第6章《圖形的相似》知識講練(學(xué)生版+解析)

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊章節(jié)知識講練知識點(diǎn)01：比例線段及黃金分割1.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．要點(diǎn)詮釋：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（d也叫第四比例項）（2）若a:b=b:c，則b2=ac（b稱為a、c的比例中項）．2.黃金分割的定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫作線段PB、AB的比例中項），則P點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn)（黃金點(diǎn)），這種分割就叫黃金分割．3.黃金矩形與黃金三角形：黃金矩形：若矩形的兩條鄰邊長度的比值約為0.618，這種矩形稱為黃金矩形.黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形，它的底角為72°，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形．黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割．知識點(diǎn)02：相似圖形1．相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等.2.相似多邊形各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形．要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.知識點(diǎn)03：相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.判定方法（二）：兩角分別相等的兩個三角形相似.要點(diǎn)詮釋：

要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三）：兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似.要點(diǎn)詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.判定方法（四）：三邊成比例的兩個三角形相似.

2.相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3）相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方.3.相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）相似多邊形的周長比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．知識點(diǎn)04：圖形的位似及投影1.位似多邊形定義:如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個點(diǎn)O，且每組對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O點(diǎn)的距離之比都等于一個定值k，例如，如下圖，OA′=k·OA（k≠0），那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心.要點(diǎn)詮釋：位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)相交于同一點(diǎn)，此點(diǎn)就是位似中心；

（2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.3.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對應(yīng)點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫法.4.平行投影在平行光的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影.(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.

(3)在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.

即：

利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

5.中心投影在點(diǎn)光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影.(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?儀征市校級月考）如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，BC＝，則DE的長為（）A． B． C． D．2．（2分）（2023?靖江市一模）已知，則的值是（）A． B． C．3 D．3．（2分）（2023?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝4，，點(diǎn)D在AB的延長線上，∠A＝∠BCD＝45°，則△BCD的面積為（）A．7.5 B． C．7 D．8.54．（2分）（2023?鹽都區(qū)三模）小明用地理中所學(xué)的等高線的知識在某地進(jìn)行野外考察，他根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，則的值為（）A． B． C． D．25．（2分）（2023?錫山區(qū)校級四模）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，則四邊形A′B′C′D′的外接圓的半徑為（）A． B．2 C． D．46．（2分）（2023?大豐區(qū)校級模擬）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝7．（2分）（2023?新吳區(qū)二模）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點(diǎn)，AE＝DF，連接DE，CF交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥BC，且PQ＝2，在下列結(jié)論中：①DE＝CF；②AE2＝FP?FC；③在運(yùn)動過程中，線段AP最小值為；④當(dāng)∠CBQ的度數(shù)最大時，BQ的長為，其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2分）（2023春?濱湖區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝2，F(xiàn)為邊AB上的一個動點(diǎn)，連接EF，過點(diǎn)E作EG⊥EF交直線BC于點(diǎn)G，連接FG，若P是FG的中點(diǎn)，則DP的最小值為（）?A． B．6 C．5 D．29．（2分）（2023?海州區(qū)校級三模）如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長AD至E，使＝，連結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：910．（2分）（2023?沛縣校級模擬）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．連接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面積為3，則正方形ABCD的面積為（）A． B． C． D．15二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?寶應(yīng)縣二模）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC＝．12．（2分）（2023?青島一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)分別為O（0，0），A（﹣3，0），B（﹣4，3），△ODC與△OAB是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為1：3，則點(diǎn)C在第四象限的坐標(biāo)為．?13．（2分）（2023?姜堰區(qū)二模）如圖，△AOB與△CDB關(guān)于點(diǎn)B位似，其中B（1，1），D（3，3），若S△AOB＝2，則S△CDB＝．14．（2分）（2023?梁溪區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE＝ED，BE交AC于點(diǎn)F，則EF：FB的比值是．15．（2分）（2023?張家港市校級二模）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，AD與BC相交于點(diǎn)O，小正方形的邊長為1，則AO的長等于．16．（2分）（2023?泉山區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且，△CDE與四邊形ABED的面積的比為．?17．（2分）（2023?玄武區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是邊BC上的動點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，與CD邊交于點(diǎn)F，連接AF，則AF的最小值為．?18．（2分）（2023?阜寧縣二模）如圖，小明同學(xué)用自制直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條邊DF＝50cm，DE＝40cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，則樹高AB＝m．19．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）如圖，正方形ABCD由16個邊長為1的小正方形組成，形變后成為菱形A′B′C′D′，△AEF（E、F是小正方形的頂點(diǎn)）同時形變?yōu)椤鰽′E′F′．當(dāng)△AEF與△A′E′F′的面積之比等于2：時，則A′C′＝．20．（2分）（2023?海安市一模）已知點(diǎn)D（2，a）為直線y＝﹣x+3上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終交x軸于A、B兩點(diǎn)，C（0，﹣1）為y軸上一點(diǎn)，連接AC，BC，則四邊形ACBD面積的最小值為．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?姑蘇區(qū)校級期末）已知線段AB＝2，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP）．（1）求線段AP的長；（2）以AB為三角形的一邊作△ABQ，使得BQ＝AP，連接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的長．22．（6分）（2023?沭陽縣模擬）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DF＝0.5m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB．23．（8分）（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C，D是的中點(diǎn)，連接BD、OD分別交AC于點(diǎn)E、F．（1）求證：△DEF∽△BEC；（2）若DE＝2，BE＝6，求⊙O的面積．24．（8分）（2023?江都區(qū)模擬）在數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)數(shù)學(xué)小組測量大樹AB的高度．如圖，數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)大樹離教學(xué)樓5m，大樹的影子有一部分落在地面上，還有一部分落在教學(xué)樓的墻上，墻上的影子CD長為2m，已知此時高1.2m的竹竿在水平地面上的影子長1m，那么這棵大樹高度是多少？25．（8分）（2023?海陵區(qū)校級二模）（1）如圖1，在△ABC中，AB＞AC，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在AB上確定一點(diǎn)P，使得△ACP∽△ABC．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）的條件下，若AC＝6，AB＝8，則AP的長為；（3）在如圖2的正方形網(wǎng)格中，△DEF的三個頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，請用無刻度的直尺，在邊DF上確定一點(diǎn)M，使得DE2＝DM?DF．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）26．（8分）（2023?宿城區(qū)校級模擬）問題提出如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD⊥CD，∠ACD＝30°，若AD＝1，連接BD，求BD的長．問題探究（1）請你在圖（1）中，用尺規(guī)作圖，在AB左側(cè)作△ABE，使△ABE∽△ACD．（用直尺、圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不說明理由）（2）根據(jù)（1）中作圖，你可以得到CD與BE的位置關(guān)系是；你求得BD的長為；問題拓展（3）如圖（2），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AD＝，BD＝2，CD＝4，求BC的長．27．（8分）（2023?啟東市二模）如圖，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處．點(diǎn)E到地面的高度DE＝3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的長．（2）求燈泡到地面的高度AG．28．（8分）（2023?邗江區(qū)校級模擬）定義：兩個相似三角形共邊且位于一個角的角平分線兩邊，則稱這樣的兩個相似三角形為鄰似三角形．（1）[初步理解]：如圖1，四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°，求證：△ACB和△ADC為鄰似三角形；（2）[嘗試應(yīng)用]：在（1）的基礎(chǔ)上，如圖2，若CD∥AB，AD＝4，AC＝6，求四邊形ABCD的周長；（3）[拓展應(yīng)用]：如圖3，四邊形ABCD中，△ACB和△ADC為鄰似三角形，對角線AC平分∠BAD，且∠ADC＝∠ACB．若AB＝9，AD＝4，∠BAD＝60°，求△BCD的面積．

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊章節(jié)知識講練知識點(diǎn)01：比例線段及黃金分割1.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．要點(diǎn)詮釋：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（d也叫第四比例項）（2）若a:b=b:c，則b2=ac（b稱為a、c的比例中項）．2.黃金分割的定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫作線段PB、AB的比例中項），則P點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn)（黃金點(diǎn)），這種分割就叫黃金分割．3.黃金矩形與黃金三角形：黃金矩形：若矩形的兩條鄰邊長度的比值約為0.618，這種矩形稱為黃金矩形.黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形，它的底角為72°，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形．黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割．知識點(diǎn)02：相似圖形1．相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等.2.相似多邊形各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形．要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.知識點(diǎn)03：相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.判定方法（二）：兩角分別相等的兩個三角形相似.要點(diǎn)詮釋：

要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三）：兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似.要點(diǎn)詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.判定方法（四）：三邊成比例的兩個三角形相似.

2.相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3）相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方.3.相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）相似多邊形的周長比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．知識點(diǎn)04：圖形的位似及投影1.位似多邊形定義:如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個點(diǎn)O，且每組對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O點(diǎn)的距離之比都等于一個定值k，例如，如下圖，OA′=k·OA（k≠0），那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心.要點(diǎn)詮釋：位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)相交于同一點(diǎn)，此點(diǎn)就是位似中心；

（2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.3.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對應(yīng)點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫法.4.平行投影在平行光的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影.(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.

(3)在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.

即：

利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

5.中心投影在點(diǎn)光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影.(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?儀征市校級月考）如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，BC＝，則DE的長為（）A． B． C． D．解：∵S△ABC：S四邊形BDEC＝1：3，∴S△ABC：S△ADE＝1：4，∵△ABC∽△ADE，∴，∴或（不符合題意，舍去）∵，∴．故選：B．2．（2分）（2023?靖江市一模）已知，則的值是（）A． B． C．3 D．解：∵＝，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故選：D．3．（2分）（2023?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝4，，點(diǎn)D在AB的延長線上，∠A＝∠BCD＝45°，則△BCD的面積為（）A．7.5 B． C．7 D．8.5解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵∠A＝45°，CH⊥AB，∴△ACH是等腰直角三角形，∴AH＝CH，AC＝CH＝3，∴AH＝CH＝3，∴BH＝1，∴CB＝＝＝，∵∠A＝∠BCD＝45°，∠D＝∠D，∴△BCD∽△CAD，∴，∴＝，∴設(shè)BD＝x，CD＝3x，∵CD2＝CH2+DH2，∴9x2＝9+（x+1）2，∴x1＝，x2＝﹣，∴BD＝5，∴△BCD的面積＝×BD?CH＝，故選：A．4．（2分）（2023?鹽都區(qū)三模）小明用地理中所學(xué)的等高線的知識在某地進(jìn)行野外考察，他根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，則的值為（）A． B． C． D．2解；∵點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，∴＝＝，故選：B．5．（2分）（2023?錫山區(qū)校級四模）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，則四邊形A′B′C′D′的外接圓的半徑為（）A． B．2 C． D．4解：連接B′D′，∵四邊形A′B′C′D′是正方形，∴∠B′C′D′＝90°，∴B′D′是圓O的直徑，∵正方形ABCD的面積為4，∴正方形ABCD的邊長為2，∵正方形ABCD的與A′B′C′D′是位似圖形，AB：A′B′＝1：2，∴B′C′＝C′D′＝4，∴B′D′＝＝4，∴四邊形A′B′C′D′的外接圓的半徑為2，故選：C．6．（2分）（2023?大豐區(qū)校級模擬）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝解：A．因為＝，所以5m＝4n，不符合題意；B．因為＝，所以4m＝5n，符合題意；C．因為＝，所以5m＝4n，不符合題意；D．因為＝，所以mn＝20，不符合題意．故選：B．7．（2分）（2023?新吳區(qū)二模）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點(diǎn)，AE＝DF，連接DE，CF交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥BC，且PQ＝2，在下列結(jié)論中：①DE＝CF；②AE2＝FP?FC；③在運(yùn)動過程中，線段AP最小值為；④當(dāng)∠CBQ的度數(shù)最大時，BQ的長為，其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵正方形ABCD，∴∠EAD＝∠FDC＝90°，AD＝DC，在∴△AED和△DFC中，，∴△AED?△DFC（SAS），∴DE＝CF，即①正確；∵△AED?△DFC，∴∠ADE＝∠DCF，∵∠ADC＝∠ADE+∠PDC＝90°，∴∠DCP+∠PDC＝90°，即∠CPD＝90°，∴∠DPF＝∠FDC＝90°，∵∠DFP＝∠CFD，∴△FDP∽△FCD，∴＝，∴FD2＝FP?FC，∵AE＝DF，∴AE2＝FP?FC，即②正確；如圖：取CD的中點(diǎn)G，連接AG，PG，∵∠CPD＝90°，∴PG＝CD＝2，在Rt△ADG中，AG＝＝2，在△APG中，AP＞AG?PG，當(dāng)A、P、G三點(diǎn)共線時，AP有最小值，AP＝AG?PG＝2?2，即③正確；如圖：作GH⊥CD且GH＝2，則PQ∥HG，PQ＝HG，作HM⊥BC于BC延長線M，∴四邊形PGHQ是平行四邊形，∵GH＝PG，∴四邊形PGHQ是菱形，∴點(diǎn)Q在以H為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動，∴當(dāng)BQ與⊙H相切時，∠CBQ的度數(shù)最大，則BM是⊙H的切線，∴BQ＝BM＝BC+CM＝4+2＝6，故④錯誤．所以正確的有3個．故選：C．8．（2分）（2023春?濱湖區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝2，F(xiàn)為邊AB上的一個動點(diǎn)，連接EF，過點(diǎn)E作EG⊥EF交直線BC于點(diǎn)G，連接FG，若P是FG的中點(diǎn)，則DP的最小值為（）?A． B．6 C．5 D．2解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，且DC＝AB＝6，AD＝BC＝10．當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時，作EG1⊥BC于G1，則四邊形ABG1E是矩形．連接AG1，BE交于點(diǎn)O，則O點(diǎn)是AG1的中點(diǎn)，也是BE的中點(diǎn)，此時，P點(diǎn)與O點(diǎn)重合．當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時，作EG2⊥EB交BC的延長線于G2，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG2．又∵∠BAE＝∠BEG2＝90°，∴△ABE∽△EG2B，∴＝．∵BE＝＝＝2，∴＝，解得BG2＝20．設(shè)BG2的中點(diǎn)為P2，則BP2＝10，∴P2點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∴P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是線段OC．當(dāng)DP⊥OC時，DP的值最小．∵O點(diǎn)是BE的中點(diǎn)，C點(diǎn)是BG2的中點(diǎn)，∴OC是△BEG2的中位線．∴OC∥EG2，∴∠BOC＝∠BEG2＝90°，∴∠BOC＝∠DPC．∵∠OBC+∠OCB＝90°，∠OCB+∠PCD＝90°，∴∠OBC＝∠PCD，∴△OBC∽△PCD，∴＝．∵BO＝BE＝，BC＝10，∴OC＝＝3．∴＝，解得DP＝．故選：A．9．（2分）（2023?海州區(qū)校級三模）如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長AD至E，使＝，連結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9解：設(shè)DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故選：D．10．（2分）（2023?沛縣校級模擬）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．連接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面積為3，則正方形ABCD的面積為（）A． B． C． D．15解：設(shè)直角三角形的長直角邊是a，短直角邊是b，∴正方形EFGH的邊長是a﹣b，∵正方形EFGH的面積為3，∴（a﹣b）2＝3，∴a2+b2﹣2ab＝3，∵AH平分∠DAN，∴∠DAH＝∠NAH，∵∠AHD＝∠AHN＝90°，AH＝AH，∴△AHD≌△AHN（ASA），∴DH＝NH＝b，∵AH∥CF，∴∠HAM＝∠FCM，∵FC＝AH，∠CFM＝∠AHN＝90°，∴△AHN≌△CFM（ASA），∴FM＝NH＝b，∴EM＝a﹣b﹣b＝a﹣2b，∵M(jìn)E∥HN，∴△AME∽△ANH，∴ME：NH＝AE：AH，∴（a﹣2b）：b＝b：a，∴a2﹣b2＝2ab，∴b2＝，∴b＝，∵（a﹣b）2＝3，∴a＝，∴AD2＝a2+b2＝6+3，∴正方形ABCD的面積是6+3．故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?寶應(yīng)縣二模）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC＝．解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥CF于點(diǎn)F，交過點(diǎn)B的平行線于點(diǎn)E，交A的鄰近平行線于點(diǎn)D，根據(jù)題意，AD＝DE＝EF＝h，所以．解得．故答案為：．12．（2分）（2023?青島一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)分別為O（0，0），A（﹣3，0），B（﹣4，3），△ODC與△OAB是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為1：3，則點(diǎn)C在第四象限的坐標(biāo)為（，﹣1）．?解：∵點(diǎn)O為位似中心，△OAB的位似圖形為△OCD，位似比為1：3，而B（﹣4，3），∴C（×4，﹣×3），即C（，﹣1），故答案為：（，﹣1），13．（2分）（2023?姜堰區(qū)二模）如圖，△AOB與△CDB關(guān)于點(diǎn)B位似，其中B（1，1），D（3，3），若S△AOB＝2，則S△CDB＝8．解：∵△AOB與△CDB關(guān)于點(diǎn)B位似，∴△AOB∽△CDB，∵B（1，1），D（3，3），∴OB＝＝，BD＝＝2，∴△AOB與△CDB的相似比為1：2，∴△AOB與△CDB的面積比為1：4，∵S△AOB＝2，∴S△CDB＝8，故答案為：8．14．（2分）（2023?梁溪區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE＝ED，BE交AC于點(diǎn)F，則EF：FB的比值是1：2．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CE∥AB，CD＝AB，∴△CEF∽△ABF，∴EF：FB＝CE：AB．∵CE＝ED，∴CE：CD＝1：2，∴EF：FB＝1：2．故答案為：1：2．15．（2分）（2023?張家港市校級二模）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，AD與BC相交于點(diǎn)O，小正方形的邊長為1，則AO的長等于2．解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴，∵，∴，故答案為：2．16．（2分）（2023?泉山區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且，△CDE與四邊形ABED的面積的比為9：16．?解：∵＝＝，∴＝＝，又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，∴＝9：16．故答案為：9：16．17．（2分）（2023?玄武區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是邊BC上的動點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，與CD邊交于點(diǎn)F，連接AF，則AF的最小值為．?解：BE的長為x，則CE＝BC﹣BE＝8﹣x，CF的長為y，∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，∴∠ABE＝∠ECF＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+，（0＜x＜8）∴y最大＝，當(dāng)CF＝時，DF＝6﹣＝，此時AF為最小，AF＝＝＝＝．故答案為：．18．（2分）（2023?阜寧縣二模）如圖，小明同學(xué)用自制直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條邊DF＝50cm，DE＝40cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，則樹高AB＝10.5m．解：在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，即：402+EF2＝502，∴EF＝30，由題意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，＝，∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m，∴＝，解得：BC＝9米，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5（m）．故答案為：10.5．19．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）如圖，正方形ABCD由16個邊長為1的小正方形組成，形變后成為菱形A′B′C′D′，△AEF（E、F是小正方形的頂點(diǎn)）同時形變?yōu)椤鰽′E′F′．當(dāng)△AEF與△A′E′F′的面積之比等于2：時，則A′C′＝4．解：△AEF的面積＝△AGE的面積+△FGE的面積＝GE?AB＝×2×4＝4，∵△AEF與△A′E′F′的面積之比等于2：，∴△A′E′F′的面積＝2，△AEF變成菱形A′B′C′D′時的△A′E′F′，G′E′的長度沒有變化，A′B′的長度也沒有變化，過點(diǎn)B′作B′H⊥A′D′，垂足為H，∴△A′E′F′面積＝G′E′?B′H＝×2×B′H＝2，∴B′H＝2，∵sin∠B′A′H＝＝＝，∴∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′C′＝120°，又∵A′B′＝B′C′＝4，∴A′C′＝A′B′＝4．故答案為：4．20．（2分）（2023?海安市一模）已知點(diǎn)D（2，a）為直線y＝﹣x+3上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終交x軸于A、B兩點(diǎn)，C（0，﹣1）為y軸上一點(diǎn)，連接AC，BC，則四邊形ACBD面積的最小值為6．解：如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接DF，∵∠ADB＝90°，∴AB＝2DF∵點(diǎn)D（2，a）為直線y＝﹣x+3上一點(diǎn)，∴a＝﹣×2+3＝2，∴D（2，2），過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∴DE＝2，E（2，0），∴S四邊形ACBD＝S△ABC+S△ABD＝AB?OC+AB?DE＝AB（OC+DE）＝AB＝3DF，要四邊形ACBD的面積最小，即DF最小，∵點(diǎn)D（2，2），點(diǎn)F在x軸上，∴當(dāng)DF⊥x軸時，DF最小，最小值為DE＝2，∴S四邊形ACBD最?。?×2＝6，故答案為6．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?姑蘇區(qū)校級期末）已知線段AB＝2，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP）．（1）求線段AP的長；（2）以AB為三角形的一邊作△ABQ，使得BQ＝AP，連接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的長．解：（1）∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＜BP，∴BP＝×AB＝×2＝．∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣．（2）∵QP平分∠AQB，∴P到AQ、BQ的距離相等．∴＝＝．又由（1）AP＝BQ＝3﹣，∵AB＝2，∴PB＝AB﹣AP＝2﹣（3﹣）＝﹣1．∴AQ＝＝＝2﹣4．22．（6分）（2023?沭陽縣模擬）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DF＝0.5m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴＝，在Rt△DEF中，∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，由勾股定理得DE＝＝0.4（m），∵CD＝10m，∴＝，∴BC＝7.5（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：樹高AB是9m．23．（8分）（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C，D是的中點(diǎn)，連接BD、OD分別交AC于點(diǎn)E、F．（1）求證：△DEF∽△BEC；（2）若DE＝2，BE＝6，求⊙O的面積．（1）證明：∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，AF＝CF，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°＝∠DFE，又∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF∽△BEC；（2）解：∵△DEF∽△BEC，∴＝＝＝，設(shè)DF＝2x，則BC＝6x，∵AO＝BO，AF＝CF，∴OF＝BC＝3x，∴OD＝5x＝OA，∴AF＝＝＝4x＝CF，∴CE＝3x，EF＝x，∵DE2＝EF2+DF2，∴4＝5x2，∴x＝，∴DO＝2，∴⊙O的面積＝π×OD2＝20π．24．（8分）（2023?江都區(qū)模擬）在數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)數(shù)學(xué)小組測量大樹AB的高度．如圖，數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)大樹離教學(xué)樓5m，大樹的影子有一部分落在地面上，還有一部分落在教學(xué)樓的墻上，墻上的影子CD長為2m，已知此時高1.2m的竹竿在水平地面上的影子長1m，那么這棵大樹高度是多少？解：過D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，DE＝BC＝5m，CD＝BE＝2m，根據(jù)題意得＝，∴AE＝1.2DE＝1.2×5＝6（m），∴AB＝AE+BE＝6+2＝8（m）．答：這棵大樹高度是8m．25．（8分）（2023?海陵區(qū)校級二模）（1）如圖1，在△ABC中，AB＞AC，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在AB上確定一點(diǎn)P，使得△ACP∽△ABC．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）的條件下，若AC＝6，AB＝8，則AP的長為；（3）在如圖2的正方形網(wǎng)格中，△DEF的三個頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，請用無刻度的直尺，在邊DF上確定一點(diǎn)M，使得DE2＝DM?DF．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）解：（1）如圖，點(diǎn)P滿足要求，∵∠ACP＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC．（2）∵△ACP∽△ABC．∴，∵AC＝6，AB＝8，∴，故答案為：（3）如圖，點(diǎn)M即為所求，如圖，取FN＝3，DQ＝2，連接QN交DF于點(diǎn)M，∵DQ∥NF，∴∠QDM＝∠NFM，∠DQM＝∠FNM，∴△QDM∽△NFM，∴，∵，∴，∵，∴DE2＝＝10＝DE?DF，∴點(diǎn)M滿足要求．26．（8分）（2023?宿城區(qū)校級模擬）問題提出如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD⊥CD，∠ACD＝30°，若AD＝1，連接BD，求BD的長．問題探究（1）請你在圖（1）中，用尺規(guī)作圖，在AB左側(cè)作△ABE，使△ABE∽△ACD．（用直尺、圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不說明理由）（2）根據(jù)（1）中作圖，你可以得到CD與BE的位置關(guān)系是垂直；你求得BD的長為；問題拓展（3）如圖（2），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AD＝，BD＝2，CD＝4，求BC的長．解：（1）如圖，△ABE即為所求；（2）如圖，延長CD交BE于點(diǎn)F，∵Rt△ADC中，∠ACD＝30°，AD＝1，∴AC＝2CD＝，BC＝4，∵△AEB∽△ADC，∴∠ABE＝