2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題八：解直角三角形的應(yīng)用實(shí)物型(原卷版+解析)

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題八：解直角三角形的應(yīng)用實(shí)物型方法點(diǎn)睛解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題解題方法解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)還是解直角三角形,所以解決此類問(wèn)題時(shí),要先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,再將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題.當(dāng)圖中沒(méi)有直角三角形時(shí),通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.典例分析例1（2022湘潭中考）湘潭縣石鼓油紙傘因古老工藝和文化底蘊(yùn)，已成為石鼓鄉(xiāng)村旅游的一張靚麗名片．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組參觀后，進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中）：傘柄始終平分，，當(dāng)時(shí)，傘完全打開(kāi)，此時(shí)．請(qǐng)問(wèn)最少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

專題過(guò)關(guān)1．（2022鹽城中考.2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°.機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD=6m．

(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離；

(2)求OD長(zhǎng)．

(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，52（2022紹興中考）圭表（如圖是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”，當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至．圖2是一個(gè)根據(jù)某市地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表垂直圭，已知該市冬至正午太陽(yáng)高度角（即為，夏至正午太陽(yáng)高度角（即為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長(zhǎng)）為4米．（1）求∠BAD度數(shù)．（2）求表AC的長(zhǎng)（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）3.（2022寧波中考）每年的11月9日是我國(guó)的“全國(guó)消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車(chē)上的云梯AB可伸縮（最長(zhǎng)可伸至20m），且可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時(shí)，底部B到EF的距離BD為9m．（1）若∠ABD=53°，求此時(shí)云梯AB的長(zhǎng)．（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問(wèn)在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）4.（2022嘉興中考）小華將一張紙對(duì)折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其示意圖如圖2．已知，，，，．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

（1）連結(jié)，求線段的長(zhǎng)．（2）求點(diǎn)A，B之間的距離．5.（2022成都中考）2022年6月6日是第27個(gè)全國(guó)“愛(ài)眼日”，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，當(dāng)張角時(shí)，頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)為，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(shí)（點(diǎn)是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想．求此時(shí)頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）6.（2022吉林中考）動(dòng)感單車(chē)是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械．圖①是一輛動(dòng)感單車(chē)的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車(chē)架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A，B，C在同一直線上．已知BC長(zhǎng)為70cm，∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長(zhǎng)度調(diào)至34cm時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）7（2022焦作二模）圖1所示的是一款非常暢銷(xiāo)的簡(jiǎn)約落地收納鏡，其支架的形狀固定不變，鏡面可隨意調(diào)節(jié)，圖2所示的是其側(cè)面示意圖，其中OD為鏡面，EF為放置物品的收納架，AB，AC為等長(zhǎng)的支架，BC為水平地面，已知，．（1）求支架頂點(diǎn)A到地面BC的距離．（2）如圖3，將鏡面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°，求此時(shí)收納鏡頂部端點(diǎn)O到地面BC的距離．（結(jié)果都精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：，）8.（2022常德中考）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于今年2月4日至20日在北京舉行，我國(guó)冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國(guó)贏得了榮譽(yù)，激起了國(guó)人對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)（如圖），它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成．圖是其示意圖，已知：助滑坡道米，弧形跳臺(tái)的跨度米，頂端到的距離為40米，，，，．求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)距地面的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）

9.（2022駐馬店六校聯(lián)考二模）圖1是放置在水平地面上的落地式話筒架實(shí)物圖，圖2是其示意圖．支撐桿AB垂直于地l，活動(dòng)桿CD固定在支撐桿上的點(diǎn)E處，若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活動(dòng)桿端點(diǎn)D離地面的高度DF．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

10.（2022新鄉(xiāng)牧野三模）為了響應(yīng)節(jié)能減排的號(hào)召，李豪同學(xué)決定騎自行車(chē)上下學(xué)，他將自行車(chē)放在水平的地面上，如圖，車(chē)把頭下方處與坐墊下方處平行于地面水平線，測(cè)得cm，，與的夾角分別為45°與60°．（1）求點(diǎn)到的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）若點(diǎn)到地面的距離為30cm，坐墊中軸與點(diǎn)的距離為6cm．根據(jù)李豪同學(xué)身高比例，坐墊到地面的距離為73cm至74cm之間時(shí)，騎乘該自行車(chē)最舒適．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷出李豪同學(xué)騎乘該自行車(chē)是否能達(dá)到最佳舒適度．（參考數(shù)據(jù)：，）11.（2022河南夏邑一模）如圖（1）是一種迷你型可收縮式樂(lè)譜支架，圖（2）是其側(cè)面示意圖，其中，Q是的中點(diǎn)，P是眼睛所在的位置，于點(diǎn)M，，當(dāng)時(shí)，P為最佳視力點(diǎn)．（1）若，則_______；（2）當(dāng)且時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)P是不是最佳視力點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：）12.（2022臨汾二模）如圖1是某中學(xué)教學(xué)樓的推拉門(mén)，已知門(mén)的寬度米，且兩扇門(mén)的大小相同（即），將左邊的門(mén)，繞門(mén)軸向里面旋轉(zhuǎn)，將右邊的門(mén)繞門(mén)軸向外面旋轉(zhuǎn)，其示意圖如圖2，求此時(shí)B與C之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)）13．（2021嘉興中考）（10分）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，△BCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．當(dāng)按壓柄△BCD按壓到底時(shí)，BD轉(zhuǎn)動(dòng)到BD′，此時(shí)BD′∥EF（如圖3）．（1）求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）14.（2021鄂爾多斯中考）圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長(zhǎng)AB＝115mm，支撐板長(zhǎng)CD＝70mm，板AB固定在支撐板頂點(diǎn)C處，且CB＝35mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°時(shí)，求點(diǎn)A到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB＝70°調(diào)整為90°，再將CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）15．（2021鹽城中考）（10分）某種落地?zé)羧鐖D1所示，AB為立桿，其高為84cm；BC為支桿，它可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，其中BC長(zhǎng)為54cm；DE為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)CD的長(zhǎng)度．支桿BC與懸桿DE之間的夾角∠BCD為60°．（1）如圖2，當(dāng)支桿BC與地面垂直，且CD的長(zhǎng)為50cm時(shí)，求燈泡懸掛點(diǎn)D距離地面的高度；（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，同時(shí)調(diào)節(jié)CD的長(zhǎng)（如圖3），此時(shí)測(cè)得燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離為90cm，求CD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）16.（2021寧波中考）我國(guó)紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開(kāi)還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)．如圖2是傘完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈D已滑動(dòng)到點(diǎn)的位置，且A，B，三點(diǎn)共線，，B為中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，傘完全張開(kāi)．

（1）求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)傘從完全張開(kāi)到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離．（參考數(shù)據(jù)：）2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題八：解直角三角形的應(yīng)用實(shí)物型方法點(diǎn)睛解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題解題方法解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)還是解直角三角形,所以解決此類問(wèn)題時(shí),要先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,再將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題.當(dāng)圖中沒(méi)有直角三角形時(shí),通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.典例分析例1（2022湘潭中考）湘潭縣石鼓油紙傘因古老工藝和文化底蘊(yùn)，已成為石鼓鄉(xiāng)村旅游的一張靚麗名片．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組參觀后，進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中）：傘柄始終平分，，當(dāng)時(shí)，傘完全打開(kāi)，此時(shí)．請(qǐng)問(wèn)最少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

【思維可視化】【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

，，始終平分，，解得答：最少需要準(zhǔn)備長(zhǎng)的傘柄【點(diǎn)撥】本題主要考查解直角三角形的知識(shí)，學(xué)會(huì)建模，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握特殊角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出DE，然后根據(jù)黃金分割比例關(guān)系求出AH的長(zhǎng)度即可.專題過(guò)關(guān)1．（2022鹽城中考.2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°.機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD=6m．

(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離；

(2)求OD長(zhǎng)．

(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，525.【答案】

解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，

在Rt△ABE中，AB=5，∠ABE=37°，

∵sin∠ABE=AEAB，cos∠ABE=BEAB，

∴AE5=0.60，BE5=0.80，

∴AE=3，BE=4，

∴CE=6，

在Rt△ACE中，由勾股定理AC=32+62=35．

(2)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為【解析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，由AB=5，∠ABE=37°，可求AE和BE，即可得出AC的長(zhǎng)；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的長(zhǎng)．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理等知識(shí)；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2（2022紹興中考）圭表（如圖是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”，當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至．圖2是一個(gè)根據(jù)某市地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表垂直圭，已知該市冬至正午太陽(yáng)高度角（即為，夏至正午太陽(yáng)高度角（即為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長(zhǎng)）為4米．（1）求∠BAD度數(shù)．（2）求表AC的長(zhǎng)（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）【答案】（1）47°（2）3.3米【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和解答即可；（2）分別求出和的正切值，用表示出和，得到一個(gè)只含有的關(guān)系式，再解答即可．【小問(wèn)1詳解】解：，，，答：的度數(shù)是．【小問(wèn)2詳解】解：在Rt△ABC中，，∴．同理，在Rt△ADC中，有．∵，∴．∴，∴（米）．答：表AC的長(zhǎng)是3.3米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握建模思想來(lái)解決．3.（2022寧波中考）每年的11月9日是我國(guó)的“全國(guó)消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車(chē)上的云梯AB可伸縮（最長(zhǎng)可伸至20m），且可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時(shí)，底部B到EF的距離BD為9m．（1）若∠ABD=53°，求此時(shí)云梯AB的長(zhǎng)．（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問(wèn)在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【答案】（1）15m（2）在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能夠伸到險(xiǎn)情處；理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，即可解答；（2）根據(jù)題意可得DE=BC=2m，從而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)行比較即可解答．【小問(wèn)1詳解】解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，∴AB==15（m），∴此時(shí)云梯AB的長(zhǎng)為15m；【小問(wèn)2詳解】解：在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能伸到險(xiǎn)情處，理由：由題意得：DE=BC=2m，∵AE=19m，∴AD=AE-DE=19-2=17（m），在Rt△ABD中，BD=9m，∴AB=（m），∵m＜20m，∴在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能伸到險(xiǎn)情處．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4.（2022嘉興中考）小華將一張紙對(duì)折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其示意圖如圖2．已知，，，，．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

（1）連結(jié)，求線段的長(zhǎng)．（2）求點(diǎn)A，B之間的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，再利用銳角三角函數(shù)，即可求解；（2）連結(jié)．設(shè)紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面的對(duì)稱軸為直線l，可得對(duì)稱軸l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．從而得到四邊形DGCE是矩形，進(jìn)而得到DE=CG，然后過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，可得，從而得到，再利用銳角三角函數(shù)，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，

∵，∴，平分．∴，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】解：如圖3，連結(jié)．設(shè)紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面的對(duì)稱軸為直線l，

∵紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面示意圖是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，∴對(duì)稱軸l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．∴，，∴AB∥DE．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，∵DG⊥AB，HE⊥AB，∴∠EDG=∠DGH=∠EHG=90°，∴四邊形DGCE是矩形，∴DE=HG，∴DG∥l，EH∥l，∴，∵，BE⊥CE，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5.（2022成都中考）2022年6月6日是第27個(gè)全國(guó)“愛(ài)眼日”，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，當(dāng)張角時(shí)，頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)為，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(shí)（點(diǎn)是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想．求此時(shí)頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】約為【解析】【分析】在Rt△ACO中，根據(jù)正弦函數(shù)可求OA=20cm，在Rt△中，根據(jù)正弦函數(shù)求得的值．【詳解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，∴OA=，在Rt△中，，cm，∴cm．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6.（2022吉林中考）動(dòng)感單車(chē)是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械．圖①是一輛動(dòng)感單車(chē)的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車(chē)架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A，B，C在同一直線上．已知BC長(zhǎng)為70cm，∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長(zhǎng)度調(diào)至34cm時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）

【答案】點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度約為88cm．【解析】【分析】根據(jù)正弦的概念即可求解．【詳解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，∵sin∠ACE=，即sin58°=，∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，∴點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度約為88cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的知識(shí)，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．7（2022焦作二模）圖1所示的是一款非常暢銷(xiāo)的簡(jiǎn)約落地收納鏡，其支架的形狀固定不變，鏡面可隨意調(diào)節(jié)，圖2所示的是其側(cè)面示意圖，其中OD為鏡面，EF為放置物品的收納架，AB，AC為等長(zhǎng)的支架，BC為水平地面，已知，．（1）求支架頂點(diǎn)A到地面BC的距離．（2）如圖3，將鏡面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°，求此時(shí)收納鏡頂部端點(diǎn)O到地面BC的距離．（結(jié)果都精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）約為113cm（2）約為151cm【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于I．根據(jù)線段的和差關(guān)系求出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系即可求出AI的長(zhǎng)度；（2）過(guò)點(diǎn)O作于G．過(guò)點(diǎn)A作于H．根據(jù)等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，角的和差關(guān)系求出∠OAC，根據(jù)矩形的判定定理和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系求出HG的長(zhǎng)度和∠OAH，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出OH的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求出OG的長(zhǎng)度．【小問(wèn)1詳解】解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于I，∵，∴，∵，∴，∵，∴，答：支架頂點(diǎn)A到地面BC的距離約為113cm．【小問(wèn)2詳解】解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)O作于G．過(guò)點(diǎn)A作于H，∵AB=AC，∠ABC=75°，∴∠ACB=∠ABC=75°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=30°，∵鏡面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°，即∠DAB=15°，∴，∵AI⊥BC，OG⊥BC，AH⊥OG，∴四邊形AIGH是矩形，∴，，∴∠HAC=∠ACB=75°，∴∠OAH=∠OAC-∠HAC=60°，∴，∴，答：此時(shí)收納鏡頂部端點(diǎn)O到地面BC的距離約為151cm．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差關(guān)系、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理、角的和差關(guān)系、矩形的判定定理和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．8.（2022常德中考）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于今年2月4日至20日在北京舉行，我國(guó)冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國(guó)贏得了榮譽(yù)，激起了國(guó)人對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)（如圖），它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成．圖是其示意圖，已知：助滑坡道米，弧形跳臺(tái)的跨度米，頂端到的距離為40米，，，，．求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)距地面的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）

【答案】70【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，可得，在中，求得，根據(jù)，，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，

，，在中，米，，，，，解得，頂端到的距離為40米，即米米．米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)測(cè)距的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．9.（2022駐馬店六校聯(lián)考二模）圖1是放置在水平地面上的落地式話筒架實(shí)物圖，圖2是其示意圖．支撐桿AB垂直于地l，活動(dòng)桿CD固定在支撐桿上的點(diǎn)E處，若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活動(dòng)桿端點(diǎn)D離地面的高度DF．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E作，易得四邊形EBFM是矩形，即，再通過(guò)解直角三角形可得，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作，

∵，，，∴，∴四邊形EBFM是矩形，∴，∵∠AED＝48°，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，做出合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．10.（2022新鄉(xiāng)牧野三模）為了響應(yīng)節(jié)能減排的號(hào)召，李豪同學(xué)決定騎自行車(chē)上下學(xué)，他將自行車(chē)放在水平的地面上，如圖，車(chē)把頭下方處與坐墊下方處平行于地面水平線，測(cè)得cm，，與的夾角分別為45°與60°．（1）求點(diǎn)到的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）若點(diǎn)到地面的距離為30cm，坐墊中軸與點(diǎn)的距離為6cm．根據(jù)李豪同學(xué)身高比例，坐墊到地面的距離為73cm至74cm之間時(shí)，騎乘該自行車(chē)最舒適．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷出李豪同學(xué)騎乘該自行車(chē)是否能達(dá)到最佳舒適度．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）點(diǎn)到的距離為38.1cm（2）能達(dá)到最佳舒適度【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，設(shè)cm，根據(jù)已知角度，解和即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，由對(duì)頂角相等得，解求出EN，判斷是否在73cm至74cm之間即可．【小問(wèn)1詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)cm，在中，，∴（cm），∵cm，∴cm，在中，，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，∴cm，∴點(diǎn)到的距離為38.1cm；【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，在中，cm，∴（cm），∴坐墊到地面的距離為：（cm），∵坐墊到地面的距離為73cm至74cm之間時(shí)，騎乘該自行車(chē)最舒適，∴李豪同學(xué)騎乘該自行車(chē)能達(dá)到最佳舒適度．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．11.（2022河南夏邑一模）如圖（1）是一種迷你型可收縮式樂(lè)譜支架，圖（2）是其側(cè)面示意圖，其中，Q是的中點(diǎn)，P是眼睛所在的位置，于點(diǎn)M，，當(dāng)時(shí)，P為最佳視力點(diǎn)．（1）若，則_______；（2）當(dāng)且時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)P是不是最佳視力點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）點(diǎn)P不是最佳視力點(diǎn)，說(shuō)明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線，垂足為E，由等腰三角形的性質(zhì)及已知即可求得∠DCB；（2）過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線，垂足為E，過(guò)點(diǎn)Q作BD的垂線，交BD于點(diǎn)F，交PM于點(diǎn)G，通過(guò)解直角三角形求得PM的長(zhǎng)度，根據(jù)其長(zhǎng)度即可判斷點(diǎn)P是否是最佳視力點(diǎn)．【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線，垂足為E，如圖，∵BC=DC，DB⊥AB，∴∠DCE=∠BCE，CE∥AB，∴∠DCE=∠BCE=∠ABC=α，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=2α，故答案為：2α．【小問(wèn)2詳解】(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作BD垂線，垂足為E，過(guò)點(diǎn)Q作BD的垂線，交BD于點(diǎn)F，交PM于點(diǎn)G，∵BC=CD，∴DE=BE，∠DCE=∠BCE，易知FG∥CE∥BA，∴∠DQF=∠DCE=∠BCE=∠ABC=37°．∵Q是CD的中點(diǎn)，∴，∴DE=2DF=14.4cm，∴DB=2DE=28.8cm．易知四邊形BFGM為矩形，∴GM=FB=DB-DF=28.8-7.2=21.6(cm)．∵，F(xiàn)G=BM=AB+AM=36cm，∴QG=FG-FQ=36-9.6=26.4(cm)．若P為最佳視力點(diǎn)，則PQ⊥CD，∴∠PQG=180°-37°-90°=53°，∴，∴，這與題中條件矛盾，故當(dāng)∠ABC=37°且PM=53cm時(shí)，點(diǎn)P不是最佳視力點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，正確理解題意，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．12.（2022臨汾二模）如圖1是某中學(xué)教學(xué)樓的推拉門(mén)，已知門(mén)的寬度米，且兩扇門(mén)的大小相同（即），將左邊的門(mén)，繞門(mén)軸向里面旋轉(zhuǎn)，將右邊的門(mén)繞門(mén)軸向外面旋轉(zhuǎn)，其示意圖如圖2，求此時(shí)B與C之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)）【20題答案】【答案】B與C之間的距離約為1.4米【解析】【分析】作BE⊥AD于點(diǎn)E，作CF⊥AD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC到點(diǎn)M，使得BE=CM，則，在Rt△ABE，Rt△CDF中，分別求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得長(zhǎng)度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出B與C之間的距離．【詳解】解：作BE⊥AD于點(diǎn)E，作CF⊥AD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC到點(diǎn)M，使得BE=CM，如圖所示：∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1，在Rt△ABE中，AB=1，∠A=35°，∴BE=AB?sin∠A=≈0.6，AE=AB?cos∠A≈0.8，在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD?sin∠D≈0.7，DF=CD?cos∠D≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BECM，又∵BE=CM，∴四邊形BEMC為平行四邊形，∴BC=EM，CM=BE，在Rt△MEF中，EF=AD-AE-DF=0.5，F(xiàn)M=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B與C之間的距離約為1.4米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及到勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理求出線段長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2021嘉興中考）（10分）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，△BCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．當(dāng)按壓柄△BCD按壓到底時(shí)，BD轉(zhuǎn)動(dòng)到BD′，此時(shí)BD′∥EF（如圖3）．（1）求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【分析】（1）由BD'∥EF,求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長(zhǎng)為＝π；（2）過(guò)D作DG⊥BD'于G,過(guò)E作EH⊥BD'于H，Rt△BDG中，求出DG＝BD?sin36°＝3.54,Rt△BEH中，HE＝3.80,故DG+HE≈7.3,即點(diǎn)D到直線EF的距離為7.3cm,【解答】解：∵BD'∥EF,∠BEF＝108°，∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，∵∠DBE＝108°，∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，∵BD＝6，∴點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長(zhǎng)為＝π；（2）過(guò)D作DG⊥BD'于G,過(guò)E作EH⊥BD'于H，如圖：Rt△BDG中，DG＝BD?sin36°≈6×0.59＝3.54,Rt△BEH中，HE＝BE?sin72°≈4×0.95＝3.80,∴DG+HE＝3.54+3.80＝7.34≈7.3,∵BD'∥EF,∴點(diǎn)D到直線EF的距離約為7.3cm,答：點(diǎn)D到直線EF的距離約為7.3cm．14.（2021鄂爾多斯中考）圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長(zhǎng)AB＝115mm，支撐板長(zhǎng)CD＝70mm，板AB固定在支撐板頂點(diǎn)C處，且CB＝35mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°時(shí)，求點(diǎn)A到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB＝70°調(diào)整為90°，再將CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）124mm；（2）33.4°．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG∥DE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CG于H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，則點(diǎn)A到直線DE的距離為：AH+CF；在Rt△CDF中，解直角三角形可得CF的長(zhǎng)，在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的長(zhǎng)．（2）畫(huà)出符合題意的圖形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度數(shù)，則CD旋轉(zhuǎn)的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG∥DE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CG于H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，則點(diǎn)A到直線DE的距離為：AH+CF．在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝，∴CF＝CD?sin60°＝70×＝35≈59.5（mm）．∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC?sin∠ACH＝（11