四川省眉山市2023屆高三下學(xué)期第二次診斷性數(shù)學(xué)（理）試題

眉山市高中2023屆第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（理工類）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則（）A．B．C．D．2．設(shè)全集為，集合，則（）A．B．C．D．3．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動(dòng)鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，逐步打造高品質(zhì)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在某試驗(yàn)區(qū)種植了某農(nóng)作物．為了解該品種農(nóng)作物長(zhǎng)勢(shì)，在實(shí)驗(yàn)區(qū)隨機(jī)選取了100株該農(nóng)作物苗，經(jīng)測(cè)量，其高度（單位：）均在區(qū)間內(nèi)，按照分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于的為“優(yōu)質(zhì)苗”．則所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為（）A．20B．40C．60D．884．?dāng)?shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時(shí)聽到的樂音一般來(lái)說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復(fù)合音．如圖為某段樂音的圖象，則該段樂音對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可以為（）A．B．C．D．5．已知，則（）A．B．C．D．6．一個(gè)四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，腰長(zhǎng)為2的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的體積為（）A．B．C．D．7．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列各項(xiàng)中一定成立的是（）A．B．C．D．8．己知四棱柱的底面是正方形，，點(diǎn)在底面ABCD的射影為BC中點(diǎn)H，則直線與平面ABCD所成角的正弦值為（）A．B．C．D．9．已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①是的最小值；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．已知直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，則（）A．4B．6C．8D．1011．在菱形ABCD中，，將繞對(duì)角線BD所在直線旋轉(zhuǎn)至BPD，使得，則三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．12．若存在，使不等式成立，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則實(shí)數(shù)________．14．已知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則_________．15．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線從左往右順次交于A，B兩點(diǎn)．若，則雙曲線C的離心率為_________．16．中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，且，則周長(zhǎng)的最大值為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）某商店銷售某種產(chǎn)品，為了解客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了200名客戶，其評(píng)價(jià)結(jié)果為“一般”或“良好”，并得到如下列聯(lián)表：一般良好合計(jì)男20100120女305080合計(jì)50150200（1）通過計(jì)算判斷，有沒有的把握認(rèn)為客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系？（2）該商店在春節(jié)期間開展促銷活動(dòng)，該產(chǎn)品共有如下兩個(gè)銷售方案．方案一：按原價(jià)的8折銷售；方案二：顧客購(gòu)買該產(chǎn)品時(shí)，可在一個(gè)裝有4張“每滿200元少80元”，6張“每滿200元少40元”共10張優(yōu)惠券的不透明箱子中，隨機(jī)抽取1張，購(gòu)買時(shí)按照所抽取的優(yōu)惠券進(jìn)行優(yōu)惠．已知該產(chǎn)品原價(jià)為260（元/件）．顧客甲若想采用方案二的方式購(gòu)買一件產(chǎn)品，估計(jì)顧客甲需支付的金額；你認(rèn)為顧客甲選擇哪種購(gòu)買方案較為合理？附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中．18．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，．是公比大于0的等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．19．（12分）如圖，在三棱錐中，H為的內(nèi)心，直線AH與BC交于M，．（1）證明：平面平面ABC；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，M，N是橢圓E上異于T的兩動(dòng)點(diǎn)，且，若直線AM，AN的斜率均存在，并分別記為．（1）求證：為常數(shù)；（2）求面積的最大值．21．（12分）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（1）求a的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B，求．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù)．（1）解不等式；（2）令的最小值為T，正數(shù)x，y，z滿足，證明：．

理科數(shù)學(xué)參考解答及評(píng)分參考1．A2．C3．C4．A5．D6．A7．D8．C9．B10．C11．B12．D13．214．15．16．17．解析：（1）由題，得，2分因此，有的把握認(rèn)為客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系．4分（2）顧客甲若想采用方案二的方式購(gòu)買一件產(chǎn)品，設(shè)可能支付的金額為X，X的值可能為180，220．5分由題，7分則（元），顧客甲若采用方案二的方式購(gòu)買一件產(chǎn)品，需支付金額的估計(jì)值為204（元）．9分顧客甲若采用方案一的方式購(gòu)買一件產(chǎn)品，需支付金額為（元）．11分所以，該顧客采用方案二的方式購(gòu)買較為合理．12分18．解析：（1）由已知，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．2分設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由則，即，解得（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．5分（2）由（1）得，所以①7分②8分①-②得，所以，10分即，所以．12分19．解析：（1）證明：設(shè)平面ABC于點(diǎn)N，過N作于E，于F，連接PE，PF．因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以．又因?yàn)?，所以平面PNE，所以，同理．2分在，中，，故，所以．在，中，，故，所以．4分即N到AB，AC的距離相等，同理N到BC，AC的距離相等，故N為的內(nèi)心，N與H重合．所以平面ABC．又因?yàn)槠矫鍭PM，所以平面平面ABC．6分（2）由于，故可以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則．7分設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，故．所以，故．所以，設(shè)平面AHP的法向量，則令，故平面AHP的一個(gè)法向量為．9分同理，設(shè)平面ACP的法向量，則令，故平面ACP的一個(gè)法向量為．10分所以，故二面角的余弦值為．12分20．解析：（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)A，T，代入橢圓E的方程，得解得所以橢圓E的方程為：．2分由知AM與AN關(guān)于直線對(duì)稱，在AM上任取一點(diǎn)，則關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，3分從而，于是．4分（2）設(shè)點(diǎn)，由得，所以，同理．由（1）有，故．6分為方便，記，并不妨設(shè)，則于是8分10分（其中），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等．所以，面積的最大值為．12分21．解析：（1）由題得，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，2分設(shè)，則，知時(shí)，，則單調(diào)遞增，時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以，時(shí)，取得極大值，又時(shí)，；時(shí)，，且時(shí)，，所以，方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí)，有．即有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是．5分（2）由（1）可知，的兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩根，且，則有，兩式相除，得，則有．6分由得，所以，令，7分令，則需恒成立，，令，則，8分令，在上遞增，可知，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，則即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，10分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，則單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，，的取值范圍是．12分22．解析：（1）將代入，得，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為：．5分（2）直線l的參數(shù)方程可改寫為（t為參數(shù)），6分代入曲線C的方程，有，整理得．