專題01數(shù)軸的三種常見考法(原卷版+解析)

專題01數(shù)軸的三種常見考法【知識點精講】1.數(shù)軸的概念1）數(shù)軸：用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫作數(shù)軸2）三要素：=1\*GB3①原點—參考點，正負數(shù)分界點；=2\*GB3②方向—一般選取向右為正方向；=3\*GB3③單位長度—同一條數(shù)軸上的單位長度應當一致2.數(shù)軸的讀數(shù)與畫法1）數(shù)軸的讀數(shù)：在原點的左邊，則為正數(shù)，在數(shù)軸的右邊，則為負數(shù)。2）畫數(shù)軸步驟：a.直線b.確定原點c.選正方向（通常從原點向右或向上定位正方向）d.選取單位長度（選取適當長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，…；從原點向左，用類似方法依次表示－1，－2，－3，…）e.標數(shù)（用實心點標數(shù)）.3.數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關系（數(shù)形結合）1）數(shù)軸上的點并不是都是有理數(shù)正方向可以不按照常規(guī)方向選取3）a>0，與原點的距離是a，在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向4.數(shù)軸與數(shù)的大小正方向上，離原點越遠，數(shù)越大負方向上，離原點越近，數(shù)越大（負數(shù)數(shù)字越大，結果反而越?。┳ⅲ簲?shù)軸從負方向向正方向，數(shù)值逐漸增大。類型一、利用數(shù)軸比較大小例．已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓練1】已知a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，有以下4個結論：①；②；③；④；其中正確的結論的個數(shù)有（）個A．4 B．3 C．2 D．1【變式訓練2】如圖，點、均在數(shù)軸上，且點所對應的實數(shù)分別為、，若，則下列結論一定正確的是（

）

A． B． C． D．【變式訓練3】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．類型二、基本動點問題例．在數(shù)軸上，把原點記作點O，表示數(shù)1的點記作點A．對于數(shù)軸上任意一點P（不與點O，點A重合），將線段與線段的長度之比定義為點P的特征值，記作，即，例如：當點P是線段的中點時，因為，所以．若數(shù)軸上的點P滿足，則的值是________．例2．如圖，已知線段，點O為線段AB上一點，且．動點P以1cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OB方向運動，運動到點B停止；點P出發(fā)1s后，點Q以4cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OA方向運動，運動到點A時，停留2s，按原速沿AB方向運動到點B停止．設P的運動時間為ts．(1)OA=__________cm，OB=__________cm；(2)當Q從O向A運動時，若，求t的值．(3)當時，直接寫出t的值．【變式訓練1】在數(shù)軸上，一只螞蟻從原點出發(fā)，先向右爬行了4個單位長度到達點A，再向右爬行了2個單位長度到達點B，然后又向左爬行了10個單位長度到達點C．(1)畫出數(shù)軸并標出A，B，C三點在數(shù)軸上的位置；(2)寫出點A、B、C三點表示的數(shù)；(3)根據(jù)點C在數(shù)軸上的位置，點C可以看作是螞蟻從原點出發(fā)，向哪個方向爬行了幾個單位長度得到的？【變式訓練2】如圖，在數(shù)軸上點A表示的有理數(shù)為，點B表示的有理數(shù)為6，點P從點A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度在數(shù)軸上沿由A到B方向運動，當點P到達點B后立即返回，仍然以每秒2個單位長度的速度運動至點A停止運動．設運動時間為t（單位：秒）．(1)時點P表示的有理數(shù)為___________；(2)求點P是的中點時t的值；(3)請直接寫出點P到點A的距離（用含t的代數(shù)式表示）；(4)請直接寫出點P表示的有理數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）．【變式訓練3】一只跳蚤在數(shù)軸上從原點開始，第次向右跳個單位長度，第次向左跳個單位長度，第次向右跳個單位長度，第次向左跳個單位長度，…依此規(guī)律跳下去，當它跳第次落下時，落點處離原點的距離是________個單位長度．類型三、兩點之間的距離例1．在數(shù)軸上，到原點的距離等于5個單位長度的點所表示的數(shù)是________．【變式訓練1】數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為和，P為數(shù)軸上一點，若，則點P表示的數(shù)是________．【變式訓練2】在數(shù)軸上，點表示的數(shù)為，點以每秒3個單位長度的速度從點出發(fā)沿數(shù)軸向右運動經(jīng)過________秒，點與原點的距離為個單位長度．課后訓練1．如圖，有理數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應點分別是A，B，C，D，若，則（）A． B．小于6 C．等于6 D．大于62．如圖，數(shù)軸上A，B兩點所表示的數(shù)分別是和2，C是的中點，則點C所表示的數(shù)是（

）

A． B．1 C． D．3．規(guī)定向東為正，向西為負，將遙控小汽車兩次行駛的情況表示在如圖所示的數(shù)軸上，則遙控小汽車兩次運動后的結果是（

）

A．向東行駛5個單位長度 B．向西行駛3個單位長度 C．向東行駛2個單位長度 D．向西行駛1個單位長度8．如圖，點A和B表示的數(shù)分別為a和b，下列式子中，不正確的是（）A． B． C． D．4．有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的位置如圖，則下列關系式正確的個數(shù)有（

）①；②；③；④；⑤

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．點，在數(shù)軸上的位置如圖，則______，______

7．如圖，把半徑為1的圓從數(shù)軸上表示的點A開始沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的點A到達點，則點表示的數(shù)為______．

8．在數(shù)軸上剪下8個單位長度（從1到9）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）．若這三條線段的長度之比為，則折痕處對應的點所表示的數(shù)可能是_________9．A、B兩個動點在數(shù)軸上同時出發(fā)，分別向左、向右做勻速運動，它們的運動時間以及在數(shù)軸上的位置記錄如下．時（秒）057A點位置19B點位置___1727(1)根據(jù)題意，填寫表格；(2)A、B兩點能否相遇，如果能相遇，求相遇時的時刻及在數(shù)軸上的位置；如果不能相遇，請說明理由；(3)A、B兩點能否相距9個單位長度，如果能，求相距9個單位長度的時刻；如不能，請說明理由．

專題01數(shù)軸的三種常見考法【知識點精講】1.數(shù)軸的概念1）數(shù)軸：用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫作數(shù)軸2）三要素：=1\*GB3①原點—參考點，正負數(shù)分界點；=2\*GB3②方向—一般選取向右為正方向；=3\*GB3③單位長度—同一條數(shù)軸上的單位長度應當一致2.數(shù)軸的讀數(shù)與畫法1）數(shù)軸的讀數(shù)：在原點的左邊，則為正數(shù)，在數(shù)軸的右邊，則為負數(shù)。2）畫數(shù)軸步驟：a.直線b.確定原點c.選正方向（通常從原點向右或向上定位正方向）d.選取單位長度（選取適當長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，…；從原點向左，用類似方法依次表示－1，－2，－3，…）e.標數(shù)（用實心點標數(shù)）.3.數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關系（數(shù)形結合）1）數(shù)軸上的點并不是都是有理數(shù)正方向可以不按照常規(guī)方向選取3）a>0，與原點的距離是a，在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向4.數(shù)軸與數(shù)的大小正方向上，離原點越遠，數(shù)越大負方向上，離原點越近，數(shù)越大（負數(shù)數(shù)字越大，結果反而越小）注：數(shù)軸從負方向向正方向，數(shù)值逐漸增大。類型一、利用數(shù)軸比較大小例．已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)圖示知：，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了數(shù)軸的知識以及不等式的基本性質，解題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想得出a，b與1，的大小關系．【變式訓練1】已知a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，有以下4個結論：①；②；③；④；其中正確的結論的個數(shù)有（）個A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)，即可判斷a，b，c的符號，再根據(jù)數(shù)軸的位置關系逐一判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知：，故①正確；②，②正確；③，③錯誤；④，④正確；故正確的結論有3個．故選：B．【點睛】本題考查了絕對值的性質及實數(shù)如何比較大小，關鍵在于學生要理解知識并靈活運用．【變式訓練2】如圖，點、均在數(shù)軸上，且點所對應的實數(shù)分別為、，若，則下列結論一定正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可知可能同號，也可能異號，而恒成立，即可求解．【詳解】∵，∴，即在數(shù)軸上，在的左側，∴或，∴可能同號，也可能異號，而恒成立，∴一定正確，故選：B．【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的位置及其大小關系，熟練掌握數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大是解題的關鍵．【變式訓練3】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，判斷出a、b、、的正負，然后再比較出a、b、、的大小，最后結合選項進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴選項A不符合題意；∵，∴，∴，∴選項B不符合題意；∵，∴，∴，∴選項C符合題意；∵，，∴，∴，∴選項D不符合題意．故選：C．【點睛】此題考查數(shù)軸，由于引進了數(shù)軸，我們把數(shù)和點對應起來，也就是把“數(shù)”和“形”結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題，掌握數(shù)形結合的數(shù)學思想是解題的關鍵．類型二、基本動點問題例．在數(shù)軸上，把原點記作點O，表示數(shù)1的點記作點A．對于數(shù)軸上任意一點P（不與點O，點A重合），將線段與線段的長度之比定義為點P的特征值，記作，即，例如：當點P是線段的中點時，因為，所以．若數(shù)軸上的點P滿足，則的值是________．【答案】或【分析】首先分類討論P的位置，然后根據(jù)新定義，直接代值求解即可．【詳解】因為，所以P在或處，所以，或所以或故答案為：或【點睛】此題考查坐標軸上的動點問題，解題關鍵是分類討論可能在的位置．例2．如圖，已知線段，點O為線段AB上一點，且．動點P以1cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OB方向運動，運動到點B停止；點P出發(fā)1s后，點Q以4cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OA方向運動，運動到點A時，停留2s，按原速沿AB方向運動到點B停止．設P的運動時間為ts．(1)OA=__________cm，OB=__________cm；(2)當Q從O向A運動時，若，求t的值．(3)當時，直接寫出t的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）直接按比例求解即可；（2）根據(jù)數(shù)量關系列方程即可；（3）分類討論兩點的位置關系，列方程求解即可．【詳解】（1），點O為線段AB上一點，且，那么．故答案為：；（2）動點P以1cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OB方向運動，則，點P出發(fā)1s后，點Q以4cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OA方向運動，運動到點A時，停留2s，按原速沿AB方向運動到點B停止，則從到時，，從到時，．因為當Q從O向A運動時，若，所以，解得．（3）當則從到時，，，可得，解得，從到時，在左側時，．，可得，解得，從到時，在右側時，．，可得，解得．綜上所述：【點睛】此題考查動點問題，解題關鍵是找出每段線段的長，用速度表示點的路程，然后找出等量關系列方程．【變式訓練1】在數(shù)軸上，一只螞蟻從原點出發(fā)，先向右爬行了4個單位長度到達點A，再向右爬行了2個單位長度到達點B，然后又向左爬行了10個單位長度到達點C．(1)畫出數(shù)軸并標出A，B，C三點在數(shù)軸上的位置；(2)寫出點A、B、C三點表示的數(shù)；(3)根據(jù)點C在數(shù)軸上的位置，點C可以看作是螞蟻從原點出發(fā)，向哪個方向爬行了幾個單位長度得到的？【答案】(1)見解析(2)A點表示的數(shù)是4、B點表示的數(shù)是6、C點表示的數(shù)是(3)向左爬行4個單位長度【分析】（1）畫出數(shù)軸并標出A，B，C三點即可求解；（2）根據(jù)（1）中所畫數(shù)軸寫出即可；（3）根據(jù)正負數(shù)在軸上的意義“向右為正，向左為負”來解答．【詳解】（1）如圖所示：（2）A點表示的數(shù)是4、B點表示的數(shù)是6、C點表示的數(shù)是；（3）∵C點坐標是，∴可以看作是螞蟻從原點出發(fā)，向左爬行4個單位長度得到的．【點睛】本題考查了數(shù)軸，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結合的優(yōu)點．【變式訓練2】如圖，在數(shù)軸上點A表示的有理數(shù)為，點B表示的有理數(shù)為6，點P從點A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度在數(shù)軸上沿由A到B方向運動，當點P到達點B后立即返回，仍然以每秒2個單位長度的速度運動至點A停止運動．設運動時間為t（單位：秒）．(1)時點P表示的有理數(shù)為___________；(2)求點P是的中點時t的值；(3)請直接寫出點P到點A的距離（用含t的代數(shù)式表示）；(4)請直接寫出點P表示的有理數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）．【答案】(1)0(2)2.5或7.5(3)或(4)【分析】（1）當時，點P的路程與的和即為點表示的有理數(shù)；（2）求出的長，分兩種情況：由A到B方向運動時點P是的中點；由B到A方向運動時點P是的中點；（3）分兩種情況：點P由點A到點B的運動過程中，點P到點A的距離即點P的運動路程；點P由點B到點A的運動過程中，點P到點A的距離為與點P運動路程的差；（4）分兩種情況：點P由點A到點B的運動過程中；點P由點B到點A的運動過程中；由（3）的結果及兩點間的距離即可求得點P表示的有理數(shù)．【詳解】（1）解：點P表示的有理數(shù)為；故答案為：0；（2）解：，，當由A到B方向運動時，，當由B到A方向運動時，．綜上，點P是的中點時或；（3）解：當點P由點A到點B的運動過程中，點P與點A的距離的長度為；當點P由點B到點A的運動過程中，點P與點A的距離為；（4）解：在點P由點A到點B的運動過程中，點P表示的有理數(shù)是；在點P由點B到點A的返回過程中，點P表示的有理數(shù)是．【點睛】本題考查了數(shù)軸上動點問題，兩點間距離，數(shù)軸上的點表示有理數(shù)等知識，注意數(shù)形結合．【變式訓練3】一只跳蚤在數(shù)軸上從原點開始，第次向右跳個單位長度，第次向左跳個單位長度，第次向右跳個單位長度，第次向左跳個單位長度，…依此規(guī)律跳下去，當它跳第次落下時，落點處離原點的距離是________個單位長度．【答案】【分析】數(shù)軸上點的移動規(guī)律是“左減右加”，依據(jù)規(guī)律計算即可．【詳解】解：；故答案為．【點睛】本題考查了數(shù)軸與圖形的變化規(guī)律，數(shù)軸上點的移動規(guī)律是“左加右減”，在學習的過程中培養(yǎng)數(shù)形結合的思維是解題的關鍵．類型三、兩點之間的距離例1．在數(shù)軸上，到原點的距離等于5個單位長度的點所表示的數(shù)是________．【答案】5或【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的意義解答即可．【詳解】解：設這個數(shù)為，則，解得．故答案為：5或．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點距離的意義，還可以根據(jù)相反數(shù)的特點解答，即在數(shù)軸上到原點的距離相等的點有兩個，這兩個點表示的數(shù)互為相反數(shù)．【變式訓練1】數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為和，P為數(shù)軸上一點，若，則點P表示的數(shù)是________．【答案】或【分析】分情況討論，①當點P在線段上時，設點P表示的數(shù)是x，根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為和得，，即可得；②當點P在線段延長線上時，設點P表示的數(shù)是x，根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為和得，，即可得；分別計算并檢驗，即可得．【詳解】解：①當點P在線段上時，設點P表示的數(shù)是x，∵數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為和，∴，，∴，經(jīng)檢驗，符合題意；②當點P在線段延長線上時，設點P表示的數(shù)是x，∵數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為和，∴，，∴，經(jīng)檢驗，符合題意；綜上，點P表示的數(shù)是或，故答案為：或．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是分情況討論，正確計算．【變式訓練2】在數(shù)軸上，點表示的數(shù)為，點以每秒3個單位長度的速度從點出發(fā)沿數(shù)軸向右運動經(jīng)過________秒，點與原點的距離為個單位長度．【答案】3或7【分析】根據(jù)題意可得出點在和的時候與原點的距離為個單位長度，然后利用路程除以速度即可得出時間．【詳解】點與原點的距離為個單位長度，點表示的數(shù)為在和的時候與原點的距離都為個單位長度，，，，故答案為：或【點睛】此題考查兩點間的距離，數(shù)軸，解題關鍵在于得出點的位置．課后訓練1．如圖，有理數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應點分別是A，B，C，D，若，則（）A． B．小于6 C．等于6 D．大于6【答案】D【分析】由，A在D的右邊，C在B的右邊，利用加數(shù)與和的關系可知與6的大小關系．【詳解】解：∵A在D的右邊，C在B的右邊，∴，，∵，∴．故選：D．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算、數(shù)軸、有理數(shù)的加法，屬于中等題型．2．如圖，數(shù)軸上A，B兩點所表示的數(shù)分別是和2，C是的中點，則點C所表示的數(shù)是（

）

A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)A，B兩點所表示的數(shù)分別是和2，利用中點公式求出線段的中點所表示的數(shù)即可．【詳解】解：∵A，B兩點所表示的數(shù)分別是和2，∴線段的中點所表示的數(shù)．即點C所表示的數(shù)是．故選：A．【點睛】本題考查數(shù)軸，熟記中點公式是解題的關鍵．3．規(guī)定向東為正，向西為負，將遙控小汽車兩次行駛的情況表示在如圖所示的數(shù)軸上，則遙控小汽車兩次運動后的結果是（

）

A．向東行駛5個單位長度 B．向西行駛3個單位長度 C．向東行駛2個單位長度 D．向西行駛1個單位長度【答案】C【分析】根據(jù)圖象得最后停在的位置，起始位置為，然后即可得出結果．【詳解】解：根據(jù)圖象得最后停在的位置，起始位置為，∴兩次運動后的結果是向東行駛2個單位長度，故選：C．【點睛】題目主要考查數(shù)軸上點的運動，理解題意是解題關鍵．8．如圖，點A和B表示的數(shù)分別為a和b，下列式子中，不正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用a，b的位置，進而得出：，，即可分析得出答案．【詳解】解：如圖所示：，，A、，正確，不合題意；B、，正確，不合題意；C、，故此選項錯誤，符合題意；D、，正確，不合題意．故選：C．【點睛】此題主要考查了數(shù)軸以及有理數(shù)混合運算等知識，正確掌握運算法則是解題關鍵．4．有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的位置如圖，則下列關系式正確的個數(shù)有（

）①；②；③；④；⑤

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷m與n與0的大小關系，進而逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得且，∴，，即①正確，②錯誤；∵，∴，∴，即③正確；∵且，∴∴，即④正確；∵∴，即⑤正確；∴①③④⑤正確，正確的個數(shù)為4個，故選：D．【點睛】本題考查了數(shù)軸的應用，解決本題的關鍵是將m與n與0的大小關系判斷出來．5．點，在數(shù)軸上的位置如圖，則______，______

【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷出與的正負即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上點的位置得：，且，則，，故答案為：；．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸，弄清數(shù)軸上點的位置是解本題的關鍵．7．如圖，把半徑為1的圓從數(shù)軸上表示的點A開始沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的點A到達點，則點表示的數(shù)為______．

【答案】【分析】由圓的周長為，再結合數(shù)軸上兩點之間的距離可得答案．【詳解】解：∵圓的周長為，∴點表示的數(shù)為，故答案為：【點睛】