2023年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：平行四邊形章節(jié)綜合

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京初三一模數(shù)學(xué)匯編平行四邊形章節(jié)綜合一、解答題1．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，E為的中點(diǎn)，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺在圖中畫的邊上的高線，小蕊的畫法如下．請(qǐng)你按照小蕊的畫法完成畫圖，并填寫證明的依據(jù)．畫法：①連接，②連接，交于點(diǎn)F，③連接，交于點(diǎn)P④作射線，交于點(diǎn)H，∴即為所求的邊上的高線證明：∵，E為的中點(diǎn)，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．___________________________．∴點(diǎn)F是中點(diǎn)．____________________________．∴是的中線∴是的中線∵∴是邊上的高線．______________________________．2．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）在正方形中，點(diǎn)O為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E在對(duì)角線上，連接，點(diǎn)F在直線上（點(diǎn)F與點(diǎn)D不重合），且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)．①求證：；②用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系．3．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，將對(duì)角線向兩個(gè)方向延長(zhǎng)，分別至點(diǎn)E和點(diǎn)F，且使．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：四邊形是矩形．4．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在上，，連接．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，求證：四邊形是矩形．5．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，連接，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．6．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）在中，是邊上的中線，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上，，連接，．(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，①依題意補(bǔ)全圖2；②求證：四邊形為菱形.7．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖，中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，在上截?。?1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求證：平分．8．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，交于點(diǎn)G．(1)求的度數(shù)；(2)在線段上截取，連接的角平分線交于點(diǎn)N．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接交于點(diǎn)，連接．若，，求的長(zhǎng)．二、填空題10．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）在中，，將一個(gè)直角尺的直角頂點(diǎn)O與邊上的中點(diǎn)D重合，并繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交于點(diǎn)E、F，如果四邊形恰巧是正方形，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．11．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．

參考答案1．見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)題意畫圖，然后根據(jù)已知條件填寫依據(jù)即可．【詳解】∵，E為的中點(diǎn)，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴點(diǎn)F是中點(diǎn)．（平行四邊形對(duì)角線互相平分），∴是的中線，∴是的中線，∵，∴是邊上的高線．（等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高）．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)與判斷和等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件靈活使用平行四邊形的性質(zhì)和判定．2．(1)①見(jiàn)解析；②，證明見(jiàn)解析；(2)圖見(jiàn)解析，．【分析】（1）連接，證明，，可得，，，從而可得答案；②過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，證明，，再證明，可得，從而可得結(jié)論；（2）先補(bǔ)全圖形，過(guò)點(diǎn)E作于N，交于M，證明，可得，由線段的和差關(guān)系可求解．【詳解】（1）①證明：連接．四邊形是正方形，．點(diǎn)E在對(duì)角線上，．，．，．．②；證明：過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．，．，，，，，，，．．（2）補(bǔ)全圖形如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作于N，交于M，∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴四邊形是矩形，是等腰直角三角形，∴，，，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．即．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．3．(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】（1）由四邊形是平行四邊形易知，，再證得，即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，再根據(jù)，得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，設(shè)與交于點(diǎn)．如圖所示：四邊形是平行四邊形，，，又，．四邊形是平行四邊形．（2）證明：由(1）知：四邊形是平行四邊形，，，∵∴∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，解題時(shí)要注意選擇適宜的判定方法．4．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）證明，得到，利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可得證；（2）證明，進(jìn)而得到，即可得證．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴四邊形為平行四邊形．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．5．(1)見(jiàn)解析；(2)90．【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，．從百得，，再證明．得，從而得四邊形是平行四邊形．即可由矩形判定定理得出結(jié)論，（2）先由矩形與三角形面積公式求得，．再由求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∴，．∵點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，∴．∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴．∴平行四邊形是矩形．（2）解：∵四邊形是矩形，∴，．∴．∵，∴．∵，∴．∴，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形與三角形的面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)定理，矩形的判定定理，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）證明，可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）由，可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可證，再利用菱形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵是邊上的中線，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：①依題意補(bǔ)全圖2，如圖；②證明：∵，∴，∵是邊上的中線，∴，由（1）證明方法可得四邊形是平行四邊形，∴四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及菱形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．7．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，由此即可證明四邊形是矩形；（2）先證明四邊形是正方形，得到，即可證明四邊形是菱形，則由菱形的性質(zhì)可得平分．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，；∴四邊形是矩形；（2）證明：∵四邊形是矩形，，∴四邊形是正方形，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∴平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，熟知特殊平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)①見(jiàn)解析②，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，利用證明得出角相等，再將角進(jìn)行等量代換便可得結(jié)論．（2）①根據(jù)題意畫出圖形即可，②作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，得出，再證，問(wèn)題即可解決．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，在和中，∴，∴∴．（2）①根據(jù)題意畫圖如下②,理由如下作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連HD∵平分,∴∴為等腰直角三角形∴∵四邊形為正方形∴∴∴在和中∴∴∴∵∴在和中∴∴【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，等腰直角三角形性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，合理作出輔助線．9．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判斷即可；（2）先證明是等邊三角形，再根據(jù)30°的直角三角形的三邊關(guān)系，利用勾股定理即可計(jì)算．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，，，∴，在中，【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．2【分析】由四邊形是正方形得到，由，得到是等腰直角三角形，求出，由直角三角形的性質(zhì)得到，在中，求出，即可得到答案．【詳解】解：如圖，四邊形是正方形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，，∵D是邊上的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，∴，故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了正方形