2022-2023學(xué)年江蘇高一年級下冊數(shù)學(xué)同步講義蘇教版2019必修第二冊第02講 向量的加減運算含詳解

第9章平面向量

第02講向量的加減法

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點

1.理解并掌握向量加法的概念.

2.理解向量減法的意義

3.掌握向量加法和減法的三角形法則和平

1.向量的加減運算

行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法

2向.量的運算律

則作兩個向量的加法減法運算.

.向量加法減法的綜合運用

4.了解向量加法、減法的交換律和結(jié)合律，3

并能作圖解釋向量加法運算律的合理性.

知識精講

知識點一向?加海1定叉及其運算法則

1.向量加法的定義

求兩個向量和的運算,叫作向量的加法.

任一向量與其相反向量的和是零向量.

2.向量求和的法則

向己知非零向量”，b,在平面內(nèi)取任意一點0,作次=a,Ah=b,

量則向量仍叫作。與b的和，記作a+方，即。+》=溫+牯=仍.

求這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.

和三角形法則對于零向量與任意向量訪規(guī)定。+0=0+。=〃

的

法

則\及

對于任意兩個不共線的非零向量a,b,分別作次=a,Ot=b,

以04,0C為鄰邊作。OABC,則以。為起點的對角線表示的向

量彷就是向量。與力的和.把這種作兩個向量和的方法叫作向量

平行四邊形法則

加法的平行四邊形法則

Ca

0^-------八

位我的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的

物理模型.

思考M+例與⑷，網(wǎng)有什么關(guān)系？

答案(1)當(dāng)向量a與6不共線時，的方向與a,不同，且|a+Z>|<|a|+步|.(2)當(dāng)a與6同向時，a+b,a,

b同向,且|a+b|=|a|+M(3)當(dāng)a與b反向時,若|a|>步則a+b的方向與a相同，且|a+Z||=|a|一步|；若

則a+Z>的方向與。相同，且|a+b|=|6|—|Q|.

知識點二向量加法的運算律

交換律

結(jié)合律(〃+5)+c=a+S+c)

知識點三向量的減法

1.定義：若Z>+x=a,則向量x叫作a與b的差，記為a—》=。+(一力，因此減去一個向量，相當(dāng)于加上

這個向量的相反向量,求兩個向量差的運算，叫作向量的減法.

2.減法的作圖方法：在平面內(nèi)任取一點。，作OA=a,防=方，則向量a-b=成,如圖所示.

B

3.幾何意義：如果把兩個向量的起點放在一起,那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點，被減向量

的終點為終點的向量.

思考若a,〃是不共線向量，則|a+例與|a—目的幾何意義分別是什么？

答案如圖所示，設(shè)次=Q,彷=4根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的幾何意義，有求=a+Z),

法=”一人因為四邊形OACB是平行四邊形,所以|a+例=|戌1,一例=|或即分別是以0A,。8為鄰邊

的平行四邊形的兩條對角線的長.

B___________C

oA

【思考辨析】

1.O+a=〃+O=a.(?)

23+求=祀.(4)

3.A&+BA=0.(4)

4.|霜|+|說］=|犯.(x)

5.相反向量就是方向相反的向量.(x)

6.向量彳&與成是相反向量.(q)

7.兩個相等向量之差等于0.(x)

8.向量a與向量力的差和5與a的差互為相反向量.(?)

考法01向量加法法則

(1)如圖①所示，求作向量。+);

(2)如圖②所不，求作向量a+b+c.

b

圖①圖②

【方法技巧】

向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別聯(lián)系

(1)首尾相接

三角形法則當(dāng)兩個向量不共線時，三角形法

(2)適用于任何兩個非零向量求和

則作出的圖形是平行四邊形法

⑴共起點

平行四邊形法則則作出圖形的一半

(2)僅適用于不共線的兩個向量求和

【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示，。為正六邊形A8CDEb的中心，化簡下列向量.

AB

⑴次+求=;

(2)Bt+Fk=；

(3)0A+Fk=.

考法02向量加法運算律的應(yīng)用

化簡：

⑴求+屈：

⑵踮+B+肥

⑶顯+阱+口+沅+成.

【方法總結(jié)】

向量加法運算律的意義和應(yīng)用原則

(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)了恰當(dāng)利用向量加法法則運算的目的.實

際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來

進(jìn)行.

(2)應(yīng)用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知正方形ABC￡＞的邊長等于1,則|翁+?+發(fā)'+成|=.

考法03向量加法的實際應(yīng)用

河水自西向東流動的速度為10km/h,小船在靜水中的速度為1OV3km/h,小船自南岸沿正北

方向航行，求小船的實際航行速度.

【方法總結(jié)】

應(yīng)用向量解決實際問題的基本步驟

(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

(2)運算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三南形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運算，解答向量問題.

(3)還原：根據(jù)向量的運算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念解答原問題.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，ZACW=150°,ZBCW=120°,求A和B

處所受力的大小.(繩子的重量忽略不計)

AB

考法04向量的減法運算

【素養(yǎng)提升】

求作兩個向量的差向量的兩種思路

(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a—b,可以先作一乩然后作a+(一力即可.

(2)可以直接用向量減法的幾何意義，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減

向量的終點的向量.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，已知向量a,b,c,求作向量a—b—c.

考法05向量減法的應(yīng)用

(1)如圖,P,Q是AA8C的邊上的兩點，且屏＞=雙,則化簡油+祀一介一役的結(jié)果為()

A.0B.BP

C.苑D死

(2)化簡：①或+色一次一選；

②(公+劭+殖)一(皮一加一兩.

【方法技巧】

(1)向量減法運算的常用方法

（2）向量加威法化簡的兩種形式

①首尾相連且為和.

②起點相同且為差.

解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應(yīng)用.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（多選）下列各向量運算的結(jié)果與祀相等的有（）

C.oX-otD.0t-0X

2.化簡下列各式：

①威一勵+講一磁；

②（初一腑+（炭-ATt）.

［解析］①加一曲+稱一殖=就+稱一加=而一或=#.

②（初一麗+僦-X7t）=勸+勵+就+現(xiàn)=在+麗+就+函=在+0=初.

考法06用已知向量表示其他向量

如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形AC0E是平行四邊形，且屈=a,At=b,Ak=c,試用

a,b,c表示向量斑，Bt,聒，仍及球.

【方法技巧】

（1）解決此類問題要搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三個向量之間的關(guān)系，

確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.

（2）主要應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結(jié)合律、交換律來分析解決問題，在封閉圖形中可

利用向量加法的多邊形法則，提升邏輯推理素養(yǎng).

分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.在五邊形ABCDE中（如圖），下列運算結(jié)果為而的是（）

A.AB+BC-DCB.AB+CB+DC

C.BC-DCD.AE-ED

,uniuuii\muiuuur

2.化簡下列各式：?AB+BC+CAi@（AB+MBj+BO+OM；?OA+OC+BO+cdt④

通+赤+而+覺.其中結(jié)果為。的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.下列四式不能化簡為而的是（）

A.AB+（PA+BQ）

B.（AB+PC）+（R4-0C）

C.QC+CQ-QP

D.PA+AB-BQ

4.五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國家的國旗設(shè)計都包含五角星，如中華

人民共和國國旗.如圖在正五角星中，每個角的角尖為36。，則下列說法正確的是（）

A

A.CH+7D=QB.AB//FEC.AF+FG^2HGD.AF=AB+AJ

二、多選題

5.如圖，在平行四邊形A8C￡＞中，下列計算錯誤的是（）

聯(lián)一ffT

B?AC+CD+DO=OA

cf-->TffT

C?AB+AC+CD=ADD?AC+BA+DA=O

6.已知點O,E,尸分別是△ABC的邊AR8C,AC的中點，則下列等式中正確的是（）

A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=6

C.DE+DA^ECD.DA+DE=FD

三、填空題

7.下列命題中正確的是.

①空間向量而與麗是共線向量，則A,B,C,。四點必在一條直線上；

②單位向量一定是相等向量；

③相反向量一定不相等；

④A,B,C,D四點不共線，則A8CO為平行四邊形的充要條件是AB=DC，

⑤模為0的向量方向是不確定的.

8.若向量d表示向東走1千米，6表示向南走1千米，則向量d+5表示.

四、解答題

9.如圖，已知方=。，麗=],OC=c,OD=d,OF=f,試用。，b,c,d,，表示以下向量:

（1）ACi

（2）AD；

⑶AD-AB;

（4）AB+CFt

（5）BF-BD.

題組B能力提升練

一、單選題

1.在四邊形ABC。中，AC=AB+AD,則一定有（）

A.四邊形A5CZ）是矩形B.四邊形A8CD是菱形

C.四邊形A8C。是正方形D.四邊形A8C。是平行四邊形

2.如圖，向量旃=a,AC=b,CD=c,則向量麗可以表示為（）

A.a+b+cB.a—b+cC?b-a+cD.b-a-c

3.已知1、〃?是不平行的向量，若麗=彳+2萬，BC=-4a-h,CD=-5a-3b,則下列關(guān)系中正確的是（）

A.AD=CBB.AD=BC

c.AD=2BCD.AD=-2BC

4.已知點。是的兩條對角線的交點，則下面結(jié)論中正確的是（）.

A.AB+CB=ACB.AB+AD=AC

C.AD+CD^BDD.AO+CO+OB+OD^O

二、多選題

5.下列四式可以化簡為所的是（）

A.AB+（PA+BQ]B.（AB+PC）+（S4-GC）

C.QC+CQ-QPD.PA+AB-BQ

6.在五邊形ABCDE中（如圖），下列運算結(jié)果為而的是（）

A.AB+BC-DCB.AE+ED

C.BC-DCD.AE-ED

三、填空題

7.已知下列各式：①通+反+國；?（AB+MB）+BO+OM；③函+反+的+的；④

AB+CA+BD+覺.其中結(jié)果為0的是—.（填序號）

四、解答題

8.如圖，點。是QABCD的兩條對角線的交點，AB=a?DA=b?OC=c?求證：b+c-a-OA-

題組c培優(yōu)拔尖練

一、單選題

1.已知A,B,C,。是以。為球心，半徑為2的球面上的四點，OA+6B+OC=Z'則|明+|叫+|CD|不

可能等于（）

A.6B.7C.8D.6&

2.如圖，A、B、C、。是平面上的任意四點，下列式子中正確的是（）

A.AB+CD=BC+DAB.AC+BD=BC+AD

C.AC+BD=DC+BAD.AB+DA=AC=DB

3.如圖，AB是圓。的一條直徑，C,。是半圓弧的兩個三等分點，則而=

A.AC-ADB.2AC-2ADC.AD-ACD.2AD-2AC

二、多選題

4.對于菱形ABCD,給出下列各式，其中結(jié)論正確的為（）

A.AB=BCB.網(wǎng)=|網(wǎng)

c.\AB-CD^=\AD+BC\D.\AD+CC^=\CD-CB\

三、填空題

5.化簡以下各式：

?AB+BC+CA;

@AB-AC+BD-CDi

@OA-OD+AD;

?NQ+QP+MN-MP.

結(jié)果為零向量的是.（填序號）

四、解答題

6.化簡下列向量表達(dá)式：

(I)OM-OM+MP—NA;

(2)(AD-BM)+(BC-MC).

第9章平面向量

第02講向量的加減法

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點

1.理解并掌握向量加法的概念.

2.理解向量減法的意義

3.掌握向量加法和減法的三角形法則和平

1.向量的加減運算

行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法

2向.量的運算律

則作兩個向量的加法減法運算.

4.了解向量加法、減法的交換律和結(jié)合律，3.向量加法減法的綜合運用

并能作圖解釋向量加法運算律的合理性.

湛《知識精講

知識點一向量加法的定義及其運算法則

1.向量加法的定義

求兩個向量和的運算,叫作向量的加法.

任一向量與其相反向量的和是零向量.

2.向量求和的法則

向已知非零向量a,h,在平面內(nèi)取任意一點。，作次=a,通=b,

量則向量仍叫作a與方的和，記作a+方，即。+》=況+屈=彷.

求這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.

和三角形法則對于零向量與任意向量規(guī)定。+0=0+。=〃

的

\及

法

則

對于任意兩個不共線的非零向量a,b,分別作次=a,Ot=b,

以04,0C為鄰邊作。OABC,則以。為起點的對角線表示的向

量彷就是向量。與力的和.把這種作兩個向量和的方法叫作向量

平行四邊形法則

加法的平行四邊形法則

Ca

0^-------八

位我的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的

物理模型.

思考M+例與⑷，網(wǎng)有什么關(guān)系？

答案(1)當(dāng)向量a與6不共線時，的方向與a,不同，且|a+Z>|<|a|+步|.(2)當(dāng)a與6同向時，a+b,a,

b同向,且|a+b|=|a|+M(3)當(dāng)a與b反向時,若|a|>步則a+b的方向與a相同，且|a+Z||=|a|一步|；若

則a+Z>的方向與。相同，且|a+b|=|6|—|Q|.

知識點二向量加法的運算律

交換律

結(jié)合律(〃+5)+c=a+S+c)

知識點三向量的減法

1.定義：若Z>+x=a,則向量x叫作a與b的差，記為a—》=。+(一力，因此減去一個向量，相當(dāng)于加上

這個向量的相反向量,求兩個向量差的運算，叫作向量的減法.

2.減法的作圖方法：在平面內(nèi)任取一點。，作OA=a,防=方，則向量a-b=成,如圖所示.

B

3.幾何意義：如果把兩個向量的起點放在一起,那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點，被減向量

的終點為終點的向量.

思考若a,〃是不共線向量，則|a+例與|a—目的幾何意義分別是什么？

答案如圖所示，設(shè)次=Q,彷=4根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的幾何意義，有求=a+Z),

法=”一人因為四邊形OACB是平行四邊形,所以|a+例=|戌1,一例=|或即分別是以0A,。8為鄰邊

的平行四邊形的兩條對角線的長.

B___________C

oA

【思考辨析】

1.O+a=〃+O=a.（?）

23+求=祀.（4）

3.A&+BA=0.（4）

4.|霜|+|說］=|犯.（x）

5.相反向量就是方向相反的向量.（x）

6.向量彳&與成是相反向量.（q）

7.兩個相等向量之差等于0.（x）

8.向量a與向量力的差和5與a的差互為相反向量.（?）

考法01向量加法法則

（1）如圖①所示，求作向量。+）;

（2）如圖②所不，求作向量a+b+c.

b

圖①圖②

【解析】（1）首先作向量次=m然后作向量屈=），則向量彷=。+人如圖③所示.

,ab

6AB

圖③

（2）方法一（三角形法貝（I）如圖④所示，

首先在平面內(nèi)任取一點。，作向量流=。，再作向量屈=。，則得向量彷=。+瓦然后作向量質(zhì)1=c,則向

量OC=m+〃)+c=a+b+c即為所求.

圖④圖⑤

方法二（平行四邊形法則）如圖⑤所示,

首先在平面內(nèi)任取一點。，作向量ob—b,ot—c,

以。4,08為鄰邊作。。4D8,連接0￡>,

則用=溫+彷=a+6.再以0。，0c為鄰邊作。OOEC,連接0E,

則注=0力+比=a+》+c即為所求.

【方法技巧】

向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別聯(lián)系

(1)首尾相接

三角形法則當(dāng)兩個向量不共線時，三角形法

(2)適用于任何兩個非零向量求和

則作出的圖形是平行四邊形法

⑴共起點

平行四邊形法則則作出圖形的一半

(2)僅適用于不共線的兩個向量求和

【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示，。為正六邊形A3COEF的中心，化簡下列向量.

⑴溫+求=；

(2僦+度=；

⑶溫+屋=.

【答案】(1)彷(2)Ab(3)0

【解析】(1)因為四邊形0A8C是以04,0C為鄰邊的平行四邊形，。8是其對角線，故次+灰1=時.

(2)因為選=屋，故就+度與就方向相同，

長度為求長度的2倍，

故比+危=廢).

(3)因為包=屋，故次+屋=況+濟(jì)=0.

考法02向量加法運算律的應(yīng)用

例

化簡:

⑴求+屈；

⑵協(xié)+⑦+此

⑶油+勵+出+就+貳

【解析】⑴而+屈=屈+求=祀.

⑵踮+劭+猶=武+劭+踮

=（就+仍）+協(xié)=防+彷=0.

⑶屈+〃+劭+覺+成

=荏+就+劭+蘇+成

=At+cb+Dp+fA

=At>+群+或

=#+成=0.

【方法總結(jié)】

向量加法運算律的意義和應(yīng)用原則

（1）意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)了恰當(dāng)利用向量加法法則運算的目的.實

際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來

進(jìn)行.

（2）應(yīng)用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知正方形A8CD的邊長等于1,則|屈+勸+比+比1=.

【答案】2啦

【解析】|公+力+或+比|=|屈+就+冠>+成］=|&+獨=2|&1=2啦.

考法03向量加法的實際應(yīng)用

同河水自西向東流動的速度為10km/h,小船在靜水中的速度為km/h,小船自南岸沿正北

方向航行，求小船的實際航行速度.

【解析】設(shè)a,。分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)任意一點。作次=a,彷=瓦以

OA,0B為鄰邊作矩形OACB,連接0C,如圖，則求=a+Z),并且歷即為小船的實際航行速度.

二|回=#\+肝=4|砰+|肝=20(km/h),

：tan/AOC」^=小，

ZAOC=60°,

.??小船的實際航行速度為20km/h,沿北偏東30。的方向航行.

【方法總結(jié)】

應(yīng)用向量解決實際問題的基本步驟

(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

(2)運算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運算，解答向量問題.

(3)還原：根據(jù)向量的運算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念解答原問題.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子A8上，ZACW=150°,ZBCW=]20°,求A和8處

所受力的大小.(繩子的重量忽略不計)

【解析】如圖所示，設(shè)徒,乃分別表示4,8所受的力，10N的重力用武表示，則及+0=4.

由題意可得/￡：。6=180。-150。=30。,

ZFCG=180°-120°=60°.

二|函=|兩cos30°

=10x^=5小,

3(N),

|C?l=|C&|cos60o

10x^=5(N).

處所受的力為N,8處所受的力為5N.

考法04向量的減法運算

如圖，己知向量a,b,c不共線，求作向量a+b-c.

【解析】方法一如圖①，在平面內(nèi)任取一點O,作次=a,A^=b,則彷=。+力，再作比=c,則荏=a

①②

方法二如圖②，在平面內(nèi)任取一點O,作醇=a,A^=b,則昌=a+。，再作動=c,連接0C,則灰'=

一C.

【素養(yǎng)提升】

求作兩個向量的差向量的兩種思路

(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a一①可以先作一乩然后作0+(—6)即可.

(2)可以直接用向量減法的幾何意義，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減

向量的終點的向量.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，己知向量。，b,c,求作向量a—?一c.

【解析】如圖，在平面內(nèi)任取一點。，作向量次=。，Oh=b,則向量西=a一瓦再作向量送=c,則向量

cA=a-b-c.

考法05向量減法的應(yīng)用

（1）如圖,P,Q是ZkABC的邊BC上的兩點，且昉=發(fā),則化簡顯+祀一辦一雙的結(jié)果為（)

A.0B.BP

C.麗D.Pt

【答案】A

【解析】霜+祀一#一用=（屈-#）+流-電=聞+岌=四一即=0.

（2）化簡：①或+用一流一求；

②就+勵+次）一（成一函一兩.

【解析】①成+歷一|一武=（或一宿+（用一次）=/+初=金.

②（祀+就+殖）一（皮一Db-oh）

=祀十或一反'十彷

^At+Cb+Ob+BA

【方法技巧】

（1）向量減法運算的常用方法

一

常

用

方

法

一

（2）向量加減法化簡的兩種形式

①首尾相連且為和.

②起點相同且為差.

解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應(yīng)用.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（多選）下列各向量運算的結(jié)果與證相等的有（）

\.Ab+ob

C.oA-otD.ot-oA

答案AD

2.化簡下列各式：

①雙一曲+宓一磁；

②（初一的+（選一飽.

［解析］①加一加+稱一就=就+/一仍=訴一稿=#.

②（初一腦+（就一論=初+范+比+加=m+（勵+就+函=勸+0=砧

考法06用已知向量表示其他向量

如圖,在五邊形ABCDE中,若四邊形ACOE是平行四邊形，月.屈=a,At=b,嬴=c,試用

a,b,c表示向量前，Bt,聒，Ct）及《：.

【解析】?.?四邊形4CDE是平行四邊形，.?.仍=硅=<:,

—Ah=b—a,Bk—At—A^—c—a,

&：=曲一忒=c-b,：.Bb=Bt+cb=b~a+c.

【方法技巧】

（1）解決此類問題要搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三個向量之間的關(guān)系，

確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.

（2）主要應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結(jié)合律、交換律來分析解決問題，在封閉圖形中可

利用向量加法的多邊形法則，提升邏輯推理素養(yǎng).

分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.在五邊形ABCDE中（如圖），下列運算結(jié)果為標(biāo)的是（）

A.AB+BC-DCB.AB+CB+DC

C.BC-DCD.AE-ED

【答案】A

ULllHIBIUUUUUWUL1ULlUUi

【解析】A,48+8C-DC=AC+CD=4￡＞，止確；

B,AB+CB+DC=AB+DB^DA-不正確；

C,BC-DC=BC+CD=BD,不正確；

D,AE-ED=AE+DE^AD'不正確.故選：A.

2.化簡下列各式：@AB+BC+CA;@（AB+MB^+BO+OM；③詼+反+的+而；④

通+至+麗+反.其中結(jié)果為。的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】對于①：AB+BC+CA=AC+CA=O^

/Umuuir、iiuuuuirUUDuumuuiruuuruuuruuurum

對于②：+=AB+BO+OM+MB=AM+MB=ABf

對于③：OA+OC+BO+CO={BO+OA^+[cd+OC]=BA+Q=BA,

對于④：AB+CA+BD+DC=CAB+BD\+CDC+CA\=AD+DA=O,

所以結(jié)果為。的個數(shù)是2,故選：B

3.下列四式不能化簡為所的是（）

A.AB+（PA+BQ）

B.（AB+PC）+（BA-CC）

C.QC+CQ-QP

D.PA+AB-BQ

【答案】D

【解析】A項中，A8+（M+B0）=（AB+B0）-AP=A0-AP=Pe：

B項中，（A^+卮）+（麗一反）=（A月-A月）+（4+&）=P0；

C項中，QC+CQ-QP=-QP=PQ-.

D項中，PA+AB-BQ=PB-BQ^PQ.^：D.

4.五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國家的國旗設(shè)計都包含五角星，如中華

人民共和國國旗.如圖在正五角星中，每個角的角尖為36。，則下列說法正確的是（）

A.CH+!D=6B.AB//FEC.AF+FG=2HGD.AF=AB+Xl

【答案】D

【解析】A,由圖可知C”與〃）相交，所以國?與歷不是相反向量，故A錯誤；

B,而與詼共線，所以屁與而不共線，所以而與而不共線，故B錯誤；

c,AF+FG=AG^2HG<故C錯誤；

D,連接8尸,JF,由五角星的性質(zhì)可得AB/尸為平行四邊形,

根據(jù)平行四邊形法則uj?得標(biāo)=通+再，故D正確.

故選：D

二、多選題

5.如圖，在平行四邊形A8C。中，下列計算錯誤的是（）

A?AB+AD=ACB?4C+CD+DO=OA

c-AB+AC+CD=ADD-AC+BA+DA=Q

【答案】BC

【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義，

?+&>=/，，A正確;

AC+CD+DO=AD+DO=AO',B錯誤；

AB+AC+cb=AB+Ab=AC''C錯誤；

AC+BA+DA=BC+DA=Q'，D正確?

故選：BC

6.已知點。，E,尸分別是AABC的邊AB,BC,AC的中點，則下列等式中正確的是（)

A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=Q

c.DE+DA=ECD.DA+DE=FD

【答案】ABC

【解析】對于A選項，F(xiàn)D+DA=FA，正確；

對于B選項，F(xiàn)D+DE+EF^FE+EF=6,正確；

對于C選項，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知屁+麗=麗=反\正確;

對于D選項，DA+DE=DF^FD<所以D錯誤.

故選：ABC

三、填空題

7.下列命題中正確的是.

①空間向量而與麗是共線向量，則A,B,C,。四點必在一條直線上；

②單位向量一定是相等向量；

③相反向量一定不相等；

④A,B,C,D四點不共線，則ABC。為平行四邊形的充要條件是AB=DC,

⑤模為0的向量方向是不確定的.

【答案】④⑤

【解析】由共線向量即為平行向量，只要求兩個向量方向相同或相反即可，并不要求兩個向量旃，而在

同一條直線上，所以①不正確.

由單位向量的模均相等且為1,但方向并不一定相同，所以②不正確.

零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的，所以③不正確，.

若麗=反，可得A8=￡>C且他/ADC,所以四邊形A8CO為平行四邊形，

當(dāng)A8C。為平行四邊形時，可得而=反，所以④正確.

由模為0的向量為。，其中。的方向是不確定的，所以⑤正確.

故答案為：④⑤.

8.若向量。表示向東走1千米，石表示向南走1千米，則向量a+b表示.

【答案】沿東南方向走近千米

【解析】若向量方表示向東走1千米，8表示向南走1千米，

則向量a+5表示的方向為東南方向，大小為應(yīng)的向量

即口+5表示沿東南方向走近「米.

故答案為：沿東南方向走五千米.

四、解答題

9.如圖，已知次=1，OB=b>OC=c,歷=2，OF=f,試用b,c,/表示以下向量:

(2)AD；

⑶AD-AB;

(4)AB+CF；

(5)BF-BD.

【答案】

⑴

⑵d-a

⑶d-b

(4)b-a+f-c

⑸f-d

【解析】⑴AC=OC-OA=c-a

⑵JjD^OD-OA-d-a

(3)AD-AB^BD-OD-OB=d-b-

（4）AB+CF=OB-dA+OF-OC=h-a+f-c-

（5）BF-BD=DF=OF-OD^f-d

題組B能力提升練

一、單選題

1.在四邊形A8C。中，AC=AB+AD,則一定有（）

A.四邊形A8CZ）是矩形B.四邊形A3C。是菱形

C.四邊形A8C。是正方形D.四邊形A8C。是平行四邊形

【答案】D

【解析】因為而=通+而，所以亞二衣-麗二及，即AD=BC且AO〃BC,

所以四邊形A8CO的一組對邊平行且相等，

所以四邊形ABC。是平行四邊形，故選：D.

2.如圖，向量麗=a,AC=b,CD=c,則向量而可以表示為（）

A.a+b+cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c

【答案】C

【解析】BD=AD-AB=AC+CD-AB=b-a+cC.

3.已知々、弓是不平行的向量，若麗=G+2b,BC=-4a-b,麗=-5]-35,則下列關(guān)系中正確的是（

A.AD=CBB.AD=BC

C.AD^IBCD.AD=-2BC

【答案】C

【解析】AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2（-4a-b）=2BC.故選：C

4.已知點。是oABCD的兩條對角線的交點，則下面結(jié)論中正確的是（）.

A.AB+CB=ACB.AB+AD=AC

c.AD+CD^BDD.AO+CO+OB+OD^

【答案】B

【解析】對于A：AB+CB=AB+DA=DB＞故A錯誤；

對于B：AB+AD=AC，故B正確；

對于C：而+而=亞+麗=而，故C錯誤；

對于D：Ad+CO+dB+OD=6＜故D錯誤；故選：B

二、多選題

5.下列四式可以化簡為而的是()

A.AB+(PA+BQ]B.(J\B+PC]+(BA-QC]

C.QC+CQ-QPD.PA+AB-BQ

【答案】ABC

【解析]A項中，AB+(PA+BQ)=(AB+BQ)-AP=AQ-AP=PQ.

B項中,(AB+PC)+(BA-0C)=(AB-AB)+(PC+Cg)=P0；

C項中,QC+CQ-QP=-QP=PQ-.

D項中,PA+AB-BQ=PB-BQ^PQ.

故選：ABC.

6.在五邊形A8C/宏中（如圖），下列運算結(jié)果為標(biāo)的是（）

A.AB+BC-DCB.AE+ED

C.BC-DCD.AE-ED

【答案】AB

uuuuuununUUIUUUUUUU1

【解析】對于A,AB+BC-DC=AC+CD=ADA正確;

對于B,AE+ED=AD^B正確;

對于C,BC-DC=BC+Cb=BD,B不正確；

對于D,AE-ED=AE+DE^AD^D不正確.

故選：AB

三、填空題

7.已知下列各式：①通+元+5；?(,AB+MB)+BO+OM；③麗+1+的+1；④

通+m+而+反.其中結(jié)果為0的是—.(填序號)

【答案】①④

UlIUUUUUUUUIUUU1

【解析】①AB+8C+C4=AC+CA=O；

?（AB+MB）+