把科威特的油井全部燒掉，那么沖天的黑煙會(huì)造成嚴(yán)重的后果，這還不只是污染．滿天煙塵，陽(yáng)光不能照到地面，就會(huì)引起氣溫下降，如果失去控制，造成全球性的氣候變化，可能造成不可挽回的生態(tài)與經(jīng)濟(jì)后果．五角大樓因此委托一家公司研究這個(gè)問(wèn)題，這個(gè)公司利用流體力學(xué)的基本方程以及熱量傳遞的方程建立數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)仿真，得出結(jié)論，認(rèn)為點(diǎn)燃所有的油井后果是嚴(yán)重的，但只會(huì)波及到海灣地區(qū)以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于產(chǎn)生全球性的后果．這對(duì)美國(guó)軍方計(jì)劃海灣戰(zhàn)爭(zhēng)起了一定的作用，所以有人說(shuō)：“第一次世界大戰(zhàn)是化學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)(炸藥)，第二次世界大戰(zhàn)是物理學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)(原子彈)，而海灣戰(zhàn)爭(zhēng)是數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)．”高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．會(huì)列出一元二次方程解決傳播、握手、比賽問(wèn)題，學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．2．經(jīng)過(guò)“問(wèn)題情境——建立模型——求解——解答與應(yīng)用”的過(guò)程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．▲重點(diǎn)列一元二次方程解決傳播、握手等問(wèn)題．▲難點(diǎn)找出傳播、握手等問(wèn)題中的等量關(guān)系．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入填空：若一人患流感，每輪能傳染5個(gè)人，則第一輪過(guò)后共有__6__個(gè)人患了流感，第二輪過(guò)后共有__36__個(gè)人患了流感．我們遇見(jiàn)過(guò)一些用列方程來(lái)解的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，你能說(shuō)說(shuō)列方程解應(yīng)用問(wèn)題的步驟是怎樣的嗎？◆活動(dòng)2探究新知1．教材P19探究1.提出問(wèn)題：(1)本題中有哪些等量關(guān)系？如何理解兩輪傳染？(2)若設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，那么第一輪后，共有____人患了流感；第二輪后共有________人患了流感；(3)本題中的等量關(guān)系是什么？請(qǐng)列出方程；(4)請(qǐng)將所列出的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)并求解，為什么負(fù)值要舍去？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P19思考．提出問(wèn)題：(1)上述問(wèn)題中如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？n輪后呢？(2)通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題的探究，你對(duì)類似的傳播問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系有新的認(rèn)識(shí)嗎？3．在某次聚會(huì)上，每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?0次，求有多少人參加這次聚會(huì)．學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納若原有a個(gè)傳染源，每輪每個(gè)傳染x人，傳染n輪后的總?cè)藬?shù)為a(1＋x)n.◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支．依題意可列方程1＋x＋x2＝91.解這個(gè)方程，得x1＝9，x2＝－10(負(fù)根不合題意，舍去).答：每個(gè)支干長(zhǎng)出9個(gè)小分支．例2兩個(gè)數(shù)的和是14，積是33，求這兩個(gè)數(shù)．解：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為14－x.由題意，得x(14－x)＝33，解得x1＝3，x2＝11，即這兩個(gè)數(shù)分別為3，11.練習(xí)1．教材P21習(xí)題21.3第2，4，6題．2．某航空公司有若干個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，每?jī)蓚€(gè)飛機(jī)場(chǎng)之間都開(kāi)辟一條航線，一共開(kāi)辟了10條航線，則這個(gè)航空公司共有飛機(jī)場(chǎng)(B)A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)3．一個(gè)多邊形共有14條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(B)A．6B．7C．8D．94．九(1)班同學(xué)畢業(yè)的時(shí)候，每人都必須與其他任何一位同學(xué)合照一張雙人照，全班共照照片780張，則九(1)班有__40__人．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)1．“傳播問(wèn)題”的兩種模型：①傳染源參與兩輪傳染；②傳染源只參與第一輪傳染．2．總結(jié)列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：審、設(shè)、找、列、解、答，最后還要檢驗(yàn)根是否符合實(shí)際意義．1．作業(yè)布置(1)教材P25復(fù)習(xí)題21第7題；(2)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思第2課時(shí)平均變化率與銷售問(wèn)題教師備課素材示例●情景導(dǎo)入我們經(jīng)常從電視新聞中聽(tīng)到或看到有關(guān)增長(zhǎng)率的問(wèn)題，例如2023年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)期增長(zhǎng)5%左右；空氣污染指數(shù)比去年降低3.2%；能源汽車交易量比去年產(chǎn)量翻一番……由此我們可以看出，增長(zhǎng)率問(wèn)題無(wú)處不在，無(wú)時(shí)不有，這節(jié)課我們就一起來(lái)探索增長(zhǎng)率問(wèn)題．【教學(xué)與建議】教學(xué)：以實(shí)際問(wèn)題為背景導(dǎo)入，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．建議：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和欲望．●置疑導(dǎo)入月季花每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系．每盆植3株時(shí)，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元．要使每盆的盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？解：設(shè)每盆多植x株，株數(shù)是__(3＋x)__株，每株的盈利是__(4－0.5x)__元，可列方程為_(kāi)_(3＋x)(4－0.5x)＝15__．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)上面兩種問(wèn)題的呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生思考對(duì)降價(jià)促銷的理解，講解利潤(rùn)的計(jì)算方法：利潤(rùn)＝株數(shù)×每株的盈利．建議：采用提問(wèn)學(xué)生的方式進(jìn)行．命題角度1增長(zhǎng)率問(wèn)題增長(zhǎng)率問(wèn)題常見(jiàn)等量關(guān)系：①原產(chǎn)量＋增產(chǎn)量＝現(xiàn)在的產(chǎn)量；②單位時(shí)間增產(chǎn)量＝原產(chǎn)量×增長(zhǎng)率；③現(xiàn)在產(chǎn)量＝原產(chǎn)量×(1＋增長(zhǎng)率)；④現(xiàn)在的產(chǎn)量＝原產(chǎn)量×(1±x)n.【例1】(1)共享單車為市民出行帶來(lái)了方便，某單車公司第一個(gè)月投放1000輛單車，計(jì)劃第三個(gè)月投放單車數(shù)量比第一個(gè)月多440輛．設(shè)該公司第二、三個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x，則所列方程正確的為(A)A．1000(1＋x)2＝1000＋440B．1000(1＋x)2＝440C．440(1＋x)2＝1000D．1000(1＋2x)＝1000＋440(2)某家用電器經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每臺(tái)零售價(jià)由350元下降到252元．若第二次降價(jià)的百分率是第一次降價(jià)百分率的2倍．設(shè)第一次降價(jià)的百分率為x，則可列出關(guān)于x的方程為_(kāi)_350(1－x)(1－2x)＝252__．命題角度2商品營(yíng)銷問(wèn)題銷售問(wèn)題中常見(jiàn)的等量關(guān)系：①利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)(成本)；②總利潤(rùn)＝每件商品的利潤(rùn)×總件數(shù)；③利潤(rùn)率＝eq\f(利潤(rùn),進(jìn)價(jià))×100%；④售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×eq\f(打折數(shù),10)＝進(jìn)價(jià)×(1＋利潤(rùn)率)．【例2】(1)某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，當(dāng)售價(jià)為每件30元時(shí)，每天可賣出100件，現(xiàn)需要降價(jià)處理，且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查：每降價(jià)1元，每天可多賣出10件．現(xiàn)在要使每天的銷售利潤(rùn)為750元，每件商品應(yīng)降價(jià)(D)A．2元B．2.5元C．3元D．5元(2)百貨大樓服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：某品牌童裝每件成本60元，現(xiàn)以每件100元銷售，平均每天可售出20件．為了迎接“五一”勞動(dòng)節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，以擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡量減少庫(kù)存．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多銷售2件，要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，請(qǐng)你幫商場(chǎng)算一算，每件童裝應(yīng)定價(jià)多少元？解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元．根據(jù)題意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1200.解得x1＝10，x2＝20.∵商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，以擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡量減少庫(kù)存，∴x＝20，∴每件童裝應(yīng)定價(jià)為100－20＝80(元).答：每件童裝應(yīng)定價(jià)80元．歐拉幫忙算雞蛋一天，歐拉去買雞蛋，賣雞蛋的農(nóng)婦看到了歐拉，便想要試試這個(gè)其貌不揚(yáng)的學(xué)者的能力，當(dāng)歐拉問(wèn)到她們的雞蛋數(shù)量的時(shí)候，她們說(shuō)：“我們帶著100枚雞蛋來(lái)到集市，我們兩人所帶的雞蛋數(shù)雖不同，但是賣得的錢數(shù)一樣．”第一個(gè)農(nóng)婦對(duì)第二個(gè)農(nóng)婦說(shuō)：“如果你的雞蛋換給我，我可以賣得15個(gè)銅板．”第二個(gè)農(nóng)婦回答：“但是如果你的雞蛋換給我，我就只能賣得6eq\f(2,3)個(gè)銅板．”歐拉想了想說(shuō)：“你(指著第一個(gè)農(nóng)婦)有40