2022-2023學(xué)年上海初二年級(jí)下冊(cè)同步講義第16講 動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題解析版

第16講動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題

運(yùn)動(dòng)變化題是隨著圖形的某一元素的運(yùn)動(dòng)變化，導(dǎo)致問(wèn)題的結(jié)論改變或者保持不變的兒

何題，它揭示了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系.解題的關(guān)鍵是分清幾

何元素運(yùn)動(dòng)的方向和捷徑，注意在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中哪些是變量，哪些不是變量，通常要根據(jù)幾何

元素所處的不同位置加以分類討論，同時(shí)，綜合運(yùn)用勾股定理、方程和函數(shù)等知識(shí)，本節(jié)課

的內(nèi)容涉及三角形、特殊的四邊形的面積問(wèn)題.

模塊一：面積計(jì)算的問(wèn)題

知識(shí)精講

本節(jié)主要是在函數(shù)背景下求三角形或四邊形的面積問(wèn)題，較復(fù)雜的題目可以采取“割

補(bǔ)”的思想構(gòu)造較簡(jiǎn)單的圖形進(jìn)行求解.

例題解析

例1.(2018?上海八年級(jí)期中)一次函數(shù)y=+m的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-2,3),且與x軸、

＞軸分別交于點(diǎn)A、3,求△AO8的面積.

【答案】-

4

【詳解】先將點(diǎn)。坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可求出加值，再根據(jù)函數(shù)解析式求出/、6兩點(diǎn)坐

標(biāo)即可求出AAOB的面積.

解：將尸(―2,3)代入y=-2x+m得，

m=-1,

/.y=-2x-l.

當(dāng)y=0時(shí)，x=-g,

???點(diǎn)力坐標(biāo)為(——,0),

2

當(dāng)冗=0時(shí)，y=-l,

???點(diǎn)夕坐標(biāo)為(0,-1),

/.OA=—,0B=1.

2

SACR—~,OA-OB=—x—xl.

-A°B2224

例2.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）一次函數(shù)＞=（〃?-2）/匕吁2+〃的圖像

＞隨x增大而減小，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,6）.

求（1）mn的值；

（2）求該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積及坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離.

27

【答案】（1）加=-9;（2）該宜線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為一，坐標(biāo)原點(diǎn)到直

2

線的距離為2廂.

10

【分析】（1）由一次函數(shù)的定義和性質(zhì)列出方程和不等式求出m的值，代入A點(diǎn)坐標(biāo)，可

求出n值；

（2）山解析式可得》軸截距與X軸截距，然后根據(jù)三角形面積公式求解；利用勾股定理求

出直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的斜邊長(zhǎng)，然后用等積法求解.

【詳解】解：（1）???y=（x-2）x""2"，-2+”是一次函數(shù)

nr—2m—2=1

即（加一3）（，〃+1）=0

解得班=3；㈣=-1.

又y隨％增大而減小

m-2＜0

即機(jī)＜2

m--\

一次函數(shù)解析式為：y=-3x+〃

代入點(diǎn)A（l,6）得6=-3+〃

n=9

mn--9

（2）由（1）得：y=-3x+9

丁軸截距：b=9

b9

x軸截距：一7=--=3

k-3

，該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；5=-.&.-1=-x3x9=^

2k22

該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的斜邊長(zhǎng)：+匕2=V32+92=3M

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為/l.

WS=-x3V10x/7=—

22

h=—Vio

10

???坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為2屈.

10

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟

練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

例3.（2019?上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級(jí)期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（1,。），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（。,4）,直線。/〃x軸.點(diǎn)5與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直

線y=x+6（〃為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,且與直線CM相交于點(diǎn)。.

（1）求6的值和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）在％軸上有一點(diǎn)。，使的面積為8,求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在％軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P,使得APOO為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)b=l,0(3,4)；(2)0(3,0)或&(-5,0).(3)存在.耳(5,0)或￡(6,0)或

25

仁).

【分析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由直線過(guò)點(diǎn)B,把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，可求得b的

值；點(diǎn)D在直線CM上，其縱坐標(biāo)為4,利用求得的解析式確定該點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可；

(2)過(guò)點(diǎn)。作軸，根據(jù)三角形面積公式求出BQ的長(zhǎng)，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)aPOD為等腰三角形，有三種情況：OP=OD,PD=OD,PD=PO,故需分情況

討論，要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離即司一；

【詳解】

解：(1)???8與A(l,0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

5(-1,0)

???y=x+b過(guò)點(diǎn)8

—14-Z?=0

b=\

y=x+l

當(dāng)y=4時(shí)，x+l=4

x=3

0(3,4)

.?b=l,0(3,4).

(2)過(guò)點(diǎn)。作軸，垂足為￡,則。E=4OE是在邊BQ上的高.

S&J3QD=5BQ?DE=8

BQ=4

在x軸上存在兩個(gè)。點(diǎn)滿足條件.

即：9(3,0)或0(-5,0).

(3)存在.

0D=\IOC2+CD2=>/42+32=5

①當(dāng)。尸=8時(shí)

；OP=OD=5,0(0,0)

6(5,0)

②當(dāng)PO=OD時(shí)

?/PD=OD,DE±x

???DE是OP邊得中線

OE=PE

vDEA.X,OD=5,DE=4

OE=3

OP=6

￡(6,0)

③當(dāng)PD=PO時(shí)

設(shè)P(a,0)

???PD=PO

：.PD=a

???在RtAPED中,PD=a,PE=a-3,DE=4

ci~=(a—3)~+4"

25

解得：a=—.

6

25

,0)

6

25

綜上所述:耳(5,0)或g(6,0)或居(3,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰三

角形的判定和性質(zhì)，注意分情況討論是解決本題的關(guān)鍵.

例4.（2020?上海市位育實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，直線/i的解析式為、=-3%+3,

且八與x軸交于點(diǎn)D,直線/2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,兩條直線交于點(diǎn)C,在直線心上存在一點(diǎn)P,使

得4ADP的面積是AADC面積的2倍，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【答案】（8,6）或（0,-6）

【分析】已知L的解析式，令y=0求出D點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)k的解析式為y=kx+b,由圖聯(lián)立

方程組求出k,b的值，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而可求出生領(lǐng)，

ADC底邊都是AD,根據(jù)AADP的面積是aADC面積的2倍，可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】由丫=~^+3,令y=0,得Tx+3=0,

x=1,

AD（1,0）；

設(shè)直線L的解析表達(dá)式為y=kx+b,

3

由圖象知：x=4,y=0；x=3,y=—,代入表達(dá)式y(tǒng)=kx+b,

2

4k+b=0

3攵+Q_3

I2

2

b=-6

3

直線L的解析表達(dá)式為y=-x-6

2;

y=-3x+3

由，

y=—x-6

x=2

解得＜

y=-?>

：.C(2,T),

VAD=3,

19

SAABC―—X3X-3=一,

22

VAADP與△ADC底邊都是AD,AADP的面積是4ADC面積的2倍，

/.△ADC高就是點(diǎn)C到直線AD的距離的2倍，

即C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=6,則P到AD距離=6,

...點(diǎn)P縱坐標(biāo)是±6,

3

Vy=—x-6,y=6,

2

3

A-x-6=6,

2

解得x=8,

.-.P.(8,6).

3

"."y—-x-6,y=6

2

.3。八

..-x-6--6,

2

解得x=0,

.\P，(0,-6)

綜上所述,Pi(8,6)或R(0,-6).

故填：(8,6)或(0,-6).

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算等有關(guān)知識(shí)，利用圖象上點(diǎn)的

坐標(biāo)得出解析式是解題關(guān)鍵.

例5.(2020?上海市南匯第四中學(xué)八年級(jí)月考)如圖，直線L：y=—；x+3與x軸、＞

軸分別交于A、B兩點(diǎn)，在V軸上有一點(diǎn)C(0,9),動(dòng)點(diǎn)M從4點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度

沿x軸向左移動(dòng).

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)求VCOM的面積S與A7的移動(dòng)時(shí)間f(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)f何值時(shí)△COM也△AO8,并求此時(shí)“點(diǎn)的坐標(biāo).

(4)當(dāng)/何值時(shí)VCQ0的面積是AAOB一半，并求此時(shí)〃點(diǎn)的坐標(biāo).

Q1

-9r+y(O<Z<4.5)

【答案】(1)A(9,0)；(2)B(0,3)；(2)S=<(3)當(dāng)t=3,M(3,

嗔(，>4.5)

。)，當(dāng)t=6,M(-3,。)；⑷當(dāng)t寺，當(dāng)(-I，。)

【分析】(1)對(duì)于L：y=-gx+3,令x=0可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0可求出A點(diǎn)坐標(biāo);

(2)分點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式解答即可；

(3)分點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式求出t的值，進(jìn)而可

求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(4)根據(jù)三角形的面積公式列式求出0M的長(zhǎng)，進(jìn)而分點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況，

可求出t的值及點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】解：⑴當(dāng)x=0時(shí),y=3,

；.B(0,3).

當(dāng)y=0時(shí)，0=--x+3,x=9,

3

AA(9,0)；

(2)9+2=4.5秒,

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即0WtW4.5時(shí)，由題意得，0M=9-2t,

|1Q1

：.S^-OMOC=-(9-2t)x9-9t+—.

22V'2

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即t>4.5時(shí)，由題意得，0M=2t-9,

11Q1

：.S=-OM-OC=-(2t-9}x99t--,

22V'2

Q1

-9/+y(O<r<4.5)

9?-y(r>4.5)

(3)當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即0WtW4.5時(shí),

AOM-OB,

A9-2t=3,

t=3,

/.0M=9-6=3,

AM(3,0)；

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即t>4.5時(shí),

■:^COM^AAOB,

.\OM=OB,

.,.2t-9=3,

；.t=6,

；.0M=12-9=3,

AM(-3,0)；

綜上可知，當(dāng)t=3,M(3,0),當(dāng)t=6,M(-3,0)；

1127

(4)SAAOB=—OA-OB=-x9x3=—,

222

11127

：.-OMOC=-OMx9=-x—

2222

3

2

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí),

3

9-21--,

2

.t_15

??I-,

4

3

此時(shí)M(一,0)；

2

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí),

3

2t-9=—,

2

.t_21

“了，

3

此時(shí)M(一一，0),

2

綜上可知，當(dāng)t=，，M(—,0)；當(dāng)1=下，M(,0).

4242

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)，以及

分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解答本題的關(guān)鍵.

例6.(2019?上海嘉定區(qū)?上外附中八年級(jí)月考)如圖，已知一次函數(shù)y=kx+3的圖形經(jīng)

過(guò)點(diǎn)A(1,in),與x軸、y軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，且NAB0=45°,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(3,0)

(1)求m的值；

(2)聯(lián)結(jié)CD、AD,求4ACD的面積；

(3)設(shè)點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NADC=/ECD時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

3

【答案】(1)m=4；(2)S/。=3；(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5,0)或(6,0).

【分析】(1)求出點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可解決問(wèn)題；

(2)根據(jù)=SJBD-SRCD進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)分點(diǎn)E在點(diǎn)D左側(cè)和點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)兩種情況，分別求出直線CEi和直線CE?的解析

式即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo).

【詳解】解：(1)???一次函數(shù)y=kx+3的圖象與x軸、y軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，Z

AB0=45°,

.*.0B=0C=3,

AB(-3,0),

將B(-3,0)代入y=kx+3得：0=-3k+3,

解得：k=l,

工直線BC的解析式為：y=x+3,

當(dāng)x=l時(shí)，y=x+3=4,

，m=4；

(2)VB(-3,0),C(0,3),D(3,0),A(1,4),

ABD=6,

sACO=S-S=，倉(cāng)K4--^3=3；

t^ArKBisDu△BzjCczDy22

(3)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，

'.'ZADC=ZEICD,

AAD/ZCEi,

設(shè)直線AD的解析式為:y=kix+b(k#0),

(4=%+8

代入A(L4),D⑶。)得:二.解得:]k[=—2

b=6

工直線AD的解析式為：y=-2x+6,

故設(shè)直線CEi的解析式為：y=-2x+c,

代入C(0,3)得：c=3,

???直線CEi的解析式為：y=-2x+3,

3

當(dāng)y=0時(shí)，解得：尢=一,

2

3

.'.E)(-,0)；

2

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，AD與CEz交于點(diǎn)F,

VZADC=ZE2CD,

???FC=FD,

V0B=0D=3,ZAB0=45°,

AZCDB=45°,

AZACD=45°+45°=90°,即NACF+NFCD=90°,

VZCAF+ZFDC=90°,

.'.ZACF=ZCAF,

.\FC=FA,

???F為線段AD的中點(diǎn),

??.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,2),

設(shè)直線CE?的解析式為：y=k2x+3,

代入F(2,2)得：2=2月+3,解得：&=一g，

直線C&的解析式為：y=—(x+3,

當(dāng)y=0時(shí)，解得：x=6,

,?.E2(6,0),

3

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一，0)或(6,0).

2

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與兒何綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，-次函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.

例7..(2019?上海市市西初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

4—6,0),8(-4,3),邊A3上有一點(diǎn)P(m,2),點(diǎn)。，。分別在邊Q4,OB上，聯(lián)結(jié)

CD,CD//AB,聯(lián)結(jié)PC,PD，BC.

(1)求直線AB的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2當(dāng)CQ=8Q時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)R在射線上，SMB0=S&RBO,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)R的坐標(biāo).

314

【答案】(1)直線AB解析式為y=-x+9,P點(diǎn)坐標(biāo)為(-一，2)(2)C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,

23

0)(3)R(2,-6).

【分析】(1)由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，再把P點(diǎn)坐

標(biāo)代入直線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由條件可證明△BPQ四△0)€),可證得四邊形BDCP為平行四邊形，由B、P的坐標(biāo)可求

得BP的長(zhǎng)，則可求得CD的長(zhǎng)，利用平行線分線段成比例可求得0C的長(zhǎng)，則可求得C的坐

標(biāo)；

(3)由條件可知AR〃B0,故可先求出直線OB,BC的解析式，再根據(jù)直線平行求出AR的

解析式，聯(lián)立直線AR、BC即可求出R點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,

\-4k+b=3k=-

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得《〃，八，解得<2,

-6k+b=Q

b=9

3

直線AB解析式為y=-x+9,

2

,/P(九2)在直線AB上,

3-14

.'.2——m+9,解得m=---,

23

14

.?.P點(diǎn)坐標(biāo)為(-一，2)；

3

(2)CD//AB.

.,.ZPBQ=ZDCQ,

在和aDCQ中

ZPBQ=NDCQ

<CQ=BQ

NPQB=ZDQC

.'.△PBQ^ADCQ(ASA),

ABP=CD,

???四邊形BDCP為平行四邊形，

14

???8(-4,3),(■—,2),

3

.\CD=BP=J(-4+y)2+(3-2)2=--,

VA(-6,0),

???OA=6,AB=J(-4+6,+(3-0)2=岳,

；CD〃AB,

.'.△COD^AAOB

y/l3

?COCD

upco,解得co=2,

■AO~AB

6-V13

；.C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)；

(3),?=S\RBO，

二點(diǎn)A和點(diǎn)R至IJBO的距離相等,

.,.BO//AR,

3

設(shè)直線BO的解析式為尸nx,把8(-4,3)代入得3=-如，解得n=—-x

4

3

?,?宜線BO的解析式為y二-一x,

4

3

???設(shè)直線AR的解析式為y=--x+e,

4

3

把A(-6,0)代入得0=--X(-6)+e

9

解得e=--

2

39

..?直線AR的解析式為y=--x--,

42

設(shè)直線BC解析式為y=px+q,

把C、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得《-^?k+b,-3八，解得＜

一2人+8=0

b=-3

3

［線AB解析式為y=-x-3,

2

聯(lián)立

y=--x-3

I2

x=2

解得《,

y=-6

AR（2,-6）.

【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股

定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解

題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法求111函數(shù)解析式.

例8.（2020?上海嘉定區(qū)?八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)

4

y=-的圖像與x軸、），軸分別相交于點(diǎn)A、B,且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的

面積為6.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)3的坐標(biāo)（用含匕的代數(shù)式表示）；

（2）求2的值;

4

（3）如果一次函數(shù)y=—+8的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,m）,

其中機(jī)＞0,試用含機(jī)的代數(shù)式表示△ABC的面積.

33

【答案】⑴A(-^O)；8(0,b)(2)±4(3)-m+10

4

【分析】(1)由一次函數(shù)y=-gx+8的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,令y二。求

Hlx,得到A點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0,求出y,得到B點(diǎn)坐標(biāo)；

4

(2)根據(jù)一次函數(shù)y=-］無(wú)+人的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為6列出方程,

即可求出b的值；

4

(3)根據(jù)一次函數(shù)y=--x+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，得出b=-4,確定A(-3,

33

0),B(0,-4).利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再求出D(0,—m),那么BD二g

m+4,再根據(jù)SAABC^S△ABI)+SADBCf即可求解.

4

【詳解】解：(1)???一次函數(shù)支--x+b的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,

3

433

???當(dāng)y=0時(shí)，x+b=O,解得x=-b,則A(—b,0),

344

當(dāng)x=0時(shí),y=b,則B(0,b)；

故A(-b,O)；B(O,b)；

4

ii3

(2)-S^OB=-OA.OB=---h-\b\^6

b2=16?

h=±4；

(3)???函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限,

b=Y,

4)

；?y=-X—4.

3

.??4—3,0),5(0,-4).

設(shè)直線AC的解析式為y=&+r,

0=—3k+1

將A、C坐標(biāo)代入得＜

m=2k+t

解得《

3

設(shè)直線AC與y軸交于點(diǎn)D，則r＞（O,-/n）.

3

...BD^-m+4

5

133

???^BC=--（-/n+4）.（3+2）=-/?+10.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，利

用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.

例9.（2020?上海金山區(qū)?八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)

y=履（％W0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,'，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,6）.

（1）求女的值；

（2）求△。鉆的面積；

（3）若點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合）在此正比例函數(shù)丁=日（攵。0）圖像上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

a,求A4BC的面積.（用。的代數(shù)式表示）

【答案】⑴％=；：⑵SAOAB=1；(3)=54-5或SAABC=5。

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求在的值;

（2）求直線切的解析式，從而求得〃點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求解；

（3）過(guò)點(diǎn)C做宙Ly軸，交46于點(diǎn)區(qū)求得宜線油的解析式，從而求得￡1點(diǎn)坐標(biāo)，然后

利用三角形面積公式求解

【詳解】解：⑴將4L；）代入正比例函數(shù)）=區(qū)化彳0）中得：k=g

（2）設(shè)直線仍的解析式為y=如，將取2,6）代入，得：

2m=6,解得：m=3

直線您的解析式為：y=3x

過(guò)點(diǎn)/作4ax軸，交0B于點(diǎn)D

則〃點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）

：.AD=3--=-

22

S/VMB=gx2A￡>=?

（3）由題意可得：C點(diǎn)坐標(biāo)為

過(guò)點(diǎn)C做血y軸，交仍于點(diǎn)E

設(shè)直線四的解析式為y=3+b,將A（l,；）,/，（2,6）代入，得:

\,1[,11

h+b=—"—

<2,解得：''2

2k]+h=6b=-5

直線力6的解析式為：y=-x-5

?"點(diǎn)坐標(biāo)為（%射

I，一w

：.EC-

11111

111010

-------a------

41111

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何綜合，掌握一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)

合思想解題是關(guān)鍵.

3

例10.(2019?上海市西延安中學(xué)八年級(jí)期中)已知一次函數(shù)y=--x+6的圖象與坐標(biāo)軸交

4

于A、B點(diǎn)(如圖)，AE平分NBA0,交x軸于點(diǎn)E.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求直線AE的表達(dá)式；

(3)過(guò)點(diǎn)B作BFLAE,垂足為F,連接0F,試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積.

【答案】(1)B(8,0)；(2)直線AE的表達(dá)式為y=-2x+6：(3)△OFB為等腰三角形，SA

(?產(chǎn)8.

3

【分析】(1)對(duì)于一次函數(shù)y=--x+6,令y=0和x=0求出對(duì)應(yīng)的x與y的值，確定出0A

4

及0B的長(zhǎng)，即可確定出B的坐標(biāo)；

(2)由(1)得出A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，過(guò)E作EG垂直于AB,由AE為

角平分線，利用角平分線定理得到EO=EG,利用HL可得出直角三角形AOE與直角三角形

AGE全等，可得出AO=AG,設(shè)OE=EG=x,由OB-OE表示出EB,由AB-AG=AB-AO表示出BG,

在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定

III0E的長(zhǎng),得出E的坐標(biāo)，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b(kWO),將A和E的坐標(biāo)代

入，得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可得到直線AE的解析

式；

(3)延長(zhǎng)BE與y軸交于K點(diǎn)，由AF為角平分線得到一對(duì)角相等，再由AF與BF垂直得到

一對(duì)直角相等，以及AF為公共邊，利用ASA得出三角形AKF與三角形ABF全等，可得出

AK=AB,利用三線合一得到F為BK的中點(diǎn)，在直角三角形OBK中，利用斜邊上的中線等于

斜邊的一半得到OF為BK的一半，即OF=BF,過(guò)F作FH垂直于x軸于H點(diǎn)，利用三線合一

得到H為0B的中點(diǎn)，由0B的長(zhǎng)求出0H的長(zhǎng)，即為F的橫坐標(biāo)，將求出的橫坐標(biāo)代入直線

AE解析式中求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，即為HF的長(zhǎng)，以0B為底，F(xiàn)H為高，利用三角形的面積公

式即可求出三角形BOF的面積；

3

【詳解】(1)對(duì)于y=-：x+6,

4

當(dāng)x=0時(shí)，y=6；當(dāng)y=0時(shí)，x=8,

，0A=6,0B=8,

在RtZ\AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=1O,

則A(0,6),B(8,0)；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EG_LAB,垂足為G

；AE平分NBAO,EO±AO,EG1AG,

；.EG=OE,

AE=AE

在RtZXAOE和RtZXAGE中，｛

EO=EG

.'.RtAAOE^RtAAGE(HL),

.\AG=AO,

設(shè)OE=EG=x,則有BE=8-x,BG=AB-AG=10-6=4,

在RtZ^BEG中，EG=x,BG=4,BE=8-x,

22

根據(jù)勾股定理得：X+4=(8-X)2,

解得：x=3,

Z.E(3,0),

設(shè)直線AE的表達(dá)式為尸kx+b(kWO),

b=67伏=—2

將A(0,6),E(3,0)代入y=kx+b得：｛”，/,解得9,

3k+b=2[b=6

則直線AE的表達(dá)式為y=-2x+6；

⑶延長(zhǎng)BF交y軸于點(diǎn)K,

VAE平分NBAO,

/.ZKAF=ZBAF,

又BF_LAE,

ZAFK=ZAFB=90°

,?AF=AF

.,.△AFK^AAFB,

AFK=FB,即F為KB的中點(diǎn)，

又,??△BOK為直角三角形，

,?.0F=—BK=BF,

2

.,.△OFB為等腰三角形，

過(guò)點(diǎn)F作FH_LOB,垂足為H(如圖所示)，

VOF=BF,FHXOB,

.,.0H=BH=4,

；.F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,

設(shè)F(4,y),將F(4,y)代入y=-2x+6,得：y=-2,

FH=|-2|=2,

則SA。1產(chǎn)—OB?FH=—X8X2=8.

22

例11.如圖，已知直線/：y=-2x+2與“軸、y軸分別交于點(diǎn)8、C,將直線y=x向上平移

1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線用，點(diǎn)。是直線序與y軸的交點(diǎn)，求四邊形圖如的面積.

【難度】★★

【答案】--

6

【解析】由題意可得：直線處的解析式為y=x+l

二二］解得一

令

?.?點(diǎn)。是直線四與y軸的交點(diǎn)，/.2(0,1).

?.,宜線/：y=-2x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)反C,

:.B(1,0),C(0,2).

??S四邊形PQ04=S4COB_S&CPQ=_x2xl--xlx—

【總結(jié)】考察四邊形面積的求法，不規(guī)則圖形的面積用割補(bǔ)法來(lái)解決.

例12.如圖，已知直線/氏y=x+2與直線以：y=交于點(diǎn)4與直線仍：y=3x交于

點(diǎn)夕兩點(diǎn).求△力如的面積.

【難度】★★

【答案】4.

y=x+2(3

【解析】令|y=L，解得：［一_；，則4(-3,-1).

令"3」解得：0=3'則嗎)?

設(shè)宜線46與x軸相交于G則C(-2,0),

,?SaOAB=S^OAC+S&OCB=-x2x3+—x2xl=4.

【總結(jié)】考察三角形面積的求法,不能直接求面積則用割補(bǔ)法來(lái)解決，注意交點(diǎn)坐標(biāo)的求法.

例13.如圖，已知直線y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于4、3兩點(diǎn),直線/經(jīng)過(guò)原

點(diǎn)，與線段48交于點(diǎn)G把△/紡的面積分為2：1兩部分，求直線/的解析式.

【難度】★★

［答案］y=—2xsKy=—^x.

【解析】?.?直線y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于4、6兩點(diǎn),

：.A(-3,0),B(0,3),

.19

；?5AOAB=-X3X3=--

2

當(dāng)SAOBC=g時(shí)，

i79

則]x3xyc=]X],則y。=2，

???。點(diǎn)在直線4?上，."（一1,2）,

則直線，的解析式為：y=-2x：

當(dāng)S&OBC=3S40BA時(shí)?

11Q

則耳x3x>c=1x5,則ye=1，

???。點(diǎn)在直線4?上，???「（一2,1）,

則直線7的解析式為：y^--x.

2

綜上直線/的解析式為y=-2x或y=-；x.

【總結(jié)】考察面積的求法，本題中要注意分類討論.

例14.如圖，已知，在矩形4題中，4廬10,小12,四邊形如67/的三個(gè)頂點(diǎn)反

F、〃分別在矩形加如邊/氏BC、為上，AE=2.

（1）如圖1,當(dāng)四邊形仍加為正方形時(shí)，求△斤C的面積；

（2）如圖2,當(dāng)四邊形冰必為菱形，且ma時(shí),求的面積.（用含。的代數(shù)式表

示）

H_n

B--3-------------R

FBF

圖1圖2

【難度】★★★

【解析】⑴過(guò)點(diǎn)。作Gk優(yōu)于"

，二

b______H___________、D

BYM￡V-----------------

FMC

圖1圖2

；四邊形硒擊為正方形時(shí)，ZAEH+ZBEF=90°

???ZAEH+90°,ZAHE=ZBEF

VZAHE=ZBEF,ZA=ZB,EH=EF,

△A〃Fg/\REF

同理可知：AMFG^/XBEF

：.GM=BF=AE=2

：.FC=BC—BF=1Q,則S&GFC=1。；

(2)過(guò)點(diǎn)。作6月_及7于M,連接HF

'：AD//BC,：.ZAHF=ZMFH

:EH//FG,二NEHF=NGFH

ZAHE=ZMFG

VZAHE=ZMFG,ZA=AGMF,EH=GF,

：./XAHE^^MFG

：.GM=AE=2

：.S^CFC=-FC-GM=^(\2-a)x2^\2-a.

【總結(jié)】本題主要考察菱形、正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì).

例15.如圖1,正方形15(力的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)/(0,1)和點(diǎn)〃在y軸正半軸上，點(diǎn)6、C在第

一象限，一次函數(shù)尸而+2的圖像/交4?、而分別于昆F.

(1)若△戚與△比尸的面積比為1：2,求A的值；

(2)聯(lián)結(jié)班當(dāng)座1平分/砌時(shí)，求A的值.

【難度】★★★

【答案】(1)々=1；(2)k=2.

【解析】(1),?,正方形能力的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)4(0,1)和點(diǎn)〃

在y軸正半軸上，點(diǎn)從C在第一象限,

.?.6(2,1),<7(2,3),〃(0,3).

???一次函數(shù)y=Ax+2的圖像/交4?、必分別于反F,：.E(Q,2).

設(shè)尸(川，3),

與△比7的面積比為1：2,

1,

ml.

---------=—,解得：m=\>二6(1,3)

—x(2-/n)x22

VAd，3)在直線尸加+2上，,4=1；

(2)延長(zhǎng)BE交切的延長(zhǎng)線于H,

,:BE平分/FBA,:.ZFBE=ZABE

'：CD//AB,：.ZH=ZABE,/.ZH=ZFBE,:.FB=HF

'：AE=\,DEA,：.AE=DE

"：AE=DE,ZHDE=ZBAE,ZHED=ZBEA

:.HD=AB=2,：./K~2,3)

設(shè)F(n,3)

'：FB=HF,7(?-2)2+22=n+2,解得：〃=g,

：.H-,3)

2

VA-J--3)在直線尸Ax+2上，

2

k=2.

【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間的距離公式的運(yùn)用，注意點(diǎn)的坐標(biāo)與解析式的關(guān)

系.

例16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)尸2x+12的圖像分別交》軸、y軸于4、8兩

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)力的直線交y軸正半軸于點(diǎn)M且點(diǎn)材為線段仍的中點(diǎn).

(1)求直線4"的表達(dá)式；

(2)試在直線4(/上找一點(diǎn)只使得見(jiàn)敏=力，曲請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)〃為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)〃，使以力、B、M、〃為頂點(diǎn)的四邊

形

是等腰梯形?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【難度】★★★

【答案】(1)y=x+6；(2)P(6,12)或刀(一18,—12)；

(3)M-12,0)或〃(一6,⑻或//(——).

55

【解析】（1）???函數(shù)y=2x+12的圖像分別交A■軸、y軸于4、6兩點(diǎn),

."（一6,0）,BS,12）

???點(diǎn)必為線段必的中點(diǎn)，/.MO,6）,

則直線4V的表達(dá)式為y=x+6-

（2）當(dāng)點(diǎn)。在圖/的延長(zhǎng)線上時(shí)

：.OP//AB,則可知直線神的表達(dá)式為y=2x.

解得:x=6.、

在直線4材上，，令>=2x,???P(6,12)；

y=x+6y=12

當(dāng)〃在川/的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)尸點(diǎn)作外U仍，乖足為〃

設(shè)Pin,n+&)

?S^ABP=S&BPN一S&ABO-S梯形AONP，5k脈=

—(-/?-6*6—〃)一gx6xl2—gx(6—〃一6)x(—〃-6)=gx6xl2,解得:/?=—18>

則戶(-18,-12).

（3）存在點(diǎn)〃，使以爾B、M、〃為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形.

若以4M為底，砌為腰，過(guò)點(diǎn)6作加/的平行線,當(dāng)點(diǎn)〃（一120)時(shí),以4、B、M、H

為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形;

若以網(wǎng)為底,可/為腰，過(guò)點(diǎn)力作冽/的平行線,當(dāng)點(diǎn)//（一6,⑻時(shí),以4、B、M、H

為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形;

當(dāng)點(diǎn)〃（-自，1Q

若以初為底，掰為腰，過(guò)點(diǎn)”作四的平行線,匕）時(shí)，以力、B、M、

55

〃為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形.

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，本題一方面考察面積的確定，另一方面考察等腰梯形的性質(zhì)和分

類討論.

例17.如圖1,已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)/(2,0),P是函數(shù)y=x(x>0)圖像上一點(diǎn)，PQL

［尸交y軸正半軸于點(diǎn)Q.

(1)試證明：AP=PQ-,

(2)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為a,點(diǎn)0的縱坐標(biāo)為b,那么8關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式是—

(3)當(dāng)以.=上也門時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

3

【難度】★★★

【答案】⑴見(jiàn)解析；(2)b=2a-2；

(3)P--?-----1或/^――f]

(22)(22J

【解析】(1)過(guò)尸作x軸、y軸的垂線，垂足分別為從T,

V是函數(shù)y=x(尤＞0)圖像上一點(diǎn)

：.PH=PLPHX.PT

■:PQLAP,：.ZAPH=ZQPT

VZAPH=ZQPTfPH=PT,ZAHP=ZQTP

：.APHA^APTQ

：,AP=PQ；

(2)由(1)可得：AH=2-a=TQ

???OQ+TQ=OT=OH，

?*.b+2-a=a，

即。=勿—2；

(3)設(shè)P(a,a)，

1

:5讖00=]。4。。=2々-2，SAAPQ=-AP=a--2a+2,

2a—2=—(a2—2。+2),解得：a='-后.

3V72

，化印斗或在正,2T|.

[22)[22J

【總結(jié)】本題主要考察全等的運(yùn)用，及三角形面枳的求法,注意利用面積公式確定點(diǎn)的坐標(biāo).

模塊二：與面積相關(guān)的函數(shù)解析式

知識(shí)精講

本節(jié)主要研究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的背景下，產(chǎn)生的面積與動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是找出決定這

個(gè)面積變化的幾個(gè)量是怎樣變化的，重點(diǎn)在于思維能力的培養(yǎng)，難度較大.

例題解析

例1.如圖，矩形中，止1,力止2,"是切的中點(diǎn)，點(diǎn)夕在矩形的邊上

沿Af3fCfM運(yùn)動(dòng),試寫(xiě)出的面積y與點(diǎn)一經(jīng)過(guò)的路程x之間的函數(shù)關(guān)系，

寫(xiě)出定義域，并畫(huà)出函數(shù)圖像.

【難度】★★

【解析】當(dāng)〃在46上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0<x41,

y="APM=5AD-AP=x；

當(dāng)一在火上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即1<XV3,

?^^APM=S梯形ABGW—S&ABP~S^PCM>

._c_3x-13-x_x5

7

當(dāng)P在?/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3<x4,，

2

y=S