2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)練習(xí)一元二次方程的應(yīng)用含解析

一元二次方程的應(yīng)用學(xué)問(wèn)點(diǎn)一一元二次方程的解題步驟列一元二次方程解應(yīng)用題，其步驟和二元一次方程組解應(yīng)用題類似：“審”，弄清晰已知量，未知量以及他們之間的等量關(guān)系；“設(shè)”指設(shè)元，即設(shè)未知數(shù)，可分為干脆設(shè)元和間接設(shè)元；“列”指列方程，找出題目中的等量關(guān)系，再依據(jù)這個(gè)關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程。“解”就是求出說(shuō)列方程的解；“答”就是書寫答案，檢驗(yàn)得出的方程解，舍去不符合實(shí)際意義的方程。留意：一元二次方程考點(diǎn)：定義的考察；解方程及一元二次方程的應(yīng)用。學(xué)問(wèn)點(diǎn)二傳播問(wèn)題【解題關(guān)鍵】明確每輪傳播中的傳染源個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的總數(shù)典例1一次會(huì)議上，每?jī)蓚€(gè)參與會(huì)議的人相互握了一次手，有人統(tǒng)計(jì)一共握了45次手，假如這次會(huì)議到會(huì)的人數(shù)為x人，依據(jù)題意可列方程為（

）A．x（x+1）=45 B．x（x-1）=45 C．2x（x+1）=45 D．【答案】D【詳解】設(shè)這次會(huì)議到會(huì)的人數(shù)為x人，則每人將與（x-1）人握手，依題意，得：x（x-1）=45，

即x（x-1）=45×2．

故選：D．典例2在元且慶?；顒?dòng)中，參與活動(dòng)的同學(xué)互贈(zèng)賀卡，共送賀卡90張，則參與活動(dòng)的有（）人．A．9 B．10 C．12 D．15【答案】B【詳解】解：設(shè)參與此次活動(dòng)的人數(shù)有x人，由題意得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．即參與此次活動(dòng)的人數(shù)是10人．故選：B．典例3某班一物理科代表在老師的培訓(xùn)后學(xué)會(huì)了某個(gè)物理試驗(yàn)操作，回到班上后第一節(jié)課教會(huì)了若干名同學(xué)，其次節(jié)課會(huì)做該試驗(yàn)的同學(xué)又教會(huì)了同樣多的同學(xué)，這樣全班共有36人會(huì)做這個(gè)試驗(yàn)；若設(shè)1人每次都能教會(huì)x名同學(xué)，則可列方程為()A．x+(x+1)x＝36 B．1+x+(1+x)x＝36C．1+x+x2＝36 D．x+(x+1)2＝36【答案】B【詳解】設(shè)1人每次都能教會(huì)x名同學(xué)，依據(jù)題意得：1+x+(x+1)x＝36．故選：B．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三增長(zhǎng)率問(wèn)題【解題關(guān)鍵】用含未知數(shù)的數(shù)據(jù)將題干中每年?duì)顩r的數(shù)據(jù)表示出來(lái)，列出等量關(guān)系。典例1某公司今年銷售一種產(chǎn)品，一月份獲得利潤(rùn)10萬(wàn)元，由于產(chǎn)品暢銷，利潤(rùn)逐月增加，第一季度共獲利42萬(wàn)元，已知二月份和三月份利潤(rùn)的月增長(zhǎng)率相同．設(shè)二、三月份利潤(rùn)的月增長(zhǎng)率x，那么x滿意的方程為（）A．10（1+x）2＝42B．10+10（1+x）2＝42C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝42D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝42【答案】D【詳解】設(shè)二、三月份利潤(rùn)的月增長(zhǎng)率x，則二月份獲得利潤(rùn)10（1+x）萬(wàn)元，三月份獲得利潤(rùn)10（1+x）2萬(wàn)元，依題意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝42．故選D．典例2某縣從2024年起先大力發(fā)展“竹文化”旅游產(chǎn)業(yè)。據(jù)統(tǒng)計(jì)，該縣2024年“竹文化”旅游收入約為2億元預(yù)料2024年“竹文化”旅游收入達(dá)到2.88億元，據(jù)此估計(jì)該縣2024年，2024年“竹文化”旅游收入的年平均增長(zhǎng)率約為（）A． B． C． D．【答案】B解：設(shè)該市2024年、2024年旅游收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意，得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）．故選B．典例3為防治霧霾，愛護(hù)環(huán)境，某市掀起“愛綠護(hù)綠”熱潮，經(jīng)過(guò)兩年時(shí)間，綠地面積增加了21%，設(shè)這兩年的綠地面積的平均增長(zhǎng)率是，則列出關(guān)于的一元二次方程為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)綠地面積為a，這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率是x，依據(jù)題意列方程得：a（1+x）2=（1+21%）a，即（1+x）2=1+21%．故選D．學(xué)問(wèn)點(diǎn)四幾何問(wèn)題【解題關(guān)鍵】依據(jù)已知所學(xué)內(nèi)容，將其用含未知數(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)。典例1如圖，某小區(qū)有一長(zhǎng)為18米，寬為6米的矩形空地，安排在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，則人行道的寬度為（）米．A．2 B．1 C．8或1 D．8【答案】B【詳解】解：設(shè)人行道的寬度為x米，則兩塊矩形綠地可合成長(zhǎng)為（18-3x）米、寬為（6-2x）米的矩形，依據(jù)題意得：（18-3x）（6-2x）=60，整理得：x2-9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．∵8＞6，∴x2=8舍去．故選：B．典例2在一幅長(zhǎng)、寬的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊制成一幅矩形掛圖，假如要使整個(gè)掛圖的面積是，設(shè)金色紙邊的寬為，那么滿意的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)金色紙邊的寬為，則矩形掛圖的長(zhǎng)為（80+2x）cm,寬為（50+2x）cm,依題意得（80+2x）（50+2x）=5400，化簡(jiǎn)為故選C.典例3芳芳有一個(gè)無(wú)蓋的收納箱，該收納箱綻開后的圖形（實(shí)線部分）如圖，將該圖形補(bǔ)充四個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形后，得到一個(gè)矩形，已知矩形的面積為，依據(jù)圖中信息，可得的值為（）A．10 B．20 C．25 D．30【答案】B【詳解】依題意得到補(bǔ)全后的矩形長(zhǎng)為x+30，寬為x+20,故(x+30)(x+20)=2000,解得x1=20,x2=-70(舍去)故選B.鞏固訓(xùn)練一、單選題（共10小題）1．今年“國(guó)慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)全部人共收到90個(gè)紅包，則該群一共有()A．9人B．10人C．11人D．12人【答案】B【解析】試題解析：設(shè)這個(gè)QQ群共有x人，

依題意有x（x-1）=90，

解得：x=-9（舍去）或x=10，

∴這個(gè)QQ群共有10人．故選B.2．在一次酒會(huì)上，每?jī)扇硕贾慌鲆淮伪偃缫还才霰?5次，則參與酒會(huì)的人數(shù)為（

）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人【答案】C【詳解】設(shè)參與酒會(huì)的人數(shù)為x人，依題可得：

x（x-1）=55，

化簡(jiǎn)得：x2-x-110=0，

解得：x1=11，x2=-10（舍去），

故答案為：C.3．某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第三季度生產(chǎn)零件182萬(wàn)個(gè)．若該廠八、九月份平均每月生產(chǎn)零件的增長(zhǎng)率均為x，則下面所列方程正確的是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）2＝182C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182【答案】D【詳解】依題意得五、六月份的產(chǎn)量為50(1+x)、50(1+x)2，∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182.故答案選D.4．我市某樓盤打算以每平方6000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次下調(diào)后，確定以每平方4860元的均價(jià)開盤銷售，則平均每次下調(diào)的百分率是（

）.A．8%B．9%C．10%D．11%【答案】C【解析】分析：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，則兩次降價(jià)后的價(jià)格為6000（1-x）2，依據(jù)降低率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．詳解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，由題意，得6000（1-x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下調(diào)的百分率為10%．故選：C．【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，降低率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)依據(jù)降低率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．5．祁中初三66班學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都要給其他同學(xué)寫一份畢業(yè)留言作為紀(jì)念，全班學(xué)生共寫了930份留言．假如全班有x名學(xué)生，依據(jù)題意，列出方程為（）A．x(x-1)2=930B．x(x+1)【答案】D【解析】分析：可設(shè)全班有x名同學(xué),則每人寫(x-1)份留言,共寫x(x-1)份留言,進(jìn)而可列出方程即可.詳解：設(shè)全班有x名同學(xué)，則每人寫（x﹣1）份留言，依據(jù)題意得：x（x﹣1）=930，故選：D．【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程,其中x(x-1)不能和握手問(wèn)題那樣除以2,另外這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解時(shí)應(yīng)留意考慮解的合理性,即考慮解的取舍.6．微信紅包是溝通人們之間感情的一種方式，已知小明在2024年“元旦節(jié)”收到微信紅包為300元，2024年為675元，若這兩年小明收到的微信紅包的年平均增長(zhǎng)率為x，依據(jù)題意可列方程為()A．300(1+2x)＝675B．300(1+x2)＝675C．300(1+x)2＝675D．300+x2＝675【答案】C【詳解】這兩年小明收到的微信紅包的年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：300(1+x)2＝675，故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用——增長(zhǎng)率問(wèn)題，正確理解題意，表示出2024、2024年微信收到的紅包是解題的關(guān)鍵.7．如圖，有一張矩形紙片，長(zhǎng)10cm，寬6cm，在它的四角各減去一個(gè)同樣的小正方形，然后折疊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒．若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng)．設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xcm，依據(jù)題意可列方程為（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32【答案】B【解析】分析：設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xcm，則紙盒底面的長(zhǎng)為（10?2x）cm，寬為（6?2x）cm，依據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．詳解：設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xcm，則紙盒底面的長(zhǎng)為（10?2x）cm，寬為（6?2x）cm，依據(jù)題意得：（10?2x）（6?2x）＝32．故選：B．【名師點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．從一塊正方形的木板上鋸掉2m寬的長(zhǎng)方形木條，剩下的面積是48㎡，則原來(lái)這塊木板的面積是（）A．100㎡ B．64㎡ C．121㎡ D．144㎡【答案】B【解析】設(shè)原來(lái)正方形木板的邊長(zhǎng)為xm，從一塊正方形木板上鋸掉2m寬的長(zhǎng)方形木條，剩下的仍舊是一個(gè)長(zhǎng)方形，此時(shí)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于原來(lái)正方形木板的邊長(zhǎng)，寬等于正方形木板的邊長(zhǎng)減去2m，依據(jù)剩下的長(zhǎng)方形的面積是48m2，列出方程：x（x﹣2）=48，解得x1=8，x2=﹣6（不合題意，舍去）?！嘣瓉?lái)這塊木板的面積是8×8=64（m2）。故選B。9．某縣以“重點(diǎn)整治環(huán)境衛(wèi)生”為抓手，加強(qiáng)對(duì)各鄉(xiāng)鎮(zhèn)環(huán)保建設(shè)的投入，安排從2024年起到2024年累計(jì)投入4250萬(wàn)元，已知2024年投入1500萬(wàn)元，設(shè)投入經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，依據(jù)題意，下列所列方程正確的是（）A．1500（1+x）2＝4250B．1500（1+2x）＝4250C．1500+1500x+1500x2＝4250D．1500（1+x）+1500（1+x）2＝4250﹣1500【答案】D【解析】解：設(shè)2024﹣2024年投入經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，則2024年投入1500（1+x）萬(wàn)元，2024年投入1500（1+x）2萬(wàn)元，依據(jù)題意得1500（1+x）+1500（1+x）2=4250﹣1500．故選D．名師點(diǎn)睛：本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程中求平均改變率的方法．若設(shè)改變前的量為a，改變后的量為b，平均改變率為x，則經(jīng)過(guò)兩次改變后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．10．如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為18米，寬為6米的矩形空地，安排在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若設(shè)人行道的寬度為x米，則可以列出關(guān)于x的方程是()A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0【答案】C【解析】【詳解】解：設(shè)人行道的寬度為x米，依據(jù)題意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，化簡(jiǎn)整理得，x2﹣9x+8=0．故選C．二、填空題（共5小題）11．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊長(zhǎng)是方程x2-10x+21=0的根，則三角形的周長(zhǎng)為______________.【答案】16【解析】分析：首先求出方程的根，再依據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，確定第三邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求其周長(zhǎng)．詳解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三邊的邊長(zhǎng)＜9，∴第三邊的邊長(zhǎng)為7．∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是3+6+7=16．故答案為：16．【名師點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關(guān)系．已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．12．某商品的原價(jià)為120元，假如經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，且每次降價(jià)的百分率都是m，那么該商品現(xiàn)在的價(jià)格是_____元（結(jié)果用含m的代數(shù)式表示）．【答案】100（1﹣m）2【解析】分析：現(xiàn)在的價(jià)格=第一次降價(jià)后的價(jià)格×（1-降價(jià)的百分率）．詳解：第一次降價(jià)后價(jià)格為100（1-m）元，其次次降價(jià)是在第一次降價(jià)后完成的，所以應(yīng)為100（1-m）（1-m）元，即100（1-m）2元．故答案為：100（1-m）2．【名師點(diǎn)睛】本題難度中等，考查依據(jù)實(shí)際問(wèn)題情景列代數(shù)式．依據(jù)降低率問(wèn)題的一般公式可得：某商品的原價(jià)為100元，假如經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，且每次降價(jià)的百分率都是m，那么該商品現(xiàn)在的價(jià)格是100（1-m）2．13．在一次酒會(huì)上，每?jī)扇硕贾慌鲆淮伪偃缫还才霰?5次，則參與酒會(huì)的人數(shù)為________.【答案】11【詳解】解：設(shè)參與酒會(huì)的人數(shù)為x人，

依據(jù)題意得：x（x-1）=55，

整理，得：x2-x-110=0，

解得：x1=11，x2=-10（不合題意，舍去）．

答：參與酒會(huì)的人數(shù)為11人．故答案為：11.【名師點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有人患了流感，那么每輪傳染中平均一個(gè)人傳染給__________個(gè)人.【答案】7【解析】試題分析：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染給x個(gè)人，則依據(jù)題意可知：，解得：x=7或x=-9(舍去)，故每輪傳染中平均一個(gè)人傳染給7個(gè)人．15．為創(chuàng)建“國(guó)家生態(tài)園林城市”，某小區(qū)在規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)，在小區(qū)中心設(shè)置一塊面積為1200平方米的矩形綠地，并且長(zhǎng)比寬多40米．設(shè)綠地寬為x米，依據(jù)題意，可列方程為_____．【答案】x（x+40）=1200．【詳解】由題意可得，x（x+40）=1200，故答案是：x（x+40）=1200．【名師點(diǎn)睛】考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．三、解答題（共2小題）16．如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)動(dòng)身，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，始終到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動(dòng)．（1）P、Q兩點(diǎn)從動(dòng)身起先到幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2；（2）P、Q兩點(diǎn)從動(dòng)身起先到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．【答案】（1）x=5；（2）t=4.8或1.6．【解析】解：（1）設(shè)P、Q兩點(diǎn)從動(dòng)身起先到x秒時(shí)四邊形PBCQ的