山西省大同市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁山西省大同市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z1=2i1?i，若復(fù)數(shù)z2與zA.1?i B.1+i C.?1?i D.?1+i2.已知集合A=xx(2?x)>0，B=xA.A∩B=? B.A∪B=R C.B?A D.A?B3.已知向量a=(?1,x)，b=(?x,2)，若a與b方向相同，則x=(

)A.0 B.1 C.2 D.4.若cosπ4?α=A.13 B.?13 C.25.已知雙曲線C:x2?y2b2=1(b>0)的一條漸近線與圓(x?2)2+yA.435 B.3556.已知函數(shù)f(x)=2sinωx+π6+t(ω>0)圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為π2，若存在x1，x2A.?4 B.?2 C.4 D.27.某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運數(shù)”(如2024是“幸運數(shù)”)，并獲得一定的獎品，則首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”共有(

)A.32個 B.28個 C.27個 D.24個8.已知x1,x2是函數(shù)f(x)=12axA.(?3,+∞) B.[?2,+∞) C.(2,+∞) D.[e,+∞)二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)A.f(x)的圖象恒過某個定點

B.f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增

C.f(x)圖象上存在兩個不同的點關(guān)于y軸對稱

D.若對任意x∈?12,2，f(x)<110.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若存在實數(shù)H，使得對任意的n∈N+，都有|SnA.若{an}是等差數(shù)列，且公差d=0，則{an}是“和有界數(shù)列”．

B.若{an}是等差數(shù)列，且{an}是“和有界數(shù)列”，則公差d=0．

C.若{an}是等比數(shù)列，且公比11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱AB,A1A.若λ=2μ，則平面AB1P⊥平面DEF

B.若λ=μ，則D1P與A1C1所成角的取值范圍為π4,π2

C.若λ=μ?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.中國跳水隊素有“夢之隊”稱號，在剛剛結(jié)束的2024巴黎奧運會上，中國跳水隊取得了優(yōu)異的成績.其中單人跳水比賽的計分規(guī)則為：運動員做完一套入水動作后，由7位專業(yè)裁判進行打分，從打出的分數(shù)中按照高低去掉前兩個和后兩個，剩余3個分數(shù)的總和再乘以這套動作的難度系數(shù)即為該運動員的最終得分.若某位運動員在一輪比賽中入水動作的難度系數(shù)為3.2，7位裁判給他打出的分數(shù)分別為9.5、9.5、9、8、9、9.5、8.5，則這7個數(shù)據(jù)的方差為

，該運動員本輪比賽的得分為

．13.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x14.已知定義在(0,+∞)的函數(shù)滿足對任意的正數(shù)x，y都有f(x)+f(y)=f(xy)，若2f13+f15=?2，則四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若對于區(qū)間[?3,3]上任意兩個自變量的值x1，x2，有fx116.(本小題12分)已知?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a=2，sinB+(1)若cosA=45(2)若?ABC是銳角三角形，D為BC的中點，求AD長的取值范圍．17.(本小題12分)如圖，已知四棱錐P?ABCD中，AB/?/CD，AD=BC=1，CD=2AB=22，AD⊥PC，

(1)證明：PB⊥CD；(2)若四棱錐P?ABCD的體積為1，求直線PA與平面PCD所成角的正弦值．18.(本小題12分)由半橢圓x2a2+y2b2=1(x≥0)與半橢圓x2c2+y2b2=1(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，其中a2=b

(1)若△FF1F(2)若A1A2(3)連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦，是否存在斜率為定值k的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，說明理由．19.(本小題12分)某市教育局舉辦的校園足球比賽，其中小學(xué)生足球淘汰賽階段的比賽規(guī)則如下：①常規(guī)時間分上、下半場，每個半場各30分鐘，在常規(guī)時間內(nèi)進球多的一方獲得比賽的勝利并進入下一輪；②如果在常規(guī)時間內(nèi)兩隊?wèi)?zhàn)平，則雙方各派3名隊員進行3輪點球決戰(zhàn)，進球多的一方獲得比賽的勝利并進入下一輪；③如果點球大戰(zhàn)依然戰(zhàn)平，則將進行抽簽決定哪支球隊進入下一輪，現(xiàn)有甲、乙兩隊進行淘汰賽階段的比賽．(1)假設(shè)在常規(guī)時間內(nèi)甲隊獲勝的概率為12，戰(zhàn)平的概率為14；在點球大戰(zhàn)中甲隊獲勝以及戰(zhàn)平的概率均為(2)點球大戰(zhàn)中，當(dāng)領(lǐng)先的一方提前獲得比賽的勝利，則剩下的隊員不再出場進行點球比賽(如甲方3∶1領(lǐng)先時，乙隊的最后一名隊員不必再出場比賽).假設(shè)甲隊每名隊員射進點球的概率均為23，乙隊每名隊員射進點球的概率均為1(ⅰ)記兩隊點球決戰(zhàn)一共出場的球員人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(ⅱ)求甲隊在點球大戰(zhàn)中獲勝的概率．

參考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.D

6.C

7.B

8.B

9.ABD

10.BC

11.AC

12.27

；

；；8813.?3,3

14.4

15.解：(1)∵f′x=3ax2解得a=43b=?(2)令f′x=4x2?3x?1=0當(dāng)x∈?3,?14∪1,3時，f′故fx在?14故fxfx因為對于區(qū)間?3,3上任意兩個自變量的值x1都有f(所以c≥66，所以c的最小值為66．

16.解：(1)因為sinB+sinC=2sinA又4=b2+因為cosA=45，而A所以S△ABC(2)在?ABD中，由c2在?ACD中，由b2

而cos∠CDA+cos∠BDA=0故AD而?ABC是銳角三角形，故a2+故32故2≤AD2<

17.解：(1)證明：設(shè)O是CD的中點，連接OB，由于AB//OD,AB=OD，所以四邊形ABOD是平行四邊形，所以AD//OB,AD=OB=1，由于OC=2,BC=1，所以O(shè)所以AD⊥BC，由于AD⊥PC,PC∩BC=C,PC,BC?平面PBC，所以AD⊥平面PBC，由于PB?平面PBC，所以AD⊥PB，由于PB⊥BC,AD,BC?平面ABCD，且直線AD與直線BC相交，所以PB⊥平面ABCD，而CD?平面ABCD，故PB⊥CD．(2)過A作AE⊥CD，垂足為E，過B作BF⊥CD，垂足為F，則四邊形ABFE是矩形，EF=AB=所以BF=AE=依題意VP?ABCD=1由于PB⊥平面ABCD，AB,BF?平面ABCD，所以PB⊥AB,PB⊥BF，則BA,BF,PB兩兩相互垂直，以B為原點建立如圖所示空間直角坐標系．

P0,0,2PA=設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)則n?PC=設(shè)直線PA與平面PCD所成角為θ，則sin?θ=|

18.解：(1)由F1F2=2解得b=2，a=因此“果圓”的方程為x27+(2)因為A1A2>B而(2b)2>2于是，a2?b又a2=b2+c2<2b若斜率為k的直線與橢圓mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)交于

證明：設(shè)Ax1,則mx12從而mx12故mx0+nky0=0，故A

對于“果園”的弦的中點，若斜率k=0，則設(shè)直線y=t，它與“果圓”的交點是(a1?t弦的中點(x,y)滿足x=弦的中點軌跡方程是4x而12即12(a?c)≠b，所以，若“果圓”弦所在直線的斜率為若“果圓”弦的斜率k≠0，則可平移過程總存在無數(shù)條斜率為k的直線與“果園”的左半橢圓相交，由前述證明的結(jié)論，此時中點在直線上，故平行弦中點軌跡不能總落在某個橢圓上．綜上，斜率k=0時，“果圓”平行弦中點軌跡落在某個橢圓上；斜率k≠0時，“果圓”平行弦中點軌跡不能總落在某個橢圓上．

19.解：(1)設(shè)為“甲進入下一輪”，B為“甲乙兩隊抽簽”，則PA=1故PB|A(2)(ⅰ)X可取4,5,6，當(dāng)X=4時，共進行2輪點球，若甲贏，則2輪點球甲均進球，而乙點球均未進；若乙贏，則2輪點球乙均進球，而甲點球均未進；故PX=4當(dāng)X=5時，共進行2