2024-2025學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高三（上）摸底數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高三（上）摸底數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|3x2?4x+1≤0},B={x|0<x<12A.(?∞,1] B.[13,12)2.復(fù)數(shù)z=3?2i1?i(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，公差不為0.若a2，a4，A.25 B.?25 C.14.函數(shù)f(x)=sinx?cosx?3cos2A.4 B.2 C.2π D.π5.設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且在第一象限，若直線AF的傾斜角為π3，則|AF|=A.2 B.3 C.4 D.56.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且f(?x)=f(x)，若函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=log2(2xA.?1 B.0 C.1 D.27.已知點(diǎn)P在圓C：(x?2)2+(y?3)2=1上運(yùn)動，點(diǎn)A(?2,0)A.[20,30] B.(20,30) C.[20,25] D.(20,25)8.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為(0,+∞)，f(2)=?1，且f(x)+xf′(x)=1對于x∈(0,+∞)恒成立，則(

)A.f(1)=0 B.f(3)=0 C.f(4)=0 D.f(6)=0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.中國象棋是一種益智游戲，也體現(xiàn)博大精深的中國文化.某學(xué)校舉辦了一次象棋比賽，李明作為選手參加.除李明之外的其他選手中，甲、乙兩組的人數(shù)之比為2：1，李明與甲、乙兩組選手比賽獲勝的概率分別為0.6，0.5.從甲、乙兩組參賽選手中隨機(jī)抽取一位棋手與李明比賽，下列說法正確的是(

)A.李明與甲組選手比賽且獲勝的概率為25

B.李明獲勝的概率為1730

C.若李明獲勝，則棋手來自甲組的概率為1217

10.已知函數(shù)f(x)=|x?2|ex?a，則A.f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增 B.x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)

C.f(x)既無最大值，也無最小值 D.當(dāng)a∈(1,2)時，f(x)有三個零點(diǎn)11.如圖，幾何體的底面是邊長為6的正方形A1B1C1D1，AA1⊥底面A1A.當(dāng)λ=0時，該幾何體的體積為45

B.當(dāng)λ=13時，該幾何體為臺體

C.當(dāng)λ=12時，在該幾何體內(nèi)放置一個表面積為S的球，則S的最大值為9π

D.當(dāng)點(diǎn)B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x?113.在△ABC中，AB=2AC，點(diǎn)D在線段BC上，且AD=BD=2DC=2，則△ABC的面積為______．14.定義離心率e=53的橢圓為“西瓜橢圓”.已知橢圓C：x2m+y216=1(m>16)是“西瓜橢圓”，則m=______.若“西瓜橢圓”E：x2a2+y2b2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某區(qū)中考體育科目有必選項(xiàng)目和選考項(xiàng)目，其中籃球?yàn)橐粋€選考項(xiàng)目.該區(qū)體育老師為了了解初中學(xué)生的性別和喜歡籃球是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了該區(qū)1000名初中學(xué)生，得到成對樣本數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如下表所示：性別是否喜歡籃球合計(jì)喜歡不喜歡男生450150600女生150250400合計(jì)6004001000(1)依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該區(qū)初中學(xué)生的性別與喜歡籃球有關(guān)聯(lián)；

(2)用按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從參與調(diào)查的喜歡籃球的600名初中學(xué)生中抽取8名學(xué)生做進(jìn)一步調(diào)查，將這8名學(xué)生作為一個樣本，從中隨機(jī)抽取3人，用X表示隨機(jī)抽取的3人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：參考數(shù)據(jù)

χ2=n(ad?bc)α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB=2，BC=DC=PD=1，∠ABC=90°，AB//CD，平面ADP⊥平面ABCD，PD⊥BC．

(1)證明：PD⊥平面ABCD；

(2)求平面PAB與平面PDC的夾角的余弦值．17.(本小題15分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，右焦點(diǎn)到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，兩動點(diǎn)A，B在雙曲線C上，線段AB的中點(diǎn)為M(2m,m)(m≠0)．

(1)證明：直線AB的斜率k為定值；18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(1x?a)ln(x?1)．

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，求a的值；

(2)若a=?1，證明：f(x)<x+1；

(3)若f(x)在(2,+∞)19.(本小題17分)

定義：一個正整數(shù)n稱為“漂亮數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正整數(shù)數(shù)列a1，a2，…，ak，滿足①②：

①a1<a2<...<ak?1<ak=n(k≥2)；

②1a1+1a2+...+參考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.C

6.C

7.A

8.C

9.ABC

10.BD

11.ACD

12.70

13.314.36

±415.解：(1)零假設(shè)H0：該區(qū)初中學(xué)生的性別與喜歡籃球無關(guān)聯(lián)，

則χ2=1000(450×250?150×150)2600×400×600×400=(45×25?15×15)26×40×6×4=140.625>10.828，

根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，

即認(rèn)為該區(qū)初中學(xué)生的性別與喜歡籃球有關(guān)聯(lián)；

(2)根據(jù)喜歡籃球的學(xué)生中男生與女生的比例可得抽取的8人中男生有6人，女生有2人，

所以X的為0，1，2X012P5153所以E(X)=0×51416.(1)證明：取AB的中點(diǎn)E，連接DE，BD，

∵∠ABC=90°，AB/?/CD，∴∠BCD=90°，

∵BC=DC=1，∴BD=BC2+DD2=2，

∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE=CD，BE/?/CD，

∴四邊形BCDE為平行四邊形，

∵BC=BE=1，∠ABC=90°，

∴四邊形BCDE為正方形，

∴∠AED=90°，AD=AE2+DE2=2，

∵AD2+BD2=4=AB2，∴AD⊥BD，

∵平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，

BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，

∵PD?平面PAD，∴BD⊥PD，

∵PD⊥BC，BC∩BD=B，BC，BD?平面ABCD，

∴PD⊥平面ABCD；

(2)解：由(1)可知DA、DB、DP兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

P(0,0,1),A(2,0,0),B(0,2,0),C(?22,22,0)，

∴PA=(2,0,?1),PB=(0,2,?1)，

設(shè)平面PAB的一個法向量為n=(x,y,z)，

則有n?17.解：(1)證明：由已知可得ca=2|bc|a2+b2=1a2+b2=c2，

解得a=b=1,c=2，

所以雙曲線方程為x2?y2=1，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

所以x12?y12=1x22?y22=1，兩式相減可得：

(x1+x2)(x1?x2)?(y1+y2)(y1?y2)=0，

又線段AB的中點(diǎn)為M(2m,m)(m≠0)，18.解：(1)由題意可知：y=f(x)的定義域?yàn)?1,+∞)，且f′(x)=?1x2ln(x?1)+(1x?a)1x?1，

則f(2)=0，f′(2)=12?a，

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，切線斜率k=12?a，則切線方程為y=(12?a)(x?2)，

令x=0，可得y=2a?1，

可知切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為12×2×|2a?1|=|2a?1|=2，解得a=?12或a=32，

所以a的值為?12或32．

(2)證明：若a=?1，則f(x)=(1x+1)ln(x?1)=(x+1)ln(x?1)x,x>1，

若f(x)=(x+1)ln(x?1)x<x+1，等價于x?ln(x?1)>0，

設(shè)g(x)=x?ln(x?1)，x>1，則g′(x)=1?1x?1=x?2x?1，

令g′(x)>0，解得x>2；令g′(x)<0，解得0<x<2；

可知g(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，

則g(x)≥g(2)=2>0，即x>ln(x?1)，

所以f(x)<x+1．

(3)由(1)可知：f′(x)=?1x2ln(x?1)+(1x?a)119.解：(1)若n是“漂亮數(shù)”，設(shè)a1<a2<...<ak?1<ak=n(k≥2)滿足1a1+1a2+...+1ak=1．

則1=1a1+1a2+...+1ak>1a1，∴a1>1，即a1≥2．

故a2>a1≥2，得a2≥3，從而1a1+1a2≤12+13<1，∴k≥3．

此時，假設(shè)ak=n≤5，則a1，a2，…，ak≤5．

但由于k≥3，故1a1+1a2+...+1ak的全部可能取值就是12+13+14，12+13+15，12+14+15，13+14+15，12+13+14+15，

計(jì)算可知它們都不等于1，不滿足②；

∴n≥6．

∵1=12+13+16，∴6是“漂亮數(shù)”．

∴最小的“漂亮數(shù)”是6．

(2)若n是“漂亮數(shù)”，設(shè)a1<a2<...<ak?1<ak=n(k≥2)滿足1a1+1a2+...+