專題7弦圖與垂直模型-【壓軸必刷】中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（學生版）

中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題7弦圖與垂直模型解題策略解題策略模型1：垂直模型如圖：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.，結(jié)論：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖支離出來的一部分幾何圖形去求解.圖①和圖②就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖.三垂直圖形變形如圖③、圖④，這也是由弦圖演變而來的.模型2：弦圖模型經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】．（2021·全國·八年級專題練習）如圖1，正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點P是線段AO上（不與點A，O重合）的一個動點，過點P作PE⊥PB且PE交邊CD于點E．（1）求證：PE＝PB；（2）如圖2，若正方形ABCD的邊長為2，過點E作EF⊥AC于點F，在點P運動的過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值；若變化，請說明理由；（3）用等式表示線段PC，PA，CE之間的數(shù)量關(guān)系．【例2】（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學校九年級階段練習）正方形ABCD中，點E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點G．（1）如圖1，求證AE⊥BF；（2）如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線交CD于點H，交BF于點N，連接CN，求證：AN+CN＝2BN；【例3】（2021·云南曲靖·八年級期末）如圖1，在正方形ABCD中，E為BC上一點，連接AE，過點B作BG⊥AE于點H，交CD于點G．（1）求證：AE=BG；（2）如圖2，連接AG、GE，點M、N、P、Q分別是AB、AG、GE、EB的中點，試判斷四邊形MNPQ的形狀，并說明理由；（3）如圖3，點F、R分別在正方形ABCD的邊AB、CD上，把正方形沿直線FR翻折，使得BC的對應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點A，過點A作AO⊥FR于點O，若AB'=1，正方形的邊長為3，求線段OF的長．【例4】（2021·河南商丘·八年級期中）在平面直角坐標系中，點A的坐標為4,0，點B為y軸正半軸上的一個動點，以B為直角頂點，AB為直角邊在第一象限作等腰Rt△ABC．(1)如圖1，若OB=3，則點C的坐標為______；(2)如圖2，若OB=4，點D為OA延長線上一點，以D為直角頂點，BD為直角邊在第一象限作等腰Rt△BDE，連接AE，求證：AE⊥AB；(3)如圖3，以B為直角頂點，OB為直角邊在第三象限作等腰Rt△OBF．連接CF，交y軸于點P，求線段BP的長度．【例5】．（2021·黑龍江·哈爾濱市風華中學校九年級階段練習）如圖1，正方形ABCD中，點E是邊BC延長線上一點，連接DE，過點B作BF⊥DE，垂足為點F，BF與CD相交于點G．（1）求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接BD，若BE＝42，DG＝22，求tan∠DBG的值．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．（2022·江蘇·八年級課時練習）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)由圖1，證明：DE=AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，請猜想出DE，AD，BE的等量關(guān)系并說明理由；(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE，AD，BE又具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系（不必說明理由）．2．（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D為AB上一點，過點B作直線CD的垂線，垂足為E，連接AE，過點A作AE的垂線交CE于點F．（1）如圖1，求∠AEC的度數(shù)；（2）如圖2，連接BF，且∠ABF?∠EAB=15°，求證：BF=2CF；（3）如圖3，在（2）的條件下，G為DF上一點，連接AG，若∠AGD=∠EBF，AG=2，求CF的長．3．（2020·北京市第十三中學九年級期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如圖1，點D是BC邊上一點（不與點B，C重合），連接AD，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，連接CE．①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，點D在線段BC的延長線上時，連接AD，過點B作BE⊥AD，垂足E在線段AD上，連接CE．①依題意補全圖2；②直接寫出線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系．4．（2021·四川省成都市七中育才學校七年級期中）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為直線BC上一動點，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，過點E作EH⊥AC于H，連接DE．求證：EH=AC；（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，連接BE交CA的延長線于點M．求證：BM=EM；（3）當點D在直線CB上時，連接BE交直線AC于M，若2AC=5CM，請求出S△ADB5．（2022·江蘇·八年級課時練習）在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，點D為直線BC上的一個動點（不與B、C重合），連結(jié)AD，將線段AD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點A旋轉(zhuǎn)到點E，連結(jié)EC．（1）如果點D在線段BC上運動，如圖1：求證：∠BAD=∠EDC（2）如果點D在線段BC上運動，請寫出AC與CE的位置關(guān)系．通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點E作EF⊥BC交直線BC于F，如圖2所示，通過證明△DEF≌△ABD，可推證△CEF等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系，請你寫出證明過程．（3）如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖3畫圖分析，（2）中的結(jié)論是否仍然成若成立，請證明；若不成立，請說明理由．6．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學八年級開學考試）如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．（1）如圖1，過A的直線與斜邊BC不相交時，直接寫出線段EF、BE、CF的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，過A的直線與斜邊BC相交時，探究線段EF、BE、CF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）在（2）的條件下，如圖3，直線FA交BC于點H，延長BE交AC于點G，連接BF、FG、HG，若∠AHB=∠GHC，EF=CF=6，EH=2FH，四邊形ABFG的面積是90，求△GHC的面積．7．（2021·江蘇泰州·八年級期末）如圖，正方形ABCD邊長為4，點G在邊AD上（不與點A、D重合），BG的垂直平分線分別交AB、CD于E、F兩點，連接EG．（1）當AG=1時，求EG的長；（2）當AG的值等于時，BE=8－2DF；（3）過G點作GM⊥EG交CD于M

①求證：GB平分∠AGM；

②設(shè)AG=x，CM=y，試說明16xy8．（2021·全國·八年級專題練習）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，點D為直線BC上一動點(點D不與點B，C重合)．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF，當點D在線段BC的反向延長線上，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)時．(1)求證：△ABD≌△ACF；(2)若正方形ADEF的邊長為22，對角線AE，DF相交于點O，連接OC，求OC9．（2021·安徽安慶·八年級期末）如圖1，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（點A的對應(yīng)點為點C）延長AE交CE于點F，連接DE．（1）試判斷四邊形BE′FE的形狀，并說明理由．（2）如圖2，若DA＝DE，請猜想線段CF于FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明．（3）如圖1，若AB＝17，CF＝3，請直接寫出DE的長．10．（2021·湖北鄂州·八年級期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，點P是線段AB的延長線上一點，點M是線段AB上一點，連接DM，以點M為直角頂點作MN⊥DM交∠CBP的角平分線于N，過點C作CE//MN交AD于E，連接EM，CN，（1）求證：DM=MN．（2）求證：EM//（3）若AE=1，BN=32，求DN11．（2022·廣東·塘廈初中八年級期中）四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝22，求CG的長度；（3）當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時，直接寫出∠EFC的度數(shù)．12．（2021·山西·八年級期末）綜合與實踐：如圖1，在正方形ABCD中，連接對角線AC，點O是AC的中點，點E是線段OA上任意一點（不與點A，O重合），連接DE，BE．過點E作EF⊥DE交直線BC于點F．（1）試猜想線段DE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）試猜想線段CE,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，當E在線段CO上時（不與點C，O重合），EF交BC延長線于點F，保持其余條件不變，直接寫出線段CE,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系．13．（2021·全國·八年級專題練習）如圖1，已知正方形ABCD和正方形CEGF，點F,C,B在同一直線上，連接BE，DF，DF與EG相交于點M．（1）求證：BE=FD．（2）如圖2，N是BC邊上的一點，連接AN交BE于點H，且BNBC①求證：BN=EC；②若CE=2DE，直接寫出BNAB14．（2021·全國·八年級專題練習）探究證明：（1）如圖1，正方形ABCD中，點M、N分別在邊BC、CD上，AM⊥BN．求證：BN=AM；（2）如圖2，矩形ABCD中，點M在BC上，EF⊥AM，EF分別交AB、CD于點E、F．求證：EFAM（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點M、N分別在邊BC、AB上，求DNAM15．（2021·全國·八年級專題練習）如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．（1）試猜想線段BG和AE的關(guān)系（直接寫出答案，不用證明）；（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤60°），判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖②證明你的結(jié)論；（3）若BC＝DE＝4，當α等于多少度時，AE最大？并求出此時AF的值．16．（2021·全國·八年級專題練習）四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點M在邊AD所在的直線上，連接CM，以M為直角頂點在CM右側(cè)作等腰Rt△CMN，連接BN.（1）如圖1，當點M在點A左側(cè)，且A、B、N三點共線時，BN=______；（2）如圖2，當點M在點A右側(cè)，且AM=52時，求（3）若點M在邊AD所在直線上，且BN=26，求AM17．（2021·安徽黃山·八年級期中）在正方形ABCD中，點G是邊DC上的一點，點F是直線BC上一動點，F(xiàn)E⊥AG于H，交直線AD于點E．（1）當點F運動到與點B重合時(如圖1)，線段EF與AG的數(shù)量關(guān)系是________．（2）若點F運動到如圖2所示的位置時，（1）探究的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明：如果不成立，請說明理由．（3）如圖3，將邊長為6的正方形ABCD折疊，使得點A落在邊CD的中點M處，折痕為PQ，點P、Q分別在邊AD、BC上，請直接寫出折痕PQ的長．18．（2021·全國·八年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF與DE相交于點M，且∠BAF＝∠ADE．（1）如圖1，求證：AF⊥DE；（2）如圖2，AC與BD相交于點O，AC交DE于點G，BD交AF于點H，連接GH，試探究直線GH與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）在（1）（2）的基礎(chǔ)上，若AF平分∠BAC，且△BDE的面積為4+22，求正方形ABCD的面積．19．（2021·全國·八年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上，且DE=CF，連接AE、DF