2024-2025學年江蘇省南京一中高三（上）暑期測試數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省南京一中高三（上）暑期測試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合C=A∪B且A∩B=?，則稱A，B構(gòu)成C的一個二次劃分，任意給定一個正整數(shù)n≥2，可以給出整數(shù)集Z的一個n次劃分[0]n，[1]n，…，[n?1]n.其中[i]n(0≤i≤n?1)表示除以n余數(shù)為i的所有整數(shù)構(gòu)成的集合.這樣我們得到集合Z/nZ=?{[0]n,[1]n,…,[n?1]n}，稱作模n的剩余類集.模n的剩余類集可定義加減乘三種運算，如[2]n+[n?1A.Z/nZ能構(gòu)成素域當且僅當n是素數(shù) B.[3]5÷[4]5=[2]5

C.2.“α=π4+kπ(k∈Z)”是“3A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條伴 D.既不充分也不必要條件3.已知復數(shù)z滿足1z=12+32i，則z，z2A.4個 B.6個 C.2019個 D.以上答案都不正確4.若單位向量a,b滿足?a,b?=120°，向量c滿足A.32 B.1+34 5.17到19世紀間，數(shù)學家們研究了用連分式求解代數(shù)方程的根，并得到連分式的一個重要功能：用其逼近實數(shù)求近似值.例如，把方程x2?x?1=0改寫成x=1+1x①，將x再代入等式右邊得到x=1+11+1x，繼續(xù)利用①式將x再代入等式右邊得到x=1+11+11+1x…反復進行，取x=1時，由此得到數(shù)列1，1+11，1+11+11，1+11+A.1007 B.1009 C.2014 D.20186.如圖，已知正三棱臺ABC?A1B1C1的上、下底面邊長分別為4和6，側(cè)棱長為2，點P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)運動(包含邊界)，且APA.4π3

B.5π3

C.7.某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當兩人獲勝局數(shù)不少于3局時，則認為這輪訓練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為p1，p2，且滿足p1+p2=43，每局之間相互獨立.記甲、乙在A.27 B.24 C.32 D.288.已知函數(shù)f(x)=sinx+lnx，將f(x)的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列{xn}，對于?n∈NA.nπ<xn<(n+1)π B.xn+1?xn<π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，△ABF和△DCE均是等邊三角形，且AB=23，EF=x(x>0)，則(

)A.EF/?/平面ABCD

B.二面角A?EF?B隨著x的減小而減小

C.當BC=2時，五面體ABCDEF的體積V(x)最大值為272

D.當BC=32時，存在x使得半徑為10.已知橢圓C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)，雙曲線C2：x2A.若e1=33，則e2=3

B.e12+e22的最小值為1+3

C.△F1PF211.已知函數(shù)f(x)定義域為R，滿足f(x+2)=12f(x)，當?1≤x<1時，f(x)=|x|.若函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=(12)[x+12](?2023≤x≤2023)的圖象的交點為(x1,y1)，A.g(x)是偶函數(shù) B.n=2024

C.i=1nxi三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.x2+y2?axy+x+y=113.若數(shù)列{an}滿足對任意n∈N?，數(shù)列{an}的前n2項至少有n項大于n，且an≥0，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)14.黎曼猜想由數(shù)學家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍末解決的世界難匙．黎曼猜想研究的對象是類似于ξ(n)=n=1∞n?s=11s+12s+13s+?的無窮級數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和11s+12s+13s+?+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=aex?1?x?1．

(1)討論f(x)的單調(diào)性．

(2)證明：當a≥1時，f(x)+x?lnx≥2a?2a+1．

16.(本小題15分)

有n個元素，將其中相同的元素歸成一類，共有k類，這k類元素中每類分別中r1，r2，…，rk個，r1+r2+…+rk≤n，將這n個元素全部取出的排列叫做n個不盡相異元素的全排列．

(1)求上述n個不盡相異的元素的全排列數(shù)；

(2)由結(jié)論17.(本小題15分)

如圖1，在梯形ABCD中，AB//CD，E是線段AB上的一點，BE=CD=CE=2，BC=2，將△ADE沿DE翻折到△PDE的位置．

(1)如圖2，若二面角P?ED?B為直二面角，M，N分別是BC，PE的中點，若直線MN與平面PBC所成角為θ，sinθ>36，求平面PBC與平面PEC所成銳二面角的余弦值的取值范圍；

(2)我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，點K為線段CE的中點，G，H分別在線段PK，CD上(不包含端點)，且GH為PK，CD的公垂線，如圖3所示，記四面體CKGH的內(nèi)切球半徑為r18.(本小題17分)

已知動點P與定點A(m,0)的距離和P到定直線x=n2m的距離的比為常數(shù)mn，其中m>0，n>0，且m≠n，記點P的軌跡為曲線C．

(1)求C的方程，并說明軌跡的形狀；

(2)設(shè)點B(?m,0)，若曲線C.上兩動點M，N均在x軸上方，AM/?/BN，且AN與BM相交于點Q．

(i)當m=22，n=4時，求證：1|AM|+1|BN|的值及△ABQ的周長均為定值；

(ii)當m>n時，記△ABQ的面積為S，其內(nèi)切圓半徑為r，試探究是否存在常數(shù)λ，使得S=λr19.(本小題17分)

對稱變換在對稱數(shù)學中具有重要的研究意義．

若一個平面圖形K在m(旋轉(zhuǎn)變換或反射變換)的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記m為K的一個對稱變換.例如，正三角形R在m1(繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn))的作用下仍然與R重合(如圖1圖2所示)，所以m1是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應關(guān)系，記m1=123312；又如，R在l1(關(guān)于對稱軸r1所在直線的反射)的作用下仍然與R重合(如圖1圖3所示)，所以l1也是R的一個對稱變換，類似地，記l1=123132.記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S．

一個非空集合G對于給定的代數(shù)運算.來說作成一個群，假如同時滿足：

Ⅰ.?a，b∈G，a〇b∈G；

Ⅱ.?a，b，c∈G，(a〇b)〇c=a〇(b〇c)；

Ⅲ.?e∈G，?a∈G，a〇e=e〇a=a；

Ⅳ.?a∈G，?a?1∈G，a〇a?1=a?1〇a=e．

對于一個群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的a?1為a在群G中的逆元．

一個群G的一個非空子集H叫做G的一個子群，假如H對于G的代數(shù)運算〇來說作成一個群．

(1)直接寫出集合S(用符號語言表示S中的元素)；

(2)同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如m1=123312=132321=213132=23112參考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.D

6.A

7.A

8.D

9.ACD

10.AC

11.BC

12.(?∞,?2)∪(2,+∞)

13.2

14.1

88

15.解：(1)f′(x)=aex?1?1，x∈R，

當a≤0時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，

當a>0時，令f′(x)=aex?1?1=0，解得x=1?lna，

令f′(x)>0，解得x>1?lna，即f(x)在(1?lna,+∞)上單調(diào)遞增，

令f′(x)<0，得x<1?lna，即f(x)在(?∞,1?lna)上單調(diào)遞減，

綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，

當a>0時，f(x)在(?∞,1?lna)上單調(diào)遞減，在(1?lna,+∞)上單調(diào)遞增．

(2)證明：令g(x)=f(x)+x?lnx=aex?1?lnx?1，x∈(0,+∞)，

∴g′(x)=aex?1?1x，

令?(x)=g′(x)，a≥1，

則?′(x)=aex?1+1x2>0，

所以g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當a=1時，g′(x)=ex?1?1x，

又g′(1)=0，

所以x∈(0,1)，g′(x)<0，即g(x)單調(diào)遞減，

x∈(1,+∞)，g′(x)>0，即g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)≥g(1)=e0?ln1?1=0，而此時2a?2a+1=0，

所以當a=1時，f(x)+x?lnx≥2a?2a+1成立，

當a>1時，可得1a?1<0，∴e1a?1<1，

所以g′(1a)=ae1a?1?a=a(e1a?1?1)<0，

又g′(1)=a?1>0，

所以存在x0∈(1a,1)，使得g′(x0)=0，即aex0?1=1x0，

x∈(0,x0)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

x∈(x0,+∞)，g′(x)>0，16.解：(1)假定n個不盡相異元素的所有排列數(shù)有N種，在每種排列中，如果把相同的元素，

當成不相同的元素，則n個元素的所有排列數(shù)可增加為N?Ar1r1?Ar2r2???Arkrk種；

另一方面，n個不同的元素的全排列有Ann種，

∴N?17.解：(1)如圖建立空間直角坐標系，

∵BE=CD=CE=2,BC=2，

設(shè)PE=t(t>0)，

∴E(0,0,0)，M(1,0,0)，B(1,?1,0)，C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,22t,22t)，N(0,24t,24t)，

∴MN=(?1,24t,24t),BP=(?1,22t+1,22t)，

BC=(0,2,0),EP=(0,22t,22t),EC=(1,1,0)．

設(shè)平面PBC的法向量n1=(x1,y1,z1)，

由n1?BC=0n1?BP=0，得2y1=0?x1+(22t+1)y1+22tz1=018.解：(1)設(shè)點P(x,y)，由題意可知(x?m)2+y2|x?n2m|=mn，

即(x?m)2+y2=(mnx?n)2，

經(jīng)化簡，得C的方程為x2n2+y2n2?m2=1，

當m<n時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓；

當m>n時，曲線C是焦點在x軸上的雙曲線．

(2)設(shè)點M(x1,y1)，N(x2,y2)，M′(x3,y3)，其中y1>0，y2>0且x3=?x2，y3=?y2，

(i)證明：由(1)可知C的方程為x216+y28=1,A(22,0),B(?22,0)，

因為AM/?/BN，所以y1x1?22=y2x2+22=?y2?x2?22=y3x3?22，

因此，M，A，M′三點共線，且|BN|=(x2+22)2+y22=(?x2?22)2+(?y2)2=|AM′|，

設(shè)直線MM′的方程為x=ty+22，聯(lián)立C的方程，得(t2+2)y2+42ty?8=0，

則y1+y3=?19.解析：(1)由題設(shè)可知，正三角形R的對稱變換如下：

繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)變換m1=