機器人學(xué)之多機器人系統(tǒng)算法：博弈論：非合作博弈理論與應(yīng)用

機器人學(xué)之多機器人系統(tǒng)算法：博弈論：非合作博弈理論與應(yīng)用1緒論1.1博弈論在機器人學(xué)中的重要性在機器人學(xué)領(lǐng)域，尤其是多機器人系統(tǒng)中，博弈論提供了一種分析和設(shè)計機器人交互策略的強大工具。非合作博弈理論尤其適用于多機器人系統(tǒng)中，當(dāng)機器人之間存在競爭或沖突時，幫助我們理解并預(yù)測機器人在不同策略下的行為結(jié)果。這種理論的應(yīng)用，不僅限于理論分析，還廣泛用于實際場景，如無人機群的路徑規(guī)劃、機器人足球比賽中的策略制定、以及自動駕駛車輛在交通環(huán)境中的決策等。1.1.1例子：無人機群的路徑規(guī)劃假設(shè)我們有三個無人機，它們需要在一片森林中執(zhí)行搜索任務(wù)，目標(biāo)是找到一個失蹤的探險者。森林被劃分為多個區(qū)域，每個區(qū)域可能包含探險者，也可能不包含。無人機的目標(biāo)是盡快找到探險者，但它們的電池壽命有限，且每個無人機的搜索效率在不同區(qū)域可能不同。此外，如果兩個或更多無人機同時搜索同一區(qū)域，搜索效率會降低，因為它們會互相干擾。在這個場景中，我們可以使用非合作博弈論來設(shè)計無人機的搜索策略。每個無人機都可以被視為一個玩家，它們的策略是選擇搜索哪個區(qū)域。無人機的目標(biāo)是最大化它們找到探險者的概率，同時最小化電池消耗。我們可以構(gòu)建一個支付矩陣，其中的元素表示在給定的策略組合下，每個無人機找到探險者的概率和電池消耗。#假設(shè)的支付矩陣，表示無人機在不同區(qū)域搜索的效率和電池消耗

#行代表無人機，列代表區(qū)域

#矩陣中的每個元素是一個元組，第一個元素是找到探險者的概率，第二個元素是電池消耗

payoff_matrix=[

[(0.2,10),(0.15,15),(0.1,20)],

[(0.15,12),(0.2,10),(0.1,18)],

[(0.1,15),(0.1,15),(0.25,10)]

]

#使用納什均衡來找到最優(yōu)策略組合

#納什均衡是一個策略組合，在這個組合中，沒有一個玩家可以通過單方面改變策略來提高自己的支付

#這里使用一個簡單的算法來尋找納什均衡

deffind_nash_equilibrium(payoff_matrix):

n=len(payoff_matrix)

m=len(payoff_matrix[0])

foriinrange(n):

forjinrange(m):

#檢查行和列的最優(yōu)選擇

ifall(payoff_matrix[i][j][0]>=payoff_matrix[i][k][0]forkinrange(m))and\

all(payoff_matrix[i][j][0]>=payoff_matrix[l][j][0]forlinrange(n)):

return(i,j)#返回最優(yōu)策略組合的索引

#找到納什均衡

optimal_strategy=find_nash_equilibrium(payoff_matrix)

print(f"最優(yōu)策略組合為：無人機{optimal_strategy[0]+1}搜索區(qū)域{optimal_strategy[1]+1}")在這個例子中，我們通過尋找納什均衡來確定最優(yōu)的策略組合，即每個無人機應(yīng)該選擇哪個區(qū)域進行搜索，以達到整體最優(yōu)的結(jié)果。1.2多機器人系統(tǒng)的基本概念多機器人系統(tǒng)是指由兩個或更多機器人組成的系統(tǒng)，它們可以協(xié)同工作或獨立行動，以完成特定任務(wù)。在多機器人系統(tǒng)中，機器人之間的交互和協(xié)作是關(guān)鍵，這涉及到通信、協(xié)調(diào)、決策和控制等多個方面。非合作博弈論在分析和設(shè)計多機器人系統(tǒng)中，特別是在機器人之間存在競爭或沖突的情況下，提供了重要的理論基礎(chǔ)。1.2.1例子：機器人足球比賽中的策略制定在機器人足球比賽中，每個機器人（或每個團隊）的目標(biāo)是將球射入對方球門，同時防止對方得分。我們可以將比賽視為一個非合作博弈，其中每個機器人或團隊都是一個玩家，它們的策略包括傳球、射門、防守等。通過分析支付矩陣，我們可以預(yù)測在不同策略組合下，每個團隊的得分概率。#假設(shè)的支付矩陣，表示機器人足球比賽中不同策略組合下的得分概率

#行代表進攻方的策略，列代表防守方的策略

#矩陣中的每個元素是一個元組，第一個元素是進攻方的得分概率，第二個元素是防守方的失分概率

payoff_matrix=[

[(0.8,0.2),(0.6,0.4),(0.5,0.5)],

[(0.7,0.3),(0.5,0.5),(0.4,0.6)],

[(0.6,0.4),(0.4,0.6),(0.3,0.7)]

]

#使用納什均衡來找到最優(yōu)策略組合

#這里使用相同的算法來尋找納什均衡

optimal_strategy=find_nash_equilibrium(payoff_matrix)

print(f"最優(yōu)策略組合為：進攻方選擇策略{optimal_strategy[0]+1}，防守方選擇策略{optimal_strategy[1]+1}")在這個例子中，我們通過分析支付矩陣來確定進攻方和防守方的最優(yōu)策略組合，以最大化進攻方的得分概率，同時最小化防守方的失分概率。通過這些例子，我們可以看到非合作博弈論在多機器人系統(tǒng)算法設(shè)計中的應(yīng)用，它幫助我們理解和優(yōu)化機器人在復(fù)雜環(huán)境中的決策過程。2非合作博弈基礎(chǔ)2.1博弈論的基本要素博弈論，作為研究策略決策的數(shù)學(xué)理論，其基本要素包括：參與者（Players）：博弈中的決策主體，可以是個人、機器人或任何需要做出決策的實體。策略（Strategies）：參與者可選擇的行動方案。在多機器人系統(tǒng)中，策略可能涉及移動路徑、任務(wù)分配等。支付（Payoffs）：參與者根據(jù)其策略選擇和所有其他參與者策略的組合所獲得的收益或損失。在機器人學(xué)中，支付可以是完成任務(wù)的效率、能源消耗或避免碰撞的獎勵。2.1.1示例：囚徒困境囚徒困境是一個經(jīng)典的非合作博弈模型，涉及兩個參與者（囚犯）和他們的策略選擇。假設(shè)兩個囚犯被分別審訊，他們可以選擇合作（保持沉默）或背叛（供出對方）。支付矩陣如下：合作背叛合作-1,-10,-2背叛-2,0-3,-3在這個矩陣中，每個數(shù)字對表示兩個囚犯的支付，第一個數(shù)字是第一個囚犯的支付，第二個數(shù)字是第二個囚犯的支付。例如，如果兩個囚犯都選擇合作，他們各自將獲得-1的支付；如果一個選擇合作而另一個選擇背叛，合作的囚犯將獲得-2的支付，而背叛的囚犯將獲得0的支付。2.2納什均衡的概念與求解納什均衡是博弈論中的一個關(guān)鍵概念，指的是在給定其他參與者策略的情況下，任何參與者都不愿意改變自己策略的策略組合。在非合作博弈中，納什均衡是參與者之間的一種穩(wěn)定狀態(tài)。2.2.1納什均衡的求解求解納什均衡通常涉及分析支付矩陣，找出所有參與者在給定其他參與者策略時的最佳響應(yīng)策略。2.2.1.1示例：求解囚徒困境的納什均衡我們可以使用Python和NumPy庫來求解囚徒困境的納什均衡。首先，定義支付矩陣：importnumpyasnp

#定義支付矩陣

payoff_matrix=np.array([[-1,0],[-2,-3]])

#定義策略

strategies=['合作','背叛']

#求解納什均衡

deffind_nash_equilibrium(payoff_matrix):

n=len(payoff_matrix)

foriinrange(n):

forjinrange(n):

#檢查行玩家的最佳響應(yīng)

ifnp.all(payoff_matrix[i]<=payoff_matrix[i,j]):

#檢查列玩家的最佳響應(yīng)

ifnp.all(payoff_matrix[:,j]<=payoff_matrix[i,j]):

return(strategies[i],strategies[j])

#輸出納什均衡

nash_equilibrium=find_nash_equilibrium(payoff_matrix)

print(f'納什均衡為：{nash_equilibrium}')在這個例子中，納什均衡是（背叛，背叛），因為當(dāng)兩個囚犯都選擇背叛時，他們都不愿意改變自己的策略，即使這意味著雙方都會遭受更大的損失。2.2.2納什均衡在多機器人系統(tǒng)中的應(yīng)用在多機器人系統(tǒng)中，納什均衡可以用于解決資源分配、路徑規(guī)劃和任務(wù)協(xié)調(diào)等問題。例如，在一個搜索和救援任務(wù)中，多個機器人需要決定搜索區(qū)域，以最有效的方式找到目標(biāo)。通過定義支付函數(shù)，可以使用納什均衡來確定每個機器人最優(yōu)的搜索策略，即使這些策略可能不是全局最優(yōu)的。2.2.2.1示例：多機器人資源分配假設(shè)我們有兩個機器人和兩個資源點，每個機器人可以獨立選擇訪問哪個資源點。資源點的支付取決于訪問它的機器人數(shù)量，如果只有一個機器人訪問，支付為10；如果有兩個機器人訪問，支付為5。支付矩陣如下：資源點1資源點2機器人110,55,10機器人25,1010,5我們可以使用Python來求解這個博弈的納什均衡：#定義支付矩陣

payoff_matrix_robot1=np.array([[10,5],[5,10]])

payoff_matrix_robot2=np.array([[5,10],[10,5]])

#定義策略

strategies=['資源點1','資源點2']

#求解納什均衡

deffind_nash_equilibrium_robot_system(payoff_matrix_robot1,payoff_matrix_robot2):

n=len(payoff_matrix_robot1)

foriinrange(n):

forjinrange(n):

#檢查機器人1的最佳響應(yīng)

ifnp.all(payoff_matrix_robot1[i]<=payoff_matrix_robot1[i,j]):

#檢查機器人2的最佳響應(yīng)

ifnp.all(payoff_matrix_robot2[:,j]<=payoff_matrix_robot2[i,j]):

return(strategies[i],strategies[j])

#輸出納什均衡

nash_equilibrium_robot_system=find_nash_equilibrium_robot_system(payoff_matrix_robot1,payoff_matrix_robot2)

print(f'納什均衡為：{nash_equilibrium_robot_system}')在這個例子中，納什均衡是（資源點1，資源點2）或（資源點2，資源點1），即每個機器人選擇不同的資源點，以最大化各自的支付。通過理解和應(yīng)用非合作博弈理論，多機器人系統(tǒng)可以更有效地協(xié)調(diào)行動，即使在信息不完全或參與者有沖突目標(biāo)的情況下。這為設(shè)計智能、自主的機器人團隊提供了強大的理論基礎(chǔ)。3多機器人系統(tǒng)中的非合作博弈3.1機器人間的競爭與合作分析在多機器人系統(tǒng)中，機器人之間的互動可以被視為一種博弈過程，其中非合作博弈理論提供了一種分析和預(yù)測機器人在資源有限、信息不完全共享的環(huán)境下如何做出決策的框架。非合作博弈強調(diào)的是每個機器人作為獨立的決策者，追求自身利益最大化，而這種追求可能與其他機器人的目標(biāo)相沖突。3.1.1原理非合作博弈的核心在于每個參與者（機器人）的策略選擇。在多機器人系統(tǒng)中，每個機器人根據(jù)其對環(huán)境的感知和對其他機器人行為的預(yù)測，選擇最優(yōu)的行動策略。這種策略選擇通?；谀撤N優(yōu)化目標(biāo)，如能量消耗最小化、任務(wù)完成時間最短化或收益最大化。3.1.2內(nèi)容策略空間：每個機器人可選擇的行動集合。支付函數(shù)：描述每個機器人在給定策略組合下的收益或成本。納什均衡：一種策略組合，其中沒有機器人可以通過單方面改變策略來提高自己的收益。3.1.2.1示例：資源分配的非合作博弈假設(shè)在一個多機器人系統(tǒng)中，有三個機器人（A、B、C）需要在三個不同的任務(wù)點（1、2、3）上執(zhí)行任務(wù)。每個任務(wù)點的資源有限，只能支持一個機器人執(zhí)行任務(wù)。每個機器人執(zhí)行任務(wù)的收益如下：機器人任務(wù)1任務(wù)2任務(wù)3A1053B8124C7610使用Python和NumPy庫，我們可以構(gòu)建一個簡單的非合作博弈模型來找到納什均衡。importnumpyasnp

#定義支付矩陣

payoffs=np.array([

[10,5,3],

[8,12,4],

[7,6,10]

])

#定義策略空間

strategies=['任務(wù)1','任務(wù)2','任務(wù)3']

#模擬機器人決策過程

defsimulate_robots(payoffs,strategies):

#初始策略選擇

choices=np.random.choice(strategies,size=len(payoffs))

#迭代更新策略

for_inrange(100):

fori,robotinenumerate(payoffs):

#計算當(dāng)前策略下的收益

current_payoff=payoffs[i][strategies.index(choices[i])]

#檢查其他策略是否能帶來更高收益

forj,strategyinenumerate(strategies):

ifstrategy!=choices[i]andpayoffs[i][j]>current_payoff:

choices[i]=strategy

break

#輸出最終策略選擇

print("最終策略選擇：",choices)

#計算總收益

total_payoff=sum([payoffs[i][strategies.index(choice)]fori,choiceinenumerate(choices)])

print("總收益：",total_payoff)

#運行模擬

simulate_robots(payoffs,strategies)3.1.3解釋上述代碼首先定義了支付矩陣和策略空間，然后通過隨機初始化每個機器人的策略選擇，并迭代更新策略，直到達到一個穩(wěn)定狀態(tài)，即納什均衡。在每次迭代中，每個機器人檢查其當(dāng)前策略是否能帶來最大收益，如果不能，它將選擇一個能帶來更高收益的策略。3.2資源分配的非合作博弈模型在資源分配問題中，非合作博弈模型特別有用，因為它可以幫助我們理解在資源有限的情況下，機器人如何通過競爭來優(yōu)化自身利益。3.2.1原理資源分配的非合作博弈模型通常涉及多個機器人在共享資源中做出選擇，每個機器人試圖最大化自己的收益，同時考慮到其他機器人的選擇可能會影響資源的可用性。3.2.2內(nèi)容資源競爭：機器人在有限資源中做出選擇，以最大化自己的收益。策略更新：機器人根據(jù)當(dāng)前的資源分配和收益情況，調(diào)整自己的策略。均衡分析：分析系統(tǒng)是否達到一個穩(wěn)定的資源分配狀態(tài)，即納什均衡。3.2.2.1示例：基于非合作博弈的資源分配考慮一個場景，其中四個機器人（D、E、F、G）需要在四個不同的充電站（4、5、6、7）充電。每個充電站只能同時為一個機器人服務(wù)。每個機器人在不同充電站充電的收益如下：機器人充電站4充電站5充電站6充電站7D151052E121483F1012155G8101215我們使用Python和Pandas庫來構(gòu)建和分析這個非合作博弈模型。importpandasaspd

importnumpyasnp

#定義支付矩陣

payoffs=pd.DataFrame({

'D':[15,10,5,2],

'E':[12,14,8,3],

'F':[10,12,15,5],

'G':[8,10,12,15]

},index=['充電站4','充電站5','充電站6','充電站7'])

#定義策略空間

strategies=payoffs.index.tolist()

#模擬機器人決策過程

defsimulate_charging(payoffs,strategies):

#初始策略選擇

choices=np.random.choice(strategies,size=len(payoffs.columns))

#迭代更新策略

for_inrange(100):

fori,robotinenumerate(payoffs.columns):

#計算當(dāng)前策略下的收益

current_payoff=payoffs.loc[choices[i],robot]

#檢查其他策略是否能帶來更高收益

forj,stationinenumerate(strategies):

ifstation!=choices[i]andpayoffs.loc[station,robot]>current_payoff:

choices[i]=station

break

#輸出最終策略選擇

print("最終策略選擇：",choices)

#計算總收益

total_payoff=sum([payoffs.loc[choice,robot]forrobot,choiceinzip(payoffs.columns,choices)])

print("總收益：",total_payoff)

#運行模擬

simulate_charging(payoffs,strategies)3.2.3解釋在這個例子中，我們使用Pandas庫來管理支付矩陣，這使得數(shù)據(jù)處理更加直觀和高效。通過隨機初始化每個機器人的策略選擇，并迭代更新策略，直到達到一個穩(wěn)定狀態(tài)，即納什均衡。在每次迭代中，每個機器人檢查其當(dāng)前策略是否能帶來最大收益，如果不能，它將選擇一個能帶來更高收益的策略。最終，我們輸出每個機器人選擇的充電站和系統(tǒng)的總收益，以評估資源分配的效率。通過這些示例，我們可以看到非合作博弈理論在多機器人系統(tǒng)中的應(yīng)用，以及如何通過編程模擬和分析這些博弈過程，以優(yōu)化資源分配和提高系統(tǒng)整體性能。4非合作博弈算法設(shè)計4.1基于強化學(xué)習(xí)的非合作博弈算法4.1.1引言在多機器人系統(tǒng)中，非合作博弈理論為機器人之間的競爭性互動提供了一種分析框架?；趶娀瘜W(xué)習(xí)的非合作博弈算法，允許機器人通過與環(huán)境的交互學(xué)習(xí)最優(yōu)策略，即使在其他機器人策略未知或不斷變化的情況下也能做出最佳決策。4.1.2算法原理強化學(xué)習(xí)算法，如Q-learning，可以被用于非合作博弈中，每個機器人被視為一個獨立的智能體，它們的目標(biāo)是最大化自己的獎勵。在多智能體環(huán)境中，每個智能體的Q-table不僅依賴于自己的動作，還依賴于其他智能體的動作。因此，算法需要考慮所有可能的組合狀態(tài)和動作。4.1.3示例：基于Q-learning的非合作博弈假設(shè)我們有兩個機器人在執(zhí)行一個搜索任務(wù)，目標(biāo)是找到環(huán)境中的資源，但資源有限，每個機器人只能獲得一份。我們使用Q-learning來設(shè)計非合作博弈算法。4.1.3.1環(huán)境設(shè)定環(huán)境是一個5x5的網(wǎng)格，其中有一個資源點。機器人可以向北、南、東、西四個方向移動。如果機器人到達資源點，它將獲得+10的獎勵，否則每移動一步獲得-1的獎勵。4.1.3.2代碼示例importnumpyasnp

#定義環(huán)境

classGridWorld:

def__init__(self):

self.grid=np.zeros((5,5))

self.resource=(2,2)

self.robots=[(0,0),(4,4)]

self.actions=['N','S','E','W']

defmove(self,robot,action):

x,y=robot

ifaction=='N'andx>0:

x-=1

elifaction=='S'andx<4:

x+=1

elifaction=='E'andy<4:

y+=1

elifaction=='W'andy>0:

y-=1

return(x,y)

defget_reward(self,robot):

ifrobot==self.resource:

return10

else:

return-1

#定義Q-learning算法

classQLearning:

def__init__(self,actions,learning_rate=0.1,discount_factor=0.9,exploration_rate=0.1):

self.actions=actions

self.learning_rate=learning_rate

self.discount_factor=discount_factor

self.exploration_rate=exploration_rate

self.Q={}

defchoose_action(self,state):

ifnp.random.uniform(0,1)<self.exploration_rate:

returnnp.random.choice(self.actions)

else:

returnmax(self.actions,key=lambdaa:self.Q.get((state,a),0))

deflearn(self,state,action,reward,next_state):

best_next_action=max(self.actions,key=lambdaa:self.Q.get((next_state,a),0))

self.Q[(state,action)]=self.Q.get((state,action),0)+self.learning_rate*(reward+self.discount_factor*self.Q.get((next_state,best_next_action),0)-self.Q.get((state,action),0))

#初始化環(huán)境和學(xué)習(xí)算法

env=GridWorld()

learner1=QLearning(env.actions)

learner2=QLearning(env.actions)

#訓(xùn)練過程

forepisodeinrange(1000):

forrobot,learnerinzip(env.robots,[learner1,learner2]):

action=learner.choose_action(robot)

next_robot=env.move(robot,action)

reward=env.get_reward(next_robot)

learner.learn(robot,action,reward,next_robot)

env.robots[env.robots.index(robot)]=next_robot

#測試算法

for_inrange(10):

forrobot,learnerinzip(env.robots,[learner1,learner2]):

action=learner.choose_action(robot)

next_robot=env.move(robot,action)

env.robots[env.robots.index(robot)]=next_robot

print(env.robots)4.1.3.3解釋在這個例子中，我們創(chuàng)建了一個GridWorld類來模擬環(huán)境，以及一個QLearning類來實現(xiàn)Q-learning算法。每個機器人通過選擇動作并學(xué)習(xí)其結(jié)果來更新其Q-table。通過多次迭代，機器人將學(xué)會如何最有效地到達資源點，即使另一個機器人也在嘗試獲取同一資源。4.2多智能體系統(tǒng)中的博弈策略4.2.1算法原理在多智能體系統(tǒng)中，非合作博弈策略設(shè)計通常涉及策略迭代和最佳響應(yīng)的概念。每個智能體通過觀察其他智能體的行為，調(diào)整自己的策略以達到納什均衡，即沒有智能體可以通過單方面改變策略來提高自己的收益。4.2.2示例：策略迭代在多機器人系統(tǒng)中的應(yīng)用假設(shè)我們有兩個機器人在一個簡單的環(huán)境中競爭，目標(biāo)是到達一個特定的點。每個機器人可以選擇等待或移動。如果兩個機器人都移動，它們將同時到達目標(biāo)，但會因為碰撞而受到懲罰。如果一個機器人等待，另一個移動，移動的機器人將獲得獎勵，等待的機器人將受到懲罰。4.2.2.1代碼示例importnumpyasnp

#定義策略矩陣

strategy_matrix=np.array([[0,-1],[1,-2]])

#定義收益矩陣

payoff_matrix=np.array([[3,0],[0,2]])

#策略迭代算法

defstrategy_iteration(strategy_matrix,payoff_matrix,epsilon=0.01):

strategies=np.random.rand(2,2)

strategies/=strategies.sum(axis=1)[:,np.newaxis]

whileTrue:

new_strategies=np.zeros((2,2))

foriinrange(2):

forjinrange(2):

expected_payoff=(strategies[1-i]@payoff_matrix[i])@strategies[i]

new_strategies[i][j]=(expected_payoff+strategy_matrix[i][j])/(expected_payoff+strategy_matrix[i][j]+epsilon)

new_strategies[i]/=new_strategies[i].sum()

ifnp.allclose(new_strategies,strategies,atol=epsilon):

break

strategies=new_strategies

returnstrategies

#運行策略迭代

strategies=strategy_iteration(strategy_matrix,payoff_matrix)

print("最終策略：\n",strategies)4.2.2.2解釋在這個例子中，我們使用策略迭代算法來找到兩個機器人之間的納什均衡策略。策略矩陣和收益矩陣定義了每個機器人在不同策略組合下的收益。通過迭代更新策略，直到策略變化小于預(yù)定義的閾值，我們找到了一個穩(wěn)定的策略組合，即納什均衡。通過以上兩個示例，我們可以看到，基于強化學(xué)習(xí)的非合作博弈算法和策略迭代在多智能體系統(tǒng)中的應(yīng)用，為設(shè)計和優(yōu)化多機器人系統(tǒng)提供了強大的工具。5非合作博弈在多機器人系統(tǒng)中的應(yīng)用5.1無人機群的路徑規(guī)劃5.1.1原理在無人機群的路徑規(guī)劃中，非合作博弈理論可以用來解決多無人機在復(fù)雜環(huán)境中的自主決策問題。每個無人機被視為一個獨立的博弈參與者，它們的目標(biāo)可能包括最小化飛行時間、避免碰撞、優(yōu)化能源消耗等。由于無人機之間可能存在資源競爭（如充電站、通信信道）或目標(biāo)沖突（如兩個無人機試圖同時到達同一目標(biāo)點），非合作博弈提供了一種框架，讓每個無人機基于自身利益最大化來做出決策，同時考慮到其他無人機的可能行動。5.1.2內(nèi)容非合作博弈在無人機群路徑規(guī)劃中的應(yīng)用通常涉及以下步驟：定義博弈參與者：每個無人機被視為一個參與者。設(shè)定策略空間：無人機的策略可能包括選擇不同的路徑、飛行速度或高度。確定支付函數(shù)：支付函數(shù)反映了無人機在給定策略下的收益或成本，如飛行時間、能源消耗或任務(wù)完成度。求解納什均衡：納什均衡是所有參與者在給定其他參與者策略時，都不愿意改變自己策略的狀態(tài)。在多無人機系統(tǒng)中，找到納什均衡意味著每個無人機都選擇了在當(dāng)前環(huán)境下最優(yōu)的路徑規(guī)劃策略。5.1.3示例假設(shè)我們有兩個無人機，它們需要從起點A和B分別到達終點C和D，但它們共享一條關(guān)鍵路徑。為了最小化飛行時間，我們可以使用非合作博弈理論來規(guī)劃它們的路徑。下面是一個使用Python和NumPy庫的簡化示例，展示了如何通過求解納什均衡來規(guī)劃無人機路徑。importnumpyasnp

#定義支付矩陣，假設(shè)飛行時間是支付函數(shù)

#第一維代表無人機1的策略，第二維代表無人機2的策略

#矩陣中的值表示飛行時間，越小越好

payoff_matrix=np.array([[10,15],[15,12]])

#求解納什均衡

deffind_nash_equilibrium(payoff_matrix):

#簡化示例，僅考慮兩個策略的情況

strategy1=np.array([0.5,0.5])#無人機1的策略概率分布

strategy2=np.array([0.5,0.5])#無人機2的策略概率分布

#迭代求解，直到策略穩(wěn)定

whileTrue:

#更新無人機2的策略

strategy2=payoff_matrix@strategy1

strategy2/=strategy2.sum()

#更新無人機1的策略

strategy1=payoff_matrix.T@strategy2

strategy1/=strategy1.sum()

#檢查策略是否穩(wěn)定

ifnp.allclose(strategy1,np.array([0.5,0.5]))andnp.allclose(strategy2,np.array([0.5,0.5])):

break

returnstrategy1,strategy2

#執(zhí)行求解

strategy1,strategy2=find_nash_equilibrium(payoff_matrix)

print("無人機1的納什均衡策略:",strategy1)

print("無人機2的納什均衡策略:",strategy2)在這個例子中，我們使用了一個2x2的支付矩陣來表示兩個無人機在不同路徑選擇下的飛行時間。通過迭代求解，我們找到了納什均衡策略，即每個無人機在給定對方策略時的最優(yōu)選擇。5.2多機器人協(xié)作與沖突解決5.2.1原理在多機器人協(xié)作中，非合作博弈理論可以用來處理機器人之間的沖突，尤其是在資源有限或目標(biāo)沖突的情況下。通過定義適當(dāng)?shù)闹Ц逗瘮?shù)，每個機器人可以基于其自身利益和對其他機器人行動的預(yù)期來做出決策。這種理論特別適用于需要機器人自主決策的場景，如搜索與救援、環(huán)境監(jiān)測或物流配送。5.2.2內(nèi)容非合作博弈在多機器人協(xié)作與沖突解決中的應(yīng)用包括：資源分配：當(dāng)多個機器人需要訪問同一資源（如充電站）時，非合作博弈可以用來預(yù)測和解決潛在的沖突。任務(wù)分配：在多機器人執(zhí)行任務(wù)時，非合作博弈可以幫助機器人根據(jù)任務(wù)的優(yōu)先級和自身能力做出最優(yōu)的任務(wù)選擇。沖突解決：當(dāng)機器人在執(zhí)行任務(wù)過程中遇到物理或邏輯沖突時，非合作博弈提供了一種機制來決定如何調(diào)整策略以避免沖突。5.2.3示例考慮一個場景，其中三個機器人需要訪問兩個充電站。我們可以通過定義支付矩陣來模擬這種資源競爭，并使用非合作博弈理論來找到最優(yōu)的資源分配策略。下面是一個使用Python的示例代碼：importnumpyasnp

#定義支付矩陣，假設(shè)支付函數(shù)是充電時間，越小越好

#第一維代表機器人1的策略，第二維代表機器人2的策略，第三維代表機器人3的策略

#矩陣中的值表示充電時間

payoff_matrix=np.array([[[10,15],[15,20]],[[15,20],[20,25]]])

#求解納什均衡

deffind_nash_equilibrium(payoff_matrix):

#簡化示例，僅考慮兩個策略的情況

strategy1=np.array([0.5,0.5])#機器人1的策略概率分布

strategy2=np.array([0.5,0.5])#機器人2的策略概率分布

strategy3=np.array([0.5,0.5])#機器人3的策略概率分布

#迭代求解，直到策略穩(wěn)定

whileTrue:

#更新機器人2和3的策略

strategy2=np.dot(payoff_matrix[0],strategy1)

strategy2/=strategy2.sum()

strategy3=np.dot(payoff_matrix[1],strategy1)

strategy3/=strategy3.sum()

#更新機器人1的策略

strategy1=np.dot(payoff_matrix[:,:,0],strategy2)+np.dot(payoff_matrix[:,:,1],strategy3)

strategy1/=strategy1.sum()

#檢查策略是否穩(wěn)定

ifnp.allclose(strategy1,np.array([0.5,0.5]))andnp.allclose(strategy2,np.array([0.5,0.5]))andnp.allclose(strategy3,np.array([0.5,0.5])):

break

returnstrategy1,strategy2,strategy3

#執(zhí)行求解

strategy1,strategy2,strategy3=find_nash_equilibrium(payoff_matrix)

print("機器人1的納什均衡策略:",strategy1)

print("機器人2的納什均衡策略:",strategy2)

print("機器人3的納什均衡策略:",strategy3)在這個例子中，我們使用了一個三維的支付矩陣來表示三個機器人在不同充電站選擇下的充電時間。通過迭代求解，我們找到了納什均衡策略，即每個機器人在給定其他機器人策略時的最優(yōu)充電站選擇策略。通過這些示例，我們可以看到非合作博弈理論在多機器人系統(tǒng)中的應(yīng)用，它為解決機器人之間的資源競爭和沖突提供了一種有效的數(shù)學(xué)工具。6高級非合作博弈理論6.1擴展型博弈與子博弈完美納什均衡6.1.1原理擴展型博弈（ExtensiveFormGame）是一種描述動態(tài)博弈的模型，它通過博弈樹來表示博弈過程中的決策順序和信息結(jié)構(gòu)。在擴展型博弈中，每個決策點（節(jié)點）代表一個玩家的決策時刻，而從一個決策點出發(fā)的每條邊則代表一個可能的行動。這種模型特別適用于分析有先后行動順序的博弈，其中玩家的決策可能基于對過去行動的觀察。子博弈完美納什均衡（SubgamePerfectNashEquilibrium,SPNE）是擴展型博弈中的一種均衡概念，它要求在博弈的每一個子博弈中，所有玩家的策略都構(gòu)成納什均衡。這意味著，即使在博弈的后期階段，玩家也不會有動機改變其策略，即使他們知道博弈的早期階段發(fā)生了什么。SPNE通過回溯歸納法（BackwardInduction）來求解，從博弈樹的最后一個決策點開始，逐步向前推導(dǎo)，直到找到整個博弈的均衡策略。6.1.2內(nèi)容考慮一個簡單的擴展型博弈，其中兩個機器人在連續(xù)的決策點上進行交互。機器人A首先選擇是否“合作”或“背叛”，然后機器人B觀察到A的行動后，再做出自己的選擇。博弈樹如下所示：(A)合作/背叛

/\

(B)合作(B)背叛(B)合作(B)背叛假設(shè)支付矩陣如下：如果A和B都選擇合作，A和B分別獲得3和3的收益。如果A選擇合作而B選擇背叛，A獲得0，B獲得5。如果A選擇背叛而B選擇合作，A獲得5，B獲得0。如果A和B都選擇背叛，A和B分別獲得1和1的收益。6.1.3示例我們可以使用Python的game-theory庫來分析這個博弈的SPNE。首先，定義博弈樹和支付矩陣：importnumpyasnp

fromgame_theoryimportExtensiveGame

#定義支付矩陣

payoffs={

('合作','合作'):(3,3),

('合作','背叛'):(0,5),

('背叛','合作'):(5,0),

('背叛','背叛'):(1,1)

}

#創(chuàng)建博弈樹

game_tree=ExtensiveGame()

game_tree.add_node('A',['合作','背叛'])

game_tree.add_node('B',['合作','背叛'],parent='A')

#設(shè)置支付矩陣

fornodeingame_tree.nodes:

ifnode!='A':

game_tree.set_payoffs(node,payoffs[(game_tree.get_parent(node),node)])

#求解SPNE

spne=game_tree.solve_subgame_perfect_equilibrium()

print(spne)6.1.4解釋在上述代碼中，我們首先定義了支付矩陣，然后創(chuàng)建了一個擴展型博弈樹，其中機器人A和B分別在不同的節(jié)點上做出決策。通過solve_subgame_perfect_equilibrium方法，我們可以找到子博弈完美納什均衡。在這個例子中，SPNE可能是機器人A選擇背叛，而機器人B在觀察到A的行動后也選擇背叛，因為這是在每個子博弈中都構(gòu)成納什均衡的策略組合。6.2重復(fù)博弈與信譽機制6.2.1原理重復(fù)博弈（RepeatedGame）是指同一博弈結(jié)構(gòu)被多次重復(fù)進行的博弈。在單次博弈中，玩家可能傾向于采取短期最優(yōu)策略，但在重復(fù)博弈中，長期關(guān)系和未來收益的考慮變得重要，這可能導(dǎo)致玩家采取更合作的策略。信譽機制（ReputationMechanism）是重復(fù)博弈中的一種策略，它通過建立和維護玩家的信譽來促進合作。如果一個玩家在過去的博弈中表現(xiàn)得合作，那么其他玩家可能會在未來的博弈中也選擇合作，以維持良好的關(guān)系。6.2.2內(nèi)容在重復(fù)博弈中，機器人之間的互動可以被設(shè)計成無限次或有限次重復(fù)。無限次重復(fù)博弈中，由于未來的收益是無限的，玩家有更強的動機去維護合作。而在有限次重復(fù)博弈中，由于博弈有確定的結(jié)束時間，玩家可能會在最后幾輪博弈中采取背叛策略，以最大化短期收益。6.2.3示例假設(shè)我們有兩個機器人在進行無限次重復(fù)的囚徒困境博弈。我們可以使用Python的axelrod庫來模擬這種博弈，并觀察信譽機制如何影響合作行為：fromaxelrodimportPlayer,TitForTat,Random,axelrod_tournament

classMyRobot(Player):

defstrategy(self,opponent:Player)->str:

ifnotself.history:

return'C'#第一次選擇合作

ifopponent.history[-1]=='C':

return'C'#如果對手上一輪合作，本輪也合作

return'D'#如果對手上一輪背叛，本輪也背叛

#創(chuàng)建機器人實例

robot1=MyRobot()

robot2=TitForTat()#使用“以牙還牙”策略的機器人

#進行無限次重復(fù)博弈

tournament=axelrod_tournament([robot1,robot2],turns=0,repetitions=10)

results=tournament.play()

#輸出結(jié)果

formatchinresults:

print(match)6.2.4解釋在這個例子中，我們創(chuàng)建了一個自定義的機器人MyRobot，它在第一次博弈中選擇合作，然后根據(jù)對手上一輪的行動來決定自己的行動。我們還創(chuàng)建了一個使用“以牙還牙”策略的機器人robot2，它在第一次博弈中選擇合作，然后在后續(xù)博弈中模仿對手的上一輪行動。通過axelrod_tournament函數(shù)，我們讓這兩個機器人進行無限次重復(fù)的博弈，并觀察它們的合作行為。信譽機制在這種情況下表現(xiàn)為，如果一個機器人在過去的博弈中合作，另一個機器人也傾向于合作，從而維持了長期的合作關(guān)系。7案例研究與實踐7.1多機器人搜索與救援任務(wù)中的博弈論應(yīng)用在多機器人搜索與救援任務(wù)中，博弈論提供了一種分析和決策的框架，尤其是在非合作博弈場景下，機器人需要在不確定的環(huán)境中做出最優(yōu)決策，同時考慮到其他機器人可能的行動。這種場景下，納什均衡（NashEquilibrium）成為了一個關(guān)鍵概念，它描述了在所有參與者都選擇最優(yōu)策略時，沒有一個參與者可以通過單方面改變策略來獲得更好的結(jié)果。7.1.1算法原理在非合作博弈中，每個機器人都是一個獨立的決策者，它們的目標(biāo)可能不完全一致，甚至存在沖突。為了找到納什均衡，可以使用重復(fù)刪除的占優(yōu)策略（IteratedEliminationofDominatedStrategies,IEDS）或最佳響應(yīng)動態(tài)（BestResponseDynamics）等算法。這些算法通過迭代過程，逐步消除那些在任何情況下都不會是最優(yōu)選擇的策略，最終收斂到納什均衡。7.1.2實踐案例假設(shè)在一個搜索與救援任務(wù)中，有兩個機器人A和B，它們需要在一片區(qū)域中搜索幸存者。區(qū)域被分為四個部分，每個部分可能有或沒有幸存者。機器人A和B可以獨立選擇搜索的區(qū)域，但它們的搜索效率會受到對方選擇的影響。如果兩個機器人選擇相同的區(qū)域，它們的搜索效率會降低，因為資源被重復(fù)使用；如果它們選擇不同的區(qū)域，效率會更高，因為可以覆蓋更多的區(qū)域。7.1.2.1策略矩陣我們可以用一個策略矩陣來表示兩個機器人在不同區(qū)域的選擇和相應(yīng)的收益。假設(shè)收益值表示找到幸存者的概率，矩陣如下：B選擇區(qū)域1B選擇區(qū)域2B選擇區(qū)域3B選擇區(qū)域4A選擇區(qū)域10.2,0.20.8,0.10.5,0.30.6,0.2A選擇區(qū)域20.1,0.80.3,0.30.4,0.40.5,0.3A選擇區(qū)域30.3,0.50.4,0.40.1,0.80.2,0.5A選擇區(qū)域40.2,0.60.3,0.50.5,0.20.1,0.87.1.2.2納什均衡尋找使用IEDS算法，我們首先識別并刪除所有嚴(yán)格占優(yōu)策略。在這個例子中，沒有一個策略對所有其他策略都是占優(yōu)的，因此我們轉(zhuǎn)向最佳響應(yīng)動態(tài)。importnumpyasnp

#策略矩陣

payoff_matrix=np.array([

[0.2,0.8,0.5,0.6],

[0.1,0.3,0.4,0.5],

[0.3,0.4,0.1,0.2],

[0.2,0.3,0.5,0.1]

])

#B的策略矩陣（轉(zhuǎn)置）

payoff_matrix_B=payoff_matrix.T

#找到A的最佳響應(yīng)

best_response_A=np.argmax(payoff_matrix,axis=1)

#找到B的最佳響應(yīng)

best_response_B=np.argmax(payoff_matrix_B,axis=1)

#納什均衡點

nash_equilibrium=np.where(best_response_A==np.arange(payoff_matrix.shape[1]))[0]

print("納什均衡點（A的策略）:",nash_equilibrium)7.1.3解釋在上述代碼中，我們首先定義了策略矩陣，然后分別計算了機器人A和B的最佳響應(yīng)策略。納什均衡點是那些在最佳響應(yīng)策略下，A和B都不會改變自己策略的點。在這個例子中，我們發(fā)現(xiàn)納什均衡點可能在多個位置，這意味著在實際應(yīng)用中，機器人可能需要通過隨機化策略來達到納什均衡，避免陷入固定的模式。7.2工業(yè)自動化中的多機器人非合作博弈案例在工業(yè)自動化環(huán)境中，多機器人系統(tǒng)可能需要在有限的資源下完成不同的任務(wù)，如物料搬運、裝配等。這些任務(wù)可能需要機器人在特定的時間點到達特定的位置，而資源的限制（如充電站、工具等）會導(dǎo)致機器人之間的競爭。非合作博弈理論可以用來優(yōu)化這些機器人的調(diào)度，確保整體效率的最大化。7.2.1算法原理在工業(yè)自動化場景中，可以使用混合整數(shù)線性規(guī)劃（Mi