2023年二輪復習解答題專題五：解直角三角形的應用背靠背母子型(原卷版+解析)

2023年二輪復習解答題專題六：解直角三角形的應用背靠背型典例分析例（2022安徽中考）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離．參考數(shù)據(jù)：，，．專題過關1.（2022瀘州中考）如圖，海中有兩小島C，D，某漁船在海中的A處測得小島C位于東北方向，小島D位于南偏東30°方向，且A，D相距10nmile．該漁船自西向東航行一段時間后到達點B，此時測得小島C位于西北方向且與點B相距8nmile．求B，D間的距離（計算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．2.（2022撫順中考）如圖，B港口在A港口南偏西方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西方向，B港口在貨輪的北偏西方向，求此時貨輪與A港口的距離（結果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：）3.（2022懷化中考）某地修建了一座以“講好隆平故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為800米的圓形紀念園．如圖，紀念園中心點A位于C村西南方向和B村南偏東60°方向上，C村在B村的正東方向且兩村相距2.4千米．有關部門計劃在B、C兩村之間修一條筆直的公路來連接兩村．問該公路是否穿過紀念園？試通過計算加以說明．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）4.（2022宿遷中考）如圖，某學習小組在教學樓的頂部觀測信號塔底部的俯角為30°，信號塔頂部的仰角為45°．已知教學樓的高度為20m，求信號塔的高度（計算結果保冒根號）．5.（2022銅仁中考）為了測量高速公路某橋的橋墩高度，某數(shù)學興趣小組在同一水平地面C、D兩處實地測量，如圖所示．在C處測得橋墩頂部A處的仰角為和橋墩底部B處的俯角為，在D處測得橋墩頂部A處的仰角為，測得C、D兩點之間的距離為，直線、在同一平面內(nèi)，請你用以上數(shù)據(jù)，計算橋墩的高度．（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

6.（2022呼和浩特中考）“一去紫臺連朔漠，獨留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區(qū)現(xiàn)已成為外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如圖，為測量景區(qū)中一座雕像的高度，某數(shù)學興趣小組在處用測角儀測得雕像頂部的仰角為，測得底部的俯角為．已知測角儀與水平地面垂直且高度為1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）

7.（2022威海中考）小軍同學想利用所學的“銳角三角函數(shù)”知識測量一段兩岸平行的河流寬度．他先在河岸設立A，B兩個觀測點，然后選定對岸河邊的一棵樹記為點M．測得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．請你依據(jù)所測數(shù)據(jù)求出這段河流的寬度（結果精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．

8．（2022聊城中考）（8分）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．數(shù)學興趣小組利用無人機測量古槐的高度，如圖②所示，當無人機從位于塔基B點與古槐底D點之間的地面H點，豎直起飛到正上方45米E點處時，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點B，H，D三點在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）9.（2022河池中考）如圖，小敏在數(shù)學實踐活動中，利用所學知識對他所在小區(qū)居民樓AB的高度進行測量，從小敏家陽臺C測得點A的仰角為33°，測得點B的俯角為45°，已知觀測點到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．10.（2022新疆兵團中考）周米，王老師布置了一項綜合實踐作業(yè)，要求利用所學知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，已知兩樓之間的水平距離為，求這棟樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：）11.（2022廣元中考）如圖，計劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF．在點E處測得山頂A的仰角為45°，在距E點80m的C處測得山頂A的仰角為30°，從與F點相距10m的D處測得山頂A的仰角為45°，點C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長度．

12.（2022駐馬店二模）無人機是當下年輕人娛樂競技的方式之一．某無人機興趣小組在廣場上開展競技活動（如圖），比賽誰測量某寫字樓BC的高度精確，其中小明操作的無人機在離地面30米的D處，無人機測得操控者小明（點A）的俯角為37°，測得寫字樓頂端點C處的俯角為45°．又經(jīng)過人工測量操控者A和教學樓BC距離為57米，請幫助小明根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算寫字樓BC的高度．（注：點A，B，C，D都在同一平面上．（參考數(shù)據(jù)：，，）13.（2022周口扶溝二模）九年級數(shù)學“綜合與實踐”的活動課題是“測量物體的高度”，第一小組和第二小組的成員分別采用不同的方案測量古樹的高度，下面是他們的研究報告的部分記錄內(nèi)容．課題：測量古樹的高度AB組別第一小組第二小組示意圖（說明：圖中的所有點均在同一豎直平面內(nèi)，其中點C，B，E，G在同一水平線上，點D，M，F(xiàn)，H在同一水平線上）方案用高度為1.4m的測角儀在C處測得古樹頂端A處的仰角為40°，并測得點C到古樹的水平距離CB為9.76m用高度為1.4m的測角儀在G處測得古樹頂端A處的仰角為45°，在E處測得古樹頂端A處的仰角為55°，并測得E，G兩點間的距離為2.56m參考數(shù)據(jù)tan40°≈0.84，tan55°≈1.43，計算過程在Rt△ADM中，DM＝CB＝9.76，∠ADM＝40°，，∴AM＝DM?tan40°≈9.76×0.84≈8.2（m）∴AB＝AM＋BM≈8.2＋1.4＝9.6（m）……組員簽字（1）請完成第二小組成員的計算過程．（結果保留一位小數(shù)）（2）你認為哪個小組的測量方案得到的結果更加準確，請說明理由．14.（2022河南鎮(zhèn)平一模）某學校數(shù)學興趣小組組織了一次測橋墩高度的活動，如圖，橋墩剛好在坡角為30°的河床斜坡邊，斜坡BC長為48米，在點D處測得橋墩最高點A的仰角為35°，CD平行于水平線BM，CD長為16米，求橋墩AB的高（結果保留1位小數(shù)）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）15.（2022河南輝縣二模）如圖所示，為了知道古塔AB的高度，某數(shù)學活動小組利用測角儀和米尺等工具進行如下操作：在建筑物上的C處測得古塔頂端A的仰角為45°，在C處測得古塔底端B的俯角為40°，測得建筑物CD的高度為15米，且CD⊥BD．根據(jù)測量數(shù)據(jù)，請求出古塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結果精確到0.01米）16.（2022河南社旗一模）手機測距可以測量物體高度、寬度等，這些測距軟件是基于幾何學原理設計的．測量時只需要輸入身高，再用手機拍攝功能將準星對準物體頂端和底部拍攝圖片，程序就會計算出物體的高度．某款測距提供的測高模式如下：點都在同一平面內(nèi)，手機位置為點，待測物體為，且和均與地面垂直．從點處測得頂端的仰角為，底部的俯角為．奮進小組的同學想用上述方式手動計算某景區(qū)宣傳廣告牌的高度．如圖2，經(jīng)過測量得到，仰角，俯角，求出廣告牌的高度（參考數(shù)據(jù)：，結果精確到0.1）．17.（2022平頂山一模）始建于北宋皇佑元年的開封鐵塔，至今已有近千年的歷史，被譽為“天下第一塔”．為了測量鐵塔的高度，甲、乙兩同學分別在塔的東西兩側的A，B．兩處（點A．C，B在同一條直線上），測得塔頂D的仰角分別為45°和65°，已知兩人之間的距離約為82米，求塔CD的高度，（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin65°≈0.91．cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）18.（2022南陽宛城一模）如圖，一艘貨船以20nmile/h的速度向正南方向航行，在A處測得燈塔B在南偏東方向，航行5h后到達C處，測得燈塔B在北偏東方向，求C處距離燈塔B的距離BC（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，）．19.（2022洛陽伊川一模）河南省開封市鐵塔始建于公元1049年（北宋皇佑元年），是國家重點保護文物之一，在900多年中，歷經(jīng)了數(shù)次地震、大風、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之稱．如圖，小明的眼睛到地面的距離AB為1.7米，他站在點A處測得塔頂D的仰角為45°，小穎的眼睛到地面的距離EF為1.5米，她站在點E處測得塔頂D的仰角為38°.已知小明與小穎相距125米，求鐵塔CD的高度．（結果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）20.（2022河南汝陽一模）如圖所示，飛機在一定高度上沿水平直線飛行，先在點A處測得前方小島C的俯角為30°，水平飛行20km后到達B處，發(fā)現(xiàn)小島在其后方，測得小島的俯角為45°．如果小島高度忽略不計，求飛機飛行的高度（結果保留根號）．

21.（2022洛陽一模）隨著科學技術的不斷進步，無人機被廣泛應用到實際生活中，小明利用無人機來測量廣場B，C兩點之間的距離．如圖所示，小明站在廣場的B處遙控無人機，無人機在A處距離地面的飛行高度是21.7m，此時從無人機測得廣場C處的俯角為63°，若小明的身高，（點A，E，B，C在同一平面內(nèi)）．求B，C兩點之間的距離（結果精確到0.1m）．（，，）22.（2022河南林州一模）如圖，小東在教學樓距地面8米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37°，旗桿底部B點的俯角為45°，升旗時，國旗上端懸掛在距地面2.5米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放46秒結束時到達旗桿頂端，則國旗應以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23.（2022河南滑縣一模）學完解直角三角形后，某數(shù)學興趣小組準備用所學的知識測量河南鄭州花園口某處黃河的寬度．他們制定了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量．測量項目和測量數(shù)據(jù)如下表：項目測量花園口某處黃河的寬度成員組長：×××組員：××××××測量工具無人機（可測量無人機離水面的高度及俯角）示意圖

說明：遙控無人機并控制在河面（花園口某處黃河的寬度）正上方的D處保持靜止（懸停），利用無人機測得無人機距水面的高度，并分別測得俯視河面A，B兩處的角度測量數(shù)據(jù)第一次第二次平均值第一次第二次平均值第一次第二次平均值根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）請利用上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助該數(shù)學興趣小組計算出花園口某處黃河的寬度．（結果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)：，，，）（2）有同學提出一個方案，直接利用無人機測量花園口某處黃河的寬度，由B處正上方水平勻速飛行到A處正上方，即可知道河面的寬度，請你分析該方案是否可行，并說明理由．（3）該數(shù)學興趣小組要寫出一份完整的課題活動報告，除上表中的項目外，你認為還需要補充哪些項目？（寫出一個即可）24.（2022鶴壁一模）如圖1是鶴壁市玄天洞石塔，原名玲瓏塔，是我省現(xiàn)存最大的一座樓閣式石塔，玄天洞石塔坐東朝西，為九級重檐平面四角樓閣式建筑，此塔始建于元朝，重建于明代，時稱天塔，因該塔屹立于淇河北岸玄天洞東南，又得名玄天洞石塔，某數(shù)學興趣小組開展了測量“玄天洞石塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：方案設計：如圖2，石塔CD垂直于地面，在地面上選取A，B兩處分別測得∠CAD和∠CBD的度數(shù)（A，D，B三點在同一條直線上）數(shù)據(jù)收集：通過實地測量，地面上A，B兩點的距離為20m，∠CAD=45°，∠CBD=58°．問題解決：求石塔CD的高度．（結果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25.（2022安陽一模）在一次數(shù)學活動中，某學生在市田徑運動館觀禮臺上距離地面6m處A點測得正前方旗桿頂端B點的仰角為45°，旗桿底部C點的俯角為37°．請求出該運動館內(nèi)旗桿BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）26.（2022山西二模）某?！熬C合與實踐”小組來到太原文瀛公園進行參觀研學，對人民革命烈士紀念碑的高度進行了實地測量．項目操作如下：如圖，測角儀的高度米，他們分別在點C和點D處測得紀念碑頂端A的仰角分別為，且米，A，E，C，B，F(xiàn)，D，G在同一豎直平面內(nèi)，且E，F(xiàn)，G在同一條水平線上，C，B，D在同一條水平線上，求紀念碑的高度．（結果精確到0.1米，）27.（2022山西三模）山西省立第一中學——中共太原支部的搖籃，其舊址位于文瀛湖南岸，某綜合實踐小組想測量該舊址校門牌樓的高度，他們在校門正前方的平臺上的點C處測得校門底端B的俯角為，在平臺上的點D處測得校門頂端A的仰角為．平臺平行于地面，測得距地面的高度為，的長為．點A，B，C，D，M，N均在同一豎直平面內(nèi)．請你幫助該小組求校門牌樓的高度．（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）

28.（2022山西侯馬二模）如圖1是2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺，曲線的設計靈感來自敦煌“飛天”飄帶，又名“雪飛天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳臺場館．如圖2，為測量“雪飛天”的高度，測得大跳臺跨度AB為140m，出發(fā)區(qū)CD為20m，且，AD為大跳臺鋼支架，在點A處測得點D的仰角∠DAB＝75°，在點C處測得點B的俯角∠ECB＝30°．（測角儀的高度忽略不計）（1）求大跳臺出發(fā)區(qū)CD距離地面AB的高度．（結果精確到1m；參考數(shù)據(jù)：，，，）（2）據(jù)了解，“雪飛天”需要造雪，分別用雪槍和雪炮來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，雪炮出雪量大，適合室外滑雪場快速鋪雪，雪槍造雪分布比較平均，相對造雪量比較小．若每臺雪槍每小時出雪量比雪炮少，且一臺雪槍出雪所用的時間與一臺雪炮出雪所用的時間相等．求每臺雪槍和雪炮每小時的出雪量．29.（2022河南鄧州一模）橫跨鄧州市湍河兩岸的穰城大橋建成通車，改變了湍河兩岸的交通格局，必將顯著提升鄧州市湍河南北兩岸和產(chǎn)業(yè)集聚區(qū)與中心城區(qū)的聯(lián)動性和便捷性．穰城大橋塔造型取自甲骨文和早期金文中的“鄧”字，意為雙手捧著裝滿糧食的陶豆，上揚下覆，取上承“甘露”，下納“地氣”之意（如圖1），為了測量橋的塔冠頂?shù)剿娴母叨龋ㄈ鐖D2），小明操控無人機，在距水面1m的點C處測得頂端A的仰角為45°，直行前進130m（），在距水面2m的點D處，測得頂端A的仰角為53°，求塔冠頂?shù)剿娴母叨華B（精確到1m，，，）．30.（2022鄭州外國語一模）隨著科技的進步，無人機被廣泛應用到實際生活中，小明利用無人機測量學校的籃球場上B、C兩點之間的距離．如圖所示，小明站在球場B處遙控無人機，無人機在A處距地面的飛行高度為41.6m，此時從無人機測球場C處的俯角為63°．他抬頭仰視無人機時，仰角為α．若小明的身高BE＝1.6m，EA＝50m（點A，C，B，E在同一平面內(nèi)），求B、C兩點之間的距離（結果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）．31.（2022河南商水二模）2021年10月23日，我國首艘萬噸級海事巡邏船“海巡09”輪（如圖1）在廣州南沙列編，加入中國海事執(zhí)法序列，標志著我國目前噸位最大、裝備先進、綜合能力強，具有世界領先水平的公務執(zhí)法船正式投入使用．如圖2，已知“海巡09”輪上午9時在B市的南偏東25°方向上的點A處，且在C島的北偏東58°方向上；B市在C島的北偏東28°方向上，且距離C島372km，此時，“海巡09”輪沿著AC方向以30km/h的速度航行，問：“海巡09”輪大約需要多長時間到達C島？（參考數(shù)據(jù)：，，，）32.（2022鄭州一模）如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海里的A處遇險，發(fā)出求救信號．一艘救生船位于燈塔C的南偏東方向上，同時位于A處的北偏東方向上的B處，救生船接到求救信號后，立即前往救援．求的長（結果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，取1.73．

33.（2022河南實驗中學一模）黃河是中華文明最主要的發(fā)源地，中國人稱其為“母親河”．為落實黃河文化的傳承弘揚，某校組織學生到黃河某段流域進行研學旅行．某興趣小組在只有米尺和測角儀的情況下，想要求出河南段黃河某處的寬度（不能到對岸）如圖，已知該段河對岸岸邊有一點A，興趣小組以A為參照點在河這邊沿河邊任取兩點B、C，測得，，量得的長為300m．求河的寬度．（結果精確到1m，參考據(jù)，，）

2023年二輪復習解答題專題六：解直角三角形的應用背靠背型方法點睛解直角三角形的實際應用題解題方法審題、分析題意，將已知量和未知量弄清楚，明確題目中的一些名詞、術語的含義，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所給三角形是直角三角形，確定合適的邊角關系進行計算；若不是直角三角形，可嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題進行解決.此外，在測量問題中往往會涉及測角儀、身高等與計算無關的數(shù)據(jù)，在求建筑物高度時不要忽略這些數(shù)據(jù).模型典例分析例（2022安徽中考）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】96米【解析】【分析】根據(jù)題意可得是直角三角形，解可求出AC的長，再證明是直角三角形，求出BC的長，根據(jù)AB=AC-BC可得結論．【詳解】解：∵A，B均在C的北偏東37°方向上，A在D的正北方向，且點D在點C的正東方，∴是直角三角形，∴，∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，在Rt△ACD中，，CD=90米，∴米，∵，∴∴，∴即是直角三角形，∴，∴米，∴米，答：A，B兩點間的距離為96米．【點睛】此題主要考查了解直角三角形-方向角問題的應用，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．專題過關1.（2022瀘州中考）如圖，海中有兩小島C，D，某漁船在海中的A處測得小島C位于東北方向，小島D位于南偏東30°方向，且A，D相距10nmile．該漁船自西向東航行一段時間后到達點B，此時測得小島C位于西北方向且與點B相距8nmile．求B，D間的距離（計算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．【答案】B，D間的距離為14nmile．【解析】【分析】如圖，過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)題意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出B，D間的距離．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)題意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．在Rt△ABC中，AC=BC=8，∴AB=BC=16(nmile)，在Rt△ADE中，AD=10nmile，∠EAD=60°，∴DE=AD?sin60°=10×=(nmile)，AE=AD=5(nmile)，∴BE=AB-AE=11(nmile)，∴BD=14(nmile)，答：B，D間的距離為14nmile．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，解決本題的關鍵是掌握方向角定義．2.（2022撫順中考）如圖，B港口在A港口南偏西方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西方向，B港口在貨輪的北偏西方向，求此時貨輪與A港口的距離（結果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】貨輪距離A港口約141海里【解析】【分析】過點B作于點H，分別解直角三角形求出AH、HC即可得到答案．【詳解】解：過點B作于點H，根據(jù)題意得，，

在中，，∵，，∴（海里）（海里）在中，∵∴．∴海里答：貨輪距離A港口約141海里．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，正確理解題意作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．3.（2022懷化中考）某地修建了一座以“講好隆平故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為800米的圓形紀念園．如圖，紀念園中心點A位于C村西南方向和B村南偏東60°方向上，C村在B村的正東方向且兩村相距2.4千米．有關部門計劃在B、C兩村之間修一條筆直的公路來連接兩村．問該公路是否穿過紀念園？試通過計算加以說明．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）【答案】不穿過，理由見解析【解析】【分析】先作AD⊥BC，再根據(jù)題意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°，設CD=x，可表示AD和BD，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)值列出方程，求出AD，與800米比較得出答案即可．【詳解】不穿過，理由如下：過點A作AD⊥BC，交BC于點D，根據(jù)題意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°.設CD=x，則BD=2.4-x，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，∴∠CAD=45°，∴AD=CD=x．Rt△ABD中，，即，解得x=0.88，可知AD=0.88千米=880米，因為880米＞800米，所以公路不穿過紀念園．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵．4.（2022宿遷中考）如圖，某學習小組在教學樓的頂部觀測信號塔底部的俯角為30°，信號塔頂部的仰角為45°．已知教學樓的高度為20m，求信號塔的高度（計算結果保冒根號）．【答案】（20＋20）m．【解析】【分析】過點A作AE⊥CD于點E，則四邊形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的長，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的長，即可得到CD的長，得到信號塔的高度．【詳解】解：過點A作AE⊥CD于點E，由題意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四邊形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝，∴m，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴m，∴CD＝CE＋DE＝（20＋20）m，∴信號塔的高度為（20＋20）m．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)等知識，借助仰角俯角構造直角三角形與矩形是解題的關鍵．5.（2022呼和浩特中考）“一去紫臺連朔漠，獨留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區(qū)現(xiàn)已成為外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如圖，為測量景區(qū)中一座雕像的高度，某數(shù)學興趣小組在處用測角儀測得雕像頂部的仰角為，測得底部的俯角為．已知測角儀與水平地面垂直且高度為1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）

【答案】米【解析】【分析】過點作于，則四邊形是矩形，則，在與中，分別表示出，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過點作于，則四邊形是矩形，

，中，，，中，，，米答：雕像的高為米【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．6.（2022威海中考）小軍同學想利用所學的“銳角三角函數(shù)”知識測量一段兩岸平行的河流寬度．他先在河岸設立A，B兩個觀測點，然后選定對岸河邊的一棵樹記為點M．測得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．請你依據(jù)所測數(shù)據(jù)求出這段河流的寬度（結果精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．

【答案】約為1.7米【解析】【分析】過點M作MN⊥AB，利用正切函數(shù)得出AN≈，BN≈，結合圖形得出，然后求解即可．【詳解】解：過點M作MN⊥AB，

根據(jù)題意可得：，∴AN≈，∴BN≈∵AN+BN=AB=50，∴，解得：MN=m，∴河流的寬度約為1.7米．【點睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解決實際問題，理解題意，結合圖形進行求解是解題關鍵．7.（2022河池中考）如圖，小敏在數(shù)學實踐活動中，利用所學知識對他所在小區(qū)居民樓AB的高度進行測量，從小敏家陽臺C測得點A的仰角為33°，測得點B的俯角為45°，已知觀測點到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．【答案】59m【解析】【分析】過點C作CE⊥AB于點E，則∠AEC＝∠BEC＝90°，先證明四邊形BECD是矩形，BE＝CD＝36m，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，求得AE≈23.4m，進而得到居民樓AB的高度．【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥AB于點E，則∠AEC＝∠BEC＝90°，由題意可知∠CDB＝∠DBE＝90°，∴四邊形BECD是矩形，∴BE＝CD＝36m，由題意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°，∴∠EBC＝∠BCE，∴BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，∴AE＝CEtan33°≈23.4m，∴AB＝AE＋BE＝23.4＋36＝59.4≈59（m）．答：居民樓AB的高度約為59m．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用中的仰角俯角問題，熟練掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．8.（2022新疆兵團中考）周米，王老師布置了一項綜合實踐作業(yè)，要求利用所學知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，已知兩樓之間的水平距離為，求這棟樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】這棟樓的高度為：米【解析】【分析】如圖，過A作AE⊥BC于E，在Rt△AEB和Rt△AEC中，根據(jù)正切的概念分別求出BE、EC，計算即可．【詳解】解：過A作于E，∴由依題意得：，和中，∵，∴，∴∴這棟樓的高度為：米．【點睛】本題考查是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟練運用銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．9.（2022廣元中考）如圖，計劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF．在點E處測得山頂A的仰角為45°，在距E點80m的C處測得山頂A的仰角為30°，從與F點相距10m的D處測得山頂A的仰角為45°，點C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長度．

【答案】隧道EF的長度米．【解析】【分析】過點A作AG⊥CD于點G，然后根據(jù)題意易得AG=EG=DG，則設AG=EG=DG=x，進而根據(jù)三角函數(shù)可得出CG的長，根據(jù)線段的和差關系則有，最后問題可求解．【詳解】解：過點A作AG⊥CD于點G，如圖所示：

由題意得：，∴△EAD是等腰直角三角形，∴AG=EG=DG，設AG=EG=DG=x，∴，∴，解得：，∴，∴；答：隧道EF的長度米．【點睛】本題主要考查解解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關鍵．10.（2022河南鎮(zhèn)平一模）某學校數(shù)學興趣小組組織了一次測橋墩高度的活動，如圖，橋墩剛好在坡角為30°的河床斜坡邊，斜坡BC長為48米，在點D處測得橋墩最高點A的仰角為35°，CD平行于水平線BM，CD長為16米，求橋墩AB的高（結果保留1位小數(shù)）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）【22題答案】【答案】72.4米．【解析】【分析】延長DC交AB于點E，則EDBM，可證得∠AED=∠ABM=90°，∠ECB=∠CBM=30°，在Rt△BCE中，利用直角三角形的性質(zhì)可求出BE的長；再利用勾股定理求出CE的長，即可求出DE的長，然后解直角三角形求出AE的長，從而可求出AB的長．【詳解】解：如圖所示，延長DC交AB于點E，則EDBM，

在中，（米），（米），∴（米），（米），在中，∵，∴（米），∴（米）．答：橋墩AB的高約為72.4米．【點睛】此題考查了三角函數(shù)應用，解題的關鍵是根據(jù)題意做出輔助線構造直角三角形．11.（2022河南輝縣二模）如圖所示，為了知道古塔AB的高度，某數(shù)學活動小組利用測角儀和米尺等工具進行如下操作：在建筑物上的C處測得古塔頂端A的仰角為45°，在C處測得古塔底端B的俯角為40°，測得建筑物CD的高度為15米，且CD⊥BD．根據(jù)測量數(shù)據(jù)，請求出古塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結果精確到0.01米）【答案】32.86米【解析】【分析】過C作CE⊥AB于E，則四邊形BDCE是矩形，得BE=CD=15m，再由銳角三角函數(shù)定義求出CE=AE=17.86m，即可解決問題．【詳解】解：過點C作CE⊥AB，垂足為E．如圖，由題意知，∠ACE＝45°，∠BCE＝40°，CD＝15．∵CE⊥AB，CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDB＝∠DBE＝∠BEC＝90°．∴四邊形CDBE是矩形．∴BE＝CD＝15m．在Rt△BCE中，∵，∴m．在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝17.86m．∴AB＝AE+BE≈17.86+15＝32.86m．答：古塔AB的高度約為32.86米．【點睛】本題考查了解直角三角形—仰角俯角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．12.（2022平頂山一模）始建于北宋皇佑元年的開封鐵塔，至今已有近千年的歷史，被譽為“天下第一塔”．為了測量鐵塔的高度，甲、乙兩同學分別在塔的東西兩側的A，B．兩處（點A．C，B在同一條直線上），測得塔頂D的仰角分別為45°和65°，已知兩人之間的距離約為82米，求塔CD的高度，（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin65°≈0.91．cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）【答案】鐵塔CD的高度約為56米【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，，，設，則，由，解方程求解即可．【詳解】由題意可知，，，，．在Rt△ACD中，∵，∴，即．設，則在Rt△BCD中，由代入得答：鐵塔CD的高度約為56米．【點睛】本題考查了解直角三角形應用，掌握三角形中的邊角關系是解題的關鍵．13.（2022南陽宛城一模）如圖，一艘貨船以20nmile/h的速度向正南方向航行，在A處測得燈塔B在南偏東方向，航行5h后到達C處，測得燈塔B在北偏東方向，求C處距離燈塔B的距離BC（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，）．【答案】65.4nmile【解析】【分析】過點B作，在Rt△CBH和Rt△BAH中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可計算出C處距離燈塔B的距離BC．【詳解】解：如圖，過點B作，垂足為H，由題意得，，，，在Rt△CBH中，∵，，∴，，在Rt△BAH中，∵，∴，又∵，∴，所以，∴．答：BC的長約為65.4nmile．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，正確作出輔助線，把航海中的實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題是解題的關鍵．14.（2022河南汝陽一模）如圖所示，飛機在一定高度上沿水平直線飛行，先在點A處測得前方小島C的俯角為30°，水平飛行20km后到達B處，發(fā)現(xiàn)小島在其后方，測得小島的俯角為45°．如果小島高度忽略不計，求飛機飛行的高度（結果保留根號）．

【答案】所以飛機飛行的高度為米.【解析】【分析】如圖，過作于則設則再證明再列方程，解方程可得答案.【詳解】解：如圖，過作于則

設則所以飛機飛行的高度為米.【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，二次根式的運算，含的直角三角形的性質(zhì)，熟練的構建直角三角形是解題的關鍵.15.（2022河南林州一模）如圖，小東在教學樓距地面8米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37°，旗桿底部B點的俯角為45°，升旗時，國旗上端懸掛在距地面2.5米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放46秒結束時到達旗桿頂端，則國旗應以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】國旗勻速上升的速度約為米/秒．【解析】【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得米，再利用正切三角函數(shù)可得的長，從而可得的長，由此即可得出答案．【詳解】解：由題意得：米，是等腰直角三角形，米，在中，（米），米，國旗勻速上升的速度約為（米/秒），答：國旗勻速上升的速度約為米/秒．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用等知識點，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．16.（2022安陽一模）在一次數(shù)學活動中，某學生在市田徑運動館觀禮臺上距離地面6m處A點測得正前方旗桿頂端B點的仰角為45°，旗桿底部C點的俯角為37°．請求出該運動館內(nèi)旗桿BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】該運動館內(nèi)旗桿BC的高度為14m．【解析】【分析】根據(jù)正切的概念求出AE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：過點A作AE⊥BC于點E，∵AD⊥DC，EC⊥DC，∴四邊形ADCE是矩形，∴CE=AD=6m，∵tan∠EAC=，∴AE≈=8(m)，∵∠AEB=90°，∠BAE=45°，∴BE=AE=8(m)，∴BC=BE+CE=8+6=14(m)，答：該運動館內(nèi)旗桿